Komplní čísl Záldní informc Tto pitol j pitolou opovcí. Přdpoládám ž studnti njí áldy počítání s omplními čísly nicméně tuším ž stání s problmtiou už bylo dávno nvíc řjmě n střdních šolách v růném roshu. Proto bychom tímto připomnutím chtěli i sjdnotit úrovň nlostí. A to všchno vůli tomu ž b omplního lulu s problmti prcování čsových řd prostě nobjd. Výstupy výuy snámit s s áldními typy vyjádřní omplních čísl doát působy vyjádřní omplních čísl mi sbou přvádět; vládnout áldní mtmticé oprc s omplními čísly doát j b váhání provádět; snámit s průběhm ponnciální func pro růné vrinty omplních ponntů;. Záldní typy popisu omplních čísl Dfinic. Komplní čísl jsou čísl v tvru = + ib d b jsou rálná čísl i j tv. imginární jdnot. Číslo s nývá rálná část (slož) omplního čísl (R() = ) rálné číslo b nývám imginární část (slož) omplního čísl (Im()= b). Pltí-li = 0 b 0 nývám omplní číslo ry imginárním. Ponám V mtmticých ttch j vym pro vyjádřní imginární jdnoty používt písmno i. V ltrotchnicých ttch d s problmti prcování signálů čsových řd objvil jo první s písmn i používá onční jdné áldních ltrotchnicých vličin to omžité hodnoty ltricého proudu. Proto s v ttch bývjících s problmtiou prcování signálů používá onční omplní jdnoty symbolu j. Budm s ndál držt této onvnc nvdory sutčnosti ž tyto tty jsou určny přdvším pro čtnář s mtmticým vděláním protož s domnívám ž tnto vy usndní přípdné doplňové studium publicí o prcování signálů čsových řd. Výš uvdnou dfinici omplního čísl tdy budm vnímt v tvru = + jb. Imginární jdnot byl vdn použit by bylo možné vládnout řšní rovnic typu = -. Proto pro imginární jdnotu pltí mocniny j 4 = j +4 = j j +4 = - j +4 = -j d j clé náporné číslo. (.)
Dfinic. Číslo * = jb s imginární složou s opčným nménm ončujm jo omplně sdružné číslu = + jb. Ponám Komplní čísl jsou dl dfinic. v podsttě dán uspořádnou dvojicí rálných čísl což vlstně vd podobnému nhlížní náornění i mnipulci jo v přípdě dvousložových vtorů. Komplní číslo (j-li cl řjmé ž s o omplní číslo jdná nl j tudíž měnit s dvousložovým vtorm) můžm té pst v tvru = (b). Dfinic. Zápis omplního čísl po složách v tvru = + jb nbo = (b) nývám složový nbo rtésý tvr omplního čísl. V duchu výš uvdné ponámy si můžm omplní číslo gomtricy náornit v tv. Gussově omplní rovině j j n obr... Obr.. Znáornění omplního čísl v Gussově rovině Pro fái ϕ pltí (ž n clistvé násoby π) vthy cosϕ = + b Dfinic.4 Goniomtricým (trigonomtricým) tvrm omplního čísl = + jb roumím ápis d rálné číslo = r.(cosϕ + j.sinϕ) (.) r = = + b = (.) nývám modulm (bsolutní nbo prostou hodnotou) omplního čísl úhl ϕ nývám fáí (rgumntm) omplního čísl. b rsp. sin ϕ =. (.4) + b Hlvní hodnotou fá omplního čísl j tová hodnot úhlu ϕ pro nějž pltí -π < < ϕ π přípdně 0 ϕ < π. Eponnciálním (polárním) tvrm omplního čísl nývám ápis d pro prmtry r ϕ pltí vthy (.) (.4). Ponám = r. jϕ (.5). Modul r omplního čísl = + jb j náporné rálné číslo r = 0 právě dyž = b =0.. Z vivlnc vthů (.) (.5) j což bud doááno poději v p.. Příld. Vyjádřt v ponnciálním tvru číslo = + j. jϕ = cosϕ + j.sinϕ (.6)
S použitím vthů (.) (.4) dostávám ϕ = rccos r = + b + b = = rccos + = = rccos π =. 4 Eponnciální tvr dného omplního čísl j proto = Příld. jπ. Vyjádřt v ponnciálním tvru číslo = - + j. =. jπ/. Příld. Vyjádřt v složovém tvru omplní číslo = 4.(cos(π/6) + jsin(π/6)). = 4. j + = + j.. Mtmticé oprc s omplními čísly.. Rovnost dvou omplních čísl Dvě omplní čísl = + jb = + jb v rtésém tvru jsou si rovn poud pltí = b = b. (.) jϕ jϕ Dvě omplní čísl = r = r v ponnciálním tvru jsou si rovn poud pltí r = r ϕ = ϕ. (.) Evivlntně pltí vth (.) i pro goniomtricý tvr omplních čísl.. Sčítání rodíl dvou omplních čísl Pro sčítání omplních čísl = + jb = + jb pltí = + = ( + jb ) + ( + jb ) = ( + ) + j(b + b ). (.) Pro rodíl dvou omplních čísl p vivlntně j Příld. = - = ( + jb ) - ( + jb ) = ( - ) + j(b - b ). (.4) Sčtět omplní čísl = + j = 4j.
