Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě: (uvedeo pouze ve vážeé formě) m ( X ) momet oolo počátu Přrozeé čílo e azývá tupeň mometu. Obecý momet. tupě artmetcý průměr: m ( X ) Je-l tedy ve vzorc obecého mometu, zíáme vzorec artmetcého průměru. Artmetcý průměr je prvím obecým mometem. Pro > jou je -tý obecý momet -tou mocou mocového průměru. Cetrálí momet -tého tupě e taoví olem prvího obecého mometu m (X): m ) [ m ( X ] momet oolo otaty Pro : m ( X ) m ( X ) m ( X ) m ( X ) 0 ) m ( X ) [ m ( X ] m ( X ) [ m ( X ] ) Je-l ve vzorc cetrálího mometu, zíáme vzorec rozptylu. Rozptyl je druhým cetrálím mometem. Potom tedy? Směrodatá odchyla je druhou odmocou z druhého cetrálího mometu, Varačí oefcet je druhou odmocou z druhého cetrálího mometu děleou prvím obecým mometem.
Soutava mometů Z uvedeých vztahů mez cetrálím a obecým momety plyou alteratví (výpočtové) vzorce pro rozptyl (jž o ch byla řeč): Z uvedeých defc vyplývá, že otatí uvedeé charaterty úrově varablty ejou mometovým charatertam (harmocý průměr, geometrcý průměr, modu, medá, varačí rozpětí, průměré abolutí odchyly, dferece). Kovarace je mometovou charatertou patří mez míšeé cetrálí momety (více ež jedoho zau). Normováí a ormovaé hodoty Př ormováí dat dochází odtraěí úrově a varablty z dat. Normovaé hodoty jou tudíž varatí vůč adtví multplatví otatě a jou bezrozměré. Normováím zau odpadá problemata měřeí úrově a varablty. Spočívá ve zmešeí zau X o prví obecý momet a vyděleí druhou odmocou druhého cetrálího mometu. Normovaý za: U X m ( X ) m ( X ) X u Platí m ( U ) u 0, m ( U ) u. U ormovaých zaů emá myl rozlšovat obecé a cetrálí momety. Momety ormovaého zau e azývají ormovaé momety. Mez cetrálím a ormovaým momety platí vztah: m ( U ) m ( X ) m ( X ) Normovaá data e elší v úrov a varabltě. Normovaé zay e mohou tedy lšt pouze v jých vlatotech ež je úroveň a varablta: o v aymetr (šmot) o ve špčatot (ece).
Soutava mometů Měřeí aymetre Aymetre ouví e ymetrí upořádáí dat olem artmetcého průměru číelé řady, vz obrázy u výzamých hodot varačí řady. Pravotraá aymetre záporá. Levotraá šmot ladá. Etrémí aymetre ejvyšší četot vyazuje prví ebo poledí třída. Mometový oefcet šmot je objetví mírou aymetre a je defová jao třetí ormovaý momet: u, de u Koefcet šmot je rove ule pouze pro dooale ouměrá data. Začá ctlvot vůč odlehlým (etrémím) hodotám může ížt vypovídací chopot. Pearoův oefcet šmot: vyazuje meší ctlvot vůč etrémím hodotám, eí mometovou charatertou, ˆ zaméa vychází tejě, eboť u levotraě eouměrého rozděleí ˆ < a obdobě u pravotraého ˆ >. Poloha medáu je vždy mez modem a artmetcým průměrem, pouze v případě ymetre e všechy tř charaterty rovají. Měřeí špčatot Špčatot (ece) hutota aupeí hodot ouboru olem těžště. Mometový oefcet špčatot objetví míra špčatot, je čtvrtým ormovaým mometem zmešeým o hodotu :
Soutava mometů 4 4 u Je-l oefcet rove ule, jedá e o ormálí špčatot (Gauova řva) 4 < 0 podormálí špčatot 4 > 0 adormálí špčatot Velá ctlvot vůč odlehlým hodotám ouboru vůč aymetr dat. Špčatot eouví varabltou. Normálí špčatot Nadormálí špčatot 9 0 8 7 5 6 0 5 4 5 0 5 0 4 5 6 7 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 Přílad č. 9 Vymezeí třídy Počet případů Střed třídy u u u 4 <000 400) 0 00 -,97879-77,487 5,0 <400 800) 600 -,9765-60,064 8,9486 <800 00) 000-0,865-6,8748,7786 <00 600) 8 400-0,56-0,49545 0,66 <600 4000) 40 800 0,4578,65708 0,5789 <4000 4400) 400 0,969 4,688,8846 <4400 4800) 8 4600,508065 96,045 44,8 Σ X 00 X X -,547 49,448
u,547 00 Soutava mometů 0,67 4 49,448 4 u 0,9079 00 Koefcet šmot vyjadřuje pravotraou aymetr. Koefcet špčatot podormálí špčatot. Závěrečé vyhodoceí tvaru rozděleí: Průměr: 56 Rozptyl: 47756 Směrodatá odchyla: 688,99 Varačí oefcet: 9, % < ~ < ˆ 56 < 589 < 67 Medá: 589,47684 Modu: 67,77 45 40 5 0 5 0 5 0 5 0 Rozděleí četotí <000- <400 <800 <00 <600 <4000 <4400 400) 800) 00) 600) 4000) 4400) 4800) Pearoův oefcet šmot: ˆ 56-67 688, 0,6
Soutava mometů Přílad č. 0 Vypočtěte polečý artmetcý průměr a polečý rozptyl pro dílčí oubory v tabulce: Dílčí oubor 4 5 Rozah dílčího ouboru 45 8 65 5 5 Dílčí artmetcý průměr 0 00 88 0 50 Dílčí rozptyl 65 79 648 806 7999. 45 0 65 9450 6580,9 895 8 00 79 800 95680,909 7888 65 88 648 570 4560,944 4770 5 0 806 60 66,978 40986 5 50 7999 7850 6044,8 407949 50 4940 47485,6 795 celový 4940 50 7,76 rozptyl dílčích průměrů olem polečého průměru (mezupová varablta) ( ) 47485,6 50 9897,544 průměrý rozptyl vypočteý z dílčích rozptylů (vtroupová varablta) 795 50 780,58 polečý rozptyl: + 9897,54 + 780,5 7078,07