Bue & IT / Kvattatví pop dverzfkace, Quattatve Decrpto of Dverfcato Mlolav Malec Lukáš Malec Rotlav Tomeš btrakt: V čláku jou popáy základí metody kvattatvího a grafckého popu dverzfkace. Jou uvedey kotrukce Lorezovy křvky a odvozey vzorce pro výpočet Gho koefcetu v dkrétím a pojtém případě rozděleí tadardu. Popaé metody dverzfkace jou aplkováy zejméa a oubory dat z oblat cetovího ruchu. Klíčová lova: dtrbučí fukce tadardu, Gho koefcet, Lorezova křvka, Paretovo rozděleí tadardu, pojté a dkrétí rozděleí btract: I th artcle are preeted the bac of quattatve ad graphcal decrpto of dverfcato pheomea. Lorez curve cotructo are troduced, together wth G coeffcet calculato formula dcrete ad cotuou cae of dtrbuto of tadard. The method of dverfcato are partcularly appled to the tourm data. Keyword: dtrbuto fucto of tadard, G coeffcet, Lorez curve, Pareto dtrbuto of tadard, cotuou ad dcrete dtrbuto JEL Clafcato: C8, L83 Úvod Lorezova křvka a Gho koefcet (příp. jejch modfkace) patří k čato používaým matematcko-tattckým metodám kvattatvího popu ekoomckých jevů. V čláku, př použtí elemetárího matematckého aparátu, jou eje odvozey, rep. uvedey, v ekoomcké prax čato používaé metody dverzfkace tadardu v základím ouboru (populac), ale je ukázáa možot jejch umerckého zpracováí užtím programu Matlab. Byl tudová tadardí oubor malých podků a oubory dat příjezdového cetovího ruchu Čeké republky a vybraých evropkých tátů. Pojem dverzfkace (erovoměrot) e vykytuje a zkoumá v šroké škále přírodích a polečekých vědích oborů. Kromě apř. ekoometre je tato charaktertka čato užíváa v ocolog ve vztahu erovoměrým rozděleím příjmů, majetku, apod. Pro zajímavot uveďme: Jedo horí % větové populace vlatí 4% větového 7
/ Bue & IT bohattví, % ejbohatších vlatí 85% větového bohattví. Chudší polova obyvatel vlatí pouze % bohattví, vz (Keller, ). Uvedeá fakta lze ázorě vyjádřt Lorezovou křvkou. Její kotrukce (vzhledem k velkému rozahu ouboru) předpokládá provedeí rozáhlého výběrového šetřeí; data e pak zpracují metodam tattcké dukce v kombac modelováím tadardu vhodým dtrbučím fukcem. Materál a metody Dkrétí rozděleí tadardu Protože kokrétí datové oubory jou koečé, jedá e o důležtý případ, zejméa pokud rozah ouboru eí přílš velký a data emají áhodý charakter. Škálu velč, vykazujících erovot v základím ouboru azveme ouhrě tadardem. Buď dá upořádaý oubor tadardu,,,...,,,. Lorezovou křvkou (dále tručě L-křvkou) daého ouboru azveme po čátech leár-... í fukc (vz obr. ), pojující body,,, L,,,...,, kde. Zřejmě čílo udává % podíl populace, čílo L udává odpovídající % podíl tadardu. Čím je L-křvka blíže úhlopříčce, tím je rozděleí rovoměrější, čím je blíže odvěám, tím je tadard více dferecová. Gho koefcet Gho koefcet (tručě G-koefcet) vyjadřuje míru dverzfkace. Je dá hodotou zlomku G B; číla a B ozačují velkot ploch z obrázku. B Zřejmě G, ; G odpovídá abolutí rovot, G maxmálí erovot. Plocha obrázku B je tvořea lchoběžíky, tedy G. () ) Teto předpoklad má záadí výzam pro kotrukc L-křvky (vz dále); populace muí být eřazea do ekleající poloupot hodot tadardu. 8
