SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS

1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii viz literatura, jedá se o matematický model z oblasti biologie. Teoretický pohled a model vypadá obecě ásledově. Model vychází z áhodého pohybu mraveců v okolí mraveiště. Mraveec se áhodě pohybuje v okolí mraveiště dokud eajde větší zdroj potravy a svou cestu si přitom začkuje. V případě, že ajde větší zdroj potravy, vrací se podle svých feromoových začek zpět do mraveiště kde vyšle sigál ostatím mravecům. Mraveci ho poté jede po druhém ásledují, přitom po ějaké době vytvoří řada mraveců přímou cestu spojující mraveiště s místem, kde se zdroj potravy achází. V semestrálí práci ukážeme, že i bez předpokladu hlubší itelektuálí schoposti, pouhým sledováím pohybu předchozího mravece, vyřeší mraveci tímto kolektivím úsilím časem optimalizačí úlohu alezeí ejkratší spojice dvou bodů, tj. vytvoří optimálí cestu k cíli (potravě, kterou lze často v přírodě pozorovat. /17

. SESTAVENÍ MODELU Začeí a zavedeí soustavy souřadé a časové osy Nejprve je uto zavést soustavu souřadou a to tak, že mraveiště umístíme do počátku soustavy souřadé tj. [,]. Cíl (kořist, potravu pak umístíme do bodu [L,]. Dále zavedeme předpoklad kostatí stejé rychlosti pohybu v u všech mraveců. Nechť prví mraveec průzkumík, ozačeý jako M, se pohybuje po své ozačkovaé cestě ásledově. V čase τ je v bodě [,], poté vyráží a cestu. V čase t se achází kdesi v bodě [x (t, y (t] (tj. kdesi a křivce kopírující průběh jeho cesty V čase T se dostává koečě k potravě do cíle, který se achází v bodě [L,]. Nákres je zobraze v ásledujícím obrázku 1. Pro ostatí mravece poté platí: Obrázek 1 pohyb mraveců v zavedeé souřadé soustavě V čase τ > δ (kde δ >, vyráží z mraveiště druhý mraveec M 1 a zamíří přímo k mraveci M. 3/17

V čase τ τ1+ δ vyráží z mraveiště třetí mraveec M a míří přímo k mraveci M 1. A takto ásledují i ostatí mraveci. Odvozeí modelu pohybu mraveců : Polohový vektor uur p každého z mraveců M, pro =,1,, v čase t uur uur p p. (1 = ( t = ( x ( t, y ( t Vektor rychlosti p ( t mravece M je poté vyjádře ásledově: ( d ( ( t p t = p. dt Vzhledem k předpokladu kostatí stejé rychlosti v u všech mraveců, platí dále: (3 p = v, pro všecha =1,,3,.., kde x začí velikost vektoru x (tj. eukleidovskou ormu x = x + K+ x. 1 Poěvadž mraveec M míří přímo k mraveci M -1 platí dále: (4 p = c ( p 1 p, kde c je kladá kostata. Z výrazu (3 a (4 plye ovšem rovost (5 p = c ( p 1 p = c p 1 p = v. / Po vyjádřeí kostaty c= v p 1 p z předchozího výrazu (5 a její dosazeí do výrazu (4 dostáváme model pohybu mraveců ve tvaru ekoečého systému difereciálích vektorových rovostí: (6 ( p ( p ( v 1 t t p ( t = p ( t p ( t 1, =1,,3, 4/17

