OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek 9.. Okolí bodu Uvažujme libovolnou množinu M R. Bod a je vnitřní bod množiny M, jestliže eistuje O(a) takové, že platí O(a) M. Bod a je hraniční bod množiny M, jestliže v každém O(a) eistují body, které patří do M a současně body, které do M nepatří. Je zřejmé, že každý vnitřní bod patří do M, kdežto hraniční bod množiny M může, ale nemusí patřit do M. K význačným množinám na reálné ose patří intervaly. Pokud hraniční bod intervalu patří do intervalu, nazývá se též krajní bod. Polouzavřený interval ( p, q má hraniční body p, q, z nichž p M, q M; každý bod ( p, q) je jeho bodem vnitřním. Bod q můžeme též nazvat bodem krajním. POJEM LIMITY FUNKCE V BODĚ V matematické analýze má pojem ity základní význam. V běžném jazyce se ale slovo "ita" nevyskytuje. Používají se však jemu příbuzná slova (například it rychlosti, itující faktor) ve smyslu jisté "hranice" mající kritický význam. S takovou intuitivní představou lze přistupovat k pochopení matematického pojmu ita. Motivační úvaha: Ještě než uvedeme definici pojmu ita funkce v bodě je užitečné provést tuto motivační úvahu: Uvažujme funkci f ( ), zřejmě D( f ) R {}. Jistě vyvstane otázka, co lze očekávat v bodě, ve kterém není funkce definována. Přirozený důvod má myšlenka přiblížit se co nejvíc bodu a z příslušných vypočtených hodnot funkce usuzovat na situaci v bodě. Bodu se lze libovolně přiblížit zleva i zprava například pro 0,9 je f (0,9),9, pro, je f (,),, dále f (0,99),99, f (,0),0 atd. Lze vyslovit hypotézu, že při přibližování z obou stran k bodu se hodnoty funkce přibližují k číslu. Tuto hypotézu podporuje i graf funkce
f na obrázku 9.. Přesně formulováno, k libovolně zvolenému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro ( δ, + δ ), platí f () ( ε, + ε). V takovém případě se prohlásí číslo za itu funkce f ( ) v bodě. Důležitý je fakt, že pro tuto úvahu není podstatné, zda je f v bodě definována či ne. y f () + ε ε f ( ) 0 δ + δ Obrázek 9.. Graf f( ) Definujme nyní itu funkce v bodě: Předpokládejme, že funkce f je definována na nějakém okolí O(c) bodu c s případnou výjimkou bodu c. Funkce f má v bodě c itu a, jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro (c δ, c + δ ), c platí f () (a ε, a + ε). Zapisuje se "ita funkce f pro jdoucí (blížící se) k c je rovna a". ( ) a f a čte se c Poznámka: Volně řečeno, funkce f má v bodě c itu a, jestliže pro hodnoty blízké okolí bodu c (ale různé od c) je hodnota f () blízká hodnotě a. Geometricky to znamená, že při libovolném ε > 0 leží graf funkce pro c, c δ < < c + δ v pásu mezi přímkami y a ε a y a + ε (obr. 9.). Obrázek 9.. Limita funkce v bodě
Závažná je skutečnost, že eistence ity nezávisí na tom, zda je funkce f v bodě definována či ne. To znamená, že je-li f v bodě c definována, její hodnota f (c) neovlivní hodnotu ity v bodě c. Důležitý případ nastane, jestliže ita eistuje a navíc se rovná funkční hodnotě pak se f prohlásí za spojitou v bodě (viz dále). Na obrázku 9.4. je příklad funkce, která je v bodě c definována, avšak v bodě c ita neeistuje (pro hodnoty blízké c jsou zleva funkční hodnoty rovny číslu, zprava číslu, tedy