Bue & IT / Vzorec () lze azvat výpočtovým vzorcem G-koefcetu pro dkrétí případ. j j Jou-l, L,, L body L-křvky, potom čílo j udává relatví přírůtek populace a čílo začí odpovídající relatví přírůtek tadar-... j du (tedy L-křvka jako důledek umace vykazuje adtvtu). Je-l rozah ouboru přílš velký, lze výpočet zjedodušt tak, že vhodě vybereme je ěkteré body L-křvky a plochu opět (ejaděj) počteme lchoběžíkovou metodou. Ozačíme-l vybraé body L-křvky [ x j, L( x j )], j,,..., k a přtom x a x, k L( x ), Lx k, potom zřejmě k G x j x j L x L x. j j () j Uveďme příklad a použtí formule (). Jou k dpozc počty zamětaců 7 v 7 podcích, 8 85; oubor je upořádá. Provedeme rozděleí ouboru zamětaců do 8 tříd šířky (vz tabulka ). Výpočtem podle vzorce () dotaeme G,65. lší epatrě. Výledek zíkaý užtím vzorce () e Spojté rozděleí tadardu L-křvku pro dkrétí oubor dat (a tedy vzorce pro G-koefcet) lze rověž zíkat užtím emprcké dtrbučí fukce Buď upořádaý (tj. oubor tadardu. Potom fukce defovaá a je po čátech kotatí, pojtá zprava v bodech a platí kde je počet hodot pro které (tj. je ejvětší dex ouboru, pro který Pokud hodota je v ouboru jedekrát, má fukce v bodě kok pokud je hodota obažea -krát, má kok Více o popu dverzfkace pro dkrétí případ apř. vz (Se, 973); pro pojtý případ vz (tko, 97). V případě, že je rozah ouboru přílš velký a je uté realzovat áhodý výběr (jeho hodoty už mají áhodý charakter), je účelé teto oubor dotatečě přeě aproxmovat pojtou áhodou velčou jtou dtrbučí fukcí Př výpočtech e pojtým áhodým velčam lze avíc využít rozáhlý aparát dferecálího a tegrálího počtu. 9
/ Bue & IT Tabulka. Datový oubor malých podků Zdroj: Vlatí šetřeí Je-l k dpozc upořádaý áhodý výběr fukcí F, ze základího ouboru dtrbučí pak emprcká dtrbučí fukce F je aproxmací dtrbučí fukce F. Pravděpodobotí model dverzfkace Buď dáa ezáporá (teto předpoklad však eí utý) pojtá áhodá velča X, je protor prvků základího ouboru populace, kde udává hodotu tadardu prvků. Rozděleí pravděpodobot áhodé velčy X buď popáo dtrbučí fukcí F P, X ; čílo F je tedy pravděpodobot jevu, že áhodě vybraý prvek populace má tadard. Přpomeňme: Fukce F je pojtá, ekleající, F, F a dále extuje ezáporá fukce f (hutota pravděpodobot) tak, že platí F f t dt. 3 (3) Níže uvedeme, že apř. áhodé velčy log-ormálím, rep. Paretovým rozděleím pravděpodobot jou vzhledem k jejch škmot vhodým átrojem k modelováí rozděleí příjmů, majetku, apod. ) proxmac dtrbučích fukcí lze popat užtím pojmu kovergece áhodých velč. 3) V teor pravděpodobot je uté pracovat tegrálem založeým a teor míry. V čláku budeme předpokládat, že v tegrálech vytupují fukce po čátech pojté, rep. po čátech hladké. Potom př výpočtech vytačíme Remaovým, rep. Newtoovým tegrálem.
Bue & IT / Dále (pro jedoduchot, vyheme e tak defc zobecěé kvatlové fukce) budeme předpokládat, že fukce F je rotoucí. Potom fukce p F má verzí fukc F p, p,, která e azývá kvatlová. Tato fukce je rověž pojtá a rotoucí. Její terpretac lze vyjádřt: p % populace (ve mylu pravděpodobot) má tadard F p; populace je zřejmě upořádáa ekleajícím tadardem. Je-l p p p, potom a p % populace přpadá F p F p % tadardu. L-křvka, přřazeá dtrbučí fukc tadardu F, je moža bodů p,, kde (vz obr. ) [ p, Lp], L p (4) p F r dr, t f dt t je tředí hodota rozděleí tadardu. Zřejmě. Předpokládejme, že. Níže použjeme áledující formule. Per parte dává t f t dt F F t dt, t f t dt F t dt ; F v lmtě pro zíkáváme F tj. F t dt (ubttucí t F r ve (3)) F r dr. (5) Iterpretace aalytckého vyjádřeí L-křvky v (4): Itegrál F p ( r) dr v Remao- vě mylu je lmta oučtů F ( r ) r ; každý čle oučtu je aproxmací přírůtku tadardu daý přírůtkem populace. Tedy ( využtím vyjádřeí ve (4)) čílo r L( p) udává relatví proceta tadardu přpadající a p % populace. Dále zřejmě ( p ) L( p ) p L udává relatví procetí podíl tadardu přpadající a p procetí podíl populace. V důledku adtvty tegrálu je L-křvka adtví. p F(,. L( ( ) L- křvku lze dále popat parametrcky: t f t dt Z prví rovce máme F ( p) a ubttucí t F ( r ) do druhé zíkáme (4).
