ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY MOCNINNÉ ŘADY - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kteři Bábíčková Přírodovědá studi, Mtemtická studi Vedoucí práce: Doc RNDr Jroslv Hor, CSc Plzeň 5
Prohlšuji, že jsem svoji bklářskou práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí V Plzi 3 dub 5 vlstoručí podpis
PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucímu bklářské práce Doc RNDr Jroslvovi Horovi, CSc z ceé rdy připomíky při vedeí mé bklářské práce v eposledí řdě z trpělivost, kterou mi věovl
PODĚKOVÁNÍ ZDE SE NACHÁZÍ ORIGINÁL ZADÁNÍ KVALIFIKAČNÍ PRÁCE
OBSAH OBSAH SEZNAM ZKRATEK ÚVOD 4 MOCNINNÉ ŘADY 5 DEFINICE 5 Určete střed koeficiety mocié řdy 5 POLOMĚR KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY 7 Určete poloměr itervl kovergece mocié řdy 8 3 OBOR KONVERGENCE 4 3 Určete obor kovergece mocié řdy 5 3 Udejte příkld mocié řdy, která má obor kovergece 5 VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD 3 Njděte předpis pro součtovou fukci řdy 3 3 VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD 43 3 TAYLOROVA A MACLAURINOVA ŘADA 43 3 ROZVOJ ZÁKLADNÍCH FUNKCÍ 44 3 Vypočtěte přibližý výpočet itegrálů 45 3 Určete přibližou hodotu 48 ZÁVĚR 5 RESUMÉ 5 SEZNAM LITERATURY 53 SEZNAM OBRÁZKŮ 54 PŘÍLOHA I
SEZNAM ZKRATEK SEZNAM ZKRATEK Zčk její výzm: R, N obor reálých, resp přirozeých čísel ; je meší, resp je meší ebo rovo ; je větší, resp je větší ebo rovo ; je mohem meší, resp je mohem větší je po zokrouhleí rovo krát (při ásobeí); čsto se vyechává, př místo b píšeme b :, děleo; v tetu píšeme b místo : b, ; kultá, resp hrtá, resp složeá závork, polootevřeá zlev, resp polootevřeá zprv závork -tá odmoci z čísl (zčk se zývá odmocítko) bsolutí (prostá) hodot čísl -tá moci! -fktoriál (3 ) je prvkem, ptří do; př ; b zmeá: ptří do itervlu ; b sjedoceí; př zmeá: ul ptří do oboru přirozeých čísel ikluze, je podmožiou ; př ; b mi( ; ) m ; podmožiou v oboru reálých čísel se erová b miimum v itervlu ; b mimum v itervlu ; b, ejmeší z čísel b b, ejvětší z čísel b R zmeá: itervl ; b je
SEZNAM ZKRATEK posloupost součet, sum; je ekoečá řd utvořeá z čleů poslouposti lim posloupost má limitu lim posloupost má evlstí limitu limsup lim lim limes superior poslouposti posloupost má v bodě limitu zprv posloupost má v bodě limitu zlev, její omezeí seshor v ekoeču f prví derivce fukce f( ) podle f druhá derivce fukce f( ) podle b eurčitý itegrál určitý itegrál od do b mtemtická kostt s hodotou 3,45 zvá jko Ludolfovo číslo e mtemtická kostt s hodotou e,78 zvá jko Eulerovo číslo l přirozeý logritmus čísl (při zákldu e) 3
ÚVOD ÚVOD Obshovou áplí předmětu Mtemtická lýz (KMA/MA) vyučový Zápdočeské uiverzitě v Plzi jsou poslouposti ( její divergece, kovergece, kritéri), limity, derivce itegrály, číselé řdy poslouposti částečých součtů Popisuje, co to řdy jsou, kdy jsou kovergetí, jká mjí kritéri (srovávcí, limití, podílové, odmociové, Leibizovo) Studeti zde získjí zákldy k tomuto témtu Nvzující předmět Mtemtická lýz (KMA/MA) pojedává více o těchto řdách, zejmé fukčích dále mociých Tém Mocié řdy řešeé příkldy obshuje pro mě dvě důležitá slov, proč jsem si toto tém vybrl: řdy příkldy O řdách jsem se dozvěděl hodě z předmětu KMA/MA stly se mým oblíbeým témtem Já jsem toho ázoru, že libovolý obor mtemtiky je lepší ukázt i příkldech ež pouze teoriích defiicích Bez většího možství příkldů se studeti v teorii eorietují zcel správě ztrtí pojem kde, co jk dostli, vyvodili Použitím příkldů mohou ledcos pochopit, příkld jk byl ějká vět či defiice myšle Mým cílem je vysvětlit, co mocié řdy jsou vymyslet k im ěkolik řešeých příkldů seřzeých od ejlehčí po těžší obtížost Chtěl bych, by tto bklářská práce pomohl pochopit lépe učivo, přípdě pomohl k zápočtovým zkouškovým testům 4
MOCNINNÉ ŘADY MOCNINNÉ ŘADY DEFINICE Defiice: Mociá řd 3 3, Mějme řdu kde 3,,,,, R Uvedeý výrz se zývá mociá řd se středem Čísl se zývjí koeficiety mocié řdy Máme-li mociou řdu se středem v počátku, pk je ve tvru 3 3 URČETE STŘED A KOEFICIENTY MOCNINNÉ ŘADY ) 5 Řešeí Pro lepší přehled si řdu ejprve rozepíšeme Vždy zčíáme od prvího čleu, tudíž od uly 3 5 5 3 5 Dá mociá řd má střed 5 koeficiety ( ) pro všech b)! Řešeí Tuto řdu rozepíšeme od prvího čleu, který je rove dvěm 3 4!! 3! 4! Mociá řd má střed koeficiety,! pro 5
MOCNINNÉ ŘADY c) Řešeí 3 4 5 6 3 Když řdu rozepíšeme, zjistíme, že zde chybí čley s lichou mociou Pro tkové přípdy použijeme substituci u, jik se koeficiety dělí pro liché pro sudé Střed mocié řdy je d) Řešeí 3 4 5 6 7 3 4 5 Po rozepsáí řdy čley hed zjistíme, že chybí čley se sudou mociou Proto ji uprvíme, by sudé mociy obshovl: Obdobě jko v příkldě předcházejícím, můžeme použít substituci u, tk by dá mociá řd obshovl všechy čley Jik se koeficiety dělí pro sudé, pro liché je kde Jde o mociou řdu se středem e) 4 Řešeí Nejprve si řdu uprvíme tvr vytkutím Tím získáme smostté v pk řdu můžeme rozepst jedotlivé čley 8 3 ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Mociá řd má střed koeficiety pro všech 6
