Pozámky k předášce Kvatová mechaka PřF MU v Brě úor - květe 997 (upraveo v prosc 3) Mchal Lec
Prcp superposce 4 Feymaova formulace4 Formulace Ladaua a Lfšce4 Matematcký pops5 Základí pops5 Axomy 5 3 Reprezetace rozklad jedotky 6 4 Vlová fukce6 5 Matcová reprezetace 7 3 Hamltoův operátor (hamltoá) 7 4 Operátory mpulzu a mometu mpulzu 8 5 Časový vývoj kvatové soustavy9 6 Harmocký osclátor 6 Schrödgerova rovce pro osclátor v souřadcové represetac 3 7 Relace eurčtost3 8 Operátory se zdola ohračeým spektrem5 9 Vlastí hodoty a vlastí fukce operátoru mometu mpulzu6 Matcové elemety skaláru a vektoru parta stavu9 Sp Rotace a komutačí relace pro operátor mometu mpulzu Sp 3 Sp a rotace3 Prcp erozlštelost částc 4 3 Matce hustoty5 4 Poruchová teore 6 4 Poruchy a čase závslé 6 4 Fermho zlaté pravdlo 8 4 Harmocký průběh časové závslost poruchy 8 43 Poruchy a čase ezávslé9 44 Případ velm blízkých hlad 3 45 Potecálí eerge jako porucha 3 5 Teore rozptylu3 5 Dferecálí účý průřez 3 5 Optcký teorém33 53 Další vlastost ampltudy rozptylu 34 6 Operátor Greeovy fukce34 7 Vodíkový atom v elektrckém a magetckém pol 37 7 Hamltoá37 7 Schrödgerova rovce pro atom vodíku38 73 Degeerovaá hypergeometrcká fukce39 74 Nerelatvstcká aproxmace Dracovy rovce4 75 Jemá struktura ve vodíkovém atomu 4 76 Aomálí Zeemaův jev4 77 Starkův jev 43 8 Varačí metody44 8 Varačí prcp 44 8 Hartreeho - Fockova metoda self-kozstetího pole 45 83 Rtzova varačí metoda 46
9 Borova-Oppehemerova aproxmace 47 Molekula vodíku 49 Iot molekuly vodíku49 Molekula vodíku 5 Dvouhladové soustavy5 Modelový hamltoá5 Resoačí přechody53 Kvasklascká aproxmace 53 Základí vztahy53 Okrajové podmíky 54 3 Bohrovo - Sommerfeldovo kvatováí56 3 Matce hustoty57 3 Matce hustoty a Wgerova rozdělovací fukce57 3 Polarzačí matce59 3
Prcp superposce Feymaova formulace Pravděpodobost P že v deálím expermetu astae ějaký jev je dáa druhou mocou absolutí hodoty komplexího čísla φ které azýváme ampltudou pravděpodobost P φ () Může-l k ějakému jevu dojít ěkolka možým způsoby a erozlšujeme-l v expermetu jedotlvé způsoby je celková ampltuda pravděpodobost jevu dáa součtem ampltud pravděpodobost jedotlvých způsobů φ φ P φ () 3 Může-l k ějakému jevu dojít ěkolka možým způsoby a rozlšujeme-l v expermetu jedotlvé způsoby je celková pravděpodobost jevu dáa součtem pravděpodobostí jedotlvých způsobů φ P P P (3) Formulace Ladaua a Lfšce Stav soustavy je popsá komplexí fukcí souřadc kofguračího prostoru Ψ(q) kvadrát modulu této fukce určuje hustotu pravděpodobost; Ψ ( q) dq je pravděpodobost toho že př expermetu alezeme souřadce v tervalu q q+ dq Součet pravděpodobostí všech možých hodot souřadc musí dát jedotku je tedy pro vlovou fukc Ψ ( q) dq (4) Stav podsoustavy chrarakterzovaé souřadcem q která je součástí soustavy popsaé fukcí souřadc kofguračího prostoru Ψ(qQ) je popsá matcí hustoty ρ(qq / ); ρ(qq)dq je pravděpodobost toho že př expermetu alezeme souřadce v tervalu q q+ dq a platí * ρ ( q q ) Ψ( q Q) Ψ ( q Q) dq (5) 3 Vede-l ve stavu s ormovaou vlovou fukcí Ψ (q) ějaké měřeí fyzkálí velčy f k určtému výsledku f popsuje vlová fukce Ψ q a Ψ q a stav ve kterém aměříme hodotu f s pravděpodobostí (6) 4 a
4 Nachází-l se soustava před měřeím ve stavu s ormovaou vlovou fukcí Ψ (q) potom př měřeí fyzkálí velčy f alezeme s určtostí hodotu f ale po měřeí bude soustava ve stavu popsaém ormovaou vlovou fukcí Φ (q) a pravděpodobost alezeí hodoty f m v okamžtě ásledujícím měřeí bude b m kde * m Ψm Φ m (7) m b q q dq b Matematcký pops Základí pops Stav soustavy je popsá paprskem v Hlbertově prostoru Η c ψ kde ψ Η c Dyamcké proměé jsou represetováy hermteovským operátory v tomto prostoru Pozámky: K prostoru ket vektorů c ψ zkostruujeme duálí prostor bra vektorů ψ pomocí jedozačého zobrazeí α α * * cα α + cβ β cα α + cβ β () Skalárí souč v Hlbertově prostoru Η defuje vtří souč bra a ket vektorů α β ( α β ) () Přpomeňme zámé vlastost skalárího souču * ( f c g ) c( f g ) ( c f g ) c ( f g ) * ( f g ) ( g g ) (3) Hermteovsky sdružeý operátor je defová pomocí vztahu f O ˆ g ˆ + O f g f O ˆ g g O ˆ + f (4) * Axomy Výsledkem měřeí fyzkálí velčy může být pouze jeda z vlastích hodot odpovídajícího operátoru Nachází-l se soustava ve stavu který odpovídá vlastí hodotě operátoru  rové α je pravděpodobost toho že měřeí velčy ˆB dá hodotu β m rova βm α kde Aˆ α α α Bˆ β β β (5) m m m 5
Obdobě pro spojté spektrum operátoru ˆB je pravděpodobost toho že měřeí dá hodotu z tervalu( β β+ d β) rova β α d β 3 Operátory  a ˆB odpovídající klasckým velčám A a B splňují komutačí relace AB ˆ ˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ Cˆ (6) kde klascká velča C je dáa Possoovou závorkou klasckých velč A a B A B A B C { AB} q p p q (7) 3 Reprezetace rozklad jedotky Vlastí hodoty hermteovského operátoru jsou reálá čísla a vlastí vektory příslušé růzým vlastím hodotám jsou ortogoálí Důkaz eí obtížý Pro hermteovský operátor platí ˆ ˆ * Aa α a a A a α (8) Po vyásobeí prví rovce bra vektorem a a druhé rovce ket vektorem a a odečteí * dostáváme α α a a odkud plye tvrzeí Př výpočtech je užtečé jsou-l vlastí vektory ormováy a jedotku tj aa Obecý stavový vektor pak můžeme apsat jako leárí kombac vlastích vektorů ějakého hermteovského operátoru (předpokládejme operátor s dskrétím spektrem) ψ c a c a ψ (9) Z ormovací podmíky ψψ dostaeme * * ψψ c c a a c c m m m * cc ψ a a ψ ψ a a ψ a a ˆ Výše uvedeý záps jedotkového operátoru budeme velm často využívat () 4 Vlová fukce Velm důležtým operátorem se spojtým spektrem je operátor souřadce který bude přrozeě mít jako vlastí hodoty příslušé souřadce Qq ˆ qq () Průmětem stavového vektoru do vlastího vektoru operátoru souřadc je vlová fukce 6
V souřadcové reprezetac tedy píšeme ψ q q ψ ψ q q a () * (3) Ψ q c Ψ q c Ψ q Ψ q dq a ormovací podmíky máme vyjádřey jako * * * Ψ m( q) ( q) dq δ m cc Ψ ( q) ( q) dq (4) Obdobě pro operátory se spojtým spektrem a * f f f f (5) Ψ q c Ψ q d f c Ψ q Ψ q dq * δ * * Ψ f q Ψ g q dq f g cf cf d f Ψ q Ψ q dq (6) 5 Matcová reprezetace Napíšeme ještě jedou ejdůležtější vztahy Vlastí vektory hermteovského operátoru tvoří ortoormálí báz am a δm af ag δ ( f g ) a a ˆ a a d f ˆ (7) f f Koefcety rozkladu obecého stavového vektoru ψ v daé báz získáme jako c a ψ cf af ψ (8) V daé báz lze vyjádřt působeí operátoru a stavový vektor jako matcové ásobeí ˆ ˆ χ B ψ a ˆ χ a B am am ψ a B am am ψ (9) m m tedy χ B ψ () m m m Matce operátoru v báz tvořeé jeho vlastím vektory je dagoálí A a Aˆ a a δ () m m m m Pro komutující operátory  a ˆB platí a Aˆ a a Bˆ a a Bˆ a a Aˆ a k k j k k j k k a a Ba ˆ a a Ba ˆ a Ba ˆ a Ba ˆ δ j j j j j 3 Hamltoův operátor (hamltoá) () 7