Pro řešeí tohoto systému rovic (řešeím jsou fce p (t při platosti rovosti (6 při zámém v a p (t je však uto dodat, že musí splňovat ještě počátečí podmíky a to kokrétě: (7 ( τ = (, kde { τ } 1 kde { ε } = 1 p, =1,,3, je rostoucí posloupost kladých reálých čísel splňující τ = τ 1= δ + ε, je ohraičeá posloupost ezáporých čísel. O vektorové fukci p ( = p t předpokládáme, že je defiovaá a itervalu,, je spojitá (mraveec edělá skoky, což odpovídá realitě, je diferecovatelá a itervalu ( v p = a pro,t (mraveec se pohybuje kostatí rychlostí v, tj. p existuje a t T je p t = ( L (,. Tuto fukci považujeme za zámou. Lze tedy umericky vyřešit počátečí úlohu (6, (7 s =1 a ajít vektorovou fukci p = p ( t, pak lze umericky ajít fukci p = p ( t, atd. 1 1 Problém může astat v případě, že pro ějaké ˆ τ τ platí p ( ˆ ˆ τ = p 1( τ. V takovém případě eí pravá straa rovosti (6 pro t = ˆ τ defiováa, a tedy řešeí výše staoveé rovice p elze prodloužit za ˆ τ. V tomto případě klademe pro p ( t = p ( t. Tímto způsobem lze adefiovat všechy vektorové fukce p t>τ ˆ 1 pro =1,,3,.. a itervalu τ,. 5/17

Odvozeí vlastostí systému: Aiž bychom řešili samotý systém (6,(7 lze odvodit ěkolik zásadích vlastostí. 1. Nerostoucí vzdáleost dvou mraveců a koečý čas dosažeí potravy Prví vlastostí je, že žádý z mraveců euteče svému ásledovíku, tj. vzdáleost mezi mraveci M -1 a M se s časem ezvětšuje. Je tedy uto ukázat, že fukce (8 = ( t = p 1( t p ( t, začící ou vzdáleost mezi mraveci, je erostoucí v čase, tedy platí: d d = ( p 1 p.( p 1 p = dt dt ( p p.( p p + ( p p.( p p 1 1 1 1 = = ( p p.( p p 1 ( p 1 p.. p 1 p = p 1 1 p Využijeme-li rovosti (6 dostáváme d p p 1 1 = ( p p. = p p. p = p. p p dt v v ( ( 1 1 1 1 p 1 p Připomeeme-li si, že pro každé dva vektory q, r platí Cauchyova-Bujakovského erovost zapsaá ásledově: q. r q r, kde q.r je skalárí souči těchto dvou vektorů. Použitím této erovosti, rovosti (3 a kostatí rychlosti mravece v dostáváme ( p 1 p p ( p 1 p v d 1 1 1 =. = ( v v =. dt v v v Dokázali jsme tedy, že vzdáleost mezi za sebou jdoucími mraveci se s časem ezvětšuje v ámi defiovaém modelu. 6/17

Dále lze ukázat, že se každý mraveec dostae do k potravě, tj. do bodu [L,] v koečém čase. Vycházíme ze skutečosti, že z výchozí pozice mravece M -1 eboli z bodu [,] se mraveec M -1 dostae ejdále při přímočarém pohybu. To však zameá, že =, (9 ( τ v ( τ τ 1 v ( δ + ε tj. vzdáleost mravece M -1 od mravece M, který za ím vyráží z mraveiště v čase τ je rova ejvýše vzdáleosti, kterou urazil mraveec M -1 při přímočarém pohybu mezi časy τ 1 a τ. Zavedeme-li dále vzdáleost D, jakožto vzdáleost uražeou při přímočarém pohybu v ejdelším časovém rozdílu dvou po sobě vycházejících mraveců, tj. (1 D v ( δ sup { ε : } = +, pak při platosti již dokázaé erostoucí vzdáleosti mezi mraveci v čase lze psát (11 ( t D pro t τ, =1,,3,.. Z erovosti (11 tedy vyplývá, že každý mraveec se v koečém čase dostae k místu potravy do bodu [L,] eboť v čase T, kdy se do tohoto bodu dostal mraveec M, je vzdáleost mravece M 1 od ěho 1( T D. Mraveec M 1 tedy do bodu [L,] směřuje již přímočaře, takže bodu [L,] dosáhe v čase 1( T D T1 = T + T +. v v Aalogicky se pak -tý mraveec dostae do bodu [L,] v čase ( T 1 D D D D D T = T 1+ T 1+ T + + = T +... T +. v v v v v v 7/17