/ Bue & IT Vlatot L-křvky: L ( p) je rotoucí, pojtá fukce a, hodotam tamtéž. L( p) Z vyjádřeí L( p) p, p,. p F F ( r) dr ( r) dr a z věty o tředí hodotě tegrálu plye erovot L( p) d dp p F ( p) F ( r) dr ; dervace L ( p) je tedy rotoucí fukce. Pokud extuje L ( p), je fukce L ( p) ryze kovexí. L-křvka ezáví a volbě měřítka; áhodé velčy X a cx, c mají totožou L-křvku. G-koefcet lze opět vyjádřt užtím L-křvky (vz obr. ) G L( p) dp. (6) Obrázek : Lorezova křvka dkrétí Zdroj: vlatí zpracováí
Bue & IT / Obrázek : Lorezova křvka pojtý Zdroj: vlatí zpracováí Extují jé alteratví defce G-koefcetu, které uvádí apř. Xu (3). Jeho výzam je tejý jako u dkrétího případu. Vzorec (4) udává aalytcké vyjádřeí L- -křvky pomocí dtrbučí fukce rozděleí tadardu. Totéž provedeme pro G-koefcet daý vzorcem (6). Užtím metody per parte v (6) potupě dotaeme G pl( p) dp (ubt. p F( F( f ( d Nejdříve užtím per parte upravíme (vzhledem ke kovergec evlatích tegrálů) F( f( d F ( F ( d, tj. F( f ( d F ( ) F ( d F ( ) a tedy v lmtě pro máme F( f ( d F ( d. Odtud podle (4) G ( ) ( ) F d F d. akoec 3
/ Bue & IT G F( F( d. (7) Vzorec (6) lze vyjádřt ve tvaru G F( d, F( d F( F( d. protože pravá traa v (7) je rova Výzam vzorce (7) je evdetí v případě, jou-l k dpozc dtrbučí fukce tadardu. V modelech popujících apř. příjem v populac, e čato užívá log-ormálí rozděleí (má větší ctlvot v žších hodotách příjmů) a Paretovo rozděleí (ctlvější ve vyšších hodotách příjmů). Uveďme, že pro log-ormálí rozděleí, je-l záma jeho měrodatá odchylka, platí G, kde je dtrbučí fukce ormovaého ormálího rozděleí N,.. plkace log-ormálího a Paretova rozděleí a příjmy v Čeké republce jou uvedey apř. v publkacích (Bílková, 8; Bílková, 9). V tomto čláku popíšeme Paretovo rozděleí pro jeho jedoduchot př výpočtech a jeho relatví důležtot v aplkacích. Paretovo rozděleí je dáo dtrbučí fukcí pro r, F( pro,,. (8) Číla a jou parametry rozděleí. Hutota pravděpodobot je tedy dáa vzorcem f ( pro, jak ula. Př popu příjmů je parametr dá hodotou tadardu, a který aplkujeme Paretovo rozděleí. Jeho hodota e buď zvolí, ebo odhade ze zadaých dat. Za lze zvolt buď ejmeší hodotu příjmů podléhajících zdaěí, ebo hodotu medáu příjmů. x(, Ozačme ; odtud l x l l, což je leárí závlot. Sledovaou velču lze tedy modelovat Paretovým rozděleím, pokud traformovaá data (tj. logartmu tadardu a kumulatví relatví četot eřazeé v obráceém pořadí) leží přblžě a přímce. Parametr má výzam opačé hodoty měrce této 4
Bue & IT / přímky. K poouzeí kvalty modelu lze užít tadardích metod tattcké dukce. Další charaktertku Paretova rozděleí dotaeme áledově: Ozačme p F(,, p,, tedy F ( p) je kvatlová fukce rozděleí. Výpočtem dotáváme p, kde F, odtud (9) p p /, () tedy podíl tadardů Paretova rozděleí je dá výrazem (). Vzorce () lze užít k výpočtu odhadu parametrů Paretova rozděleí, vz apř. (Bílková, 9). Středí hodota Paretova rozděleí je ; evlatí tegrál koverguje pro. f ( d d Hodotu G-koefcetu Paretova rozděleí zíkáme ze vzorce ; tegrál koverguje pro. G F( ( F( d Nakoec př zvoleé hodotě parametru uvedeme výpočet odhadu parametru. Předpokládejme, že jou k dpozc hodoty kvatlů ouboru dat x p pro zvoleé hodoty p,,,...,. Ozačme přílušou hodotu tadardu Paretova rozděleí. Podle (9) platí. Mmalzace kvadratcké odchylky p ( x / p p ) v proměé emá aalytcké řešeí. Mmalzace výrazu (l x p ( p ) l p ) je dáa řešeím rovce (l x l l( ) p p l( ) p l ( p ). Odtud. (l l x ) p 5
