becá soustava sil a mometů v prostoru Zcela obecé atížeí silami a momet a těleso v prostoru (vede a 6 rovic) Saha o převráceí (akce) Specifické případ Vikla u obce Kadov, ~30 t Svaek sil paprsk všech sil se protíají v 1 bodě (3 rovice) Soustava rovoběžých sil paprsk sil jsou rovoběžé (3 rovice) Roviá soustava sil a mometů síl v jedé roviě a momet jsou kolmé (3 rovice) Roviý svaek sil (2 rovice) Roviá soustava rovoběžých sil (2 rovice) Copright (c) 2007-2008 Vít Šmilauer Cech Techical Uiversit i Prague, Facult of Civil Egieerig, Departmet of Mechaics, Cech Republic Permissio is grated to cop, distribute ad/or modif this documet uder the terms of the GNU ee Documetatio Licese, Versio 1.2 or a later versio published b the ee Software Foudatio; with o Ivariat Sectios, o ot-cover Tets, ad o Back-Cover Tets. A cop of the licese is icluded i the sectio etitled "GNU ee Documetatio Licese" foud at http://www.gu.org/liceses/ 1
Výsledý účiek soustav sil a mometů v prostoru Před řešeím úloh rovováh či ekvivalece provedeme redukci ámých sil Fi a mometů Mj k daému bodu, obvkle počátku. Tím obdržíme jediou výsledici a jediý momet M k daému bodu (počátku) r2 Fi M0 r1 F1 Mj M1 ψ a M bivektor = Fi i=1 m m j=1 i=1 j=1 M = M Fi M j= ri F i Mj i=1 Bivektorem le ahradit jakoukoli soustavu sil a mometů 2
Složk sil Složk mometů m i=1 j=1 m i=1 j=1 m i =1 j=1 F r = F i =F i cos i M = r i F i r i F i M j F r = F i =F i cos i M = r i F i r i F i M j F r= F i=f i cos i M = r i F i r i F i M j i =1 i =1 i=1 Velikost síl F r = F F F 2 r 2 r Velikost mometu M = M 2 M 2 M 2 2 r Úhl cos r = Úhl F r, cos r = F r, cos r = cos = Úhel F r M =F r M cos, cos = M M, cos = M M, cos = M M F r M F r M F r M = F r M =cos r cos cos r cos cos r cos 3
Kromě obecých případů redukce k mohou astat tto čtři specifické 1. F r M, F r M =0, soustavu le ahradit jediou silou, která vtváří rověž momet M (rotací souřadé soustav kolmé a M přecháí a roviý případ) M p Výpočet paprsku síl defiice složek mometu M = F r F r, M = F r F r, M = F r F r po. Tto tři rovice jsou lieárě ávislé, k určeí bodu a paprsku výsledice stačí libovolé dvě 4
2. F r 0 M = 0 výsledkem je jediá síla působící v počátku 3. F r = 0 M 0 výsledkem je momet (volý vektor), který může být ahrae dvojicí sil v jakékoli roviě kolmé a momet M F p F 4. F r = 0 M = 0 soustava je v rovováe (pricip výpočtu rovováh) 5
Určete výsledou sílu, výsledý momet a úhel soustav sil k bodu F = 4 kn 2 3 F r= F i= 3 ;4 ; 5 kn F r = 32 4 2 5 2=7,071 kn M =0 F1 7 F 2 7,2 F 3=8 knm M =0 F1 0 1,2 F 3= 6 knm M =0 F 1 0 F 2 0=0 knm 7m i=1 F3 = 5 kn 7,2 m 1,2 m F1 = 3 kn M = 82 6 2=10 knm M cos = =0,8 M M cos = = 0,6, cos =0 M 3 8 4 6 5 0 cos = =0 7,071 10 Soustavu le ahradit jediou silou, která působí a paprsku 5 4=8 3 5= 6 4 3=0 řešeí, prvích dvou rovic 5 5 =2 apř. bod [0 ; 0 ; 2 ] paprsek má směr síl F=5 kn = 2 m F=3 kn F=4 kn 6
becá soustava sil v prostoru úloha rovováh Prostorová soustava sil {F1,..., F} a mometů {M1,..., Mm} je v rovováe se silami {R1,..., Ro} je li výsledý účiek všech sil a všech mometů ulový o i=1 j=1 F i R j= 0 silové (směrové) podmík F i o R j m M M M k= 0 i =1 j=1 k =1 mometové podmík : F i R j =0 R : M Fi M j M k=0 : F i R j =0 R : M Fi M j M k=0 : F i R j =0 F R : Mi Mj M k =0 Celkem k dispoici 6 statických podmíek rovováh = 6 eámých, jedoačé řešeí pokud determiat soustav 0 Mometové podmík rovováh le volit k libovolému bodu (obvkle k ) 7
Každý momet je volý vektor a le ho ahradit dvojicí sil a ramei Pro úlohu ekvivalece postačí vložit před eámé čle R a MR a tím je převést a pravou strau všech rovic Až tři silové podmík le ahradit podmíkami mometovými, maimálě 6 mometových podmíek rovováh (ekvivalece), os esmí být ulovými přímkami Nulové přímk soustav přímk ke kterým je statický momet soustav ulový (vede a mometovou podmíku 0=0) Pro výpočet reakcí tuhého tělesa v prostoru je k dispoici 6 podmíek rovováh. Pro výpočet více reakcí je obecě třeba doplit další podmík, apř. podmík přetváré. 8