. Délka cesty mraveců Dále lze dokázat, že celková dráha, uražeá mraveci při cestě k potravě, se s časem a počtem mraveců ezvyšuje. V modelu je rozumé předpokládat, že cíl [L,] je dostatečě daleko od mraveiště [,] a to tak daleko, že -tý mraveec k ěmu dorazí později, ež jeho ásledovík (+1-í mraveec vyrazí z mraveiště (předchůdce edorazí k cíli dřív ež ásledovík vyrazí z mraveiště tj. (1 T > τ + 1, pro všecha =,1,,. Ozačme l jako celkovou délku dráhy, kterou urazí mraveec M, tj. (13 T = x ( s + y ( s ds= v ( T τ τ l Poěvadž předpokládáme T > τ a eulovou v platí l > pro každé. Vzhledem k tomu, že v okamžiku T, kdy předchozí mraveec M dorazí k cíli [L,], zamíří ásledující mraveec M +1 přímočaře k ěmu je celková délka l + 1 dráhy, kterou urazí mraveec M +1 vyjádřea ásledově (rekuretě: (14 l+ 1= v T τ+ 1 + + 1T = v T τ v τ+ 1 τ + + 1T = l v δ+ ε+ 1 + + 1T ( ( ( ( ( ( ( Z rovostí (13,(14 a z erovosti (1 a současě z faktu, že + 1 je erostoucí fukce času (viz výše dále plye l l = ( T v( δ + ε = ( T ( τ ( τ ( τ =, + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 a je tedy dokázáo, že posloupost { l } = je erostoucí, což rověž zameá, že l l pro všecha =1,,3,.. 8/17

Dále dokážeme existeci rostoucí poslouposti { k} k= 1 přirozeých čísel takové, že δv (15 ( T 1 k k. Důkaz provedeme sporem. Tedy připustíme existeci takového, že δv (16 ( T 1 < pro všecha. Z rovosti (14 a z předpokladu (16 plye, že pro je splěa erovost l l = v( δ + ε + ( T + 1 + 1 + 1 Z í dále úplou idukcí plye, že pro platí vδ vδ vδ + + 1( T < vδ + = vδ l < l (, zejméa tedy pro + je vδ l vδ vδ l < l ( l + l =. vδ Zde arážíme a spor s předpokladem l >, čímž jsme dokázali erovost (15. 9/17

3. Optimalizace dráhy mravece Nakoec dokážeme, že při dostatečě velkém počtu mraveců, se po jisté době všichi mraveci pohybují v úzkém pásu kolem ejkratší spojice mraveiště a cíle. V limitě by se pak pohybovali po této spojici. Neboli vzdáleost mravece M od úsečky spojující mraveiště a potravu bude po celou dobu jeho pohybu meší ež libovolé, předem daé kladé číslo. Fukce y,druhá složka polohového vektoru p, je řešeím výše zmíěé počátečí úlohy v y = y y, y ( τ =. (17 ( 1 p 1 p Jedá se o spojitou fukci a itervalu τ, T a dle 1. Weierstrassovy věty lze tedy tvrdit, že je to fukce omezeá. Dále ozačme (18 Dokažme tedy, že platí { τ } { τ } Y = y ( t : t, T Y = mi y ( t : t, T mi = y ( τ Y Y, tj. že žádý mraveec se od úsečky 1 spojující mraveiště a potravu evzdálí více, ež jeho bezprostředí předchůdce. Kdyby toto tvrzeí eplatilo, tj. kdyby existovalo ějaké s τ, T takové, že y s = Y > Y y s, ( 1 1( utě by pak ( což by byl evidetě spor. v ( = ( ( <, y s = a současě dle (17 y s ( y s y s -1 p 1( s p ( s Posloupost { Y } = 1 je tedy erostoucí a zdola ohraičeá ulou, což zameá, že je kovergetí. 1/17