MOCNINNÉ ŘADY POLOMĚR KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Defiice: Poloměr kovergece Pro kždou mociou řdu eistuje právě jedo číslo R ; že pltí: (I) mociá řd koverguje celém oboru pro R (II) mociá řd koverguje pouze ve svém středu, pk pokládáme R (III) pro R mociá řd koverguje pro J R; R (IV) pro R mociá řd diverguje pro J ; R R; tkové, Číslo R se zývá poloměr kovergece mocié řdy otevřeý itervl J R; R se zývá itervl kovergece mocié řdy Vět: O určeí poloměru kovergece Jestliže pro mociou řdu q lim, resp limsup q q lim, resp q limsup, eistuje ěkterá z limit: potom pro poloměr kovergece R itervl kovergece J této mocié řdy pltí: pro q je R J ( ; ), pro q je pro q je J, R R q J R; R 7
MOCNINNÉ ŘADY URČETE POLOMĚR A INTERVAL KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY ) Řešeí Dá mociá řd má střed koeficiety pro všech Pro určeí poloměru použijeme odmociové kritérium: lim lim Poloměr kovergece R vyšel Mociá řd tedy koverguje uvitř itervlu s krjími body - ekoverguje vě tohoto itervlu Proto itervl kovergece je J ( ; ) b)! Řešeí Střed mocié řdy je koeficiety! pro všech Vzhledem k výskytu! je vhodé použít podílové kritérium! lim lim lim Jelikož q, pk poloměr kovergece! R itervl je rove svému středu J c) Řešeí Tto mociá řd má střed koeficiety pro všech Zde se ám hodí použít podílové kritérium: lim lim lim 3 Vyšlo q, což zmeá, že poloměr kovergece je R Itervl kovergece mocié řdy určíme podle vzorce J R; R, tudíž výsledkem je itervl J = (; ) 8
MOCNINNÉ ŘADY d) Řešeí Střed této mocié řdy je koeficiety Když použijeme podílové kritérium pro všech lim lim lim, zjistíme, že zse vychází poloměr kovergece mocié řdy R Itervl kovergece ze vzorce J R; R vychází J ( 3; ) e) Řešeí Vypišme si ěkolik prvích čleů mocié řdy ž příkld do mociy Dostáváme 4 6 8 4 8 6 3 Nyí je zřejmé, že řd vůbec eobshuje čley s lichou mociou proměé Pro koeficiety této řdy tedy pltí Dále je 4 6 8,, 4, 8, 6, 3, U tkovéto mocié řdy emůžeme užít žádý z dosud uvedeých vzorců pro výpočet čísl q Pokud bychom chtěli psát podíly, pk jich polovi vůbec eeistuje Je-li totiž liché, je ve jmeovteli zlomku Neeistuje tudíž lim q ejsme schopi určit i poloměr kovergece R Zcel stejě dopde i pokus o výpočet limity lim Ai tto limit eeistuje Vybrá posloupost lichých čleů má totiž limitu vybrá posloupost sudých čleů Přímý postup tedy evede k cíli, ejsme schopi určit číslo q tedy i poloměr kovergece R dé řdy 9
MOCNINNÉ ŘADY Ozčme proto u Dostáváme řdu u Tto řd již obshuje všechy mociy proměé u, je,, 4, 3 8, 4 6, 5 3, Nyí již můžeme spočítt q lim lim Tudíž R mociá řd koverguje pro u ; Ovšem yí je třeb určit poloměr kovergece původí řdy T koverguje pro áležející do itervlu ; Vzhledem k tomu, že pro všech reálá, hledáme t, pro ěž pltí To je le ekvivletí s erovostí, tj ; J, což je itervl kovergece poloměr kovergece je R f) 3 Řešeí Pro teto příkld je střed oboru kovergece, le koeficiety 3 ( ) pro všech jsou o ěco složitější Proto si je rozdělíme 3 ( ) dvě jedodušší části: pokusíme se jít poloměr kovergece zvlášť Mějme řdu 3 ( ) Použijeme zde odmociové kritérium 3 3 lim lim lim 3 Poloměr kovergece dé řdy je R 3 4 ; ; 3 3 itervl kovergece je J R R
MOCNINNÉ ŘADY Dlší řd je ( ) ( ) Stejě jko v předchozím příkldě použijeme odmociové kritérium ( ) lim lim lim Zde poloměr kovergece vychází 3 ; ; R itervl J R R Jelikož poloměr kovergece součtu dvou řd je dá jko miimum jedotlivých poloměrů kovergece R mi( R; R) mi ;, pk mociá řd 3 3 ( ) ( ) má poloměr kovergece R tudíž itervl 3 J 4 ; 3 3 Nebo můžeme výpočet provést jedodušeji Mějme mociou řdu 3 podle podílového kritéri zjistíme rovou poloměr kovergece 3 3 3 3 3 lim lim lim lim 3 3 3 Je tedy 3 R vzhledem k tomu, že jde o mociou řdu se středem v bodě 3, je itervl kovergece 4 J ; 3 3
MOCNINNÉ ŘADY g) 6! ( 4) (5 )! Řešeí Střed mocié řdy je 4 koeficiet je (6 )! Jelikož zde převžuje (5 )! fktoriál d, bude lepší použít podílové kritérium 6! 5! lim lim lim lim 5! 6 6! 5! 6! 5 5! 6! 6 66 56 46 36 6 5 55 45 35 5 Užijme větu o limitě součiu: 6 6 6 5 6 4 6 3 6 6 lim lim lim lim lim lim lim 5 5 5 4 5 3 5 5 6 6 lim 5 5 Ovšem lim e tedy výsledá limit je q = 5 6 6 5 e Poloměr kovergece mocié řdy vychází 5 5 R e itervl 6 6 5 5 6 5 6 5 5 5 46 5 e 46 5 e J ( R; R) 4 e; 4 e ; 6 6 6 6 6 6 6 6
MOCNINNÉ ŘADY h) 4 Řešeí Nejprve si mociou řdu uprvíme tvr Toho dosáheme vytkutím před závorku Mociá řd má tvr ( ) se středem koeficiety pro všech Pro tuto řdu mohu použít odmociové kritérium lim lim lim Pro dou mociou řdu vychází q, proto je její poloměr kovergece je rove R itervl je J = ( - ; ) i) ; b Řešeí b V tomto příkldu bude zřejmě poloměr kovergece R dé řdy záviset prmetrech, b ším úkolem bude provést diskuzi Řd má střed použijeme podílové kritérium Zkoumáme situce: ) Je-li b, vydělíme čittel i jmeovtel lim b b lim b b b kovergece je R = ) Je-li yí b, vyjde zřejmě lim lim b b lim b b b, eboť lim Pk q poloměr q poloměr kovergece je R = b Poloměr b kovergece této mocié řdy je rove mimu z čísel, b jejich poloměrů, tj R m( ; b) 3
MOCNINNÉ ŘADY 3 OBOR KONVERGENCE Vět: Abelov vět o bsolutí kovergeci Je-li mociá řd se středem v bodě kovergetí v ěkterém bodě, jehož vzdáleost od je :, pk ve všech bodech ; koverguje bsolutě Důsledek Abelovy věty Diverguje-li mociá řd v ěkterém bodě tké divergetí možiě ; ;, tedy v bodech : R, kde, pk je kde : pltí Obr Abelov vět o bsolutí kovergeci její důsledek Vět: Abelov vět o stejoměré kovergeci Nechť mociá řd koverguje v bodě má poloměr kovergece R Potom tto řd koverguje stejoměrě kždém uzvřeém itervlu, b J R; R 4