Vlová fukce úplě určuje stav soustavy Zadáí vlové fukce v určtém okamžku musí tedy určovat její chováí v budoucost musí proto dervace Ψ t t leárě závset t a Ψ ( t ) Obecá závslost je (Schrödgerova rovce) Ψ Hˆ Ψ (3) t kde Ĥ je ějaký leárí operátor faktor je vyčleě pro korespodec př kvasklascké aproxmac Tam předpokládáme vlovou fukc ve tvaru Ψ Aexp{ S } kde A je pomalu se měící ampltuda a S rychle se měící fáze vly S je klascký úček (řešeí Hamltoovy - Jacobho rovce) je Plackova kostata Potom Ψ S S S Ψ Ψ H r t (3) t t t r kde H je Hamltoova fukce Této fyzkálí velčě přřadíme operátor Ĥ Hamltoů operátor Ĥ je hermteovský což vdíme z ásledujících úprav * d Ψ ( qt ) * Ψ( qt ) ( qt ) dq ( qtdq ) ( qt ) dq dt Ψ Ψ + Ψ t t * ˆ * H ( q t) ( q t) dq ( q t) Hˆ Ψ Ψ + Ψ Ψ ( q t) dq (33) * ( qt ) Hˆ Hˆ + ( qtdq ) Hˆ Hˆ + Ψ Ψ 4 Operátory mpulzu a mometu mpulzu Uvažujme uzavřeou soustavu částc bez vějšího pole Hamltoá soustavy se ezměí př paralelím přeosu soustavy o lbovolou vzdáleost budeme však uvažovat je ftesmálí posuutí tj trasformac r a r a +δ r Př í se vlová fukce (souřadcová reprezetace stavového vektoru) trasformuje jako Ψ r + δr Ψ r + δr Ψ r Oˆ Ψ r a a a a a a ˆ (4) O ˆ + δ r a a Tvrzeí že ějaká trasformace eměí hamltoá zameá toto: trasformujeme-l fukc Ĥ Ψ je výsledek stejý jako když působíme Ĥ a trasformovaou fukc Ô Ψ Je tedy Oˆ Hˆ (4) V důsledku homogety prostoru komutuje s hamltoáem operátor Hˆ Hˆ (43) a a a a 8
Vzhledem k tomu že varac vůč posuutí odpovídá v klascké mechace záko zachováí mpulzu bude operátor mpulzu úměrý operátoru Operátor mpulzu jedé částce je tedy ˆp (44) a pro kvasklasckou vlovou fukc ˆ pψ ( S) Ψ (45) Uvažujme opět uzavřeou soustavu částc bez vějšího pole Hamltoá soustavy se ezměí př otočeí soustavy o lbovolý úhel kolem lbovolé osy budeme však uvažovat je ftesmálí pootočeí tj trasformac ra ra + δ φ ra Př í se vlová fukce trasformuje jako ˆ Ψ ra + δr Ψ ra + δφ ra a Ψ ra OΨ( ra) a Oˆ (46) ˆ + δφ ra a a V důsledku sotrope prostoru komutuje s hamltoáem operátor r a a : a r Hˆ Hˆ r (47) a a a a a a Bezrozměrý operátor mometu mpulzu jedé částce l je l r (48) a pro kvasklasckou aproxmac pak l Ψ r S Ψ (49) 5 Časový vývoj kvatové soustavy Nejprve s všmeme vztahu pro operátor časové dervace fyzkálí velčy Fyzkálí velča f je popsáa hermteovským operátorem ˆf Je přrozeé požadovat aby fyzkálí velča df dt byla popsáa hermteovským operátorem df dt pro který platí df d ˆ ˆ df f Ψ Ψ Ψ f Ψ + Hˆ fˆ dt dt dt t (5) Důkaz je sadý eboť postupým úpravam s využtím Schrödgerovy rovce (3) dostaeme d ˆ ˆ f ˆ ˆ Ψ f Ψ Ψ Ψ + Ψ f Ψ + Ψ f Ψ dt t t t (5) fˆ ˆ ( ˆ + ˆ ˆ ˆ f Ψ + H f f H) Ψ Ψ + Hˆ fˆ Ψ t t 9
Velce důležtou třídu fyzkálích velč tvoří ty které explctě ezávsí a čase a jejchž operátory komutují s hamltoáem Jestlže hamltoá ezávsí explctě a čase je jedou z těchto velč eerge a jejím operátorem je právě Hamltoův operátor Vlastí vektory jsou azýváy stacoárí stavy ˆ Ψ H Ψ E Ψ Ψ () t exp E( t t) Ψ( t) t (53) Předchozí úvahy odpovídaly Schrödgerově reprezetac časového vývoje kvatové soustavy Obecě lze uvažovat takto: požadujeme aby obecě platlo d ˆ ˆ f Ψ f Ψ Ψ + Hˆ fˆ Ψ dt t (54) Ve Schrödgerově reprezetac jsme vyhověl tomuto požadavku tak že jsme položl d ˆ ˆ f f dt t t Ψ H ˆ Ψ (55) V Hesebergově reprezetac pak pokládáme ˆ ˆ f ˆ ˆ H U f U Ψ H ˆ U Ψ (56) kde U ˆ je operátor vyhovujíc rovc Uˆ HU ˆ ˆ t (57) Potom d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ fh U f U + U HU f H Ψ H dt t t (58) Pokud je Hamltoův operátor a čase explctě ezávslý je ˆ ˆ Ψ t Ψ H U exp H( t t) h (59) Velm důležtou pro aplkace je terakčí reprezetace Předpokládáme že hamltoá je slože ze dvou částí Hˆ Hˆ ˆ + V kde Ĥ je a čase ezávslá základí část a V ˆ je terakčí část která může explctě závset a čase Zvolíme ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ U exp H t t ft U f U Ψ t U Ψ ˆ d ˆ ˆ ˆ Ψ ˆ ˆ ˆ t Ht Ψt ft U f U + H f t t dt t (5) ˆ ˆ H ˆ ˆ ˆ t U VU Ht Př výpočtech je třeba užít detty exp{ Aˆ} Bˆexp { Aˆ} B ˆ + (5) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B A A B Aˆ Aˆ Aˆ Bˆ + + +! 3! V ěkterých důležtých případech se vyjádřeí zjedoduší takže
{ } { } { } { } {} Aˆ Aˆ Bˆ exp Aˆ Bˆexp Aˆ Bˆ + Aˆ Bˆ AB ˆ ˆ cbˆ exp AB ˆ ˆexp Aˆ exp cbˆ H ˆ p ˆ m máme Pro volou částc s hamltoáem (5) t pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H p qh q + p (53) m 6 Harmocký osclátor Hamltoá popsující jedorozměrý harmocký osclátor je ˆ mω H( pˆ qˆ) pˆ + qˆ m [ qˆ pˆ] ˆ (6) V ových bezrozměrých proměých dostáváme ˆ ˆ ˆ mω P p Q q m ω (6) Qˆ Pˆ ˆ ˆ H ω ( Pˆ + Qˆ ) Zavedeí ahlačího operátoru â a kreačího operátoru â + vede k vyjádřeí hamltoáu pomocí operátoru počtu osclátorů ˆ + N aˆ aˆ (pojmeováí vyplye z dalšího) ( ˆ ˆ + ) ˆ ( ˆ ˆ) aˆ Q+ P a Q P + ˆ ˆ + ˆ ˆ aa ˆ ˆ N aˆ aˆ H ω N+ (63) Základem pro další úvahy bude chováí vlastích vektorů operátoru ˆN př působeí operátorů â a â + Ozačíme vlastí vektory a vlastí hodoty operátoru počtu osclátorů jako ˆN kde a dále zavedeme vektory u aˆ + a v aˆ Potom ( ˆ) ( ˆ) ˆ + + Nu aˆ aa ˆ ˆ aa ˆ ˆ aˆ u ˆ + + + + Nv aˆ aa ˆ ˆ aˆ aˆ aˆ+ + v Musí tedy být také u a v vlastím vektory operátoru ˆN (65) Zvolíme-l fázový faktor tak že c u a c v jsou reálé dostáváme (66) Pro zdůvoděí ázvů operátorů zbývá ukázat že je celé ezáporé číslo Uvažujme výraz (67) To elze splt jak ež volbou (64)
Vrátíme se teď k operátorům souřadce ˆq a mpulzu ˆp pro které máme + mω + qˆ ( aˆ + aˆ) pˆ ( aˆ aˆ) mω Matcové vyjádřeí těchto operátorů je mq ˆ ( + δm + + δm ) mω mω m pˆ ( + δm + δm ) Matcové vyjádřeí operátorů mω ˆq a ˆp je pak mqˆ ( ( + )( + ) δm + + ( ) δm + ( + ) δm ) m pˆ ( ( + )( + ) δm + ( ) δm + ( + ) δm ) (68) (69) mω Z těchto výrazů dostaeme výraz pro hamltoá ˆ mh ω + δm (6) Pro středí kvadratcké odchylky souřadce a mpulzu pak dostáváme q q q + mω ˆ ˆ ˆ (6) pˆ pˆ pˆ mω + (6) qˆ pˆ + Stav s mmálí hodotou eurčtost se azývá koheretí Pro lbovolé komplexí číslo c je dá leárí kombací stavů s osclátory c + * c b exp ˆ ˆ b c c a c c c a c c! (63) + + * caˆ ac ˆ c caˆ c c caˆ c c Pro operátory souřadc a mpulzu je pak * mω * cqc ˆ ( c+ c) c pc ˆ ( c c ) mω cqˆ c + c+ c cp c c c mω a pro středí kvadratcké odchylky souřadce a mpulzu pak dostáváme mω ( ) ˆ * * (64)
