Vlastní čísla a vlastní vektory

Kapitola 10 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic. Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciálnírovnice u = λu,kde u(t)jeneznámáreálnáfunkcereálnéproměnné t,jetvaru u(t)=αe λt,kde αjereálnéčíslo.podobněsoustavalineárních diferenciálních rovnic mářešenívetvaru u 1 = 7u 1 4u 2 u 2 = 5u 1 2u 2 u 1 = α 1 e λt, u 2 = α 2 e λt provhodnáreálnáčísla α 1, α 2, λ.pokudtatovyjádřenízderivujemepodle t a dosadíme do původní soustavy diferenciálních rovnic, dostaneme tj. α 1 λe λt = 7α 1 e λt 4α 2 e λt α 2 λe λt = 5α 1 e λt 2α 2 e λt, α 1 λ = 7α 1 4α 2 α 2 λ = 5α 1 2α 2, neboli ( 7 4 5 2 ) ( α1 α 2 ) = λ ( α1 α 2 ). 176

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 177 V maticovém tvaru můžeme tuto soustavu vyjádřit jako ( ) 7 4 Ax=λx, kde A= a x= 5 2 ( α1 α 2 ). Tatosoustavamátriviálnířešeníx=0,kteréprolibovolné λvedeknulovýmfunkcím u 1, u 2.Tonenípřílišzajímavéřešení.Zajímajínásspíšty hodnoty skaláru λ, pro které existuje nenulové řešení soustavy Ax = λx, tj.soustavy(a λi)x=0.nenulovéřešeníexistujeprávěkdyžjematice A λisingulární,tj.právěkdyždet(a λi)=0.nenulovéřešeníproto existuje pouze pro hodnoty λ vyhovující kvadratické rovnici tj. (7 λ)( 2 λ)+20=0, λ 2 5λ+6=0. Tatokvadratickárovnicemářešení λ=2aλ=3.pro λ=2hledámeřešení homogenní soustavy s maticí ( ) 5 4 A 2I=, 5 4 kterámářešenítvarux=a(4/5,1) T.Hodnota λ=2takvedeknásledujícímu řešení původní soustavy diferfenciálních rovnic ( ) ( ) u1 u 1 = = e 2t 4/5. 1 u 2 Druhé řešení kvadratické rovnice λ = 3 vede k homogenní soustavě s maticí ( ) 4 4 A 3I=, 5 5 kterámářešeníx=b(1,1) T.Hodnota λ=3pakvedekřešení u 2 = ( u1 u 2 ) = e 3t ( 1 1 Lzedokázat,žekaždéřešenípůvodnísoustavydiferenciálníchrovnicu = Aujelineárníkombinacítěchtodvouřešeníu 1 au 2. Uvedená úloha vede k následující definici. ).

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 178 Definice 10.1 Pro čtvercovou matici A řádu n s reálnými(komplexními) prvky definujeme vlastní číslo matice A jako komplexní číslo λ, pro které platíax=λxpronějakýnenulovývektorx R n 1 (C n 1 ).Je-li λvlastní číslomaticea,pakkaždéřešenísoustavylineárníchrovnic(a λi n )x=0 nazýváme vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel matice A nazýváme spektrum matice A a označujeme ji σ(a). Zdefinicetakpřímoplyne,žeprokomplexnímaticiAřádu nakomplexníčíslo λplatí λ σ(a)právěkdyžmaticea λi n jesingulární,což jeprávěkdyždet(a λi n )=0.Poslednípodmínkaříká,jaknajítvlastní čísla nějaké matice, pokud existují. Definice 10.2 Je-li A čtvercová matice řádu n s reálnými(komplexními) prvky, pak pro každé reálné(komplexní) číslo λ definujeme hodnotu p(λ) = det(a λi n ).Funkci p(λ)nazývámecharakteristickýpolynommaticea. Rovnici p(λ) = 0 nazýváme charakteristická rovnice matice A. Pro důkaz Tvrzení 10.4 budeme potřebovat následující obecnou větu, které se říká základní věta algebry. Její důkaz je hodně obtížný a překračuje rámec úvodního kurzu lineární algebry. Uvedeme si ji proto bez důkazu. Věta10.3 Je-li f(x)=b n x n + b n 1 x n 1 + +b 1 x+b 0 polynomstupně n 1skomplexnímikoeficienty,pakjejlzevyjádřitvetvaru f(x)=b n (x β 1 ) l 1 (x β 2 ) l2 (x β k ) l k, pronějakákomplexníčísla β 1,...,β k akladnáceláčísla l 1,...,l k,prokterá platí l 1 + l 2 + +l k = n. Čísla β 1,...,β k senazývajíkořenypolynomu f,číslo l i senazývánásobnostkořenu β i. Tvrzení10.4 ProkomplexníčtvercovoumaticiA=(a ij )řádu nplatí charakteristickýpolynommaticeařádu njepolynomstupně nsvedoucímkoeficientemrovným( 1) n, komplexníčíslo λjevlastnímčíslamaticeaprávěkdyžjekořenem charakteristického polynomu p(λ) matice A, matice A má n vlastních komplexních čísel, počítáme-li každé tolikrát, kolik je jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu,

