a diagnostika letadel

Podobné dokumenty
Od Pythagorovy věty k super-počítání

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

Program SMP pro kombinované studium

9. cvičení z Matematické analýzy 2

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Aplikovaná matematika I

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Lineární algebra : Metrická geometrie

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Základy matematiky pracovní listy

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

předmětu MATEMATIKA B 1

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

11 Vzdálenost podprostorů

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

Aplikovaná numerická matematika

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Linearní algebra příklady

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

Vybrané kapitoly z matematiky

19 Eukleidovský bodový prostor

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Matematika 1 pro PEF PaE

Dobré ráno ŠKOMAMe! +ŠKOMAM cup Matyáš T. Mdx Theuer ŠKOMAM Katedra aplikované matematiky VŠB -TUO

Vlastní čísla a vlastní vektory

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

Cvičení z Lineární algebry 1

14. přednáška. Přímka

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

19 Hilbertovy prostory

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

AVDAT Vektory a matice

ÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,

Úvod do kvantového počítání

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

1 Projekce a projektory

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

Matematika I pracovní listy

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Vlastní číslo, vektor

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

Slajdy k přednášce Lineární algebra I

Kulová plocha, koule, množiny bodů

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

9 Kolmost vektorových podprostorů

6. Základy výpočetní geometrie

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Požadavky ke zkoušce

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

1 Analytická geometrie

Tajemství skalárního součinu

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)

Separovatelné diferenciální rovnice

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Matematika B101MA1, B101MA2

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

Transkript:

Pythagorova věty, vyšší matematika a diagnostika letadel ŠKOMAM 28, 6. ledna Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB-TU Ostrava web: http://homel.vsb.cz/ luk76 email: dalibor.lukas@vsb.cz

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Pythagorova věta, Kosinová věta Kolmé (ortogonální) vektory c b Pythagorova věta a 2 +b 2 = c 2 c b Vektorový počet ( ) a a :=, b := ( ), c = a+b := b ( ) a+ +b = ( ) a b a a Velikost (norma) vektoru ( ) c := c = a := a b 2 +b 2

Pythagorova věta, Kosinová věta Nekolmé vektory c b Vektorový počet ( ) a a :=, b := a 2 ( b b 2 ), c = a+b := ( ) a +b a 2 +b 2 a c α a b Kvadrát velikosti vektoru, Kosinová věta ( ) c 2 = c 2 = a +b 2 = a 2 +b 2 = (a +b ) 2 +(a 2 +b 2 ) 2 = = (a ) 2 +(a 2 ) }{{} 2 +(b ) 2 +(b 2 ) 2 +2 (a }{{} b +a 2 b 2 ) }{{} = a 2 = b 2 = a 2 +b 2 +2 cos(α)ab =:a b=cos(α) a b α = π 2 a b = : Pythagorova Kosinová věta

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Projekce bodu na přímku, rovinu, met. nejm. čtverců Projekce (ortogonální) bodu na přímku u α p u b p b Dáno: přímka u se směrem u a bod b. Úloha: Tj. Hledáme p := xu : u (b p) u (b xu) = x = u b u u = cos(α) b u, což není překvapivé: p = xu = cos(α) b u u = cos(α) b.

Projekce bodu na přímku, rovinu, met. nejm. čtverců Projekce (ortogonální) bodu na rovinu b u p ρ v Dáno: rovina ρ se směry u, v a bod b. Úloha: Hledáme p := xu+yv : u (b p) a v (b p) Tj. u (b xu yv) = a v (b xu yv) =. To je soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých: ( ) ( ) ( ) u u u v u b x +y =. v u v v v b

Projekce bodu na přímku, rovinu, met. nejm. čtverců Projekce (ortogonální) bodu na rovinu xu b yv u p ρ v Dáno: rovina ρ se směry u, v a bod b. Úloha: Hledáme p := xu+yv : u (b p) a v (b p) Tj. u (b xu yv) = a v (b xu yv) =. To je soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých: ( ) ( ) ( ) u u u v u b x +y =. v u v v v b u v: Projekce na ρ je součtem projekcí na u a v, p = u b }{{} u u =x u+ v b }{{} v v Řešení x,y minimalizuje funkci b xu yv 2 metoda nejmenších čtverců. =y v.