mω qˆ c qˆ c c qˆ c mω pˆ c pˆ c c pˆ c qˆ pˆ (65) 6 Schrödgerova rovce pro osclátor v souřadcové represetac Schrödgerova rovce pro stacoárí stavy v souřadcové represetac je a substtucí dojdeme k rovc d ψ x m mω x + E ψ ( x) dx mω ξ x E ω + (66) (67) d ψ ξ + ( + ξ ) ψ ( ξ) (68) dξ Vlová fukce musí být koečá pro ξ musí tedy být dχ( ξ) d χ ξ ψ ( ξ) exp ξ χ( ξ) ξ + χ ( ξ) (69) dξ dξ přčemž proξ může fukce χ(ξ) růst ejvýše jako moca ξ Řešeím jsou Hermteovy polyomy a ormovaá vlová fukce je ψ H ( ξ) exp{ ξ } { ξ } d exp (6) dξ 4 mω mω mω x exp x H x π (! ) (6) 7 Relace eurčtost Mějme dva hermteovské operátory  a ˆB Jejch komutátor je athermteovský operátor C ˆ kde Ĉ je hermteovský Zavedeme ozačeí pro středí hodotu operátoru Oˆ ψ Oˆ ψ přčemž ψψ a defujeme eurčtost jako Zobecěým relacem eurčtost azýváme erovost Oˆ Oˆ Oˆ (7) 3
ˆ A Bˆ Cˆ (7) K důkazu užjeme Schwarzovy erovost f f g g f g f ( Aˆ Aˆ ) ψ g ( Bˆ Bˆ ) ( A ˆ) ( Bˆ) ψ ˆ ˆ ( A A )( Bˆ Bˆ ) ψ ψ (73) Pro každý ezáporý operátor platí totž f + λ g Oˆ f + λ g λ goˆ f gog ˆ (74) f Oˆ g f Oˆ f gog ˆ Úpravou ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ) ˆ A A B B D+ C (75) kde Ĉ a ˆD jsou hermteovské operátory Dˆ ( Aˆ Aˆ )( Bˆ Bˆ ˆ ˆ ) ( Bˆ Bˆ )( A A ) + ˆ C ˆ ˆ ˆ ˆ ( A A )( Bˆ Bˆ ) ( Bˆ Bˆ )( A A ) (76) dospíváme koečě k výsledku A ˆ Bˆ Dˆ + Cˆ Cˆ 4 4 (77) Rovost (stavy s mmem eurčtost) astává tehdy je-l splěo A ˆ A ˆ ψ λ B ˆ B ˆ ψ (78) a ˆ * D ψ λ + λ (79) Nejzámějším příkladem jsou Hesebergovy relace eurčtost pro operátory souřadce ˆq a k í příslušého mpulzu ˆp qˆ pˆ (7) V souřadcové represetac Aˆ qˆ x ˆ d ˆ B pˆ C Aˆ Bˆ ˆ dx (7) qˆ x pˆ p pˆ δ p Rovce pro stav s mmálí eurčtostí je pak dψ ( x) x x + p dx λ ψ ( x) (7) 4
8 Operátory se zdola ohračeým spektrem Jak jsme jž vděl u harmockého osclátoru můžeme určt spektrum vlastích hodot operátoru Ô až explctě počítáme vlastí vektory Zobecěí tohoto přístupu je ásledující: máme určt spektrum vlastích hodot operátoru Ô Ozačme O ˆ ˆ Oa apšmeô ve tvaru ˆ ˆ+ O T ˆ T + ω kde ω je reálé číslo Je-l ěkolk možostí volby T ˆ volíme tu kde je ω ejvětší Dále defujeme ˆ ˆ ˆ+ O TT + ω a zapíšeme ve tvaru ˆ ˆ+ O T ˆ T + ω opět tak aby př více možostech rozkladu bylo ω ejvětší Zřejmě musí být ω větší ež ebo rovo ω kdyby bylo meší vedla by volba Tˆ ˆ T + k rozkladu s větší hodotou což je spor Obecě pak zavedeme rekuretí vztah Oˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j TjT + j ωj Oj T + + + j Tj + ωj ω j+ ω j (8) Platí ˆ ˆ ( ˆ ˆ+ ) ˆ ˆ ( ˆ+ O ˆ ) ˆ ˆ j+ Tj TjTj + ω j Tj Tj Tj Tj + ω j TjOj (8) OT ˆ ˆ+ Tˆ+ Tˆ ω T ˆ+ Tˆ+ TT ˆ ˆ+ ω Tˆ + + + Oˆ j j j j j j j j j j j j+ Ozačme φ ějaký vlastí vektor operátoru Ô Ô φ ω φ Dále defujme () φ > Tˆ ˆ ˆ ˆ T - T T φ > Postupým úpravam dostaeme ˆ+ ˆ+ ˆ+ φ φ φ T T T Tˆ Tˆ Tˆ φ a tedy ( ˆ ) ( ˆ ) ˆ+ ˆ+ ˆ ˆ ( ˆ T T T T O ) ( ) φ Tˆ Tˆ O ω Tˆ Tˆ φ φ Tˆ Tˆ Tˆ O ω Tˆ Tˆ φ + + + + ( ) φ ω φ ω ω φ φ ( ω ω )( ω ω ) ( ω ω ) (83) (84) Neí-l posloupost { ω j } shora ohračeá musí být vlastí hodota ω operátoru Ô právě rova ěkterému ω j Je-l posloupost { ω j } shora ohračeá hodotou ω max musí být vlastí hodota ω rova ěkterému ω j ebo ležet ve spojté část spektra ω > ω max Pomocí těchto postupů můžeme hledat vlastí vektory Předpokládejme že za φ zvolíme vlastí vektor operátoru Ô s vlastí hodotou ω j Potom podle předchozích vztahů ( j ) ( j ) ( j) ( j) ( j) platí φ φ > ale φ φ Je tedy φ ebol ˆ j T φ a z toho ˆ ˆ ˆ Vektor ( j ) + ( j ) potom ( O ω ) φ T T φ j j j j ˆ ˆ ˆ ( j ) ˆ ( j ) ω T T T φ T φ (85) + + + j j j je tedy vlastím vektorem operátoru Ô s vlastí hodotou ω j j 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( j ) O ω O T T T φ j T T T Oˆ + + + j ˆ+ ˆ+ ˆ + ( j ) φ ω ω j j j j (86) Jako příklad uveďme výpočet vlastích hodot eerge pro sfércky symetrcké stavy vodíkového atomu Hamltoá píšeme jako ˆ p ˆ e r ˆ d H pr + (87) m 4πεr dr r a rozklad je ˆ pˆ bj r Tj + aj + m r ˆ ˆ ˆ bj ˆ b + p r p j r Tj Tj aj + + aj + m r m r b j (88) pˆ bj bj ˆ a jbj m r pr a ˆ + j + + pr aj bj m r m r + + + m r r b j + ˆ ˆ pˆ ab + j j m r TT j j + aj + + bj m r r Porováím dostáváme pro prví hodoty me m e b a ω m 8π ε 4π ε pro další hodoty bj bj + bj+ bj+ m m ab a b a + ω a + ω odkud potom b j j j+ j+ j j j+ j+ j me m e a ω j j j m 8π jε j 4π ε (89) (8) (8) 9 Vlastí hodoty a vlastí fukce operátoru mometu mpulzu Jedotkový axálí tezor kl ε abývá hodotu pro dexy {kl} které vzkly sudým počtem traspozcí z {3} hodotu - pro dexy {kl} které vzkly lchým počtem traspozcí z {3} a hodotu v ostatích případech Platí 6
δr δs δt δr δs εkl εrst δkr δks δkt εkl εrsl δkr δks δ δ δ lr ls lt ε ε δ ε ε 6 kl rkl r kl kl Pozámka: používáme zde Esteovu sumačí symbolku tj sčítáme přes dexy které se v daém čleu vyskytují opakovaě Pomocí tezoruε kl zapíšeme operátor mometu mpulzu a jeho komutačí relace jako lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ εkl qk p l l q k εkl q l l p k εkl pl (9) Sado také ukážeme že lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l j ε jkl l qk pl ε jkl qk pl l ε jkl qk l pl + ε jkl εkm qm pl ε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ jkl qk pl l ε jkl εlm qk pm + ε jkl εkm qm pl qj p q pj ε jk lk (93) Defujeme ˆ l lˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ x + ly + lz l+ lx + ly l lx ly) (94) Pro tyto operátory platí komutačí relace ˆ l lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l l + l z lz l + l + lz l l (95) Operátor čtverce mometu mpulzu můžeme psát jako ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ l l ˆ + l + lz lz l l+ + lz + lz (96) V souřadcové reprezetac (ve sférckých souřadcích) je ˆ l+ exp{ ϕ} + cot ϑ ϑ ϕ ˆ l+ exp{ ϕ} + cot ϑ ϑ ϕ (97) ˆ ˆ lz l s ϑ + ϕ sϑ ϑ ϑ s ϑ ϕ Vlastí hodoty a vlastí fukce operátoru z-ové složky mometu mpulzu l ˆz ajdeme sado využtím metody separace proměých ψ ( r ϑ ϕ) lzψ ( r ϑ ϕ) ψ ( r ϑ ϕ) f ( r ϑ) Φl z ( ϕ) ϕ (98) lz m ± ± Φ m( ϕ) exp { mϕ} π Osa z eí jak preferováa takže průmět mometu mpulzu do lbovolého směru může abývat pouze celočíselých hodot Teto výsledek eí rozporý eboť vlastí fukce jsou pro růzé směry růzé (9) 7
Ozačme teď jako l ejvětší možou hodotu m pro daou vlastí hodotu λ ˆ operátoru l Buď λ m vlastí vektor operátoru l ˆz s vlastí hodotou m a současě vlastí ˆ vektor l s vlastí hodotou λ Potom ll ˆˆ λm lˆ lˆ + λm m+ lˆ λm z ( z ) ( z ) ll ˆˆ λm lˆ lˆ λm m lˆ λm z + + + + + λm+ C lˆ λm λm C lˆ λm + + (99) Pro m l musí tedy vzhledem k tomu že l je ejvyšší možá hodota m být ˆ lˆ ˆ ˆ ˆ + λl l l+ λl ( l lz lz) λl (9) ˆ ˆ l λl λ λl l ˆ z λl l λl lz λl l λl ˆ Dostáváme tedy pro vlastí hodoty operátoru l ˆ hodoty λ l(l+) vlastí hodoty l ezávsí a m ˆ Vlastí vektory operátoru l v souřadcové reprezetac dostaeme ejsaděj přímým řešeím rovce Ylm ( ϑϕ ) π π Y ( ϑ ϕ) Φ ( ϕ) Θ ( ϑ) Y ( ϑ ϕ ) s ϑ dϕ dϑ (9) lm m lm lm d dθlm( ϑ) m ϑ l l ( ϑ) s + + Θ lm sϑ dϑ dϑ s ϑ m Řešeím jsou přdružeé Legadreovy polyomy Pl ( cosϑ ) S uvážeím ormovací podmíky m m! ( ) l l l m Y ϑϕ + + m lm Pl ( cos ) exp { m } 4 π ( l+ m)! ϑ ϕ (9) Jý způsob dává matcová formulace Souřadcová reprezetace vzkla projekcí ˆ ϑϕlm Počítejme matcový elemet l podle (96) Máme Dále pak + + l( l ) µ l lm lˆ l l lˆ + µ µ lm m m µ l ˆ ˆ ˆ ˆ + + lm l lm lm l lm + m m lm l lm lm l lm (93) ( l+ m)( l m+ ) lm lˆ ˆ + lm lm l lm * 8