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 179 pokudjeareálnámatice,pak λ σ(a)právěkdyž λ σ(a). Důkaz. První tvrzení vyplývá z definice determinantu. Platí a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n A λi n =....... a n1 a n2 a nn λ Vyjdeme-li z definice determinantu, je především je zřejmé, že determinant maticea λi n jepolynomvproměnné λ.vsoučinudiagonálníchprvků (odpovídajícímu identické permutaci) (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ) dostanemeporoznásobení,žekoeficientuλ n je( 1) n akoeficientuλ n 1 je( 1) n 1 n i=1 a ii.vjakémkolivjinémsoučinuodpovídajícímneidentické permutaci p S n semusíobjevitaspoňdvaprvkymimohlavnídiagonálu, po případném roznásobení se tak může objevit neznámá λ s koeficientem nejvýše n 2.Protojekoeficientuλ n vcharakteristickémpolynomumaticearoven( 1) n akoeficientuλ n 1 serovná( 1) n 1 n i=1 a ii.podobně můžetenajítkoeficientyukaždémocniny λ n k pro k=2,3,...,n. Druhé tvrzení plyne přímo z definice vlastního čísla a charakteristického polynomu. Třetí tvrzení plyne zase ze základní věty algebry. Čtvrtétvrzeníplyneztoho,žeje-li p(λ)=b n λ n +b n 1 λ n 1 + +b 1 λ 1 + b 0 =0akoeficienty b 0, b 1,...,b n polynomu pjsoureálnáčísla,pakrovněž p(λ)=b n λ n + b n 1 λ n 1 + +b 1 λ+b 0 =0. Je-litedy λvlastníčísloreálnématice,paktaké λjevlastníčíslotétomatice. Každé vlastní číslo λ matice A je kořenem charakteristického polynomu p(λ)maticeaamátedynějakounásobnostcobykořenpolynomu p(λ).tuto násobnost budeme rovněž nazývat algebraická násobnost charakteristického čísla λ, případně algebraická dimenze charakteristického čísla λ. Reálná matice nemusí mít žádné reálné vlastní číslo. Pokud je ale navíc symetrická, pak je každé vlastní číslo této matice reálné. Podobné tvrzení platí i pro hermitovské matice, tj. pro matice s komplexními prvky, pro které platíb=b.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 180 Tvrzení 10.5 Je-li A reálná symetrická matice, pak každé vlastní číslo matice A je reálné. Podobně, je-li B hermitovská matice, pak každé vlastní číslo matice B je reálné. Důkaz. Důkaz stačí provést pro hermitovské matice, neboť každá symetrickámaticejehermitovská.je-li λ σ(b)ax 0vlastnívektorpříslušný vlastnímučíslu λ,pakplatíx x 0aλx=Bx.Zposlednírovnostivyplývá pomocí přechodu ke komplexně konjugovaným maticím také rovnost λx =x B,atedytaké x x(λ λ)=x (λ λ)x=x Bx x B x=0, neboťb=b.proto λ=λ. Cvičení 10.1 Dokažte, že každé vlastní číslo kososymetrické matice nebo kosohermitovské matice je ryze imaginární. Tvrzení 10.6 Je-li A čtvercová reálná(komplexní) matice řádu n, P reálná (komplexní)regulárnímaticestejnéhořáduab=p 1 AP,pakoběmatice AaBmajístejnýcharakteristickýpolynom,aprotorovněž σ(a)=σ(b), tj. obě mají také stejné spektrum. Důkaz. Podle Věty 10.15 o součinu determinantů platí pro každý reálné (komplexní) číslo λ det(a λi n ) = deti n det(a λi n )=det(p 1 P)det(A λi n )= = detp 1 det(a λi n )detp=det(p 1 (A λi n )P)= = det(p 1 AP P 1 λi n P)= = det(b λi n ). Důsledek 10.7 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad reálnými (komplexními)číslyaf :V Vjelineárnízobrazení.Dálepředpokládáme,že AaBjsoudvěbázeprostoruV.OznačímeAmatici[F] A lineárníhozobrazení F vzhledemkbázi AaBmatici[F] B zobrazení F vzhledem kbázi B.PotomjsoucharakteristicképolynomyoboumaticAaBstejnéa platí rovnost σ(a) = σ(b).