+ = ( + ) + j( -4) = 4 j.. Součin podíl dvou omplních čísl Součin dvou omplních čísl = + jb = + jb v rtésém tvru s určí podl vthu ( + jb ).( + jb ) = (. - b.b ) + j( b + b ). (.5) Komplní čísl tdy násobím jo dvojčlny využijm vth j = -. jϕ jϕ Součin =. dvou omplních čísl = r = r v ponnciálním tvru určím podl vthu j( ϕ +ϕ ) = r r. Pro sčítání násobní dvou přípdně víc omplních čísl pltí násldující prvidl: socitivní áon: ( + y) + = + (y + ); (.y). =.(y.); omuttivní áon: + y = y + ; distributivní áon.y = y.; pro ždé pltí + 0 = ; ( + y). =. + y.;. = ; ždému istuj tové číslo - ž + (-) = 0; ždému 0 istuj tové číslo ž. =. P píšm ž = - nbo = /. Podíl dvou omplních čísl = + jb = + jb 0 v rtésém tvru j dán vthm + jb ( + jb)( jb) ( + bb ) + j( b b) = = =. (.6) + jb + b + b jϕ jϕ Podíl dvou omplních čísl = r = r 0 v ponnciálním tvru j dán vthm jϕ j( ϕ ϕ ) = jϕ r r Pro oprc s omplně sdružnými čísly pltí Příld. r r =. (.7) * * * * * * * * ( + y) = + y ; + = R(); ( y) = y ; = * y y *. ; (.8) Mějm omplní čísl = +j = j. Určt jjich součt rodíl součin podíl. 4
Příld. Vynásobt omplní čísl + = ( + ) + j( - ) = + j; - = ( - ) + j( + ) = - + j;. = ( + j).( - j) = + 4j j + = 4 + j; ( + j)( + j) + 4j + j 0 + 5j = = = = j. + ( ) 5 5 jπ..4 Uspořádání omplních čísl = 5 jπ /.. =. jπ/4 =. N rodíl od rálných čísl nl omplní čísl uspořádt tj. nl j sřdit podl vliosti t by s toto sřní roumně chovlo hldis áldních mtmticých oprcí..5 Umocňování odmocňování omplních čísl Moivrov vět: Pro ždé rálné ϕ cločíslné j (cosϕ +j.sinϕ) = cos(ϕ) + j.sin(ϕ) té ( jϕ ) jϕ. (.9) Z Moivrovy věty p pro cločíslné umocňování omplních čísl v gomtricém rsp. ponnciálním tvru růných od nuly j rsp. = [r.(cosϕ +j.sinϕ)] = r.[cos(ϕ) + j.sin(ϕ)] = [r. jϕ ] = r. jϕ. (.0) (.0b) Pro přironé číslo j -tá odmocnin omplního čísl tové číslo y pro tré pltí y = y =. (.) J-li = r. jϕ od nuly růné istuj právě růných hodnot odmocniny pro tré j y = pro n = 0 -. Pro = 0 j = 0. Příld.4 Určt 6 poud j = Podl Moivrovy věty j Příld.5 Určt = j4 π 5. /. r jπ / =.. j( ϕ+ nπ) / = 6 6 j6π / π π = ( ). = 7. = 7. ϕ + nπ ϕ + nπ r (cos + jsin ) (.).