( ϑ) ˆ dθll l+ ll lcotϑθ ll ( ϑ) dϑ l l ( l + )! s ϑ Θ ll ( ϑ ) ( ) l l! ( l) ( l m) l m ( l+ m) ˆ ˆ ˆl m!! l lm+ lm l lm+ lm l ll lm! (94) Všechy úvahy prováděé pro momet mpulzu jedé částce l platí samozřejmě pro celkový momet soustavy L ˆ ˆ L l (95) Matcové elemety skaláru a vektoru parta stavu a Uvažujme opět uzavřeou soustavu částc bez vějšího pole ebo částc ve vějším cetrálím pol Hamltoá takové úlohy se ezměí př otočeí souřadcové soustavy o lbovolý úhel kolem lbovolé osy (procházející středem) a v důsledku této zotrope ˆ prostoru komutuje s hamltoáem Ĥ operátor mometu mpulzu L Př otočeí se však obecě ezměí skalárí velča f a také její operátor ˆf bude tedy komutovat s operátorem mometu mpulzu ˆ ˆ f L () Matce operátoru ˆf je vzhledem k L a M dagoálí a a M ezávslá Dagoalta plye z ˆL komutatvost ˆf a Nezávslost a M sado ukážeme: ozačme N soubor zbývajících matcových dexů (kvatových čísel) charakterzujících stav soustavy Z komutatvost ˆf a ˆL + a ezávslost matcových elemetů ˆL + a N dostáváme NLM + fˆ NLM+ NLM+ Lˆ + NLM () NLM + Lˆ NLM NLM fˆ + NLM tedy matcové elemety operátoru ˆf ezávsí a M Pro hamltoá to zameá L+ ásobou degeerac eergových hlad ˆ Uvažujme teď o vektorové fyzkálí velčě které přísluší operátor V Komutačí ˆ relace s operátorem mometu mpulzu L budou stejé jako komutačí relace operátoru vektoru souřadc tedy Lˆ ˆ ˆ V k εklv (3) Matcové elemety vektoru mohou být odlšé od uly je pro hodoty L a M lšící se ejvýše o jedotku (výběrová pravdla) Máme apříklad a 9
Lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z V z Lz V V Lz V + + V M Lˆ M M Vˆ M M Vˆ Lˆ M z z z z M M M Vˆ ˆ z M M M Vz M M Lˆ M M Vˆ M M Vˆ Lˆ M + M Vˆ M z + + z + M M M Vˆ ˆ + M M+ M V+ M M Lˆ M M Vˆ M M Vˆ Lˆ M M Vˆ M z z M M M Vˆ M M M Operátor party defujeme jako r P ˆ ψ r ψ Vˆ M (4) (5) Jeho vlastí hodoty jsou P a P - jak sado vdíme z ˆP ψ ψ Parta stavů částce charakterzovaých l a m je (-) l protože př prostorové verz se sfércké souřadce a vlastí fukce Ylm( ϑϕ ) ϑϕlm trasformují takto: m r r r r ϑ π ϑ ϕ ϕ + π Pl ( cosϑ) exp{ mϕ} (6) m l m Pl ( cos( π ϑ) ) exp{ m( ϕ+ π )} ( ) Pl ( cosϑ) exp { mϕ} Z hledska party rozlšujeme skalárí velčy a pravé skaláry a pseudoskaláry a vektorové velčy a polárí vektory a axálí vektory podle toho jestl s operátorem party komutují ebo atkomutují Stavy se sudou partou ozačme g stavy s lchou partou u Výběrová pravdla pro lbovolý operátor Ô dostaeme ze vztahů p Pˆ { g g + u u } Oˆ p p ˆ ˆ g g O p p u u O p (7) p ˆ ˆ OP{ g g + u u } p ˆ ˆ p O g g p p O u u p a relací PO ˆ ˆ Oˆ Pˆ PO ˆ ˆ + Oˆ Pˆ (8) g g u u Sp Rotace a komutačí relace pro operátor mometu mpulzu Budeme s všímat pouze ftezmálích rotací o úhel φ Pro rotace kolem os kartézské soustavy souřadc v trojrozměrém eukledovském prostoru máme
( φ ) φ ( φ ) Rx( φ) φ y R φ ( φ φ ) φ φ φ ( φ ) () φ ( φ ) Rz ( φ) φ Tyto rotace můžeme zapsat pomocí operátoru mometu mpulsu jako R ˆ ˆ ˆ φ J φ J φ () kde ˆ ˆ ˆ ˆ Jx Jy Jz (3) Koečé rotace pak apíšeme jako N ˆ φ φ { φ} Rˆ lm ˆ exp ˆ J J N N (4) Sp Komutačí relace pro složky mometu mpulzu můžeme psát ve vektorové formě ˆ ˆ ˆ l l l (5) Částce může mít kromě tohoto orbtálího mometu ještě vtří momet mpulzu Pro jeho operátor platí ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ s s s s r s p s l (6) Prví vztah říká že sp má charakter mometu mpulsu další vztahy vyjadřují to že jde o vtří momet mpulzu který jak esouvsí se souřadcí a mpulzem částce Defujeme dále operátor celkového mometu mpulsu ˆ ˆ ˆ j l s ˆ + j ˆ j ˆ j (7) Obdobě jako pro orbtálí momet dostaeme pro sp
ˆ sˆ z ssz sz ssz s ssz s( s+ ) ssz (8) sz s s+ s s Rozdíl je ovšem v tom že projekce orbtálího mometu m musela abývat celočíselých hodot U spu toto eplatí Protože však projekce spu tvoří posloupost čísel lšících se o jedčku musí být rozdíl s mez maxmálí a mmálí hodotou ula ebo celé kladé číslo Jsou tedy možé hodoty spu částc s / Například sp / mají leptoy (elektro a postro µ a τ leptoy a eutra) a kvarky sp fotoy W a Z bozoy a gluoy Operátor spu může být reprezetová matcem Pro s je možý pouze jedý spový stav s z reprezetace je trválí tvoří j ulový vektor sˆ s ˆ ˆ ˆ x sy s z [ ] (9) Pro s / jsou možé pouze dva spové stavy s z ± / a reprezetace je realzováa Paulho matcem ˆ s s ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x sy s z sx σ x sy σ y s z σ z () σ x σ y σ z Platí 3 σ ˆ ˆ ˆ x σ y σ z sx + sy + sz () 4 Také pro s kdy jsou možé tř spové stavy s z ± máme jedoduchou matcovou reprezetac sˆ s ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x sy s z sx βx sy βy sz βz β x β y β z () Pro β matce platí βx βy βz (3) sˆ ˆ ˆ x + sy + sz Částce se spem tj vtřím mometem mpulzu má také vtří magetcký momet µ Jeho operátor ˆµ je úměrý operátoru spu ŝ ˆ µ µ sˆ (4) s
kde µ je pro částc charakterstcká kostata Pro elektro je µ µ B e ( m) Hamltoá elektrou v elektromagetckém pol (v souřadcové represetac) tedy bude ˆ ( ˆ µ B H p ea( r) ) sˆ B( r) + eφ ( r) (5) m s 3 Sp a rotace Pro Paulho matce platí σ j jk k { j} j (6) Dále pro matc a3 a a σ a σa a+ a a3 (7) platí σ a σ b a b + σ a b (8) protože σ j ajσk bk ({ σ j σk} + σ j σ k ) ( δ jk ε jklσl) ajbk + (9) Specelě pro jedotkový vektor platí k k+ 3 ( σ ) ( σ ) + 3 () Máme pak σ φ 3 φ exp φ cos s + + 3 () Teto výraz umožňuje vyjádřt trasformac sporu př rotac souřadé soustavy Jak bylo ukázáo Paulho matce děleé dvěma splňují komutačí relace stejé jako operátor mometu mpulsu který je geerátorem ftezmálích rotací Ozačíme-l φ a θ polárí a azmutálí úhly charakterzující jedotkový vektor máme pro spor s průmětem / do jedotkového vektoru θ φ cos exp φ φ θ θ cos + σ3s cos + σs θ φ s exp () Vzhledem k eobvyklému výskytu polovčích úhlů ukážeme působeí rotací a spory ještě jým způsobem Operátory spu zapíšeme yí jako sˆ ˆ x + + + sy + + sˆ z + + (3) 3