Buď yí k libovolé přirozeé číslo. S využitím erovosti (15 a faktu, že k je erostoucí fukce času, dostaeme, že pro každé t ( τ, T 1 k k platí v v ( ( ( ( (. k k k k k k k ( t δv δ (19 y t = ( y 1 t y t ( Y 1 y t = ( Y 1 y t k Řešeí počátečí úlohy pro lieárí difereciálí rovici = Y η, η( τ k = k δ ( η ( 1 pak vypadá ásledově ( t τ / (1 t Y 1( k δ η = e k ( 1. S přihlédutím k erovosti (19 dostaeme s použitím srovávací věty erovost ( t τ / ( ( 1( 1 k δ y t Y k e k, platou pro všecha t τ, T 1 k k. Dále tedy platí 1 (3 ( ( t τ / δ ( ( T / 1 1 k k τ δ Y Y k k e Y k e k 1 1. S využitím (13 tj. l v ( T τ = a skutečosti, že { l } = je erostoucí dostáváme erovost (viz expoet a pravé straě předchozího vztahu (3 (4 T l k 1 l τ T τ =. v v k 1 k k 1 k 1 Po dosazeí vztahu (4 do erovosti (3 tedy dostáváme (5 ( 1 l /( δv Y Y 1 e eboli při úplé idukci k, l δv (6 τ ( k Y = y ( Y Y 1 e = 1 e 1 /( k 1 /( k k k 1 1 l /( δv Poěvadž 1 e < 1 a současě lim k =, platí k l /( δv ( 1 e l δv ( k. 11/17

( l /( δv e k lim 1 =. k Z erovosti (6 a z věty o třech posloupostech dostáváme limy k k =. Jelikož jsme vybrali posloupost { Y } k k= 1 z kovergetí poslouposti { Y } 1 =, platí limy =. Podobě by se dalo dokázat mi limy =. 1/17

3. SESTAVENÍ UPRAVENÉHO MODELU V předchozí kapitole jsem se zabývali modelem pohybu řady mraveců, vycházející z předpokladu, že každý mraveec sleduje svého předchůdce a míří přímo k ěmu. Nyí se budeme zabývat otázkou, akolik je teto předpoklad realistický. Budeme přitom předpokládat pouze to, že mraveec umí vímat každým z tykadel kocetraci ějakého feromou a podle rozdílu kocetrací feromou přijímaých jedotlivými tykadly měí směr svého pohybu. Zpřesěí v soustavě souřadé Nadefiujeme si souřadice hlavy mravece jako x= xt ( a y= yt (, a dále směrový úhel osy těla mravece ϑ= ϑ( t, viz ásledující obrázek. Obrázek mraveec v souřadé soustavě Stále budeme předpokládat pro jedoduchost kostatí rychlost pohybu mravece v, tj. vektor rychlosti vypadá ásledově v=(v cosϑ,v siϑ. Za krátký časový iterval t se poloha mravecovy hlavy změí o x= ( v cos ϑ t, y= ( vsi ϑ t. Dále budeme předpokládat, že mraveec měí směrový úhel osy těla v časovém itervalu t v závislosti a kocetracích feromou ClaCr přijatých levým a pravým tykadlem, tedy změa směrového úhlu osy těla je fukcí dvou proměých C l a C r tj. 13/17

(7 ϑ (, = F C C t, Limitím přechodem při t dostaeme model pohybu jedoho mravece ve tvaru l r (8 x v cos ϑ, y vsi ϑ, ϑ F( C, C = = =. l r Pro získáí kokrétího modelu, je zapotřebí blíže specifikovat fukci F. Budeme tedy předpokládat existeci ějaké imálí změy směru pohybu θ >, jíž je mraveec schope, tj. ϑ θ. Změa směru pohybu je přitom tím větší, čím je větší rozdíl C= Cl + Cr kocetrací feromou a kocích tykadel. V případě ulového rozdílu kocetrací se směr pohybu eměí, je-li a levém tykadle větší kocetrace feromou ež a pravém, tj. když C>, mraveec se otáčí v kladém smyslu, v opačém případě v záporém smyslu. Příklad fukce F, která splňuje uvedeé předpoklady je (9 F( Cl, Cr θ sg ( C f ( C =, přičemž fukce f :,, je eklesající, spojitá a splňuje podmíky (3 f ( =, lim f ( ξ = 1. Nejjedodušší fukce s těmito vlastostmi je ξ ξ (31 f ( ξ =, ξ + ρ kdeρ je kladá kostata. Pro staoveí F( C, C ϑ= tedy zbývá vyjádřit C l a C r. l r 14/17