S plicí Moivrovy věty ní vyplývjícího vthu (.) j To nmná ž j 0 0 j(4π / + 0) / j(4π / +.. π) j(4π / +.. π) / / j4π / j(4π / + nπ) / 5. pro n = 0. j4π / 9 j0π / 9 pro n = 0; j6π / 9 pro n = ; pro n =. Příld.5 Určt = 4. Řšní (obr..): = j pro n = ; 0 = pro n = 0; = pro n = ; = j pro n =. Příld.6 Určt = 4 ( ). Řšní (obr..): 0 π π 5π π pro n = 0; pro n = ; π π pro n = ; pro n =. Obr.. Řšní příldu.5 Obr.. Řšní příldu.6 6
Komplní ponnciál Eponnciální func s omplním ponntm = + jb j dfinován podl vthu p( ) + jb Průběh ponnciální func s omplním ponntm j tdy určn součinm ponnciály s rálným ponntm ponnciály s ry imginárním ponntm. Eponnciál s rálným ponntm má námý průběh v ávislosti n nménu ponntu má typicý rostoucí (pro ldný ponnt) či lsjící (pro áporný ponnt) průběh přípdně onstntní průběh pro nulový ponnt (obr..). Abychom si učinili přdstvu o clovém průběhu ponnciály s obcným omplním ponntm musím určit průběh ponnciály s ry imginárním ponntm. K tomu bud užitčné rovinout func sin() rsp. cos() do mocninné řdy. Z dvou typicých působů rovoj func do mocninné řdy pomocí Tylorov řdy Mclurinovy řdy s bývjm druhým sic jdnodušším v podsttě méně l dosttčně obcným působm pro vtžný bod 0 = 0. Pro Mclurinův rovoj func f() do nončné řdy pltí Příld. jb. (.) f (0) f (0) f (0) f () = f (0) + + + +... (.)!!! Roviňt do Mclurinovy řdy func sin() cos(). Rovoj func sin() pro = 0: [sin()] =0 = 0; [sin()] =0 = cos() =0 = ; [sin()] =0 = -sin() =0 = 0; [sin()] =0 = -cos() =0 = -; [sin()] =0 = sin() =0 = 0. Z těchto dílčích hodnot drivcí plyn ž Obr.. Průběh ponnciální func s rálným ponntm 5 7 0 0 4 sin() = 0 + + + +... = + +... (.)!!! 4!!! 5! 7! J užitčné si všimnout ž func sin() trá j lichá s sládá pou lichých mocniných člnů. 7
Rovoj func cos() pro = 0: [cos()] =0 = ; [cos()] =0 = -sin() =0 = 0; [cos()] =0 = -cos() =0 = -; [cos()] =0 = sin() =0 = 0; [cos()] =0 = cos() =0 =. Z těchto dílčích hodnot drivcí p plyn ž 4 6 0 0 4 cos() = + + + +... = + +.... (.4)!!! 4!! 4! 6! Rovoj sudé func cos() obshuj pou sudé mocniny rgumntu. Končně Mclurinův rovoj ponnciální func pro = 0 j: [ ] =0 = ; [ ] =0 =0 = ; [ ] =0 =0 = ; [ ] =0 =0 = ; [ ] =0 =0 =. Z těchto dílčích hodnot drivcí p plyn ž 4 5 4 = + + + + +... = + + + + + +... (.5)!!! 4!!!! 4! 5! Příld. Určt pomocívypočítných mocninných řd pro func sin() cos() nlnět vth mi funcmi jϕ sin(ϕ) cos(ϕ). Do odvoného mocniného vthu (.5) dosdím = jϕ tj. s symbolm ϕ jnž lép nvouj přdstvu úhlové vličiny. Potom s využitím vthu (.) pltí ž j = ϕ = + jϕ + (jϕ) + (jϕ)!!! 4 5 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + j j + + j +... =!!! 4! 5! 8 + (jϕ) 4! Tnto vth l rodělit n rálnou imginární část t ž j jϕ toho s využitím vthů (.) (.4) j jϕ 4 6 5 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + +... + j +...! 4! 6!!! 5! 4 +... = 4 6 5 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + +... + j... = cos( ϕ) + j sin( ϕ)! 4! 6! + +!! 5! (.6) (.7) (.8)
což j právě rovno dřív uvdnému vthu (.6). Co odvoného výru pltí pro gomtricou přdstvu o průběhu ponnciální func jϕ s ry imginárním ponntm? K tomu si vyjádřm dnou situci pomocí obr... Protož podl tohoto obráu j cos ϕ = = (.9) r Obr.. Gomtricý výnm ponnciální func s ry imginárním ponntm t pro rálnou složu omplního čísl tré j vyjádřné v složovém rtésém tvru tj. = + jb tré má jdnotový modul pltí = cos ϕ podobně pro imginární složu b tohoto omplního čísl j b = sin ϕ. Z toho plyn ž hodnoty ponnciální func jϕ s ry imginárním ponntm jsou v ávislosti n hodnotě vličiny ϕ vyjádřny body n jdnotové ružnici v omplní rovině. Pro nětré onrétní hodnoty úhlu ϕ j j0 = jπ = - jπ/ = j jπ/ -jπ/ = -j td. Z této gomtricé intrprtc té plyn ž func jϕ j priodicá s priodou opování π. Z formul (.6) rsp. (.8) tj. ž jϕ = cosϕ + j.sinϕ rsp. jjí vrinty pro ápornou hodnotu úhlu ϕ tj. -jϕ = cosϕ - j.sinϕ (při jjím odvoní využívám vlstností sudé func osinus liché func sinus) l odvodit tv. Eulrovy vthy. Sčtním obou rovnic pro ldnou i ápornou hodnotu fáového úhlu ϕ dostávám toho pro osinus pltí Nop odčtním druhé rovnic od první mám proto Eulrův vth pro sinus j jϕ + -jϕ = cosϕ (.0) j ϕ jϕ + cosϕ =. (.) jϕ - -jϕ = jsinϕ (.) j ϕ jϕ sin ϕ =. (.) j 9