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 181 Důkaz.PodleTvrzení7.13platí[F] B =P 1 [F] A P,kdeP=[I] BA je maticepřechoduodbáze Akbázi B.Protožematicepřechodu[I] BA je regulární, plynou všechna tvrzení bezprostředně z předchozího Tvrzení 10.6 Tento důsledek ukazuje, že vlastní čísla a spektrum jsou spíše vlastnosti lineárních zobrazení než pouze vlastnosti matic. Každá reálná(komplexní) maticeařádu nurčujelineárnízobrazení F :R n R n (F :C n C n ) předpisem F(x)=Ax.MaticeAmávlastníčíslo λprávěkdyžexistujenenulovývektorx R n (C n ),prokterýplatíax=λx.prolineárnízobrazení FurčenématicíApakplatí F(x)=Ax=λx. Tyto úvahy vedou k následující definici. Definice10.8 Je-li F:V Vlineárníoperátornareálném(komplexním) vektorovém prostoru V, pak skalár λ nazýváme vlastní číslo lineárního operátoruapokudexistujenenulovývektorx V,prokterýplatí F(x)=λx. Je-li λvlastníčíslooperátoru F,pakkaždývektorx V,prokterýplatí F(x) = λx, nazýváme vlastní vektor lineárního operátoru F příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel operátoru F označujeme σ(f) a nazýváme spektrum operátoru F. Bezprostřením důsledkem Tvrzení 10.4 je následující tvrzení. Tvrzení10.9 Je-li F:V VlineárníoperátornakomplexnímvektorovémprostoruV,pakexistujevlastníčíslo λoperátoru F. Pokusíme se vyjasnit, do jaké míry lze matici lineárního operátoru F: V Vzjednodušitvhodnouvolboubáze BprostoruV. Definice10.10 Lineárníoperátor F :V Vnareálném(komplexním) vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje báze B prostoruv,prokterouplatí,žematice[f] B operátoru Fvzhledemkbázi B je diagonální. Reálná(komplexní) matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, pokud existuje regulární reálná(komplexní) matice P řádu n, pro kterou platí, že součinp 1 APjediagonálnímatice. Platítedy,želineárníoperátor F:V Vjediagonalizovatelnýprávě kdyžjediagonalizovatelnámatice[f] A tohotooperátoruvzhledemklibovolné bázi A prostoru V. Ne každá matice je ale diagonalizovatelná.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 182 Úloha 10.1 Dokažte, že matice není diagonalizovatelná. A= ( 0 1 0 0 Řešení.PromaticiAplatíA 2 =0.Pokudbybyladiagonalizovatelná, existovalybyregulárnímaticepadiagonálnímaticedtakové,žep 1 AP= D. Potom by platilo D 2 =P 1 APP 1 AP=P 1 A 2 P=0, protorovněžd=0,atedya=pdp 1 =0,cožjespor.MaticeAproto není diagonalizovatelná. Následující tvrzení udává nutnou a postačující podmínku pro diagonalizovatelnost. Tvrzení10.11 Lineárníoperátor F :V Vnareálném(komplexním) vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný právě když existuje báze prostoru V složená z vlastních vektorů operátoru F. Čtvercová(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná právě když existujebázeprostorur n (C n ),kterájesloženázvlastníchvektorůmatice A. Důkaz. Nejdříve dokážeme druhou část týkající se matic. Pokud je matice A diagonalizovatelná, existuje regulární matice P a diagonální matice D,prokteréplatíP 1 AP=D,neboliAP=PD.Označme λ 1 0 0 0 λ 2 0 D=....... 0 0 λ n ) Potom platí A[P 1 P 2 P n ]=[P 1 P 2 P n ] λ 1 0 0 0 λ 2 0....... 0 0 λ n