MOCNINNÉ ŘADY Vět: Absolutí stejoměrá kovergece mocié řdy Nechť je mociá řd s koečým kldým poloměrem kovergece R, potom pltí jestliže: mociá řd koverguje, přípdě bsolutě, R; R, pk K K R; R mociá řd koverguje, přípdě bsolutě, kždém itervlu R, kde R R, pk K R; R, le ; K R; R mociá řd koverguje, přípdě bsolutě, kždém itervlu b; R, kde R b R, pk K R; R, le K R; R mociá řd koverguje i bsolutě kždém itervlu ; b, kde, pk K K R; R R b R Číslo K se zývá obor kovergece mocié řdy kovergece K se zývá obor bsolutí Pro poloměr, obor kovergece obor bsolutí kovergece pltí vzth: J K K 3 URČETE OBOR KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY ) Řešeí V příkldu ) strě 8 jsme zjistili, že dá mociá řd střed, poloměr kovergece R itervl J ; Nyí rozhodeme o kovergeci v krjích bodech tohoto itervlu kovergece doszeím do zdé mocié řdy 5
MOCNINNÉ ŘADY Do řdy dosdíme hodotu pk hodotu : : Tyto číselé řdy esplňují utou podmíku kovergece lim, proto dostáváme divergetí řdy Hodoty - eptří do oboru kovergece řdy i do oboru bsolutí kovergece řdy pltí K K J ; b) Řešeí Tto mociá řd má střed koeficiety pro všech Její poloměr určíme použitím odmociového kritéri lim lim Tedy poloměr kovergece je R itervl kovergece se rová J= Nyí dosdíme hodotu, čímž dostáváme utá podmík kovergece, je tto řd divergetí Pro hodotu dostáváme řdu, která je tké divergetí Jelikož eí splě Protože hodoty eptří i do oboru kovergece řdy i do oboru bsolutí kovergece řdy, zpisujeme K K J ; c) Řešeí Dá mociá řd má střed koeficiety pro všech Použijeme odmociové kritérium: lim Tím jsme určili poloměr kovergece R itervl kovergece vychází podle vzorce ; ; J R R Nyí rozhodeme o kovergeci krjích bodů tohoto itervlu 6
MOCNINNÉ ŘADY Dosdíme-li má, dostáváme řdu lim lim posloupost Leibizov kritéri proto je řd oboru kovergece mocié řdy Po doszeí do řdy, vyjde řd Jedá se o řdu lterující, která je klesjící T splňuje podmíky kovergetí Hodot - ptří do divergetí Tedy hodot eptří do oboru kovergece řdy Tto řd má obor kovergece rove ; K, tedy hrmoická řd t je K ;, le obor bsolutí kovergece je d) Řešeí Koeficiety mocié řdy jsou střed Zde můžeme použít odmociové kritérium kovergece J R R lim lim, odkud poloměr R Itervl kovergece vyjde podle vzorce ; ; Pro hodotu 9 9, vyjde číselá řd Tto řd je kovergetí splňující podmíky Leibizov kritéri Dosdíme-li hodotu, dostáváme řdu Dou řdu vyšetříme srovávcím kritériem: 7
MOCNINNÉ ŘADY Nlezli jsme divergetí miortu, proto i vyšetřová řd diverguje Obor kovergece je rove K 9 ; obor bsolutí kovergece e) 4! Řešeí K 9 ; V této mocié řdě máme koeficiety kovergece 4 pro všech střed! Použijeme zde podílové kritérium 4! 4 lim lim lim 4!, odkud dostáváme poloměr kovergece R Vychází ám itervl J ; to je zároveň obor kovergece řdy obor bsolutí kovergece řdy K K ; f) Řešeí l Nejprve si řdu uprvíme do zákldího tvru před závorku Dostáváme tím mociou řdu střed koeficiety l odmociové kritérium poloměr kovergece l, tím že vytkeme, která má pro všech Použijeme-li l l lim lim lim, dostáváme R itervl ; 4 J Obor kovergece určíme doszeím krjích bodů 4 do řdy 8
MOCNINNÉ ŘADY Pro hodotu l dosteme číselou řdu l, která je mjortou hrmoické řdy kovergece Proto tto hodot eptří do oboru Když dosdíme hodotu 4 do řdy, dosteme l Je to číselá řd lterující splňující podmíky l Leibizov kritéri, která koverguje Tto hodot ptří do oboru kovergece, proto mohu zpst K ; 4 Obor bsolutí kovergece se rová itervlu řdy K J ; 4 g)! Řešeí Máme mociou řdu se středem koeficiety Poloměr kovergece určíme podílovým kritériem! lim lim lim lim! pro všech 3 Výsledkem je! 3 3 R, čímž dostáváme degeerový itervl rový svému středu J To je zároveň obor kovergece obor bsolutí kovergece řdy K K J h) 4 Řešeí 4 Pro lepší přehled si řdu rozepíšeme do zákldího tvru Vytkeme ze závorky pk dostáváme řdu 4 9
MOCNINNÉ ŘADY 4 mociy: Ozčme 4 4 Vyšetřeme obor kovergece řdy je pro sudé u dostáváme mociou řdu u Tto mociá řd již má u všech moci eulové koeficiety 4 proto lze užít vzorec pro výpočet 4 4 8 4 8 lim lim lim lim 4 8 q Je tedy 4 R řd koverguje pro u J ; Řd pk koverguje pro t, pro ěž pltí 4 Nerovost vlevo pltí pro všech Zjistíme, pro která pltí Je to pltí pro t, jejichž vzdáleost od - je meší ež, tj ; Tím jsme lezli itervl kovergece původí řdy její poloměr kovergece R Teto itervl kovergece je zároveň obor kovergece J K ; Nyí rozhodeme o bsolutí kovergece doszeím krjích hodot do řdy 4 Pro obě hodoty dosteme Hledáme, pro které pltí 4 4 4
MOCNINNÉ ŘADY Pk řd je kovergetí mjortou řdy, která je tedy 4 kovergetí Obor bsolutí kovergece je K ; i) Řešeí Mociá řd má střed v bodě Vzhledem k výskytu mociy pro všech bude vhodější použít odmociové kritérium lim lim lim e Poloměr kovergece R tím e pádem itervl kovergece je rove J ; e e Po doszeí dosteme řdu e Abychom zjistili e kovergeci, využijeme utou podmíku kovergece Limit -tého čleu eeistuje proto řd diverguje Pro hodotu dostáváme řdu e Použijme opět utou e podmíku kovergece lim Jelikož hodot vyšl jiá ež ul, e pk podmík eí splě řd je divergetí Obor kovergece řdy obor bsolutí kovergece řdy je rove itervlu K K J ; e e j) 3! π Řešeí:
MOCNINNÉ ŘADY Tto mociá řd se středem 3 koeficietem! pro všech π, obshuje jk!, tk i -tou mociu to celé je v -té mociě Proto bude lepší použít odmociové kritérium!!! lim lim lim lim π π π π Přičemž hodot! je mohem větší ež hodot proto limit se rová ekoeču Zčíme! π Poloměr kovergece se tedy rová R itervl kovergece se chází ve svém středu J 3 Tto hodot pltí i pro obor kovergece pro obor bsolutí kovergece 3 K K k) ( ) Řešeí Střed této mocié řdy je koeficiety pro všech Můžeme použít podílové kritérium lim lim lim přičemž ám vyjde poloměr kovergece R Itervl kovergece se rová J ; 3 Pro hodotu dostáváme číselou řdu T koverguje podle, Leibizov kritéri - je lterující, posloupost lim je erostoucí její limit Pro hodotu 3 obdržíme řdu, která koverguje bsolutě Hodoty 3 ptří jk do oboru kovergece, tk i do oboru bsolutí kovergece Proto pltí K K J ; 3
MOCNINNÉ ŘADY l), Řešeí V dé mocié řdě se vyskytuje prmetr jde o řdu se středem v počátku Použijeme odmociové kritérium s koeficietem lim lim Tedy poloměr kovergece Pro hodotu dostáváme řdu pro řdu : R itervl ; Abychom určili obor kovergece, musíme provést diskusi pro prmetr Bude-li J, pk obě dvě řdy budou divergetí, protože esplňují utou podmíku kovergece Obor kovergece obor bsolutí kovergece je K K J ; Pro budou obě dvě řdy kovergetí Pro prví řdu lze užít Leibizovo kritérium pro druhou srovávcí kritérium, kdy její mjort je vždy kovergetí Tudíž obor kovergece obor bsolutí kovergece se rová K K ; m) b, b Řešeí Teto příkld je o ěco složitější, protože se ám zde vyskytují prmetry b ještě ve společém součtu Proto dou mociou řdu můžeme rozložit součet dvou řd: b, se společým středem Pro kždou řdu určíme zvlášť poloměr kovergece, itervl obor kovergece 3
MOCNINNÉ ŘADY Mějme řdu, kterou můžeme použít odmociové kritérium: lim lim lim Dostáváme tk poloměr kovergece R itervl J ; Dosdíme teď hodotu do řdy, tím pádem dostáváme O té víme, že je kovergetí podle Leibizov kritéri Tto hodot ptří do oboru kovergece Pro hodotu dostáváme řdu, která je divergetí Obor kovergece je rove K ;, le obor bsolutí kovergece je rove itervlu kovergece K J ; b Nyí mějme řdu Stejě jko v předchozí řdě použijeme b b odmociové kritérium: lim lim lim b Zde poloměr kovergece vychází R itervl J ; b b b Dosdíme-li hodotu do řdy, dostáváme b kovergetí řdu podle Leibizov kritéri b S hodotou dostáváme řdu b b b b,, která je kovergetí Itervl ptří do oboru kovergece i do oboru bsolutí kovergece řdy K K J ; b b 4
MOCNINNÉ ŘADY Mociá řd b vziklá součtem dvou řd má poloměr kovergece jko miimum jedotlivých poloměrů kovergece R mi( R ; R ) Nyí zkoumáme situci, kdy b, pk je poloměr kovergece R Obor kovergece se rová K ; Pro přípd b je poloměr kovergece R obor kovergece s oborem bsolutí b kovergece vychází K K ; b b 3 UDEJTE PŘÍKLAD MOCNINNÉ ŘADY, KTERÁ MÁ OBOR KONVERGENCE ) K ; 3 Řešeí Nejprve si vypíšeme vše, co můžeme o mocié řdě pst Vidíme, že její střed se chází v poloměr kovergece je rove R Hledáme tkovou řdu, ve které vyjde po užití odmociového či podílového kritéri q Vezmeme-li řdu ( ), zjistíme, že poloměr kovergece vyjde jed Bohužel, tto řd emá zdý obor kovergece Pro hodotu, podle Leibizov kritéri vyjde řd kovergetí, le my potřebujeme řdu divergetí Proto můžeme vzít buď : ( ), ebo je : ( ) Obě dvě mocié řdy jsou divergetí pro kždou z hodot, Neí pro ě splě utá podmík kovergece 5
MOCNINNÉ ŘADY b) K ; s 5 Řešeí Jelikož poloměr kovergece se chází v celém svém oboru R, pk dý střed kovergece 5 je tu jko dodtek k řdě Nyí zkoumáme limitu, která se musí rovt q Stejě jko v předchozím příkldě použijeme podílové kritérium Pro teto přípd hledáme zlomek, kde v čitteli je ezámá s mociou meší ež ve jmeovteli Příkld obor kovergece ; je 5 c) K 3 ; Řešeí Střed řdy se chází s poloměrem kovergece výsledkem z ěkterého z kritérií musí být q R, tím pádem Vyberme ejprve tkovou řdu, pro iž vyjde itervl J 3 ; Mohl by to být? Když použijeme odmociové kritérium, pk dý itervl vychází Dosdíme-li krjí body do řdy, vyjdou ám divergetí řdy Musíme ji tedy pouprvit Zkusme tedy řdu, pro kterou vychází správý itervl kovergece 3 Po doszeí hodot, zjistíme, že se už u jedé z ich objevuje kovergetost podle Leibizov kritéri Bohužel se chází špté strě obor kovergece je K 3 ; Tedy musíme do čittele přidt, by se kovergece prohodil Výsledá mociá řd, pro iž pltí obor kovergece má tvr: 6
MOCNINNÉ ŘADY d) K Řešeí Obor kovergece je rove středu kovergece řdy, který se chází v Aby poloměr kovergece byl R, musí dá limit vyjít q To můžeme zjistit podílovým kritériem, kde dosteme zlomek Tkovou podmíku splňuje příkld mociá řd!( ) e) K 6; 8 Řešeí Z oboru kovergece je zřejmé, že střed je poloměr kovergece R 4 Výsledkem ěkterého z užívých kritérií musí být q 4 Njít mociou řdu pro teto obor hodot je jedoduché Stčí využít formulce 4 z příkldu b), která má obráceě závorky Vezmeme-li tedy řdu vypočteme její limitu s odmociovým kritériem lim 4, zjistíme, že se q 4 Musíme tedy hodoty obrátit ásledá řd vypdá: 4 Tto řd již má itervl J ( 6; 8) yí zjistíme, zd se rová i oboru kovergece Dosdíme hodotu 6 do řdy vychází ám divergetí řd Musíme tedy hodotu vrátit zpátky do jmeovtele Řd má stejý itervl 4 i obor kovergece Číselá řd vziklá doszeím 6 už koverguje podle Leibizov kritéri hodot 8 diverguje 7