/ Bue & IT Kvaltější model lze vytvořt užtím Paretova rozděleí o více parametrech (rold, 8). Na závěr (bez odvozeí) uveďme dvě důležtá vyjádřeí G-koefcetu. Jou-l zámy pravděpodobot P upořádaého ouboru F F P G, kde, F F F P j. j j Je-l ze základího ouboru provede áhodý výběr upořádá ), potom tattka ( G( tadardu, potom, S a je ozače tak, že je je koztetí odhad G-koefcetu základího ouboru, více vz (Deato, 997). Vzorec () je modfkací vzorce (). () Výledky a dkuze Pro ledováí erovoměrot byla vybráa data cetovího ruchu v ročích čaových řadách. Jedá e o data týkající e výjezdů čekých ávštěvíků (rezdetů) do ejavštěvovaějších evropkých tátů. Nerovoměrot je porováa celkovou ávštěvotí těchto tátů všem erezdety (uvažová jou evropští mmoevropští ávštěvíc). Teto oubor dat ozačme čílcí I. Dále byl prošetře oubor dat popující příjezdy zahračích ávštěvíků do růzých krajů Čeké republky (teto oubor ozačme II). Pro výběr datových ouborů cetovího ruchu bylo využto ěkolka databází. Zabývejme e ejprve datovým ouborem příjezdového cetovího ruchu vybraých evropkých tátů. Výjezdy čekých ávštěvíků jou defováy jako delší cety, tj. délkou trváí přeahující 3 oc. Tyto údaje jou přítupé a trákách Čekého tattckého úřadu (www.czo.cz). Vzhledem ke kutečot, že byla v roce 9 změěa metodka šetřeí, je tato tude zaměřea a data zjštěá do roku 8 včetě. Ke zjštěí počtu všech erezdetů avštěvujících tyto detace byla využta databáze Eurotat volbou počtu příjezdů do hromadých ubytovacích zařízeí (epp.eurotat. ec.europa.eu). Tato data jou údaj o výjezdech čekých rezdetů v abolutích čílech porovatelá je do určté míry. Mohou však loužt jako užtečý podklad pro 6
Bue & IT / ledováí změ tredů ávštěvot. Př běru všech těchto formací je pro čleké táty Evropké ue platá měrce 95/57/ES o běru tattckých formací z oblat cetovího ruchu. Př zpracováí matc datového ouboru I, tedy údajů o výjezdech čekých ávštěvíků a celkovém počtu erezdetů evropkých tátů, je využto rozmezí let 3 8. Teto oubor vtupích dat byl pro vhodou terpretac traformová a jedotkovou ávštěvot; vz Přílohy a. 4 Pomocí vybraých ukazatelů byla tudováa erovoměrot. Výpočty byly provedey v protředí Matlab. Př grafckém zpracováí Lorezovy křvky je využto modfkace programu g (Legwler, ). Hodoty Gho koefcetů zjštěé podle vztahu () jou uvedey v áledující tabulce. Tabulka : Gho koefcety (datový oubor I) Zdroj: vlatí výpočty Odpovídající Lorezovy křvky jou uvedey a obrázku 3. Lze kotatovat, že v průběhu ledovaých let dochází v obou uvažovaých datových ouborech k mírému žováí erovoměrot, což je z hledka cetovího ruchu žádoucí jev. Téměř výhradě kotuálí pokle erovoměrot je zřejmý u celkového počtu zahračích ávštěvíků v uvažovaých detacích. Z hledka výjezdů čekých ávštěvíků je teto pokle přeruše rokem 5. alýzou traformovaých vtupích dat (vz Příloha ) můžeme říc, že rok 5 je pozameá zejméa výrazým ížeím ávštěvot Chorvatka a oučaě vzrůtem ávštěvot Sloveka, čekým turty ejavštěvovaějších detací. Chorvatko vykazuje v rozmezí let 4 8 výzamý pokle počtu čekých ávštěvíků, který e výrazě projevuje ve tvaru Lorezovy křvky. 4) Ve výčtu tátů je užto kódů Evropké ue. 7