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 183 Prokaždé k=1,2,...,ntakplatíap k = λ k P k.každýsloupcovývektorp k jetakvlastnímvektoremmaticeapříslušnýmvlastnímučíslu λ k. Matice P je regulární, její sloupcové vektory jsou proto lineárně nezávislé a tvořítakbáziprostorur n (C n ). Pokudnaopakexistujebázeu 1,...,u n prostorur n (C n )složenázesamýchvlastníchvektorůmaticea,platíprokaždé k=1,2,...,n,žeau k = λ k u k pronějakéskaláry λ k.označímep=[u 1 u 2 u n ],tatomaticeje regulární, protože sloupce jsou lineárně nezávislé. Dále označíme λ 1 0 0 0 λ 2 0 D=....... 0 0 λ n Stejnějakovpředchozíčástidůkazuukážeme,žepotomAP=PD,neboli P 1 AP=D,maticeAjeprotodiagonalizovatelná. Nyní dokážeme první část tvrzení. Předpokládejme, že operátor F: V Vjediagonalizovatelný.Nechť B:u 1,u 2,...,u n jebázeprostoruvtaková, žematice[f] B =(d ij )jediagonální.potomprokaždé i=1,2,...,nplatí F(u i )=d ii u i. Toznamená,žekaždývektorbáze Bjevlastnívektoroperátoru F. Je-linaopakbáze B=u 1,...,u n bázeprostoruvsloženázesamých vlastníchvektorůoperátoru F,existujeprokaždé i = 1,...,nskalár λ i takový,že F(u i )=λ i u i.označme λ 1 0 0 0 λ 2 0 D=....... 0 0 λ n Potomplatí[F] B =D,operátor Fjeprotodiagonalizovatelný. V první části posledního důkazu jsme dokázali rovněž následující jednoduchý důsledek. Důsledek 10.12 Je-li A čtvercová matice řádu n a P regulární matice taková,žep 1 AP=D,pronějakoudiagonálnímaticiD,paknahlavní diagonále matice D jsou všechna vlastní čísla matice A. Následující tvrzení ukazuje postačující podmínku, kdy jsou nějaká matice nebo lineární operátor diagonalizovatelné.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 184 Tvrzení10.13 Jsou-li λ 1,...,λ m navzájemrůznávlastníčíslamaticea řádu nau i 0jevlastnívektormaticeApříslušnývlastnímučíslu λ i prolibovolné i=1,...,m,pakjeposloupnostvektorůu 1,...,u m lineárně nezávislá. Má-li matice A řádu n celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná. Má-lilineárníoperátor F:V Vcelkem nnavzájemrůznýchvlastních čísel, pak je diagonalizovatelný. Důkaz.Kdůkazuprvníčástistačídokázat,žeprokaždé k=1,...,m, jsou vektoryu 1,...,u k lineárně nezávislé. Toto tvrzení zřejmě platí pro k=1,protoževektoru 1 0.Pokudje k=2,...,m,takbudemepředpokládat,žeposloupnostu 1,...,u k 1 jelineárněnezávisláadokážeme,že taképosloupnostu 1,...,u k jelineárněnezávislá. Nechť tedy platí a 1 u 1 + a 2 u 2 + +a k u k =0 pronějakéskaláry a 1,...,a k.potomtaké A(a 1 u 1 + a 2 u 2 + +a k u k )=a 1 λ 1 u 1 + a 2 λ 2 u 2 + +a k λ k u k =0. Rovněž platí λ k a 1 u 1 + λ k a 2 u 2 + +λ k a k u k =0. Odečtením posledních dvou rovností dostaneme tj. (λ 1 λ k )a 1 u 1 +(λ 2 λ k )a 2 u 2 + +(λ k λ k )a k u k =0, (λ 1 λ k )a 1 u 1 +(λ 2 λ k )a 2 u 2 + +(λ k 1 λ k )a k 1 u k 1 =0. Z lineární nezávislosti vektorů u 1,...,u k 1 a vzájemné různosti skalárů λ 1,...,λ k plyne a 1 = a 2 = =a k 1 =0,aprotomusíplatit a k u k =0. Protožeu k 0,dostávámetaké a k =0. Pokud má matice A celkem n navzájem různých vlastních čísel a jsou-li u i 0vlastnívektorypříslušnévlastnímčíslům λ i pro i=1,2,...,n,pakje posloupnostvektorůu 1,...,u n lineárněnezávislápodleprvníčástidůkazu atedybázíprostorur n (C n ).MaticeAjeprotodiagonalizovatelnápodle Tvrzení 10.11.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 185 Tvrzení 10.14 Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná právě když pro každé vlastní číslo λ matice A platí, že algebraická násobnost λserovnádimenzinulovéhoprostorumaticea λi n,tj.