MOCNINNÉ ŘADY f) 9 K ; 5 5 Řešeí Nevdí i, že teto obor kovergece obshuje zlomky s většími čísly Lehce zjistíme, že má střed 4 poloměr kovergece má být vyjít limit q 5 Nejprve si jdeme řdu s itervlem přípdě pozměíme jko v předchozích příkldech R Tedy musí 5 9 J ; pk ji 5 5 Vezměme si jedoduchou řdu 5 ( 4) Po použití odmociového kritéri lim 5 5 zjistíme, že se rová poloměru kovergece dále itervlu, le oboru kovergece e Pro obě krjí hodoty dá řd diverguje Přidáme-li ezámou do jmeovtele ve zlomku, pk řd vypdá: Stále má stejý itervl Dosdím hodotu podle Leibizov kritéri Již je jsé, že pro hodotu divergetí 5 ( 4) dostávám kovergetí řdu 5 9 bude řd 5 Musíme tedy ještě jedou uprvit řdu, to tk, že přidáme druhou mociu 5 k ezámé Řd ( 4) je koečým výsledkem pro teto obor kovergece Rová se itervlu kovergece obě dvě krjí hodoty jsou vziklé číselé řdy kovergetí 8
MOCNINNÉ ŘADY Pozámk Všechy tyto řdy jsou je jedoduchým příkldem k dému oboru kovergece Do řdy můžeme přidt dlší čísl či ezámé jko př: 5 ( 4) Můžeme pozměit tvr středu Pro teto příkld by mohl mít tvr (5 ) Pro toho, kdo si myslí, že je to moc jedoduché, může použít substituci Řd s velmi jedoduchou substitucí může vypdt tkto: Tu si ejprve uprvíme do tvru ( 4) 5 5 5 ( 4) 4 ( 4) Do substituce bychom dli 4 u dosteme mociou řdu 5 u 9
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD Vět: O spojitosti součtové fukce Uvžujme mociou řdu předpisem mjící součtovou fukci s s( ) ( ), defiovou s Pk s ( ) je spojitou fukcí svém itervlu kovergece J R; R Jestliže řd koverguje v krjím bodě R itervlu kovergece, pk součtová fukce je spojitá v bodě R zlev, tj pltí R lim ( R) Koverguje-li řd v krjím bodě R itervlu kovergece, pk součtová fukce je spojitá v bodě R zprv pltí: R lim ( R) Defiice: Operce s mociými řdmi s ( ) s poloměrem Mějme řdy: kovergece s b ( ) b b b R s poloměrem kovergece kovergece J R; R R Ozčme R mi R ; R defiujeme: Součet rozdíl mociých řd Pk v itervlu ( ) b ( ) b ( ) pro součtovou fukci s s b b b 3
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD Souči mociých řd ( ) b( ) s s b b b b b b 3 c-ásobek mocié řdy, c ( ) c ( ) Vět: Itegrováí mocié řdy Mějme mociou řdu s poloměrem kovergece její součtová fukce itervlu kovergece J R; R s je R echť Pk eurčitý itegrál součtu mocié řdy je rove součtu eurčitých itegrálů jedotlivých čleů řdy: s( ) d d c 3 c, c R 3 Pro určitý itegrál součtu mocié řdy od do vzike součtem určitých itegrálů čle po čleu řdy, kde J : s(t) dt t dt c, c R Proměá může být i hodoty R R koverguje, jestliže v tomto bodě mociá řd Řdy vziklé itegrováím mjí stejý poloměr kovergece jko řd původí 3
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD Vět: Derivováí mocié řdy Mějme mociou řdu s poloměrem kovergece její součtová fukce itervlu kovergece J R; R Pk derivce součtu řdy je rov součtu derivcí jedotlivých čleů řdy: 3 R echť s ( ) je s ( ) ) 3 Jestliže mociá řd koverguje v ěkterém krjím bodě itervlu kovergece, pk v tomto bodě eistuje jedostrá derivce fukce s ( ) Řdy vziklé derivováím mjí stejý poloměr kovergece jko řd původí Pozámk: Mociou řdu lze postupým itegrováím, přípdě postupým derivováím čle po čleu převést řdu geometrickou Pk tuto řdu sečíst derivováím přípdě itegrováím tohoto součtu získt součet řdy původí NAJDĚTE PŘEDPIS PRO SOUČTOVOU FUNKCI ŘADY ) Řešeí Nejprve si stovíme itervl kovergece dé mocié řdy Použijeme odmociové kritérium rove J ; lim lim lim Itervl kovergece je Nyí jdeme obor kovergece této řdy Dosdíme hodotu do řdy: Vziklá číselá řd koverguje podle Leibizov kritéri Pro hodotu dostáváme řdu diverguje Obor kovergece je K ;, která 3
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD V itervlu kovergece eistuje součet řdy s ( ) řdu lze čle po čleu itegrovt ebo derivovt Je zřejmé, že odstrěí koeficietu dosáheme derivováím: 3 s 3 Tto řd je geometrická řd, jejíž prví čle je kvociet q Její součet je tudíž rove q tedy s( ) pro všech ; Odtud s d s d c Zbývá dostáváme itegrováím ( ) l stovit kosttu c tu vypočteme po doszeí do předchozí rovice: s l( ) c c tedy c V itervlu ; tedy pltí s l b) Řešeí Itervl kovergece tetokrát vypočteme podle podílového kritéri: lim lim lim Dostáváme J ; po doszeí krjích bodů do mocié řdy zjistíme, že obě dvě hodoty jsou divergetí Obor kovergece je K ; V itervlu ; eistuje součtová fukce s Jelikož se v řdě vyskytuje, budeme ji tedy itegrovt čle po čleu s d d 3 3 4 d 3 d 4 d c c 33
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD d geometrickou řdu s prvím čleem Dostáváme tedy s kvocietem q ( ) s tedy q Její součtová fukce v itervlu ; sd c Součet původí řdy vypočteme derivováím: je s c V itervlu ; je součet řdy rove s c) Řešeí Pro tuto mociou řdu využijeme odmociové kritérium k určeí itervlu kovergece: lim lim lim Tím dostáváme itervl kovergece J ; Obor kovergece určíme doszeím hodoty do mocié řdy Dostáváme řdu, která je divergetí kovergetí řdu podle Leibizov kritéri Obor kovergece je rove K ; Nejprve budeme dou řdu derivovt v itervlu ; s 34
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD Tto geometrická řd má prví čle této řdy kvociet její součet je s Hledáme le původí součtovou fukci tu dosteme itegrováím sd d l c Kosttu c vypočteme po doszeí do předchozí rovice s l c z toho vyplývá, že c l Součet řdy v itervlu ; se rová s l l l q Tedy d) Řešeí Jelikož se v mocié řdě objevuje mociou Musíme proto využít substituci u, která již má všechy čley, zmeá to, že zde chybí čley s lichou u dostáváme mociou řdu V této mocié řdě určíme itervl kovergece pomocí podílového kritéri: 3 lim lim lim Poloměr kovergece je R řd koverguje pro u ; Původí řd pk koverguje pro t, pro ěž Nerovost vlevo pltí pro všech R Tedy Zkoumáme, pro která pltí itervl kovergece původí řdy je J ; lezli i obor kovergece K ; s poloměrem kovergece R V tomto itervlu eistuje součet řdy čle po čleu dostáváme řdu geometrickou s Tím jsme Itegrováím řdy 3 5 sd d c 35