Trasformace sporu př rotac kolem osy z o úhel φ Rˆ { ˆ } ˆ { ˆ z φ exp szφ σ Rz φ σ exp szφ} σ R φ φ (4) + exp{ sˆ } exp exp{ ˆ zφ + szφ} exp R + R Pro operátory spu tak dostáváme ˆ φ φ φ φ sxr exp exp exp exp + + + cosφsˆ s φsˆ x y ˆ φ φ φ φ syr exp exp exp exp + + sφsˆ + cos φsˆ x y φ φ φ φ sˆ zr exp + + exp exp exp sˆ z (5) Prcp erozlštelost částc Pro kvatovou teor soustav tvořeých více stejým částcem je základím tvrzeím prcp erozlštelost Uvažujme soustavu tvořeou dvěma částcem Podle prcpu erozlštelost musí být stavy které se lší pouze pořadím částc detcké Jejch stavové vektory se tedy mohou lšt pouze fází exp{ α } Pro vlovou fukc dvoučástcové soustavy musí tedy platt { } { } ξ ξ exp α ξ ξ exp α ξ ξ ξ ξ ± ξ ξ () Částce s exp{ α } popsovaé symetrckým vlovým fukcem azýváme bosoy částce s exp{ α } popsovaé atsymetrckým vlovým fukcem azýváme fermoy V relatvstcké kvatové teor lze ukázat že částce s poločíselým spem jsou fermoy částce s celočíselým spem bosoy Pro soustavu N bosoů máme ξ ξ ξ p p p N N! N! N! N N ξ p ξ p ξ p N N N! Sumace se provádí přes permutace { } možy { } stavů p k Pro dvě částce máme N () N N k je počet stejých 4
ξ ξ p p ξ p ξ p δ + p p ( ξ p ξ p + ξ p ξ p )( δ p p) Pro soustavu N fermoů pak ξ ξ ξ p p p N N! ξ p ξ p ξ p ξ p ξ p ξ p N ξ p ξ p ξ p N N N N N tj Slaterův determat Pro dvě částce ξ ξ p p ( ξ p ξ p ξ p ξ p ) (3) (4) (5) 3 Matce hustoty Popsujeme-l soustavu A která eí zolovaá ale je část ějaké větší uzavřeé soustavy A+B emůžeme staovt její stavový vektor (vlovou fukc) eboť obecě pro soustavu samotou eexstuje Pro větší uzavřeou soustavu A+B však stavový vektor Ψ exstuje a můžeme jej rozložt podle úplého souboru stavových vektorů zolovaé podsoustavy A φ (3) Ψ * Ck φ θk Ck Ck k k kde θ k jsou stavové vektory odpovídající zolovaému zbytku soustavy B Operátor Ô který odpovídá fyzkálí velčě určeé pouze vlastostm podsoustavy můžeme zapsat ve tvaru Oˆ ˆ A+ B OA ˆ B O jφ θk θk φj (3) Pro středí hodotu operátoru Ô ve stavu ψ máme ˆ * ˆ * Ψ O Ψ C C θ φ O φ θ C C φ Oˆ φ k jl jk k jl k j l k jk A j jk ˆ * φ OA φj φj φj Ck Cjk φ φ j k φ Oˆ φ φ ˆ ρ φ φ Oˆ ˆ ρ φ Tr Oˆ ˆ ρ j * ˆ Ck Cjk j jk { } A j j A A ρ φ φ (33) 5
Z defce je zřejmé že ˆρ je hermteovský operátor Lze jej tedy psát pomocí vlastích vektorů a reálých vlastích hodot jako ˆ ρ w ρ ρ (34) Volíme-l za operátor Ô postupě jedotkový operátor a operátor ρ ρ dostáváme Tr Oˆ ˆ ρ ΨOˆ Ψ porováím výrazů { } { } { ˆ} Oˆ ˆ Tr ρ w Ψ Ψ Oˆ ρ ρ Tr j j ρ ρ ˆ ρ w Ψ ρ ρ Ψ ρ Ψ j j j j j j (35) Můžeme proto terpretovat w jako pravděpodobost alezeí soustavy ve stavu Pro matcové elemety máme φ ˆ ρ φ w φ ρ ρ φ (36) j k k k j k Je-l pro ěkteré w musí být pro k w k a podsoustavu lze popsat vlovou fukcí mluvíme o čstém stavu Sado se ukáže že pro čstý stav platí rovost ˆ ρ ˆ ρ eboť ˆ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ˆ ρ (37) Středí hodota fyzkálí velčy které odpovídá operátor ˆF je vyjádřea buď jako Fˆ Fˆ ˆ ρ f Fˆ f f ˆ ρ f f f ˆ ρ f ebo { } (38) Tr j j j { ˆ} (39) Fˆ Tr Fˆ ρ ρ Fˆ ρ ρ ˆ ρ ρ ρ ρ Fˆ ρ j j j Pro odvozeí časové závslost operátoru matce hustoty vyjdeme z rozkladu * ˆ ρ C ˆ k Cjk φj φ HCjk φj Cjk φj (3) jk j t j a dostaeme ˆ H ˆ ˆ t ρ ρ (3) Rovce přpomíá rovc pro časový vývoj operátoru v Hesebergově represetac až a zaméko ovšem eboť jsme ve Schrödgerově represetac! ρ 4 Poruchová teore 4 Poruchy a čase závslé Vyjdeme od terakčí reprezetace Předpokládáme že hamltoá je slože ze dvou částí Hˆ Hˆ ˆ + V : Ĥ je a čase ezávslá základí část (eporušeý hamltoá) V ˆ je terakčí část která může explctě závset a čase (porucha) Platí 6
Odtud dále ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ht exp H t V exp H t Ψ t exp H t Ψ Ψ t () t Hˆ t Ψt () t t () t S( t ) Ψ t ˆ Ψt Sˆ( t ) Hˆ t ( t) Sˆ( t ) Sˆ ˆ t t t ˆ ˆ ˆ S t H ( t ) dt Hˆ ( t ) Hˆ ( t ) dt dt + t t t t (4) (4) Jako báz zvolíme vlastí vektory hamltoáu Ĥ Hˆ Φ E Φ Ψ t() t c() t Φ (43) Vlovou fukc ve Schrödgerově represetac zapíšeme dvěma způsoby ˆ Ψ exp Ht Ψ t() t c() t exp Et Φ exp H ˆ Ψ ˆ t S ( t ) Ψ t (44) c ( exp ) ˆ m Et Φ Φ S( t) Φm m a promítutím do Φk dostáváme pro ck () t (vektor Ψ t () t eí ormová a jedotku!) c () ˆ k t c Φk S( t ) Φ (45) S ozačeím V () t V ˆ () t Φ Φ máme pak k k t c () t c δ V ( t ) exp ( E E ) t dt k k k k h t t V ( t ) exp ( E E ) t V ( t ) exp ( E E ) t dt dt + km k m m m Přímým dosazeím za Ψ () t z (43) do (4) a promítutím do Φ dostáváme t d c () () ˆ m t Φ m cm t Ht () t Φm m dt m d c ( t) Vm () t exp ( E Em) t cm ( t) dt m m (46) (47) 7
4 Fermho zlaté pravdlo Předpokládejme že v čase t je soustava v určtém stavu (počátečím) Φ takže pro koefcety ck δk Počítejme pravděpodobost přechodu do (koečého) stavu Φ f růzého od Φ tedy koefcet cf []() t Přdaý dex zvýrazňuje že počítáme přechod z tohoto počátečího stavu S ozačeím ω f E f E pak máme v prvím přblížeí t c []() t Vf( t) exp { ω ft} dt f (48) 4 Harmocký průběh časové závslost poruchy Pro harmockou poruchu ˆ ˆexp ˆ + V t F ωt + F exp ωt dostáváme () { } { } t c []() t Vf( t) exp{ ω ft} dt f exp{ ( ωf ω) t} exp{ ( ω ω ) } * f t Ff Ff ω ω ω ω f 8 f (49) Zvláští pozorost zasluhuje případ kdy ω ωf ebo ω ωf Počítejme pravděpodobost přechodu za jedotku času defovaou vztahem Ze (49) dostáváme S využtím vztahu dostáváme w [] f ( f ) ( f ) * * { ω } + { ω } c f [] lm (4) t t ( f ) ( f ) s ω ω t s ω + ω t cf []() t F f + F f + ω ω ω + ω s ω ft s ωt FfFf exp t FfFf exp t δ ( x) ( xt) x t ( ω f ) ( ω ) (4) s lm (4) t π ( ) w [] Ff δ ( ω f ω f ) + Ff δ ωf+ ω + π * * FfFf + FfF fδ ( ωf ) (43)
To zameá π w F f E E π w F f E E [] f δ ( f + ω) [] f δ ( f + ω) pro absorbc ( Ef E ω exp ω t ebo ems Ef E ω exp ω t + { } { } fotou a (44) * w [] π Ff+ F f f δ ( Ef E) (45) pro stacoárí poruchu ( ω ) Př přechodech do fálího stavu který leží ve spojtém spektru s hustotou stavů dν f ebo pro dskretí spektrum s velm blízkým eergem počítáme w [] [] [] f w dw (46) f { E Ef} kde hustota pravděpodobost přechodu za jedotku času je dw f π dw Ff δ ( Ef E ω) dν f f π Ff δ ( Ef E ω) ρ( Ef ) def (47) π dw F f f δ ( Ef E+ ω) dν f π Ff δ ( Ef E+ ω) ρ( Ef) def Detalí rovováha: vzhledem k tomu že platí * * * * * + + + f f f f f f f f F F F F F F F F (48) ρ w [] f ( E f ) w[ f ] (49) ρ ( E ) 43 Poruchy a čase ezávslé Předpokládáme že hamltoá je a čase explctě ezávslý Je slože ze dvou částí H ˆ H ˆ ˆ + σv Ĥ je základí část (eporušeý hamltoá) σvˆ je terakčí část (porucha) σ malý parametr Řešeí rovce pro vlastí hodoty a vlastí vektory hamltoáu Ĥ hledáme pomocí rozkladu podle vlastích vektorů hamltoáu Ĥ Hˆ Ψ E Ψ Hˆ Ψ E Ψ (4) k ( k) k ( k) Ψ σ c Ψ E σ E m k m k Porováím čleů u stejé mocy σ k dostaeme 9