číslu dim N(A λi n ). Důkaz. Je-li matice A diagonalizovatelná, existuje regulární matice P, pro kterou platí P 1 AP = D, kde D je diagonální matice. Na hlavní diagonálematicedjsouvlastníčísla λ 1, λ 2,...,λ n maticeapodledůsledku 10.12. Budeme předpokládat, že přesně k z těchto vlastních čísel se rovná nějakému reálnému(komplexnímu) číslu λ, tj. že algebraická násobnostvlastníhočísla λserovná k.diagonálnímaticed λi n mápotom právě knulnahlavnídiagonále,jejíhodnostjeproto n k.protože A λi n =P(D λi n )P 1, mámaticea λi n takéhodnost n k.jejínulovýprostormáprotodimenzi k. Kdůkazuobrácenéimplikacebudemepředpokládat,že λ 1,...,λ t jsou všechna navzájem různá vlastní čísla matice A. Algebraickou násobnost vlastníhočísla λ i označíme m i pro i = 1,...,t.PodleZákladnívětyalgebry 10.3 platí m 1 + m 2 + +m t = n apodlepředpokladuomaticiadostáváme m i = dim N(A λ i I n )pro i=1,2,...,t. Vkaždémzpodprostorů N(A λ i I n )zvolímebázi Dokážeme, že posloupnost vektorů x i1,x i2,...,x imi. x 11,x 12,...,x 1m1,x 21,x 22,...,x 2m2,...,x t1,x t2,...,x tmt je lineárně nezávislá. Pokud pronějakéskaláry a ij,označíme t m i a ij x ij =0 i=1 j=1 m i y i = a ij x ij j=1

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 186 pro i=1,...,t. Potomy i N(A λ i I n ),tj.y i jevlastnívektormaticeaodpovídající vlastnímučíslu λ i,prokaždé i=1,...,t.kromětoho y 1 +y 2 + +y t =0. Pokudbybylněkterýzvektorůy i 0,označilibychomsymbolem Jneprázdnoumnožinu {i=1,2,...,t:y i 0}.Zposlednírovnostibychom pak dostali y i =0, i J tj.vektoryy i pro i J bybylylineárnězávislé.protožejsoutovlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům matice A, dostali bychom spor stvrzením10.13.protoy i =0prokaždé i=1,2,...,t. Protože m i 0=y i = a ij x ij avektoryx i1,...,x imi tvoříbázipodprostoru N(A λ i I n ),platí a i1 = a i2 = =a imi =0prokaždé i=1,...,t.posloupnostvektorů j=1 x 11,x 12,...,x 1m1,x 21,x 22,...,x 2m2,...,x t1,x t2,...,x tmt je proto skutečně lineárně nezávislá, a protože obsahuje n prvků, tvoří bázi prostorur n 1 (C n 1 ).ProstorR n 1 (C n 1 )takmábázisloženouzvlastních vektorů matice A, matice A je proto diagonalizovatelná podle Tvrzení 10.11. Následující věta je často nazývána spektrální věta pro diagonalizovatelné matice. Věta10.15 ČtvercovámaticeAřádu nsespektrem σ(a)={λ 1,...,λ t } jediagonalizovatelnáprávěkdyžexistujímaticee 1,...,E t řádu n,prokteré platí 1.A=λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t, 2.E 2 i =E iprokaždé i=1,2,...,t, 3.E i E j =0prolibovolnédvarůznéindexy i, j=1,2,...,t, 4.E 1 +E 2 + +E t =I n. Dále pro diagonalizovatelnou matici A platí, že

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 187 5.maticeE i jsoujednoznačněurčenématicíaavlastnostmi1,2,3,4, 6.hodnostkaždézmaticE i serovnáalgebraickénásobnosticharakteristickéhočísla λ i, 7.je-li f(x)=c 0 +c 1 x+ c k x k libovolnýpolynomskomplexnímikoeficienty, pak platí f(a)=c 0 I n +c 1 A+ +c k A k = f(λ 1 )E 1 +f(λ 2 )E 2 + +f(λ k )E k, 8.nějakámaticeBkomutujesmaticíAprávětehdy,kdyžkomutujes každouzmatice i pro i=1,2,...,t. Důkaz.Označíme m i algebraickounásobnostvlastníhočísla λ i pro i= 1,2,...,t.ZdiagonalizovatelnostimaticeApakvyplýváexistenceregulární maticepřádu n,prokterouplatí λ 1 I m1 0 0 P 1 0 λ 2 I m2 0 AP=....... 0 0 λ t I mt Označímepro i=1,2,...,tsymbolemd i matici,kteroudostanemez blokové matice na pravé straně poslední rovnosti tak, že nahradíme všechny výskytyvlastníhočísla λ i číslem1avýskytyostatníchvlastníchčísel λ j pro j ičíslem0.například 0 0 0 0 I m2 0 D 2 =....... 0 0 0 Potom platí I n = D 1 +D 2 + +D t, P 1 AP = λ 1 D 1 + λ 2 D 2 + +λ t D t, A = λ 1 PD 1 P 1 + λ 2 PD 2 P 1 + +λ t PD t P 1. PoložímeE i = PD i P 1 pro i = 1,2,...,tadostanemetakzetřetí rovnostivlastnost1.protožed 2 i =D i ad i D j =0prolibovolnérůzné

