8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že číslo je limitou 8 8 poslouposti + pro blížící se k ekoeču (píšeme lim + = = ). Exaktí zachyceí předchozího odstavce obsahuje defiice limity. Říkáme že posloupost ( a ) = takové že platí: Ke každému ε > existuje čísla je a a ε Nyí si rozebereme posloupost Prvích deset čleů poslouposti: Graf poslouposti: 6 4 je kovergetí právě když existuje číslo a R N tak že pro všecha přirozeá <. Číslu a říkáme limita poslouposti ( ) [ ] +. = 4 6 ; ; ; ; ; ; ; 3 4 5 6 7 8. a =. 3 4 5 6 7 8 9 Vypadá to že limitou této poslouposti je číslo. Hodoty se k ěmu blíží z obou stra. Zkusíme vlastost [ ] Zvolíme ε =. Hledáme takové [ ] Dosadíme: [ ] lim + = dokázat z defiice v modrém rámečku. aby platilo že pro a a < ε. + <. < Platí (pro N ): [ ] ( ) = =.
< < pro a a všecha a za ím platí: a <. Zkusíme to obecě pro ε >. [ ] [ ] < ε + < ε < ε Platí (pro N ): ε < protože ε > limitu. [ ] ( ) = =. určitě takové a ajdeme posloupost [ ] + = má Př. : Pro zadaé poslouposti apiš prvích deset čleů ačrti jejich graf a odhadi zda mají limitu. ( ) = a) ( ) = b) [ ] c) [ ] + = d) + = a) ( ) = ;;;;;;;;; - 3 4 5 6 7 8 9 Na prví pohled se zdá že posloupost se k ičemu eblíží a eměla by tedy mít limitu. Pokud však použijme přímo defiici limity je zřejmé že posloupost má limitu rovou jedé protože pro libovolě široký pás kolem jsou všechy čley poslouposti ihed uvitř a splňují tak podmíku pro existeci limity. lim =. Zřejmě platí: ( ) ( ) = b) [ ] ; 4; 8;6; 3; 64; 8; 56; 5;4
5-5 - 3 4 5 6 7 8 9 Jak z hodot tak z grafu je zřejmé že posloupost emá žádou limitu. c) [ ] + = 3 5 4 7 6 9 8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3 4 5 6 7 8 9-3 4 5 6 7 8 9 Z grafu se zdá že posloupost má dvě limity a ale pozor!!! Kdyby posloupost měla limitu musel by apříklad pro pás o poloměru 5 existovat čle a takový že všechy čley poslouposti za ím by byly uvitř pásu ale to se kvůli tomu že polovia čleů poslouposti se saží přiblížit k estae protože tyto čley se do pásu edostaou. Posloupost emá žádou limitu (u limit posloupostí ejde sedět jedím zadkem a dvou posvíceích). - 3 4 5 6 7 8 9 d) + = 4 3 8 5 7 6 9 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3 5 3 7 4 9 5 3
6 4 3 4 5 6 7 8 9 Z grafu se zdá že posloupost má limitu. Z úvahy: výraz + se blíží výrazu =. Zřejmě platí lim =. + Pedagogická pozámka: Neí možé čekat až budou mít všichi bod d). Stačí když se jim podaří dokočit bod c). Předchozí příklady dobře dokumetují dvě další věty o limitách posloupostí. Každá posloupost má ejvýše jedu limitu. Každá kovergetí posloupost je omezeá. Př. : Najdi v předchozím příkladu bod který dokumetuje každou z předchozích dvou vět a zkus ajít hlaví myšleku důkazů obou vět. a) Každá posloupost má ejvýše jedu limitu. Větu dokumetuje bod c) ačkoliv se z grafu zdá že posloupost má dvě limity je v příkladu zdůvoděo proč posloupost emá ai jediou (apříklad do pásu o poloměru 5 existovat se evejde polovia čleů poslouposti které se saží přiblížit hodotě ). Myšleka důkazu: Kdyby posloupost měla dvě růzé limity stačilo by kolem jedé z ich udělat pás který má meší poloměr ež je vzdáleost těchto limit a čley které se blíží k druhé limitě budou mimo ěj. b) Každá kovergetí posloupost je omezeá. S větou souvisí bod b) kde máme eomezeou posloupost a je ihed vidět že emůže mít limitu. Myšleka důkazu: Posloupost je eomezeá právě když se pro blížící se ekoeču blíží čley poslouposti také ekoeču (ebo míus ekoeču = roste ebo klesá ade všechy meze) pak se ale emohou blížit k ějakému kokrétímu číslu (limitě). Př. 3: Odhadi limity ásledujících posloupostí a poté jejich existeci dokaž použitím defiice limity. a) ( q ) q = < b) = c) ( 3) d) = = a) ( q ) q < = Odhadujeme lim q =. 4
Chceme dokázat že pro libovolé ε > ajdeme takové aby platilo že pro a a < ε. Budeme odvozovat od koce. q q log < ε < ε zlogaritmujeme log x je rostoucí fukce eobracíme erovost. q < log ε log q < log ε / : log q q < log q < obracíme zaméko erovosti. logε > pro každé ε dokážeme dopočítat podmíka je splěa platí: log q lim q = ; q <. Jak by to vypadalo kdyby eplatilo q <? q > log q > eobracíme zaméko erovosti. log ε < přesě opačý výsledek ež potřebujeme od určitého budou všechy čley log q poslouposti mimo vyzačeý pás o šířce ε pro q > posloupost eí kovergetí. b) = Odhadujeme lim =. Chceme dokázat že pro libovolé ε > ajdeme takové aby platilo že pro a a < ε. Budeme odvozovat od koce. < ε < ε je přirozeé číslo platí =. < ε / ε ε < máme určeé pro každé ε podmíka je splěa platí: lim =. c) ( 3) = Odhadujeme lim 3 = 3. Chceme dokázat že pro libovolé ε > ajdeme takové aby platilo že pro a a < ε. Budeme odvozovat od koce. 3 3 < ε < ε Pro libovolé ε je podmíka splěa ihed jako a můžeme brát a a jako jedičku podmíka je splěa platí: lim 3 = 3. 5
d) = Odhadujeme lim =. Chceme dokázat že pro libovolé ε > ajdeme takové aby platilo že pro a a < ε. Budeme odvozovat od koce. < ε < ε je vždy kladé číslo platí =. < ε / ε < ε zlogaritmujeme log x je rostoucí fukce eobracíme erovost. log log ε < log log ε < / : log log > zaméko se eměí. log log ε < / : log log ε < log Pro každé ε dokážeme dopočítat podmíka je splěa platí: lim = Pedagogická pozámka: Při kotrole je a místě zmíit jak by situace vypadala kdyby eplatilo q <. Ai v jedom příkladu se žáci jiak esetkají s tím jak to vypadá když posloupost kovergetí eí. Posledí výsledek je jasý a důležitý zároveň. Zformulujeme si ho do věty a podle í zformulujeme ještě jedu větu: Geometrická posloupost ( q ) = limita je. Geometrická posloupost ( a ) = a její limita je. pro kterou platí q < je kovergetí a její pro jejíž kvociet q platí q < je kovergetí Shrutí: Dosazeím do defiice můžeme dokázat existeci limity. 6