Čley pro k dávají Počítáme opravu ke stavu k l ( k l) ( l) ( k) ( k ) E c E c V c m m m mp p p ˆ ( ) V Ψ V Ψ c mp m p p ( E E ) m cm () E c + E E c V c m m m mp p p () () E c + E c + E E c V c m m m m mp p p Ψ ( l ) Stavový vektor budeme prozatím ormovat podmíkou (4) (4) Ψ Ψ c δ c (43) m m Řešeím soustavy rovc pro m máme E E c E () () E V c V V a řešeím soustavy rovc pro m pak c m p p c p E Ep Vm cm cm E Em V V V V p E E E E E E mp p m p m m (44) (45) Patří-l stav s-krát degeerovaé eergové hladě ( E E E s ) je třeba vhodě vybrat příslušé vlové fukce tj zvolt amísto původích ové s ( ) / Ψ Ψ d j Ψ (46) j j tak aby byl operátor V ˆ pro ové vlové fukce patřící degeerovaé hladě dagoálí Koefcety d j získáme řešeím soustavy rovc () V E V V () E d V d s j k kj k Pro ejžší opravé čley dostáváme s () V V E V V V V E s s s s s () (47) 3
V pvp E E E V E E E V m cm δ m c c m j E E c () j Vj pv V V E E p k p p j p j k p m (48) 44 Případ velm blízkých hlad Pro určtost uvažujme o dvou blízkých hladách odpovídajících stavům m a Z poruchového čleu solujeme příslušé matcové elemety tedy Vˆ Vˆ + Vˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H H + V H H + V (49) Vˆ V m m + V + V m + V m Platí tedy Potom bude mm m m mvˆ m Vˆ mvˆ Vˆ m ˆ H k m E k m Vˆ k m ˆ () () + + ˆ () () + + k H m E m V m E E V m m m m mm H E V E E V m Rovce pro vlastí hodoty Hˆ α m + β ε α m + β () Em ε V m α Em ε Vm () () Vm E β ε Vm E ε vede k výsledému rozštěpeí hlad () () () () E m + E Em E ε ± V () ± + m (43) (43) (43) (433) 45 Potecálí eerge jako porucha Jako eporušeou úlohu uvažujeme pohyb volé částce popsaý Helmholtzovou rovcí p ( me) Ψ r + k Ψ r k (434) 3
Pohyb v potecálovém pol které považujeme za poruchu je popsá Schrödgerovou rovcí m Ψ ( r) + k Ψ ( r) U ( r) Ψ( r) (435) Řešeí této rovce můžeme apsat ve tvaru ( ) m s Ψ r Ψ ( r) G( r r) U( r) Ψ( r) d r (436) kde G je Greeova fukce Helmholtzovy rovce ( s ) G r r + k G r r δ ( r r) exp{ k r r} G( r r ) s 3 4π r r (437) () G( r r) H { k r r } s 4 G( r r ) exp { k r r} k s Schrödgerovu rovc pak řešíme teracem ( + ) ( ) m ( ) s Ψ r Ψ r G r r U r Ψ ( r) d r (438) Zůstaeme-l pouze u základí terace ( ) azývá se toto přblžé řešeí pohybu v potecálovém pol Borova aproxmace 5 Teore rozptylu 5 Dferecálí účý průřez Př studu rozptylu předpokládáme Ψ () ve tvaru rové vly a zajímáme se o vlovou fukc daleko od oblast působeí potecálu tedy pro Greeovu fukc klademe exp{ kr} G( r r) exp { kr f } s 3 4π r Vlová fukce je ( + ) exp{ kr} G( r r) exp { kr f } s 4 π kr { kr} exp G( r r) exp { kr f } s k (5) 3
π k Ψ ( r) exp { kr f} + f( f ) exp { kr } k π r m ( s+ ) π s f ( f ) exp exp { kr f} U( r) ( r) d r π 4 Ψ (5) m ( s+ ) π s fb( f ) exp exp { kr ( f ) f} U( r) d r π 4 V dalším se omezíme a trojrozměrý případ Pravděpodobost toho že rozptýleá částce projde za jedotku času plošým elemetem ds r dω poděleou hustotou toku částc v dopadajícím svazku azveme dferecálí účý průřez dσ dσ f dω (53) 5 Optcký teorém ( s ) f f Vytvořme leárí kombac (klubko) dopadajících rových vl Metoda asymptotckého rozvoje vede pak k přblžému vyjádřeí člee s rychle osclujícím tegradem exp{ kr} Ψ ( r) F exp { kr f} dω+ F f ( f ) d r Ω exp{ kr} exp{ kr} π F( f ) π F( f ) + kr kr (54) exp{ kr} F f ( f ) dω r Výraz přepíšeme a exp{ kr} exp{ kr} ˆ Ψ r F f S F( f ) kr kr ˆ ˆ ˆ S ˆ + k f f F( f ) F f ( f ) dω 4π (55) Poěvadž tok ve sbíhavé vlě musí být rove toku v rozbíhavé vlě dostáváme pro operátory Ŝ a ˆf podmíky SS ˆˆ+ ˆ f ˆ f ˆ+ k f ˆ f ˆ+ (56) Rozepsáo v matcovém zápsu * k * f ( f ) f ( f ) f ( ) f ( f ) dω π (57) Ve vztahu (57) jsme použl vyjádřeí * ˆ+ ˆ a f b b f a dω 4π ˆ (58) Pro magárí část ampltudy rozptylu ve směru dopadajícího svazku dostáváme optcký teorém 33
k I { f ( )} ( ) σ σ f dω 4π (59) Jedoduché odvozeí optckého teorému pochází od va Hulsta V dostatečé vzdáleost za rozptylovým cetrem je exp{ kr} ψ ( r) exp { k z} + f ( θ) (5) r Budeme počítat tok ploškou poloměru R kdy jsou splěy erovost R kr π (5) z z což zameá že úhlová velkost plošky (vděo z rozptylového cetra) je malá ale ploška obsahuje moho Feselových zó Potom (polárí souřadce) exp{ kρ z} ψ ( ρ z) + R f (5) z a tok procházející ploškou je Plocha je zmešea o účý průřez rozptylu R 4π d R I{ f } (53) k π ψ ρ ρ π 53 Další vlastost ampltudy rozptylu Vzhledem k symetr Schrödgerovy rovce vůč časové verz musí být řešeím také komplexě sdružeá fukce * exp{ kr} * exp{ kr} ˆ* * Ψ r F f S F ( f ) kr kr (54) exp{ kr} exp{ kr} ˆ ˆT ˆ Φ f PS PΦ( f ) kr kr kde ˆ * * Φ S F F PF ˆ (55) Porováím (55) a (54) dostáváme relac ˆ ˆT ˆ ˆ ˆ ˆT ˆ ˆ PS P S P f P f f f ( f ) ( f ) (56) 6 Operátor Greeovy fukce Operátor Greeovy fukce defujeme jako versí operátor k operátoru vlastí hodoty hamltoáu lm ( E Hˆ + ε ) Gˆ ˆ Gˆ lm (6) ε ε E Hˆ + ε 34
Často budeme potřebovat větu: Buď f ( z) fukce aalytcká pro I{ z} s vyjímkou koečého počtu pólů f ( z) pro z rovoměrě Potom pro hlaví hodotu evlastího tegrálu dostáváme f ( x) dx π R + π R (6) kde R jsou resdua v pólech v horí polorově R resdua v pólech a reálé ose (apř Whttaker a Watso A Course of Moder Aalyss) Důsledkem je že pro fukc aalytckou v horí polorově (včetě reálé osy) ebo dolí polorově (včetě reálé osy) můžeme psát (tegrál vlevo můžeme doplěím převést a sumu resduí fukce f v horí ebo dolí polorově druhý výraz vpravo je záporě vzaté resduum (pro fukc aalytckou v horí polorově) ebo resduum (pro fukc aalytckou v dolí polorově) v pólu a reálé ose f ( x) f ( x) lm dx dx π f ( x ) ε ± x x± ε x x (63) lm ± πδ( x x ) ε x x± ε x x Specelě pro expoecálí fukc máme exp{ xt} dx π exp { x t} t> x x exp{ xt} dx π exp { x t} t< x x (64) Pro hamltoá složeý ze dvou částí Hˆ Hˆ ˆ + V Ĥ je základí část (eporušeý hamltoá) V ˆ je terakčí část (porucha) můžeme hledat řešeí pomocí vztahů lm + lm Vˆ lm ε E Hˆ + ε ε E Hˆ ˆ ˆ + ε ε E H V + ε ˆ ˆ lm lm ˆ + V ˆ ˆ ε E H+ ε ε E H V + ε lm lm ( E Hˆ ˆ V + ε ) + Vˆ lm ε E Hˆ ˆ ˆ + ε ε ε E H V + ε (65) lm ε E Hˆ ˆ V + ε a tedy G ˆ G ˆ + GVG ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ G G ˆ ˆ ˆ + GVG + GVGVG + (66) Pro vlovou fukc dostáváme 35
Ψ Ψ ˆ GV ˆ ˆ GVGV ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ GV ˆ ˆ + + + Ψ ˆ + ( Gˆ ˆ ˆ ˆ + GVG + ) Vˆ Ψ ˆ+ GV ˆ ˆ Ψ Zapíšeme-l Hamltoův operátor Ĥ pomocí vlastích vektorů Ĥ pomocí vlastích vektorů ˆ Φ m (67) Ψ m a Hamltoův operátor ˆ m m m m m m (68) H E Ψ Ψ H E Φ Φ m můžeme pro operátory Greeovy fukce psát ˆ Ψm Ψm ˆ Φm Φm G lm G lm ε m E Em + ε ε m E Em + ε (69) Pro stopu operátoru Greeovy fukce máme Tr{ Gˆ } lm ε m E Em + ε (6) Greeova fukce v souřadcové represetac je * ˆ Ψm( r ) Ψm( r) r G r G( r r E) lm ε m E Em + ε (6) s G( r r E) d r lm ε E E + ε Pro kvaskotuálí eergové spektrum přejdeme od sumace k tegrac f E f x ρ x dx m m m ( m ) (6) m takže můžeme psát s ρ ( x) G( r r E) d r lm dx ε E x+ ε (63) s ρ ( E) I{ G( r r E) d r} π Pro volé částce platí k Ω s E Ψ ( r) exp { k r} ρ ( E) de d k k k k k s m Ω ( π ) (64) m exp{ k ( r r )} s G( r r E) lm d k s ε ( π ) me k + ε Greeova fukce pro časově závslou Schrödgerovu rovc (přtom Ĥ explctě ezávsí a čase) je 36
