VI. Nevlastní integrály

Podobné dokumenty
Nevlastní integrál. Úvod. Dosud jsme se zabývali Riemannovým integrálem, který je denován pro ohrani enou funkci

INTEGRÁLNÍ POČET. Primitivní funkce. Neurčitý integrál. Pravidla a vzorce pro integrování

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

ROVNICE, NEROVNICE A PRŮBĚH FUNKCÍ

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

12. MOCNINY A ODMOCNINY

Motivácia. Väčšina úloh vo fyzike je založená na hľadaní závislosti nejakých veličín od iných veľmi často od času: x(t) U(t) I(t)

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

Sbírka na procvičení vztahů mezi veličinami popisujícími pohyb

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

Obvykle se používá stejná transformační matice pro napětí a proud.

Petriho sítě PES 2007/2008. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D.

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

17 Křivky v rovině a prostoru

Vztahy mezi veličinami popisujíscími pohyb

10 Transformace 3D Transformace a jejich realizace. Studijní cíl. Doba nutná k nastudování. Průvodce studiem

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

Určitý integrál

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

Řešení soustav lineárních rovnic

Digitální učební materiál

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Kinematika hmotného bodu

Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

Numerická integrace. b a. sin 100 t dt

{ } ( ) ( ) Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

Křivkový integrál funkce

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

Riemannův určitý integrál.

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Funkce jedné proměnné

5.5 Elementární funkce

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Ortogonalita ORTOGONALITA, KOEFICIENTY FOURIEROVY ŘADY, GIBBSŮV JEV X31EO2

Ohýbaný nosník - napětí

26. listopadu a 10.prosince 2016

DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.

2.3. DETERMINANTY MATIC

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban

11. Číselné a mocninné řady

Předmět studia klasické fyziky

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,

Kapitola 8: Dvojný integrál

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Integrál jako funkce meze

Rovnoměrně zrychlený pohyb v grafech

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných SLOŽENÉ FUNKCE. PŘÍKLAD 1 t, kde = =

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

1.1 Numerické integrování

6. Optika. Konstrukce vlnoploch pro světlo:

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle

=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

Fakulta aplikovaných věd

Přednáška 9: Limita a spojitost

Semestrální práce z předmětu KMA/MM

Transkript:

VI. Nevlsní inegrály Obsh 1 Inegrál jko funke horní meze 2 2 Nevlsní inegrály 2 2.1 Nevlsníinegrályvlivemmeze... 3 2.2 Nevlsníinegrályvlivemfunke... 3 2.3 Výpočeneurčiýhinegrálů.... 4 2.3.1 Nevlsníinegrályvlivemmeze... 4 2.3.2 Nevlsníinegrályvlivemfunke..... 4 2.4 Zobenění..... 5 2.5 Geomerikáinerpreenevlsníhinegrálů..... 5 2.6 Poznámky... 5

Nevlsní inegrály funke jedné proměnné jsou zobeněním Riemnnov inegrálu. V přípdě Riemnnov inegrálu poždujeme, by funke i inervl, n kerém inegrujeme, byly omezené. V pri všk čso pořebujeme počí i kové inegrály, kde buď funke nebo inervl nejsou omezené. Před definií nevlsníh inegrálů pořebujeme zvés ješě jeden pojem o inegrál jko funke horní/dolní meze. 1 Inegrál jko funke horní meze Předpokládejme,žefunke f R<,b >.Zdiiviyinegráluplyne,žeprovšehn <,b > eisuje inegrál fd Tenourčiýinegrálječíslo,kerézávisínvolbě,ožznmená,žeinegrál fdjefunkí, j. funkí horní meze. Lze edy definov funki F= fd <,b >. Definie1.1 Nehť funke f je inegrovelná n inervlu <,b >. Poom se funke F = fddefinovnáprovšehn <,b >nzýváfunkehornímezeinegrálufunke f nebo kéříkáme,žeinegrál fdjefunkíhornímeze. Poznámk:Anlogikylzedefinovfunki G= fdpro <,b >,zn.povžovinerál fdzfunkidolnímeze. Vě1.1 Je-lifunke finegrovelnánezápornáninervlu <,b >,poomjefunke F neklesjíín <,b >. Vě 1.2Vlsnosi inegrálu jko funke horní meze Nehť je funke f inegrovelná n inervlu <,b >.Poomprofunki F= fdplí: 1. Funke F jespojián <,b >. 2. Vkždémbodě 0 <,b >,vněmžejefunke fspojiá,máfunke Fvlsníderiviplí [ F d ] 0 =f 0 neboli fd = f 0 d = 0 v krjníh bodeh inervlu uvžujeme příslušné jednosrnné derive. 3. Je-lifunke fspojián <,b >,pkfunke F jeprimiivníkfunki fn <,b >. 2 Nevlsní inegrály Nevlsní inegrály definujeme jko iy určiýh inegrálů s proměnnou mezíhorní nebo dolní. Eisuje-li příslušná vlsní i, říkáme, že nevlsní inegrál konvergujeeisuje, v opčném přípdě říkáme, že diverguje. O nevlsníh inegráleh edy hovoříme v následujííh přípdeh: Je-li, b neomezený, j. lespoň jeden krjní bod ohoo inervlu je nevlsní číslo. Je-lifunke fn,bneomezená. Definie2.1 Řekneme,žebod R,kde b,jesingulárnímbodeminegrefunke f n inervlu,b,je-libuď = nebo =neboje-lifunke fnkždémokolíbodu neomezená. Poznámk: Dále budeme předpoklád, že singulárníh bodů je konečný poče že funke f je n kždém uzvřeném inervlu neobshujíím singulární bod inegrovelná. Rozlišujeme dv zákldní ypy nevlsníh inegrálů: nevlsní inegrály vlivem meze nevlsní inegrály vlivem funke. 2