žádné společné předem pevně zadané hodnotě). y f (c) 0 c f Obrázek 9.4. Neeistence ity Je zřejmé, že definice ity nedává návod, jak ji "vypočítat". Užitím definice lze pouze potvrdit, zda předem zadané číslo itou skutečně je. Potvrzení je však snadné pouze v jednoduchých případech, jinak vyžaduje obvykle zvláštní postup s vhodně volenými matematickými obraty. V každém případě je však velmi důležité stanovení hypotézy o eistenci ity, případně její hodnotě, založené na pochopení pojmu ita. To umožní i řešení úloh typu "určete f( ) c ", jak jsou tradičně úlohy o itách zadávány. Při stanovení hypotézy se postupuje tak, jak je uvedeno v motivační úloze o itě vyšetříme hodnoty funkce v bodech blízkých zleva i zprava bodu, ve kterém se ita hledá. (a) Stanovíme hypotézu o sin. Vychází f (0,) f ( 0,) 0,998, f (0,05) f ( 0,05) 0,9995, 0 sin f (0,0) f ( 0,0) 0,9998. Lze stanovit hypotézu, že. Její pravdivost můžeme potvrdit 0 výpočtem při užití L Hospitalova pravidla (viz další kapitola o derivaci funkce). (b) Stanovíme hypotézu o. Platí f (0,) 0, f ( 0,) 0, f (0,0) 00, f ( 0,0) 00, 0 f (0,00) 000, f ( 0,00) 000. Zřejmě ita neeistuje, neboť pro > 0, je blízké 0, jsou
hodnoty f () dosti velká kladná čísla, kdežto pro < 0, blízké 0, jsou hodnoty f () dosti malá záporná čísla. Důležité je rovněž umět stanovit hypotézu o itě z grafu funkce. Na následujícím obrázku 9.5. jsou zachyceny základní alternativy (tečkou je vyznačena definovaná funkční hodnota). Obrázek 9.5. Alternativy (ne)eistence ity DŮLEŽITÉ LIMITY K důležitým základním itám patří: k k, kde k je konstanta, (plyne z definice) c c, c sin, 0 cos 0, 0 e. 0 (plyne z definice) (užitím L Hospitalova pravidla) (užitím L Hospitalova pravidla) (užitím L Hospitalova pravidla) VLASTNOSTI LIMIT Limita funkce v bodě může, ale nemusí eistovat. Nemůže se však stát, aby v daném bodě eistovalo více it: 4
Funkce f má v daném bodě nejvýše jednu itu. Limita respektuje operace sčítání, odčítání, násobení a dělení s funkcemi: Nechť f( ) a, g( ) b c c c ( f( ) ± g( ) ) a± b. Pak platí:. (9.) c ( f( ) g( ) ) ab. (9.) Je-li b 0, pak ( ) a ( ) b f. (9.) c g n n Je-li n 0 celé číslo, pak [ f ( ) ] a. (9.4) c (a) Je-li k konstanta a f( ) a, pak kf( ) ka c. c (neboť podle (9.) platí kf( ) k f( ) ka ) c c c (b) n n c c, kde n 0 je celé číslo. (plyne aplikací (9.4) pro f () ) (c) + + 9 00. (protože podle (9.) platí ( + ) + + a s využitím (9.4) také ( + ) + + 0 přičemž konečně užitím (9.4) dostáváme ( ) + + ; a tedy podle (9.) lze psát + + + + 0 9 00 ) ( ) 0, Pro praktické výpočty má zásadní význam následující tvrzení, které říká, že ity elementárních funkcí ve vnitřních bodech jejich definičních oborů (intervalů) se určí prostým dosazením: Pro každou elementární funkci f a vnitřní bod c jejího definičního oboru platí ( ) f( c) f. (9.5) c 5