* de Ψm( r ) Ψm( r) G( r t r t ) exp E( t t ) lm π ε m E Em + ε (65) * Ψm( r ) Ψm( r) exp Em( t t ) t t G( r t r t ) m t< t Pro volé částce je s m m( r r ) exp t t G( r t r t ) π ( t t ) ( t t ) (66) t< t 7 Vodíkový atom v elektrckém a magetckém pol 7 Hamltoá Lagrageova fukce elektrou a protou ve vějším homogeím elektrckém a magetckém pol je e L( ve vp re rp) + 4πε re rp (7) me e mp e ve + ( B re) ve + ee re + vp ( B rp) vp ee rp Zavedeme ové souřadce redukovaou a celkovou hmotost mr e e+ mp rp mm e p r re rp R m me+ mp me+ mp (7) mv e e+ mv p p v ve vp V M me+ mp me+ mp f r R B R r Hamltoova a přdáme k Lagrageově fukc totálí dervac fukce fukce je yí e mp m e H( p P r R) p B r + m e mp m + e e ( P eb r) ee r M 4πε r Po úpravách a zavedeí spu dostáváme Hamltoův operátor (73) 37
kde e ( m p ) ˆ ˆ m e ˆ ˆ e H p µ B B l + s + ( B r) + m m p 8m ˆ m p ˆ ˆ e P µ B ( r P) + gps S ee r M M 4 πε r (74) µ je jaderý mageto a g p s je spový gyromagetcký faktor protou Zaedbáí čleů obsahujících ve jmeovatel hmotost protou vede k výsledému tvaru Hamltoova operátoru ˆ ˆ e ˆ ˆ e H p µ B B ( l + s) + ( B r) ee r (75) m 4 πε r 8m 7 Schrödgerova rovce pro atom vodíku V souřadcové represetac dostáváme Schrödgerovu rovc ψ ( r ϑ ϕ) R( r) Y lm ( ϑ ϕ) d R dr l l+ m e + R + E R + dr r dr r 4πεr ve sférckých souřadcích ebo ψ ( ξ η ϕ) f( ξ) f( η) exp { mϕ} π d f d f me m me β + + + f dξ ξ dξ 4ξ 4π ε ξ d f d f me m me β + + + f dη η dη 4η 4π ε η β + β v parabolckých souřadcích x ξηcos ϕ y ξηs ϕ z ( ξ η) y ξ x + y + z + z η x + y + z z ϕ arctg x Zavedeím bezrozměrých velč r ξ η E ρ ρ ρ ε a a a E B B B B 4πε e m B e m 4πε ab E ( ε ) a substtucem (m v (79) je redukovaá hmotost m v (7) je kvatové číslo!) (76) (77) (78) (79) 38
l m R( r) ρ exp ρ w( ρ) f( ξ) ρ exp ρ w( ρ) (7) m f( η) ρ exp ρ w( ρ) dojdeme ke kaockému tvaru dferecálích rovc Pro řešeí ve sférckých souřadcích dostáváme ρw + l + ρ w + l w (7) a pro řešeí v parabolckých souřadcích je m + ρw + ( m + ρ) w + w + β m + ρ w + ( m + ρ) w + w + β (7) + + m + ˆ Vlastí fukce operátorů ˆ ˆ l s l ˆ ˆ z sz a vlastí fukce operátorů ˆ j l sˆ jz jsou ( ϑ ϕ) ( ϑ ϕ) ( ϑϕ ) Y ψ ( ϑ ϕ) ψ ( ϑ ϕ) lm lm lm Ylm ( ϑϕ ) ψ ψ j l+ l m j l + l mj + Y lm j + j l l m j l + l+ mj + Y lm j + ( ϑϕ ) l+ mj + Y lm j ( ϑϕ ) ( ϑϕ ) l mj + Y lm j ( ϑϕ ) (73) 73 Degeerovaá hypergeometrcká fukce Řešeím rovce zu ( γ z) u αu je degeerovaá hypergeometrcká fukce F ( α γ z) tegrálího vyjádřeí ( α γ ) ( α γ ) + (74) ( α ) ( γ )! Γ( γ ) ( α) ( γ α) F z z Můžeme j zapsat pomocí řady ebo α exp γ α { } F z t t zt dt Γ Γ ( α ) ( α ) (75) V těchto výrazech užíváme stadardího začeí Γ + ( α) α( α+ ) ( α+ ) Γ (76) 39
a fukcí Γ( α) Γ( γ α) Γ( γ ) Řešeí w F( l l ρ ) z ( z) { t} t dt { z} Γ exp R > α γ α t ( t) dt (77) + + + pro radálí souřadc ve sférckých souřadcích a ( + ) a w F( m ρ) w F m ρ + pro parabolcké souřadce jsou polyomy pro l a celá ezáporá čísla Př pevém a l probíhá m l+ hodot od -l do l l se měí od do - máme tedy -ásobou degeerac příslušé eergové hlady Týž výsledek musí dávat vyjádřeí v parabolckých souřadcích kde př pevém a m abývá m hodot od do m přtom m se měí od do - 74 Nerelatvstcká aproxmace Dracovy rovce Dracova rovce pro elektro ve vějším pol má tvar mc e ( r) u cσ ˆ Φ p ea( r) v t (78) mc e ( r) v cσ + Φ pˆ ea( r) u t kde u a v jsou spory a potecály určují teztu a dukc pole E Φ r B A r (79) Budeme uvažovat o stacoárích stavech elektroů dosadíme tedy u exp ( T + mc ) t u v exp ( T + mc ) t v (7) kde T je ketcká eerge Dracova rovce má yí tvar T e ( r) u cσ ˆ Φ p ea( r) v T e ( r) mc v cσ Φ + pˆ (7) ea( r) u V prvím přblížeí předpokládáme T eφ( r ) mc rovce za spor v výraz cv pˆ eaˆ u m σ a s využtím úpravy σ ( pˆ ea) ( ˆ p ea) σ ( ˆ + p ea) ( pˆ ea) ( pˆ ea) eσ pˆ Aˆ + A pˆ ( pˆ ea) eσ B takže můžeme dosadt do prví (7) (73) 4
dostáváme koečě erelatvstckou Paulho rovc ( ˆ ) e p ea e B u Tu m m σ + Φ (74) Pro hustotu pravděpodobost ρ a hustotu toku j dostáváme v tomto přblížeí + + + + + ρ u u + v v u u j c( u σ v + v σ u) e + + + + (75) (( u ) u u u) Au u + ( u σ u) m m m Ve druhém přblížeí dosadíme do prví rovce ze druhé za spor v T eφ cv σ ( pˆ eaˆ ) u (76) m mc Důležté je také zavedeí ového Schrödgerova sporu pro který by v této aproxmac + platlo ρ us us tedy ( ˆ ) p ea eσ B us + u (77) 8m c S využtím úpravy ( E σ ) ( p ˆ ea ) E σ ( p ˆ ea ) + σ E ( p ˆ ea ) (78) a zaedbáím čleů vyššího řádu máme pak tvar koečý Schrödgerovy rovce ve druhé aproxmac pro spor u S ( ) kde a Hˆ + Hˆ u Tu (79) S S Hˆ ( ˆ ) p ea e σ B + eφ (73) m Hˆ 3 ( ˆ e e p ea) e σ B E σ (73) E ( pˆ ea) 8m c 8m c 4m c Ve sfércky symetrckém elektrostatckém pol máme rdφ E B r dr takže pro hamltoá Ĥ dostáváme ˆ ˆ4 du ˆ H ˆ p + U + l s 3 8m c 8m c m c r dr kde ˆ ˆ U eφ s σ l r pˆ (73) (733) (734) 4
75 Jemá struktura ve vodíkovém atomu Potecál je v tomto případě coulombovský potecál protou tedy e e e U E r U δ 3 ( r) 4π εr 4π εr ε (735) Hamltoá je pak 3 ˆ 4 r ab ˆ H ˆ α EB ab + π δ + l s 4 ab r (736) kde e α EB α mc ab 4π ε c α mc (737) Velča α se azývá kostata jemé struktury Středí hodota (prví oprava k eerg v poruchové teor) hamltoáu Ĥ je ˆ E B 3 E j H j α 4 (738) j + 4 Degeerace eergových hlad je částečě sejmuta pořadí hlad je s / s / p / p 3/ 3s / 3p / 3p 3/ 3d 3/ 3d 5/ atd 76 Aomálí Zeemaův jev Atom je v homogeím magetckém pol B Bez V báz tvořeé vektory ml mj ms ml mj + ms (739) má operátor sp - orbtálí terakce ˆ l s ˆ ( l ˆ ˆ )( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ )( ˆ ˆ ) ˆ ˆ x+ ly sx sy + lx ly sx + sy + lz sz (74) matcové vyjádřeí mj l+ mj l+ mj mj + (74) Předpokládejme l Př započteí čleu B( l s ) µ B z + z z hamltoáu Ĥ a čleu se sp - orbtálí terakcí z hamltoáu Ĥ do terakčího hamltoáu máme v matcové reprezetac 4