/ Bue & IT Druhý datový oubor popuje ávštěvot krajů Čeké republky (www.czo.cz) v letech až. Byl zvole počet přeocováí erezdetů v hromadých ubytovacích zařízeích. Odpovídající hodoty Gho koefcetů jou uvedey v tabulce 3. Tabulka 3: Gho koefcety (datový oubor II) Zdroj: vlatí výpočty Obrázek 3: Lorezovy křvky (pro období 3 8) (Plá čára výplí v grafech odpovídá zatoupeí čekých ávštěvíků; čerchovaá čára začí celkový počet erezdetů.) 3 8
Bue & IT / 4 5 6 9
/ Bue & IT 7 8 Zdroj: vlatí zpracováí Datový oubor II ukazuje výrazé zvyšováí erovoměrot. Pozorot zahračích ávštěvíků je tedy zřejmě více outředěa a kraje Praha a Karlovarký, přčemž tred této ávštěvot v průběhu ledovaých let rote. 3
Bue & IT / Závěr V čláku jou metodam dverzfkace vyhodocey výběrové datové matce z oblat cetovího ruchu a malých podků. Tyto metody lze rověž aplkovat a data z moha jých oblatí ekoome. Dále má čláek poukázat a ezatuptelou rol (zde elemetárího) matematckého aparátu př formulac ekoomckých zákototí. Referece [] tko,. B.: O the meauremet of equalty. Joural of Ecoomc Theory, 97,. 44-63. ISSN: -53. [] rold, B.C.: Pareto ad geeralzed Pareto dtrbuto. I: Modellg Icome Dtrbuto ad Lorez Curve, ed. D. Chotkapach, vol. 5 of Ecoomc Stude Equalty, Socal Excluo ad Well-Beg, kap. 7,. 9-45. Sprger, New York 8. ISBN: 978-3-877-756-. [3] Bílková, D.: pplcato of logormal curve modellg of wage dtrbuto. Joural of ppled Mathematc, 8,. 34-35. ISSN: 337-6365. [4] Bílková, D.: Pareto dtrbuto ad wage model. Joural of ppled Mathematc, 9,. 37-46. ISSN: 337-6365. [5] Deato,.: The aaly of houehold urvey. The Joh Hopk Uverty Pre. Baltmore 997. ISBN: 978--88-554-. [6] Keller, J. Tř ocálí věty. Socologcké akladateltví. Praha. ISBN: 978-8-749-3-5. [7] Legwler Y.: G. Matlab fleexchage,. Dotupé a: http://www.mathwork.com/matlabcetral/fleexchage/88-gcoeffcet-ad-the-loretz-curve, tažeo 4... [8] Se,.: O ecoomc equalty. Claredo Pre. Oxford 973. ISBN: 978-- 98-88-5. [9] Směrce Rady 95/57/ES ze de 3. ltopadu 995 o běru tattckých formací v oblat cetovího ruchu. (Coucl Drectve 95/57/EC of 3 November 995 o the collecto of tattcal formato the feld of tourm.) [] URL: http://www.czo.cz/cu/redakce.f//cru4_cr, tažeo. 4.. [] URL: http://www.czo.cz/cu/redakce.f//cru_cr, tažeo 5... [] URL:http://epp.eurotat.ec.europa.eu/portal/page/portal/tattc/earch_ databae, tažeo. 4.. [3] Xu, K.: How ha the lterature o G dex evolved the pat 8 year? Cha Ecoomc Quarterly, 3,. 757-778. 3
/ Bue & IT Příloha : Výjezdový cetoví ruch čekých ávštěvíků Zdroj: ČSÚ a vlatí výpočty Příloha : Příjezdový cetoví ruch erezdetů Zdroj: Eurotat a vlatí výpočty Mlolav Malec, Katedra ekoome a ekoomky, Vyoká škola hotelová v Praze, Svídcká 56, 8 Praha 8, Čeká republka, E-mal: malec@vh.cz Lukáš Malec, Katedra matematky a tattky, Vyoká škola obchodí v Praze, Spáleá 76/4, Praha, Čeká republka, E-mal: malec@vo-praha.eu Rotlav Tomeš, Katedra výpočetí techky, Vyoká škola obchodí v Praze, Spáleá 76/4, Praha, Čeká republka, E-mal: tome@vo-praha.eu 3