sin π π sin π π π sin, neboť je vnitřní bod definičního oboru funkce. VÝPOČET LIMIT Nyní uvedeme shrnující fakta k technice výpočtu it. Jednoduchý je postup, kdy lze itu určit přímým dosazením (9.5), případně využít znalostí základních it a aplikace vět o vlastnostech ity (9.) (9.4). Pokud nelze itu tímto způsobem určit, zbývá (kromě užití L Hospitalova pravidla viz následující kapitola o derivacích) upravit funkci na tvar, který již umožňuje shora uvedený způsob. Nejčastějším je případ ity podílu funkcí kdy g() 0 (někdy i navíc f () 0). Pak nelze použít přímé dosazení, respektive vlastnost (9.); častou hrubou chybou je v případě g() f () 0 učinit závěr, že ( ) ( ) f 0 g 0. Umět řešit takové úlohy je do značné míry záležitostí dostatečné početní prae a cviku. V dané chvíli je proto spíše účelné počkat s výpočtem obtížnějších it až na L Hospitalovo pravidlo s využitím derivací. f g ( ), ( ) Určeme + 6 +. Platí ( 6) + 0 vlastnosti ity podílu (9.). Úpravou dostaneme, ( + ) 0 ( + )( ) +. Nelze použít přímé dosazení, či ; nyní lze členem ( + ) krátit, neboť pro určení ity přicházejí v úvahu hodnoty různé od. Pak vychází ( + )( ) + ( ) 5. Pokud při výpočtu it výraz upravujeme, je výhodné před výpočtem, případně až po výpočtu otestovat hypotézu o itě, abychom vyloučili náhodnou chybu při provádění úprav. NEVLASTNÍ LIMITA V tomto odstavci se budeme zabývat studiem veličin, jejichž chování je charakteristické tím, že jejich hodnoty rostou nade všechny meze. Nejde zdánlivě o umělou abstrakci, vyšetřování takových veličin má své reálné opodstatnění, například, při studiu útlumových dějů, stability fyzikálních procesů apod. K tomu se jeví účelné nejprve rozšířit 6
množinu reálných čísel R o prvky +,, pro něž platí < a < + pro každé a R; nazývají se nevlastní body. Množina R { -, } R se nazývá rozšířená množina reálných čísel. Pozor, + nemají charakter čísel, proto s nimi nelze zacházet (počítat) jako s čísly. Symbol + se u + někdy vynechává. Jestliže nyní definici ity funkce modifikujeme tak, že c, a mohou být nevlastní body (obě, případně jedno z nich) a příslušným způsobem nahradíme podmínku v definici ity analogickými podmínkami pro nevlastní body, dostaneme definici nevlastní ity (souhrně řečeno) v těchto alternativách:. c, případně c, a R ita v nevlastním bodě;. c R, a, případně a nevlastní ita v bodě;. a c, případně a c nevlastní ita v nevlastním bodě. Zápis nevlastní ity se provede analogicky, například pro alternativu. f( ) a, případně f( ) a. Modifikaci podmínek v definici pro jednotlivé alternativy není na tomto místě nutné, z hlediska praktického výpočtu nevlastních it, detailně rozepisovat. K základní orientaci nám budou stačit geometrické interpretace alternativ na obrázcích (9.6) (9.0) (nezahrnují ale všechny varianty alternativ). Obrázek 9.6. Limita v nevlastním bodě f( ) a, f( ) a Obrázek 9.7. Nevlastní ita v bodě f c ( ) 7
Obrázek 9.8. Nevlastní ita v bodě f c ( ) Obrázek 9.9. Nevlastní ita v bodě c neeistuje Obrázek 9.0. Nevlastní ita v nevlastním bodě f( ), f( ) Důležité nevlastní ity jsou uvedeny v následujícím přehledu:, ; 0, 0 ; a, a 0, a > ; a 0, a, 0 < a < ; π arctg, π arctg ; arccotg 0, arccotg π ; 8