ξ mj + η mj + ξ l+ mj (74) ξ l+ mj ξ mj + + η m j kde α EB e B ξ η (743) 3 m l l+ ( l+ ) Sekulárí rovce dává pro opravy eerge ξ δ E mjη ± ξ l+ + mjξη + η (744) 4 V případě slabého magetckého pole dostáváme rozštěpeí všech hlad aomálí Zeemaův jev (přčetl jsme zbývající příspěvky z Ĥ ) α E B 3 l+ 4 + mj µ B B j l + 4 j+ l+ δ E (745) α E B 3 l m 4 j µ B B j l + 4 j l + + V případě slějšího magetckého pole se degeerace částečě opět objevuje (ormálí Zeemaův jev) α E B 3 ml m s + µ 4 B B j 4 m + l + l l ( l ) + + δ E (746) α E B 3 ml m s + µ 4 B B mj 4 j + l l+ ( l+ ) kde prví případ platí pro m m m a v druhém je m m + m l j s l j s 77 Starkův jev Umístěí vodíkového atomu do homogeího elektrckého pole vede k částečámu sejmutí degeerace Ukážeme to a příkladu hlady s Potřebé vlové fukce jsou 43
r χ ψ exp π a ab 3 B 3 r r χ ψ cosθ exp 3 8π ab ab ab r r χ3 ψ sθ exp{ φ} exp 8 π a ab ab 3 B r r χ4 ψ sθ exp{ φ} exp 8 π a ab ab 3 B Pro poruchový čle V ˆ eercosθ dostáváme pomocí (747) matcové vyjádřeí π π * 3 k k (747) V ee χ r θ φ χ r θ φ sθ cos θ r dφdθ dr (748) což po jedoduché tegrac dává V V 3 6 Vk V eeab 43 (749) Po dagoalzac dostáváme rozštěpeí původí hlady a tř s dvojásobou degeerací u eposuuté hlady E χ χ 3 4 E V ( χ3 χ4) (75) E V ( χ3 + χ4) 8 Varačí metody 8 Varačí prcp Rovce pro vlastí hodoty hamltoáu (Schrödgerova rovce) může být odvozea z varačího prcpu δ J J ψ Hˆ ψ E ψ ψ (8) Strktě vzato varace bra vektoru a jemu příslušého ket vektoru ejsou ezávslé ale ve varačím počtu s m budeme formálě počítat jako s ezávslým velčam eboť platí ( δ ψ ) α + β ( δ ψ ) α β (8) 44
8 Hartreeho - Fockova metoda self-kozstetího pole Pro výpočet mohaelektroových systémů je vhodá metoda self-kozstetího pole Předpokládáme že spově ezávslý Hamltoův operátor soustavy s N elektroy je tvoře částí vyjadřující terakc elektrou s vějším polem a čleem popsujícím vzájemou terakc elektroů soustavy N N Hˆ Hˆ + Hˆ Hˆ ˆ ˆ ˆ H H Vk k k (83) ˆ ˆ e H + ev r Vk m 4πε r r Pro vlovou fukc volíme pak Ψ ( r s r s rn s N ) ( r s) ( r s) ( r s) N ( r s ) ( r s ) ( r s ) ψ ψ ψ ψ ψ ψ N! ψ ψ ψ N ( r s ) ( r s ) ( r s ) N N N N N N N N k (84) Jedočástcové vlové fukce můžeme psát jako souč souřadcové a spové fukce a budeme požadovat jejch ortoormaltu Varačí fukcoál má v takovém případě tvar N N * ˆ 3 * 3 J ψ r H ψ r d r E ψ r ψ r d r + N * * 3 3 ˆ k k ψ r ψ rk Vkψ r ψ rk d r d rk k k N * * 3 3 δss k ψ r ψ r k k Vkψ r k ψ r k d rd rk k k ˆ Po varac dostáváme soustavu rovc (85) N e * 3 r ev ( r ) ψ ( r ) ψ k r d r + + ψ k r m 4πε k r r k (86) N e * 3 δss ψ k r ψ k r d r ψ r E k ψ r 4πε k r r k Pro celkovou eerg (eí prostým součtem eergí E eboť tak by byla coulombovská terakce započtea dvakrát) obdržíme výraz 45
E * ( r) + + 8 N e r ev r r k r d r k r m πε k r r k * 3 ψ ( ) ψ ( ) ψ N e * 3 δss ψ k r ψ k r d r ψ r k 8πε k r r k Pro atom se Z protoy v jádře a dvěma elektroy dostáváme N Ze e * 3 r + ψ ψ ψ m 4π ε r 4π ε r r ψ ( r ) ( r ) d r ( r) e * 3 δss ψ ψ ψ ψ 4πε r r ( r ) ( r ) d r ( r) E ( r) Ze e * 3 r + ψ ψ ψ m 4π ε r 4π ε r r ( r ) ( r ) d r ( r) e * 3 δ ss r r d r r E r 4πε ψ r r ψ ψ ψ Př kokrétích výpočtech je výhodé použít rozkladu l l < l + l > m l (87) (88) 4π r * Ylm( ϑ ϕ) Ylm ( ϑ ϕ) (89) r r l + r 83 Rtzova varačí metoda Je zřejmé že pro ejmeší hodotu eergového spektra platí erovost ψ Hˆ ψ E J (8) ψψ Důkaz je jedoduchý Zapšme ψ ψ Hˆ E (8) Potom ( ) ψ E ψ E E J + E E ψ ψ (8) 46
Budeme tedy mmalzovat hodotu fukcoálu J a podprostoru zkušebích vektorů Teto podprostor parametrzujeme M parametry α m takže redukujeme mmalzac fukcoálu J a hledáí mma fukce ψ ( α α ) ˆ M H ψ ( α αm ) J ( α αm ) (83) ψ ( α αm ) ψ ( α αm ) Zvláští pozorost s zaslouží případ kdy parametry α m jsou koefcety leárí kombace vektorů báze M-rozměrého podprostoru příslušého Hlbertova prostoru Potom je úloha převedea a alezeí vlastích hodot a vlastích vektorů projekce H ˆ P hamltoáu do tohoto podprostoru M Hˆ ˆ ˆ P φ φ H φk φk HP φ EP φ (84) tedy k ( Hˆ E ) ( Hˆ E ) φ φ φ φ P P M ( Hˆ E ) ( Hˆ E ) φ φ φ φ M P M P M (85) Vektory báze mohou být parametrzováy S parametry β s a vůč těmto parametrům lze pak mmalzovat příslušý fukcoál Výzamou aplkací je metoda LCAO pro výpočet elektroových stavů v molekulách Molekulárí vlová fukce elektrou se kostruuje jako leárí kombace vlových fukcí elektrou jedotlvých atomů Pro molekulu s M atomy hledáme tedy jedoelektroové vlové fukce ve tvaru M Ψ r α ψ r R (86) m { }( m) a těchto vlových fukcí užjeme př vytvářeí mohaelektroové vlové fukce m m 9 Borova-Oppehemerova aproxmace Pro výpočet stacoárích stavů molekul je vhodá Borova-Oppehemerova aproxmace Předpokládáme že spově ezávslý Hamltoův operátor soustavy s N elektroy a M jádry je tvoře částí vyjadřující ketckou eerg jader dále pak elektroovou částí obsahující ketckou eerg a vzájemou terakc elektroů a akoec terakčí částí popsující terakc elektroů s jádry a vzájemou terakc jader 47
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H H + H + H H M J e t J r r M r N N ˆ e He + (9) m 8πε k r rk k M N M ˆ e Zr Zs e Zr Ht 8π ε rr R 4 r R π ε s r r Rr r s Vlovou fukc hledáme ve tvaru ({}{ }) ({}{ ψ r R χ r R} ) Χ( { R} ) (9) kde fukce χ ({}{ r R} ) je řešeím rovce N N M e e Zr Zs + + m 8π ε k r rk 8π ε r r Rr Rs k r s N M e Z r χ( {}{ r R} ) U( { R} ) χ( {}{ r R} ) (93) 4πε r r Rr * χ ({}{ r R} ) χ( {}{ r R} ) d{} r Varačí úloha pro fukc Χ( { R }) má pak v tomto případě tvar δ J M * (94) J Χ ({ R} ) r + U( { R} ) E Χ( { R} ) d{ R} r M r Z uvedeého fukcoálu můžeme pak odvodt pro pohyb jader "Schrödgerovu rovc" M r + U( { R} ) E Χ ({ R} ) (95) r M r Pro dvouatomovou molekulu (předpokládáme že těžště je v kldu) ozačíme relatví souřadc a redukovaou hmotost jako MM R R R µ (96) M + M a rovce (95) se zjedoduší a + U( R) E Χ ( R) µ (97) Stadardí substtuce ΣK ( R) Χ ( R) YKM ( Θ Φ) R (98) vede k rovc 48
d + U eff ( R K) E Σ K ( R) µ dr (99) kde K( K+ ) Ueff ( R K) U( R) + (9) µ R Blízko rovovážého stavu pak poecháme je ejžší čley rozvoje efektvího potecálu µ Ω dueff ( R K) Ueff ( R K) Ueff ( R K) + ( R R) Ω (9) µ dr Dosazeím (9) do (99) dostáváme rovc harmockého osclátoru Struktura eergových hlad hlad dvoutomové molekuly je tak tvořea třem čley elektroovým rotačím a vbračím ( el ) ( r) ( v) E E + E + E ( el ) ( r) ( v) (9) E U( R ) E BK( K+ ) E Ω v+ Ve vztahu (9) jsme zavedl kostatu B ( µ R ) která určuje škálu rotačích hlad eerge Typcké hodoty pro základí molekuly jsou uvedey v Tabulce Tabulka ev molekula H N O -U(R ) 47 75 5 Ω 54 9 3 B 76 5 8 Molekula vodíku Iot molekuly vodíku Nejprve k budeme studovat jedodušší případ a to ot molekuly vodíku V tomto případě má hamltoá v Borově-Oppehemerově aproxmac tvar ˆ e e e H + m 4π εr 4π εr 4π εr () r r R r r R R R R Př malé vzdáleost protoů by se měla vlová fukce chovat podobě jako vlová fukce elektroů v helovém atomu př velké vzdáleost protoů by měla vlová fukce je s 49