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD Prví čle je kvociet q, čímž dostáváme součet q s( ) d c Součet původí řdy vypočteme derivováím předchozí rovice: s( ) d c v itervlu ; e) 4 4 Řešeí Nejprve řdu uprvíme, pro kterou pltí: 4 4 4 4 Vyšetřeme obor kovergece řdy je pro sudé mociy: 4 4 Použijeme substituci 4 u dostáváme ovou mociou řdu u 4, která již má u všech moci poloměru kovergece: u eulové koeficiety Využijeme vzorec pro určeí 4 q 4 4 lim lim lim 4 5 4 Je tedy R řd koverguje pro itervl u; J Nyí musíme vyřešit kovergeci v krjích bodech Doszeím bodů do řdy 4 dosteme pomocí srovávcího kritéri 4 kovergece se rová K ; divergetí řdy Obor Teto itervl kovergece obor kovergece pltí i pro řdu původí, pro kterou pltí erovost 4 4 Součet řdy hledáme ve tvru fukce s Fukci ejprve derivovt itervlu ; 4 s budeme 36
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD s 4 4 4 4 4 Dosteme 4 Máme geometrickou řdu s prvím čleem kvocietem s Součet 4 s mocié řdy itegrováím získé fukce s 4 s s d d Dosteme 4 4 4 q, jejíž součet 4 vypočteme zpětým 4 Musíme itegrovt rcioálí lomeou fukci, která je ryze lomeá Použijeme tedy metodu rozkldu prciálí zlomky b c 4 b c Koeficiety b, c jdeme metodou doszováím kořeů do rovice, čímž vychází b c Koeficiet určíme metodou eurčitých součiitelů, kde 4 4 dostáváme b c se rová Doszeím koeficietů zpátky do itegrálu dostáváme 4 4 l d l 4 4 rctg l c Kosttu c určíme z s rctg l c 4 4 odtud c Součet mocié řdy v itervlu ; 4 je fukce s 4 rctg l 4 37
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD f) Řešeí Pro určeí itervlu kovergece použijeme podílové kritérium lim lim lim kovergece vyšetříme tím, že dosdíme krjí body do řdy Pro hodotu dostáváme řdu Itervl kovergece je J ; Obor, která je kovergetí podle Leibizov kritéri Číselá řd vziklá doszeím diverguje Obor kovergece je tedy K ; Mějme součet řdy ve tvru fukce s Jelikož tto řd by ám ikterk epomohl při derivováí, i při itegrováí, musíme si řdu uprvit Vytkeme výrz pltí: s Vyšetřujme součet řdy bez kostty ozčme si dlší součet řdy t Tu můžeme derivovt Prví čle geometrické řdy je 3 t, kvociet q Dostáváme součet řdy t v itervlu ; Abychom dostli součet původí řdy, musíme předchozí rovici itegrovt t d d d d l c Kosttu c vyřešíme s l, což je ul Dostáváme součet řdy t l pro mociou řdu 38
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD My le hledáme součet původí řdy s s l t v itervlu ; Te má tvr g) Řešeí Určíme obor kovergece řdy Protože tto mociá řd emá všechy čley, provedeme ejprve substituci u Z řdy u určíme poloměr kovergece podílovým kritériem lim lim lim je R itervl kovergece je ; Z erovosti itervl kovergece pro původí řdu J ; Poloměr kovergece dostáváme Zbývá rozhodout o bodech, V obou přípdech dostáváme tutéž číselou řdu Obor kovergece je K ; Ozčme součtovou fukci s, která koverguje podle Leibizov kritéri Jk jistě vidíme, budeme ejprve tuto součtovou fukci derivovt Musíme ještě provést jedu úprvu, by se ám lépe derivovl: s Po derivováí s 39
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD stále edostáváme geometrickou řdu, proto ji musíme ještě jedou derivovt s 4 6 Toto již geometrická řd je její prví čle je kvociet q Její součet je s v itervlu ; Součet ( ) s mocié řdy itegrováím získé fukce s vypočítáme zpětým Jelikož jsme ji dvkrát derivovli, musíme ji i dvkrát itegrovt, bychom získli koečý součet s ( ) rctg s d d c Kosttu součtové fukce prví derivce dostáváme součtovou fukci s rctg c určíme doszeím uly do s rctg c T vychází c Teď musíme ještě podruhé itegrovt: rctg itegrálu provedeme metodou per prtes: Po doszeí máme Protože s d d Výpočet tohoto u v rctg u v rctg d rctg l c s, je kostt c Můžeme psát, že součet mocié řdy je fukce rctg l s v itervlu ; 4
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD h) 4 6 Řešeí Abychom mohli vyřešit obor kovergece, musíme si mociou řdu ejprve uprvit Pltí 4 6 4 6 Nyí vyšetřeme obor kovergece řdy 4 6 řd obshuje je sudé mociy Využijme substituce mociou řdu 4 6 u Vidíme, že u, kde dostáváme Pro tuto řdu lze užít podílové kritérium: 4 6 4 4 lim lim lim 4 6 4 6 Poloměr kovergece je rove Řd 4 6 R tto řd tedy koverguje pro ; u u pk koverguje pro t, pro kterou pltí Tto erovost zručuje, že itervl kovergece původí řdy je tké ; 4 6 Dosdíme-li krjí body, do řdy 4 6, dostáváme pro ob přípdy tutéž číselou řdu 4 6 esplňují utou podmíku kovergece Jelikož lim 4 6, jsou divergetí Dostáváme obor kovergece K ; Stovme součet řdy 4 6 trojčle 4 6 s můžeme zpst ve tvru Vidíme, že kvdrtický 4
VLASTNOSTI MOCNINNÝCH ŘAD Jelikož řd 4 6 ám epomůže i pro derivováí, i pro itegrováí, musíme součtovou fukci ejprve uprvit: 4 6 s Hledejme yí součtovou fukci budeme itegrovt v itervlu ; t, kterou t d c c Tuto řdu musíme ještě jedou itegrovt d c c Již dostáváme geometrickou řdu s prvím čleem 6 kvocietem q 6 Dvojitým itegrováím jsme dosáhli součtu c Pro získáí součtu původí řdy teď musíme zpětě dvkrát po sobě derivovt 6 4 6 t c 6 5 6 7 5 7 5 6 4 4 7 5 3 4 6 8 3 4 6 4 4 t 4 4 4 4 4 6 7 5 6 7 5 4 3 8 6 4 8 6 8 86 88 3 6 4 4 8 6 4 46 64 3 4 4 Tohle je koečý součet pro t Součet řdy pro s ( ) s( ) 4 4 6 4 6 7 5 6 7 5 3 3 v itervlu ; je 4