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 188 indexy i, j=1,2,...,t,dostáváme E 2 i = PD i P 1 PD i P 1 =PD i P 1 =E i, E i E j = PD i P 1 PD j P 1 =PD i D j P 1 =0, E 1 + +E t = P(D 1 + +D t )P 1 =PI n P 1 =I n, což dokazuje vlastnosti 2, 3, 4. Abychom dokázali opačnou implikaci, budeme předpokládat, že pro maticiaexistujímaticee 1,...,E t splňujícípodmínky 1,2,3,4.Jakoprvní krok dokážeme, že platí S(E 1 + +E j )=S(E 1 )+ +S(E j ) prokaždé j=1,...,t.je-lix S(E 1 + +E j ),existujevektory C n 1 takový, že x=(e 1 +E 2 + +E j )y=e 1 y+ +E j y. JelikožE i y S(E i )prokaždé i=1,...,j,platí x=e 1 y+ +E j y S(E 1 )+ +S(E j ), proto S(E 1 + +E j ) S(E 1 )+ +S(E j ). K důkazu opačné inkluze předpokládejme, že x S(E 1 )+ +S(E j ). Existujítedyvektoryx i S(E i )pro i=1,...,jtakové,žex=x 1 + +x j. Zx i S(E i )plyneexistencevektoruy i C n 1,prokterýplatíx i =E i y i. Potom platí j j j j j j j ( E i )x = ( E i )( x i )= E i x k = E i E k y k = i=1 i=1 k=1 i=1 k=1 i=1 k=1 j j = E i y i = x i =x. i=1 i=1 Tímjedokázánaopačnáinkluze S(E 1 + +E j ) S(E 1 )+ +S(E j ). Dáledokážeme,žeprokaždé j=1,...t 1platí S(E 1 + +E j ) S(E j+1 )={0}.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 189 Pokudx S(E 1 + +E j ) S(E j+1 ),existujívektoryy,y j+1 C n 1 takové, že x=(e 1 + +E j )y=e j+1 y j+1. Ztétorovnostiazpodmínek 2,3dostáváme j x=e j+1 y j+1 =E j+1 E j+1 y j+1 =E j+1 (E 1 + +E j )y= E j+1 E i y=0, i=1 čímžjerovnost S(E 1 + +E j ) S(E j+1 )={0}dokázána. Ztétorovnosti,zdřívedokázanérovnosti S(E 1 + +E t )=S(E 1 )+ +S(E t ),aopakovanýmpoužitímtvrzení6.22pakdostaneme n = dim S(I n )=dim S(E 1 + +E t 1 +E t )= = dim(s(e 1 )+ +S(E t 1 )+S(E t ))= = dim(s(e 1 + +E t 1 )+S(E t ))= = dim S(E 1 + +E t 1 )+dim S(E t ) dim(s(e 1 + +E j ) S(E j+1 ))= = dim S(E 1 + +E t 2 +E t 1 )+dim S(E t )=. = dim S(E 1 )+ +dim S(E t 1 )+dim S(E t ). Označíme n i =dim S(E i )pro i=1,...,t.vkaždémzpodprostorů S(E i )zvolímebázix i1,...,x ini.posloupnostvektorů x 11,...,x 1n1,x 21,...,x 2n2,...,x t1,...,x tnt generujepodprostorc n 1,kterýobsahujekaždýzpodprostorů S(E i )pro i=1,2,...,t,atedytakéjejichsoučet S(E 1 )+ +S(E t )=S(E 1 + + E t )=S(I n )=C n 1.Vposloupnostijecelkem n 1 + +n t =dim S(E 1 )+ +dim S(E t ) = nprvků,aprotožegenerujeprostorc n 1,kterýmá dimenzi n, musí být rovněž lineárně nezávislá podle Tvrzení 6.9, a tedy bázeprostoruc n 1. Sloupcový prostor matice Q=[x 11 x 1n1 x 21 x 2n2 x t1 x tnt ] máprotodimenzi namaticeqjetakregulární.protožei n =Q 1 Q,platí podle druhé části Tvrzení 3.7 e k =I k =Q 1 Q k

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 190 prokaždé k=1,...,n.připomeňme,žee k označuje k-tývektorstandardní bázeprostoruc n 1. Protožex il S(E i ),existujevektory il C n 1,prokterýplatíx il = E i y il.potomplatí E i x il =E i E i y il =E i y il =x il, zatímcoprokaždé j i, j {1,2,...,t},platípodlepodmínky 3 E j x il =E j E i x il =0x il =0. Dokážemenyní,žesoučinQ 1 AQjediagonálnímatice.Rovná-lise k-tý sloupcovývektormaticeqvektorux il,dostávámesvyužitímpodmínky1, že t t (Q 1 AQ) k = Q 1 AQ k =Q 1 ( λ j E j )x il =Q 1 λ j E j x il = j=1 j=1 = Q 1 λ i E i x il =Q 1 λ i x il = λ i Q 1 Q k = λ i e k. Prokaždé k =1,...,ntakplatí,ževk-témsloupcisoučinuQ 1 AQje jediný