Budiž se že zdroj feromou achází v bodě Z = [ x, y ] odkud se šíří do prostoru všemi směry, přičemž jeho kocetrace v bodě A bude epřímo úměrá druhé mociě vzdáleostí bodů A a Z. Kladou kostatu úměrosti závisející a kocetraci feromou ve zdroji a a vlastostech prostředí, ozačme jako c. Dále ozačme R l, resp. R r, vzdáleost bodu Z od koce levého, resp. pravého, tykadla. Platí tedy z Z c c c = = =. R R R R (3 Cl, Cr, C ( Rr Rl Dosazeím do (31 dostáváme: (33 f ( C l r l r crr Rl = cr R + ρr R r l l r Nechť δ ozačuje vzdáleost koce tykadla od středu hlavy (tj. délku tykadel a α π úhel svírající tykadlo s osou těla (viz obrázek ; patrě je δ >, < α <. Souřadice koce levého tykadla jsou potom ásledující (34 x + δ cos ( ϑ + α, y + δ si( ϑ + α, resp. souřadice koce pravého tykadla jsou (35 x+ δ cos ( ϑ α, y+ δ si( ϑ α Dále je uto vyjádřit vzdáleost R l, resp. R r, bodu Z [ x, y ] pravého, tykadla (36 R x x cos( resp.. = od levého, resp. Z z ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α l Z Z (37 R x x cos( Odtud plye = + + +, ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α r Z Z = +. 15/17

r l Z ( Z ( ( cos ( cos ( ( si ( si ( ( ( xz x ( yz y ( ( yz y ( xz x ( x x ( ( ( y y ( ( R R = δ cos ϑ α cos ϑ+ α δ si ϑ α si ϑ+ α + δ ϑ α ϑ α + + + δ ϑ α ϑ α + + = = δ siϑ siα cosϑ siα = = 4δ siα cosϑ siϑ Při dosazeí předchozího rozdílu spolu s R l a R r tj. (36 a (37 do (33 dostáváme výsledý tvar fukce f. Spolu s fukcí f dosadíme do (9 i vztah ( Z Z ϑ (38 ( C = ( y y ϑ ( x x sg sg cos si Dostaeme vyjádřeí fukce F, které dosadíme do (8 a tím obdržíme výsledý model pohybu jedoho mravece. Teto model poměrě složitý, takže z ěho lze je obtížě získat ějaké aalytické výsledky. Lze ho ovšem řešit umericky a tím dostat tvar mravecovy cesty. To lze udělat v případě, že se bod Z epohybuje, tedy když x Z, y Z jsou kostaty a řešeý systém je autoomí, i v opačém případě, když x = x ( t, y = y ( t a systém eí autoomí. Je-li vzdáleost zdroje feromou a mravecovi hlavy příliš velká, přesěji řečeo, Z Z Z Z když cr R ρr R, pak porováím s (33 je vidět že f C. V takovém r l l r případě tedy můžeme model (8 ahradit jedoduchým systémem rovic (39 x = v cos ϑ, y = v si ϑ, ϑ =. Řešeím s počátečí podmíkou x( = x, y( = y, ϑ( = ϑ je ( = + cos ϑ, ( = si ϑ, ϑ( = ϑ. (4 xt x vt yt y t 16/17

Mraveec tedy a feromo ereaguje, ezměí směr a pohybuje se po přímce. To samo o sobě eí ějak překvapivý závěr. Upozorňuje ale a skutečost, že může být obtížé experimetálě rozhodout, zda vzdáleý mraveec ereaguje proto, že podět je atolik slabý, že ho ezachytil, ebo proto, že rozdíl podětů a kocích jedotlivých tykadel je příliš malý. LITERATURA [1] Spojité modely v biologii Josef Kalas, Zdeěk Pospíšil 17/17