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD 3 VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD Využíváme je pro rozvoj fukcí v mocié řdy, tkzvou Tylorovu řdu Mcluriovu řdu Mocié řdy se využívjí k přibližému výpočtu itegrálů ebo umerických hodot výrzů 3 TAYLOROVA A MACLAURINOVA ŘADA Defiice: Tylorov řd Mějme fukci f, která má v okolí bodu derivce všech řádů Mociá řd! ( ) f T f f f 3 f,!! 3! se zývá Tylorov řd fukce f se středem Defiice: Mcluriov řd Mějme fukci Mociá řd T f, která má v okolí bodu derivce všech řádů f ( )! f f f 3 f,!! 3! se zývá Mcluriov řd fukce f se středem Vět: Lgrgeův tvr zbytku Má-li fukce f derivce ž do řádu v uzvřeém itervlu s krjími body Pk je možo zbytek R vyjádřit mezi fukčí hodotou f Tylorov rozvoje T ve tvru:! f R hodotou se zývá Lgrgeův tvr zbytku, kde je jisté číslo z otevřeého itervlu s krjími body, 43
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD 3 ROZVOJ ZÁKLADNÍCH FUNKCÍ Bylo mtemticích, by lezli rozvoje ěkterých elemetárích fukcí do mociých řd zároveň lezli itervly kovergece těchto řd Uvádíme dále dosti bohtý, le stejě eúplý přehled výsledků 3 4 3 3 3 4 3 35 4 46 468 3 4 3 35 357 4 46 468 3 4 5 6 7 8 9 3!! 3! e 3!! 3! e 3 l l l 3,!! 3! 3 4 l( ) 3 4 3 4 l( ) 3 4 3 5 l 3 5 l 3 5 3 5 3 5 l 3 5 3 4 3 5 7 si 3! 5! 7! 4 6 cos! 4! 6! 44
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD 5 6 7 8 9 3 45 35 475 4 6 8 si 3 45 35 475 4 6 8 cos 3 4 67 34 648 3 3 4 6 8 si 3 7 6 547 73 8 4 344 78 3 4 6 8 cos 7 3 5 35 3 5 7 tg 3 45 945 3 5 cotg 3 5 7 3 35 rcsi 3 3! 5 3! 7 3 4 5 3 5 7 rctg 3 5 7 3 5 7 sih! 3! 5! 7! 4 6 cosh! 4! 6! 7 3 5 35 3 5 7 tg 3 VYPOČTĚTE PŘIBLIŽNÝ VÝPOČET INTEGRÁLŮ ) Vypočtěte e d s chybou meší ež 4 Řešeí t Pro uvedeý itegrál uvžujme rozvoj fukce f e, čímž jsme hrdili fukci f e Rozvoj této fukce je 3 t t t t e dosďme!! 3! 4 6 t Dosteme rozvoj fukce e!! 3! 45
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD Nyí můžeme vypočítt itegrál e d čle po čleu přibližou hodotu jít 4 6 8 e d d!! 3! 4! 5! 3 5 7 9 3!5 3!7 4!9 5! 3 3!7 4!9 5! Dostáváme řdu lterující tk využijme toto tvrzeí: Máme-li lterující řdu kovergetí její posloupost klesjící, pk pro součet s pltí: s Obecě pro součet s řdy splňující uvedeé podmíky pltí: k k s sk k Je zřejmé, že dá řd splňuje ob předpokldy Máme-li určit součet s řdy s chybou meší ež 4, tk hledáme tkové k, by pltilo k 4 ss Stčí jít tkový k, by pltilo k 4 tedy volíme 5 k Dosdíme z k 5 do 4 dostáváme k k 5! 6!3 4 4 6 7 6,57 Vychází ám, že stčí vzít jko posledí čle sedmý, by chyb byl meší ež 4 Pro kotrolu si vypišme postupě čley, kolik ám djí hodotu Prví čle je jed, druhý čle,333 3 dlší,,, 38 3!7, 3 4,69, 4!9 5! 6!3 7!5 4 4 5 7,575,,68,33 Vidíme, že osmý čle je už meší ež 4 Proto stčí vzít součet prvích sedmi čleů této řdy s7, 7468 pro dý itegrál, 3 3!7 4!9 5! 6!3 který má chybu meší ež 4 46
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD b) Vypočtěte Řešeí Výrz cos d s chybou meší ež 5 cos je fukce cost s fukčí hodotou t 4 6 8 t t t t cos t, kde pk! 4! 6! 8! Itegrál této fukce je:! 4! 6! 8! 4 8 6 cos 4 8 6 5 9 3 cos d d! 4! 6! 8! 4!9 6!3 7 8!7 Tto řd je lterující, bychom 4!9 6!3 8!7 vypočetli dý itegrál s chybou meší ež 8!7 6,458 je tedy meší ež 5 5, stčí určit s 4 Pátý čle řdy je Dostáváme součet prvích čtyř čleů: cos d,945 4!9 6!3 c) Vypočtěte Řešeí Využijeme rozvoje, 3 d s chybou meší ež Dosdíme-li zpátky, dosteme rozvoj 6 3 35 4 46 468 3 4 t t t t t 3 35 4 46 468 3 3 6 9,, 3 3 6 3 9 35 3, kde t, který můžeme itegrovt d d 4 46 468 4, 7,,, 3 4 7,,, 8 8 7 4 6 8 56 Součet prvích čleů z hledého itegrálu vezmeme z lterující řdy, které mjí chybu meší ež 6 Prví čle je,, druhý čle je rove, 4,5 5 8 47
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD třetí čle je,,7857 56 7 9 3 Vidíme, že třetí čle je meší ež 6 Proto bereme součet prvích dvou čleů z hledého itegrálu 8 4 s,,,5, 3 d, což je 3 URČETE PŘIBLIŽNOU HODNOTU ) Vypočtěte e s chybou meší ež Řešeí 9 Vezměme rozvoj fukce Dostáváme rozvoj fukce Hledáme prví sčítec 3 4 5 6 e z dosdíme!! 3! 4! 5! 6! e! 3! 4! 5! 6! tkový, že bude pltit lterující tk musíme použít jiý postup Vypíšeme si hodoty prvích čleů této fukce: 9 Tto řd eí e,5,66! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!!!! 3 3 4 5 6,46 8,33,38,984,48,755 7 8 9,755,55,8,65 Dosteme se k čleu, který je zřejmě posledí co má chybu větší ež Zbylé čley zedbáváme má chybu větší ež 9 Ale co když jejich společý součet 3! 4! 5! 9? Teto ekoečý součet odhdeme pomocí geometrické řdy s prvím čleem kvocietem 3! q 4 Pltí:, tedy součet je rove 3! 4! 5! 3! 4 4 3! 4, 794 q 3! 3 4 te má chybu ještě meší ež 9 48
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD Jk vidíme po dlouhém výpočtu, stčí ám vzít prvích dváct čleů, které jsou meší ež 9 Součet je s,78888 Nebo můžeme výpočet provést přes Mcluriovu řdu s tzv Lgrgeovým tvrem zbytku Je-li ; R e!, je ; ;, kde, proto 3 e pro zbytek R pltí: zvoj fukce R 3! Mějme ro 3 4 5 6 e R!! 3! 4! 5! 6!! Jelikož máme, pk rozvoj fukce je ve tvru: e R, kde! 3! 4! 5! 6!! K určeí přesosti potřebujeme, by pltilo 3! 9 pltí erovost R 9 Tto vlstost pltí pro Součet prvích dvácti čleů dostává s,78888, tj tkové, pro které b) Vypočtěte cos9 s chybou meší ež Řešeí Mějme rozvoj fukce 5 Do fukce dosdíme 9 dostáváme 4 6 cos, přičemž! 4! 6! 8 4 6 9 9 9 9 cos9 cos, která je řdou 8 8 4! 8 6! 8 lterující Nyí musíme jít prví sčítec tkový, že 5 Vezměme čle 6 6 3 6 6 9 9 9 9 6! 8 6!8 6!8 6! 4 6 6 6 3 6 3 5 49