2.1 Nevlsní inegrály vlivem meze Definie2.2 Nehťjefunke fdefinovnán <, nehť, eisujeinegrál fd. Jesliže eisuje vlsní i fd, 1 pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pk ho definujeme vzhem fd. Je-li i1 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. Definie2.3 Nehť je funke f definovná n,b > nehť,b eisuje inegrál fd.jesližeeisujevlsníi fd, 2 pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pk ho definujeme vzhem fd. Je-li i2 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. Definie 2.4 Nehť je funke f definovná n, nehť konvergují nevlsní inegrály fd 3 fd 4, kde R.Pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisujedefinujemehovzhem fd+ fd, R. Diverguje-lispoňjedenzinegrálů34,pkříkáme,ženevlsníinegrál fddiverguje. 2.2 Nevlsní inegrály vlivem funke Definie2.5 Nehťjefunke fdefinovnánomezenéminervlu <,bneníomezenánžádném levémokolíbodu b,přičemžprokždé <,beisujeinegrál fd.jesližeeisujevlsní i fd, 5 b pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pkho definujeme vzhem fd. b Je-li i5 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. Definie2.6 Nehťjefunke fdefinovnánomezenéminervlu,b >,neníomezenánžádném prvémokolíbodu nehťprokždé,b >eisujeinegrál fd.jesližeeisujevlsní i b fd, 6 + pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisuje.eisuje-linevlsníinegrál,pkho definujeme vzhem fd. + Je-li i5 nevlsní nebo neeisuje, říkáme, že nevlsní inegrál diverguje. 3

Definie2.7 Nehťjefunke fdefinovnánomezenéminervlu <,b >,neníomezenánžádném okolíbodu,bnehťkonvergujínevlsníinegrály fd 7 fd 8. Pkříkáme,ženevlsníinegrál fdkonvergujeeisujedefinujemehovzhem fd+ fd. Diverguje-lilespoňjedenzinegrálů78,pkříkáme,ženevlsníinegrál fddiverguje. 2.3 Výpoče neurčiýh inegrálů Jesliže známe primiivní funki F k funki f n uzvřeném inervlu neobshujíím singulární body inegre,můžemenevlsníinegrál fdpočípomoímodifikovnéholeibniz-newonov vzore. 2.3.1 Nevlsní inegrály vlivem meze fd = [F] = F F = F F fd = [F] b = Fb F = Fb F = fd+ F F + 2.3.2 Nevlsní inegrály vlivem funke Nehť fneníomezenánžádnémokolíbodu b: b Nehť fneníomezenánžádnémokolíbodu : + Fu F u fd+ u u = Fu F u [F] b = F F = F F b b [F] b + = Fb F = Fb F + + Nehť fneníomezenánžádnémokolíbodu,b: = F F fd+ + Fb Fu u + = Fb+ fd+ u + u u F Fu F + 4

2.4 Zobenění Uvžujme funki f inervl, b s víe singulárními body inegre. Rozdělme inervl, b pomoíbodů = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n = bk,bykždýzinegrálů i i 1 fd i=1,... n obshovl jen jeden singulární bod inegre. Poomříkáme,ženevlsníinegrál fdkonverguje,jesližekonvergujívšehnyinegrály. V omo přípdě pk definujeme n i=1 i i 1 fd Jesliželespoňjedenzinegrálů diverguje,pkříkáme,ženevlsníinegrál fddiverguje. 2.5 Geomeriká inerpree nevlsníh inegrálů Je-li funke f nezáporná n inervlu, b, můžeme nevlsní inegrálpokud konverguje háp jko obsh příslušného neomezeného rovinného obrze M, kde 2.6 Poznámky M= {,y R 2 ;,b,0 y f}. Konvergenní nevlsní inegrály mjí sejné zákldní vlsnosi jko vlsní inegrály, j. plí pro ně npř. vě o lineriě, monoonii nebo diiviě. Eisuje elá řd kriérií konvergene nevlsníh inegrálů, j. podmínek, z kerýh nevlsní inegrály konvergujíviz npř. Rekorys: Přehled užié memiky. 5