případně nenulový prvek na hlavní diagonále(a rovná se jednomu z vlastníchčísel λ i, i=1,...,t).maticeq 1 AQjeprotodiagonálníamatice A je diagonalizovatelná. Zbývá dokázat, že pro každou diagonalizovatelnou matici A platí vlastnosti 5,6,7,8.ProtožematiceD i máhodnost m i,mátutéžhodnosti maticee i =PD i P 1,coždokazuje6. S použitím vlastností 2, 3, 4 můžeme spočítat A 2 = (λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t )(λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t )= t t t = λ i E i λ j E j = λ 2 ie 2 i= λ 2 ie i. i,j=1 i=1 Jestliže nyní předpokládáme, že pronějaké l 2,pakdostáváme,že i=1 t A l = λ l ie i i=1 A l+1 = (λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t )(λ l 1E 1 + λ l 2E 2 + +λ l te t )= t t t t = λ i E i λ l je j = λ l+1 i E 2 i= λ l+1 i E i. i=1 j=1 i=1 i=1

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 191 Protože rovněž A 0 =I n =E 1 + +E t = λ 0 1E 1 + +λ 0 te t, rovnost t A l = λ l ie i i=1 platí pro každé nezáporné celéčíslo l.prokaždé číslo j = 0,...,k tak dostáváme t c j A j = c j λ j i E i i=1 atedy k k t t k t f(a)= c j A j = c j ( λ j i E i)= ( c j λ j i )E i= f(λ i )E i. j=0 j=0 i=1 i=1 j=0 i=1 AbychomdokázalijednoznačnostmaticE 1,...,E t splňujícíchpodmínky 1,2,3,4,budemepředpokládat,že A=λ 1 F 1 + λ 2 F 2 + +λ t F t, kdef 1 + +F t =I n,f i F i =F i af i F j =0prolibovolné i j, i, j {1,2,...,t}.Potom Protopro i jdostáváme E i A=AE i = λ i E i, F j A=AF j = λ j F j. λ j E i F j =E i (AF j )=(E i A)F j = λ i E i F j, proto(λ i λ j )E i F j =0,neboliE i F j =0.Můžemetakspočítat,žeplatí t t E i =E i I n =E i ( F j )=E i F i =( E j )F i =I n F i =F i j=1 j=1 prokaždé i=1,...,t.tímjedokázánajednoznačnostmatice i,tj.podmínka 5. Zbývá dokázat podmínku 8. Z podmínky 1 okamžitě vyplývá, že pokud maticebkomutujesevšemimaticemie i pro i=1,...,t,komutujerovněž s maticí A. Abychom dokázali opačnou implikaci, vyjádříme každou matici E i jakopolynomvmaticia.označme g(x)=(x λ 1 )(x λ 2 ) (x λ t )

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 192 a g i (x)= g(x) x λ i pro i=1,...,t.polynom p i (x)mástupeň t 1akořeny λ j pro j i.podle vlastnosti 7 platí g i (A)=g i (λ 1 )E 1 + +g i (λ t )E t = g i (λ i )E i. Označíme-li c i = g i (λ i ) 0,dostanemeže E i = c 1 i g i (A). PokudtedymaticeBkomutujesmaticíA,komutujetakéskaždoumaticí g i (A)=E i pro i=1,...,t. c 1 i Cvičení 10.2 Zjistěte pro několik matic A, jsou-li diagonalizovatelné, pokudano,najděteregulárnímaticip,prokterouplatí,žep 1 APjediagonální matice, a najděte spektrální rozklad matice A. Unitární podobnost Dále se budeme zabývat otázkou, kdy pro diagonalizovatelnou matici A řádu nexistujeortogonálnímaticep,prokterouplatí,žep 1 APjediagonální matice Nebo jinak řečeno, kdy existuje ortonormální báze prostoru C n 1 tvořenávlastnímivektorymaticea. Definice 10.16 Říkáme, že komplexní čtvercová matice A řádu n je unitárně diagonalizovatelná, pokud existují unitární matice P a diagonální maticed,prokteréplatíp 1 AP=D. Připomeňmesi,žečtvercovámaticePjeunitárníprávěkdyžP 1 =P. Tvrzení 10.17 Je-li komplexní matice A řádu n unitárně diagonalizovatelná,pakplatíaa =A A. Důkaz. Jestliže existují unitární matice P a diagonální matice D, pro kteréplatíp AP=D,pakpřechodemkekomplexněkonjugovanýmmaticímdostanemerovněžP A P=D.ProtožeprodiagonálnímaticiDplatí D D=DD,dostávámepostupně P AP P A P=DD = D D=P A P P AP P AA P = P A AP AA = A A.