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Fourierova řada Funkce(cos(kt)) k=,(sin(kt)) k= jsounavzájemkolmévzhledemkeskalárnímusoučinu 2π N ( ) ( ) 2π 2π 2π f g := f(t)g(t)dt f N j g N j N Rozumnou funkci b(t) můžeme nahradit částečným součtem Fourierovy řady n cos(kt) b(t) n sin(kt) b(t) b(t) b n (t) := cos(kt)+ sin(kt). cos(kt) 2 sin(kt) 2 k= Jedná se o projekci b(t) do podprostoru (roviny) harmonických funkcí. MP3-komprese Dáno: signál b(t) a práh ε (,). Úloha: Hledáme nejmenší n N a b n (t) : b(t) b n (t) ε b(t). Kolmost báze + strom. hierarchie = nlogn aritm. instukcí (vers. n 3 ) j= k=

Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese MP3-komprese: b(t) := sinc(2π(t )) b (t), b (t), b 2 (t), b 3 (t), b 4 (t), b 5 (t).2.8.6.4.2.2.4 2 3 4 5 6 7

Fourierova r ada, MP3, JPEG, polynomia lnı regrese JPEG-komprese: Fourierova ba ze fjk (x, y) := eıω(jx+ky) Re f(x, y) Re f2(x, y) Re f2(x, y) Re f22(x, y).5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.6.8.2 Re f3(x, y).2.4.2 Re f3(x, y).5.5.5.5.5.5.5.5.5.6.5.6.4.2.8.8.5.6.4.2.2 Re f32(x, y).8.6.4 Re f23(x, y).8.5.6.4.8.5.6.4.8.8.5.6.4.2.4.2

Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese JPEG-komprese projekce do (hyper)roviny bitmapa 5%-komprese Fourierovou bází

Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Legendreovy polynomy L (t) :=, L (t) := t, L k+ (t) := 2k + k + tl k(t) k k + L k (t) pro k >, jsou kolmé vzhledem ke skal. součinu f g := f(t)g(t)dt..8.6.4.2.2.4.6.8.8.6.4.2.2.4.6.8 Polynomiální regrese: b(t) b n (t) := n k= L k b L k 2 L k (t)

Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Polynomiální regrese: b(t) b (t), b 2 (t), b 4 (t), b 6 (t), b 8 (t), b (t).8.6.4.2.2.4 2 3 4 5 6 7

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Ultrazvuková defektoskopie draku (trup,...) letadla Spolupráce s Honeywell Brno piezo-aktuátor trhlina piezo-snímač

Elektromagnetické tváření plechů Spolupráce s Fraunhofer Chemnitz cívka (v Ω ext ): 3 závity, budicí proud: amplituda ka, půl peridoda sinu, frekvence 8.33 khz, vodič (Ω int ): hliníkový plech, tl. 2 mm thin, 2 mm nad cívkou Ω ext Ω int

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

Příklad do ŠKOMAM CUPu Řešení soustavy Cramer. pravidlem s řádk. rozvojem determinantů 2 2 x = 2 A = 2 = 2 2 2 = (( ) ( )) = 4, 2 A = = 2 = =, A 2 = 2 = 2 2 = = 6, 2 A 3 = 2 = 2 2 + 2 = = 9, x = A / A = /4, x 2 = A 2 / A = 3/2, x 3 = A 3 / A = 9/4,

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Příklad do ŠKOMAM CUPu Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz www.top5.org, počítač na světě, čínský Sunway TaihuLight, Kramerovým pravidlem s řádkovým rozvojem determinantů, uvažujeme-li pouze instrukce násobení, kterých provede 93 5 za sekundu?

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Příklad do ŠKOMAM CUPu Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz www.top5.org, počítač na světě, čínský Sunway TaihuLight, Kramerovým pravidlem s řádkovým rozvojem determinantů, uvažujeme-li pouze instrukce násobení, kterých provede 93 5 za sekundu? Závěr Na problém lze nahlížet z mnoha pohledů. Matematika nám pomáhá najít ten správný.

Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Příklad do ŠKOMAM CUPu Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz www.top5.org, počítač na světě, čínský Sunway TaihuLight, Kramerovým pravidlem s řádkovým rozvojem determinantů, uvažujeme-li pouze instrukce násobení, kterých provede 93 5 za sekundu? Závěr Na problém lze nahlížet z mnoha pohledů. Matematika nám pomáhá najít ten správný. Obor Výpočetní a aplik. matematika, FEI VŠB-TUO: Od (elektro)technického problému k řešení.