Příklad rovováha Určete síl a momet v uchceí chrliče dle schématu atížeí a reakcí M 0,6 0,5=0 M = 0,3 knm 0,6 R 2 0,3 0,5=0 R 2= 0,25 kn R R 2 0,5=0 R =0,25 kn sv. Vít v Prae 0,6 R 1 0,6 5 1,2 0,2=0 R1 =5,4 kn R R 1=0 R =5,4 kn R2 R1 R 5 0,2=0 R =5,2 kn Geometrie 1/2 chrliče F2 = 0,5 kn jié podmík (výpočet, kotrola) R1 R2 0,6 R 0,3 0,5=0 0,6 R 0,6 5 1,2 0,2=0 M R,R,R 1,2 m F1 = 5 kn 0,2 m 0,6 m F3 = 0,2 kn 9
Ekvivaletí ahraeí soustav šroubem Soustavu sil a mometů jsme redukovali do bivektoru a M v počátku Momet M roložíme do M a Mc (Mc je koaiálí s a M je kolmý a Mc a ároveň v roviě s M) M c =M cos, M =M si M c =M c cos r, M c =M c cos r, M c =M c cos r M = M 0 Mc ψ M M M ψ Mc 10
Ekvivaletí ahraeí soustav šroubem Sílu posueme tak, ab ároveň ahraovala účiek mometu M Momet Mc posueme do cetrálí os c, určeou rovicemi (k výpočtu postačují poue libovolé dvě rovice) M c = F r F r, M c = F r F r, M c = F r F r M Mc c c Mc Výsledý účiek a těleso je posuvý a otáčivý podél, resp. okolo os c (šroub) Síla a kolieárí momet Mc tvoří tv. ivariat soustav sil 11
Ekvivaletí ahraeí soustav dvěma mimoběžými silami Momet Mc ahraďme dvojicí sil R1 a libovolém ramei p dle obráku. Součtem síl R1 a je síla R2 Soustavu obecých sil (a mometů) jsme ahradili dvěma mimoběžými silami R1 a R2 (silový kříž) R1 p R1 c R2 Mc c R1 p R1 12
Nulové přímk soustav Každá přímka protíající paprsk sil R1 a R2 tvoří ulovou přímku soustav (momet k im je ulový) Pro bivektor je to každá přímka protíající a kolmá k M K ulovým přímkám emá smsl provádět mometové podmík (výsledkem je ulový momet) Pokud eí soustava v rovováe, pak eistuje buď 0 či M 0 a eistují ulové přímk. Rotaci tělesa okolo ulových přímek eí bráěo R2 R1 Tímto bodem procháí ulová přímka, apř. kolmá k roviě (reakce ebráí rotaci vjímkový případ podepřeí) 13
Nahraďte soustavu šroubem a silovým křížem :M =0 :F r =30 kn :F r =40 kn :M =4 F 3 2 F 1=0 F1 = 40 kn :M =2 F 2=60 knm F r = 30 40 =50 kn, M =60 knm cos r =0, cos r =0,6, cos r =0,8 2 F3 = 20 kn 2m 2 6m F2 = 30 kn 4m :F r =0 F4 = 20 kn cos =0, cos =0,6, cos =0,8, cos = 40 60 =0,8, si =0,6 50 60 M c =M 0 cos =48 knm, M =M 0 si =36 knm M c = 0 ; 28,8; 38,4 knm, M = M M c = 0 ; 28,8; 21,6 knm 40 30=0=M 40= 28,8=M 4 3 = =0,72 m 14
kolmý vektor a c = 0 ; 30 ;40 apř. 0 ; 4 ; 3, protože 0 ; 30 ; 40 0 ; 4 ; 3 =0 pro rameo 5 m kolmé k c je R 1= 485 =9,6 kn, R1 = 9,6; 0 ; 0 kn R = R F = 9,6 ;0 ;0 0 ;30 ; 40 = 9,6 ;30 ; 40 kn 2 1 r R 2=50,91 kn Výsledý účiek mimoběžých sil R1 a R2 Výsledý účiek šroubu c Mc = 48 knm =0,72 m = 50 kn c R2 = 50,91 kn =0,72 m 5m R1 = 9,6 kn 15
Prostorová soustava rovoběžých sil Paprsk všech sil jsou rovoběžé Násobk jedotkového vektoru f F i=f i f Výsledý účiek k počátku F r = F i= F i f =f F r M F= ri F i= r i F i f = r i F i f Fi f F r M F= f F r r i F i f =0 f F r = F 2r F 2r F 2r = F i 2 f 2 f 2 f 2 = F i M 16
Soustava rovoběžých svislých sil bvkle rovoběžé svislé síl, redukce šesti a tři podmík rovováh F i=0, F i=0, M i =0, F i 0 : F r= F i : M = M i= F i i =F r r : M = M i= F i i = F r r Průsečík výsledice s roviou M F i i r= = F r F r M F i i r= = F r F r F1 F2 r r 17
Určete výsledici rovoběžých svislých sil Podmík ekvivalece : F r=3 5 6 1=5 kn F3=6 kn : M =F 3 3 F 4 4= F =5 kn 6 0,8 1 0,8=5,6 knm F1=3 kn 2 : M = F1 1 F 4 4 = F4=1 kn 3 0,6 1 0,6= 2,4 knm M 2,4 r= = =0,48 m F r 5 M 5,6 r = = =1,12 m F r 5 0,8 m 0,6 m r r 18
ták Jaké budou reakce v patě pívající fotá při atížeí vlastí tíhou? Letohrádek králov A, Praha becě tři silové a tři mometové, dík smetrii jsou tíh jedotlivých částí praktick a ose smetrie (soustava svislých sil v ose), výsledkem je převážě svislá reakce v patě. 19
Předášk předmětu SM1, Stavebí fakulta ČVUT v Prae Autor Vít Šmilauer Námět, připomík, úprav, vlepšeí asílejte prosím a vit.smilauer@fsv.cvut.c Created 10/2007 i peffice 2.3, ubutu liu 6.06 Last update Feb 21, 2011 20