+ e,788 (iracionální číslo). Hypotézy o právě uvedených itách se snadno stanoví užitím kalkulačky, či načrtnutím grafu. Vlastnosti nevlastních it jsou uvedeny souhrnně v symbolickém tvaru: a +, 0, ± a +,, a, ( ),, ( ) ( ). Tímto symbolickým zápisem, například a + rozumíme: je-li pro ( ) a c R f, c g( ), pak ( f( ) + g( ) ) c apod. c. Pozor!!! Nelze používat, například, pro 0, Platí ( + 5), neboť (postupnou aplikací ), 5 5. Pak užitím a + dostáváme výsledek. POJEM SPOJITOSTI FUNKCE Pojem spojitosti slouží k popisu toho, co se v běžném životě nazývá, například, nepřetržitostí. Je-li takový děj vyjádřen funkcí, pak je její graf "souvislá čára"; v grafu nejsou žádné "skoky", "mezery" apod. Nabízí se tedy definovat spojitost prostřednictvím ity. V případě spojitosti by totiž měla funkční hodnota souhlasit s itou. Definice: Funkce f je spojitá v bodě c, jestliže platí f( ) f( c) c. Jinak řečeno, f je spojitá v bodě c, je-li f v bodě c definována a její ita v bodě c je rovna funkční hodnotě v bodě c. Funkce f, jejíž graf je na obrázku 9.., je z vyznačených bodů spojitá pouze v bodě g, v ostatních nikoliv (v a, c není definována, v m, d, h, b neeistuje ita, v e není ita rovna funkční hodnotě). 9
y f 0 a m c d e h g b Obrázek 9.. Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě. Funkce spojitá na celém svém definičním oboru se nazývá spojitá funkce. VLASTNOSTI SPOJITÝCH FUNKCÍ Spojité funkce mají řadu významných vlastností. Nejdůležitější jsou obsaženy v následujících tvrzeních (větách). Všechny elementární funkce jsou spojité ve všech vnitřních bodech svých definičních oborů. Je-li funkce f spojitá na nějakém otevřeném intervalu I a mají-li pro a, b I, a < b funkční hodnoty f(a), f(b) opačná znaménka, pak eistuje c (a, b) tak, že platí f(c) 0. Lze tedy volně formulovat spojitá funkce nemůže měnit znaménko, aniž přejde přes reálnou osu. Tato věta má zásadní důležitost při hledání nulových bodů spojitých funkcí. Zaručuje, že najdeme-li hodnoty a, b tak, že f (a), f (b) jsou opačných znamének, pak v (a, b) eistuje alespoň jeden nulový bod funkce f. Na obrázku 9. má funkce f tři nulové body c, c, c patřící do (a, b). Z této vlastnosti rovněž vyplývá, že je-li f spojitá na (a, b) a f () 0 pro všechna (a, b), pak je f na (a, b) buď stále kladná, nebo stále záporná. Obrázek 9.. 0
Cílové znalosti. Formulace pojmu ity funkce v bodě.. Stanovení hypotézy o itě z grafu nebo numericky.. Výpočet jednoduchých it užitím základních vět o itách a znalosti důležitých it. 4. Vysvětlení modifikace pojmu ity ve variantě nevlastní. 5. Výpočet jednoduchých nevlastních it. 6. Rozhodnout v jednoduchých případech o spojitosti funkce podle jejího grafu. 7. Vlastnosti spojitých funkcí.
IX. Limita a spojitost_cvičení LIMITA, VĚTY O LIMITÁCH. Stanovte hypotézu o itě: a) 0 e. b) cos. 0. Stanovte hypotézu o itě funkce f v bodě c: a) obrázek (viz seminář). b) obrázek (viz seminář).. Vypočtěte: a) cos. b) 0 + + log ( ) + 9. c). d) 0 e +. 0 4. Vypočtěte: a). b). c) tg. d) 0 0 + sin. e). 0 tg 5 NEVLASTNÍ LIMITA 5. Stanovte hypotézu o itách a). b). 6. Vypočtěte: a). b). c) sin. d) + +. + SPOJITOST FUNKCE 7. Rozhodněte o spojitosti funkce f znázorněné na obrázku (viz seminář) v bodech a, 0, b, c, d. 8. Vyšetřete spojitost funkce f ( ) ; ; R- 0. { 0},
VÝSLEDKY CVIČENÍ. a) ; b) 0.. a) viz seminář; b) viz seminář.. a) ; b) ; c) ; d). 4. a) ; b) ; c) ; d) ; e). 5 5. a) 0 ; b) 0. 6. a) ; b) ; c) 0 ; d). 7. viz seminář. 8. Spojitá na { 0} R, nespojitá v 0.