VYUŽITÍ MOCNINNÝCH ŘAD Teto čle má hodotu mohem ižší ež 5 proto jej i ásledující čley lterující řdy zedbáme Budeme brát čle 3, který je jistě meší ež hledá chyb: 4 4 4 4 9 9 9 9 4! 8 4! 8 4!8 4! 3 4 4 4 4 5 Stčí sečíst prví tři čley 4 9 9 cos9,9455 8 4! 8 c) Vypočtěte 5 36 s chybou meší ež Řešeí 5 Rozvoj f 5 pltí pouze v ; tedy esmíme dosdit 35 Můžeme le prcovt s rozvojem této fukce v bodě, který je blízko k číslu 36 to je 5 3 Toho využijeme 5 4 36 5 3 5 3 8 Nyí rozepíšeme rozvoj 5 5 4 36 3 493 4 dosdíme 3 4 5 5! 5 3! 5 4! 3 4 8 4 5! 64 4 3! 4 4! : 8 4 36 493 Jde o lterující číselou řdu stčí sečíst tolik prvích čleů této řdy, by bsolutí hodot prvího vyechého čleu byl meší ež 5 Vypíšeme-li hodoty čleů, zjistíme, že ám stčí čtyři čley: 4 36 493, 5, 5 9,375 4 5! 64 4 3! 4 4! 3 5 3 4 6 7,67 Zbylé čley můžeme zedbt pro jejich velikost, ež uvžujeme Součet hodoty 5 36, která má chybu meší ež 5 je s 4 36,384,4768 4 5! 64 4 3! 4 3 5
ZÁVĚR ZÁVĚR Cílem bklářské práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkldů týkjících se mociých řd, které pk mohou pomoct pochopit lépe učivo, přípdě pomoct k zápočtovým zkouškovým testům Kromě příkldů obshuje tké teorii s potřebými zákldími pojmy, která je ezbytá k pochopeí dé problemtiky Pro vytvořeí sbírky jsme použili progrm MthType, který pomohl vypst všechy řdy, limity, derivce, itegrály pod Práce je rozděle do tří kpitol, které jsou dále čleěy podkpitoly V jedotlivých kpitolách je ejprve uvede potřebá teorie pk příkldy Prví kpitol pojedává o zákldích pojmech mocié řdy je rozděle do tří podkpitol Prví udává, jk mociá řd vypdá, jký má střed koeficiety Ve druhé podkpitole je řeše poloměr kovergece ásledě itervl kovergece, který je s ím spjt Třetí kpitol se zbývá oboru kovergece oboru bsolutí kovergece mociých řd V této podkpitole jsou dv druhy příkldů U prvích máme určit obor kovergece U druhého způsobu máme obor kovergece k tomu jít dou mociou řdu Druhá kpitol se věuje vlstostem mociých řd (o spojitosti fukce, operce s mociými řdmi, itegrováí derivováí) Zde se cházejí příkldy, kdy hledáme fukčí předpis pro součtovou fukci řdy pomocí těchto vlstostí Třetí kpitol je změře využití mociých řd Tto kpitol je rozděle do dvou podkpitol V prví je defiová Tylorov Mcluriov řd s Lgrgeovým tvrem zbytků Druhá podkpitol dává předost rozvoji zákldích fukcí do mociých řd, které pomůžou jít přibližý výpočet itegrálů ebo určit přibližou hodotu výrzu Tto bklářská práce je změřeá převážě prktickou část, ve které jsou podrobě vysvětley postupy k řešeí příkldů Pro kždou kpitolu jsme hledli tkové příkldy, by se od sebe lišili jk výpočtem, tk i výsledkem, tk i obtížostí V teoretické části jsou zmíěy je ejdůležitější defiice věty, které stčí k pochopeí dého problému 5
RESUMÉ RESUMÉ The im of this thesis is solve emples of power series I dditio it lso cotis theory with the ecessry bsic cocepts The thesis is divided ito three chpters The first chpter discusses the bsic cocepts of power series Is idicted how of power series looks like, wht is the middle d coefficiets Frther is solved rdius of covergece d itervl of covergece Is lso icluded the domi of covergece d domi of bsolute covergece of power series i this chpter The secod chpter is devoted to properties of power series There re emples of whe we re lookig for fuctiol prescriptio for totlizig fuctio of series The third chpter focuses o the use of power series We defie Tylor d Mcluri series with Lgrge shpe residues There is dedicted to the developmet of bsic fuctios i power series, which will the help to fid pproimte clcultio of itegrls or determie pproimte vlue of the epressio This thesis is focused primrily o the prcticl prt - eplis the procedures to solve problems i detil I the theoreticl prt re metioed oly the most importt defiitios d theorems It is eough to uderstd the problem 5
SEZNAM LITERATURY SEZNAM LITERATURY DEMIDOVIČ, Boris Pvlovič Sbírk úloh cvičeí z mtemtické lýzy vyd Hvlíčkův Brod: Frgmet, 3, 46 s ISBN 8-7-587- KAŇKA, Miloš Učebice mtemtiky pro ekoomické fkulty vyd Prh: Victori Publishig, 996, 744 s ISBN 8787486 REKTORYS, Krel Přehled užité mtemtiky 7 vyd Prh: Prometheus,, ii, 7 s Česká mtice techická (Prometheus) ISBN 8-796-8-9 ZACH, Jiří Poslouposti řdy: sbírk příkldů cvičeí 3 vyd Plzeň: Zápdočeská uiverzit, Fkult pedgogická, 999, s ISBN 8-78-55- Kpitol, Mocié řdy [olie], dostupé z: http://lyzkmzcucz/- PREDMETY/M_MA/zzmy/MA Mocie_rdypdf Mocié řdy [olie], dostupé z:http://homezcucz/~pstehlik/m/m_3_cv- 4_mocie_rdypdf Mocié řdy [olie], dostupé z: http://mthfeldcvutcz/mt/tte/3/tc3e3dhtm Mocié řdy Tylorovy řdy [olie], dostupé z: http://mtholiefmevutbrcz/- Mocie--Tylorovy-rdy/sc-39-sr---54/defultsp Řešeé příkldy pro řdy: Řdy fukcí [olie], dostupé z: http://mthfeldcvutcz/- mt/tte/3/tc3ec3htm 53
SEZNAM OBRÁZKŮ SEZNAM OBRÁZKŮ Obr Abelov vět o bsolutí kovergeci její důsledek 4 54
PŘÍLOHA PŘÍLOHA CD s bklářskou prcí ve formátu PDF I