5. Geoetrké průřeové harakterstk 5. Těžště Těžště bod, který vžd proháí výslede gravtačíh sl působííh a hotý objekt (soustavu objektů) ačíe C g [, ] (a) Těžště soustav hotýh bodů v rově 3 3 {, } F x F F g F x F F g 5-, Petr Kabele
3 3 F F g Velkost výslede F F g r F F g r Paprsek výslede oetové podík F F g r r Souřade těžště soustav hotýh bodů ; [] 5-, Petr Kabele
Defujee: Statké oet soustav hotýh bodů k souřadový osá S S [kg ] Celková hotost soustav hotýh bodů [kg] Pak souřade těžště: S ; S 5-, Petr Kabele
(b) Těžště ploh uvažuje plohu obeého tvaru v rově - plohu rodělíe a eleetárí plošk ( ) velkost fktví tíh eleetárí plošk je rova stat. oet těhto fktvíh sl : S, j j S, j j j,, j j,, pro elou plohu: j S S, j j j j S S, j j j j [ ] velkost ploh S, S [ 3 ] statké oet rové ploh k souřadový osá 5-, Petr Kabele
uvažuje vel jeé děleí:, l, j S l d j, j S l d d j, j (dvojý tegrál) j,, d,, aalogk se soustavou h. bodů, souřade těžště: d d S S 5-, Petr Kabele
() Těžště rové křvk uvažuje křvku obeého tvaru v rově - křvku rodělíe a eleetáríh úseček s velkost fktví tíh eleetárí úsečk je rova s stat. oet těhto fktvíh sl : S, s S s, s,, pro elou křvku: l s S S s, S S s, l [] délka křvk S, S [ ] statké oet rové křvk k souřadový osá 5-, Petr Kabele
uvažuje vel jeé děleí: l l s ds S l ds S l ds s s s s,, (tegrál po oblouku rové křvk) aalogk se soustavou h. bodů, souřade těžště: ds s l ds s l S l S l 5-, Petr Kabele
(d) Těžště složeé ploh předpoklad áe velkost a těžště jedotlvýh částí: [, ],, [, ],, [, ] pro každou část platí: () C g () C g C g () ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) pro elou složeou plohu ůžee rodělt tegračí oblast, takže platí: d d +... + d +... + d +... + +... + () ( ) ( ) () ( ) ( ) d d +... + d +... + d +... + +... + () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 5-, Petr Kabele
dosadíe ( ) do ( ) : +... + +... + +... + +... + () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () C g () C g C g () +... + +... + +... + +... + () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) 5-, Petr Kabele
podobě le aplkovat tv. odčítaí obraů, apř. C g C g () C g () d d + d () ( ) roděleí tegračí oblast d d d () ( ) a () () () () takže: Podobě odvodíe: 5-, Petr Kabele
Poáka: těžště vžd leží v ose/středu setre setrké ploh Např. () () plohu rodělíe a setrké oblast tak, že velkost ploh () () e setre vplývá, že - poto + + () () () () () () takže... leží a ose setre. 5-, Petr Kabele
Příklad: Určete polohu těžště průřeu prutu složeého válovaýh proflů: IE Hořejší, Šafka a kol. Statké tabulk, SNTL 987 IE 6 5-, Petr Kabele
IE IE 6 5-, Petr Kabele
(e) Těžště rové loeéčár (odvoeí aalogk jako pro složeou plohu) l C g C g l l C g3 l l l l 5-, Petr Kabele
PPENDIX: Troha ateatk Křvkový tegrál po oblouku rové křvk Rodělíe-l křvku C a úseků s: f (,) f (,) B s f (,) B B C () B f (, ) ds l f (, ) s 5-, Petr Kabele
Výpočet: taω ( ) ds teča k C C () B taω d d ds d + d pravoúhlého trojúhelíku d ds ω takže a d B ds d + + d [ ( ) ] d d + [ ( ) d] a křvkový tegrál převedee a občejý B B f (, ) ds f (, ) + [ ( ) ] d () 5-, Petr Kabele
Příklad : Určete polohu těžště parabolkého oblouku: B Tvar křvk: ( ) 4 '( ) [ ] ( ) ds + ( ) d + d + 4 d 4 Statké oet: Délka křvk: B l ds + 4 d + 4 + arsh 4,647 4 ( ) B S ds + 4 d + + 4 6 3 3 5,758 5-, Petr Kabele
B 3 63 65 S ds + d + + 3 4 64 ( 4 ) 4 4 arsh ( ),6 Poloha těžště: B,39 S 5,758, 39 l 4,647 S,6,77 l 4,647 C g,77 4 5-, Petr Kabele
Dvojý tegrál f (,) Rodělíe-l plohu a dílků : f (,) f (,) G g () B G g () B f (, ) d l f (, ), j 5-, Petr Kabele
Výpočet: f (,) Nejprve tegrujee f (,) pro kostatí podle v eíh od g () do g (), takže dostaee f (,) B g ( ) f g (, ) ( ) d d Teto evýsledek tegrujee podle v eíh od do B, takže B g ( ) d G g () f (, ) d f (, ) d d g( ) G g () 5-, Petr Kabele
alogk, avšak v opačé pořadí, postupujee, pokud ee ve sěru os jsou kostatí (, B ) a ee ve sěru os jsou fuke h () a h (). f (,) f (,) Nejprve tegrujee f (,) pro kostatí podle v eíh od h () do h (), takže dostaee h ( ) h ( ) f (, ) d d B H h () d Teto evýsledek tegrujee podle v eíh od do B, takže B h ( ) f (, ) d f (, ) d d h ( ) H h () 5-, Petr Kabele
Příklad : Určete polohu těžště parabolké ploh: g () 3 g () B 7 Tvar ploh vee křvka : g g Velkost ploh: ( ) ; ( ), +, B g ( ) 7, +, d d d d d ( ) g 7 7 v eíh : ; 7, +, [ ] (,, ) d + d 3,, + 5,68 3 7 B 5-, Petr Kabele
Statké oet: B g ( ) 7, +, S d d d d d ( ) g 7 7, +, [ ] ( ) d, +, d 4 3,, + 65,7 4 3 7 B g ( ) 7, +, S d d d d d ( ) g (, +, ) 7, +, 7 d 5 5 3, 44, 88, 44, 86 + 5 4 3 7 3 d 3 5-, Petr Kabele
Poloha těžště: S, 86,8 5,68 S 65,7 4,56 5,68,8 C g 4,56 5-, Petr Kabele
Teto dokuet je urče výhradě jako doplěk k předášká předětu Stavebí ehaka pro studet Stavebí fakult ČVUT v Prae. Dokuet je průběžě doplňová, opravová a aktualová a přes veškerou sahu autora ůže obsahovat epřesost a hb. Datu posledí reve:.4. 5-, Petr Kabele