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 193 Definice 10.18 Komplexní čtvercová matice A se nazývá normální, pokud platía A=AA. Třída normálních matic je velmi široká, jak se můžete přesvědčit v následujícícm cvičení. Cvičení 10.3 Dokažte, že všechny matice následujících typů jsou normální: hermitovské matice, kosohermitovské matice, reálné symetrické matice, reálné kososymetrické matice, unitární matice, ortogonální matice, diagonální matice,všechnymaticetvarup AP,kdeAjenormálnímaticeaPjeunitární matice. Lemma10.19 Je-liAnormálnímaticeaxvlastnívektormaticeApříslušnývlastnímučíslu λ,pakjextakévlastnívektormaticea příslušný vlastnímu číslu λ. Důkaz. Především si všimněme, že je-li A normální matice, pak pro každé komplexní číslo λ platí (A λi n ) (A λi n ) = (A λi n)(a λi n )= = A A λa λa+λλi n = = AA λa λa + λλi n = = (A λi n )(A λi n ). MaticeA λi n jeprototakénormální. Je-linyníx 0vlastnívektormaticeAodpovídajícívlastnímučíslu λ, pakoznačímeb=a λi n.platítedyb B=BB abx=0.označíme dáley=b x.potomplatí 0=(Bx) (Bx)=x B Bx=x BB x=y y. Odtudplyne,žey=0,tj.0=B x=(a λi n )x,tj.a x=λx.vektor xjetakvlastnívektoremmaticea odpovídajícímvlastnímučíslu λtéto matice. Tvrzení 10.20 Je-li A normální matice, pak vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům matice A jsou ortogonální. Důkaz.Předpokládejmenyní,že λ 1, λ 2 jsoudvěrůznávlastníčíslamaticeaax 1,x 2 jsoujimodpovídajícívlastnívektory.právějsmedokázali, žepakrovněža x 1 = λ 1 x 1.Spočítámedále,že λ 1 x 1x 2 =(λ 1 x 1 ) x 2 =(A x 1 ) x 2 =(x 1A)x 2 =x 1(Ax 2 )=λ 2 x 1x 2.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 194 Protože λ 1 λ 2,plyneodtudx 1 x 2=0,tj.vektoryx 1 ax 2 jsouortogonální. Věta 10.21 Komplexní matice A řádu n je unitárně diagonalizovatelná právě když je normální. Důkaz. Každá unitárně diagonalizovatelná matice A je normální podle Tvrzení 10.17. Je-li naopak matice A normální, pak každý vlastní vektor x matice AjesoučasněvlastnímvektoremmaticeA.Zvolímetedyvlastnívektor x 1 jednotkovédélkymaticeapříslušnývlastnímučíslu λ σ(a).podle Lemma10.19jex 1 rovněžvlastnívektormaticea příslušnývlastnímu číslu λ.označímeu 1 = L(x 1 ) = {y C n 1 :y x 1 =0},ortogonálnídoplněkvektorux 1 vprostoruc n 1.Dokážeme,žeprokaždývektory U 1 platí,žetakéay U 1.Skutečně, (Ay) x 1 =(y A )x 1 =y (A x 1 )=y λx 1 =0. Podobnědokážeme,žetakéA y U 1. Lineární zobrazení F(y) = Ay je tedy lineární operátor na prostoru U 1.PodleTvrzení10.9existuje(jednotkový)vlastnívektorx 2 lineárního operátoru F,tj. λ 2 x 2 = F(x 2 )=Ax 2. Vektorx 2 jetakvlastnímvektoremmaticeaatedyimaticea.označíme U 2 = L(x 1,x 2 ).StejnějakovpřípaděprostoruU 1 dokážeme,žeprokaždý vektory U 2 platíjakay U 2 takia y U 2. ProstorU 2 jetakinvariantnímpodprostoremoperátoru F,existujetedy jednotkovývlastnívektorx 3 U 2 operátoru Fodpovídajícívlastnímučíslu λ 3,atd. Taktopostupněsestrojímeortonormálníposloupnostx 1,x 2,...,x n tvořenou vlastními vektory matice A. Pro unitární matici P=[x 1 x 2 x n ] pakplatíap=pd,kdedjediagonálnímaticeobsahujícínahlavnídiagonálepostupněvlastníčísla λ 1, λ 2,...,λ n.maticeajeprotounitárně diagonalizovatelná. Důsledek10.22 Je-liAnormálnímaticeaA=λ 1 E 1 +λ 2 E 2 + +λ t E t spektrálnírozkladmaticeapodlevěty10.15,pakvšechnymaticee i jsou

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 195 hermitovsképro i=1,...,t.obráceně,je-liadiagonalizovatelnákomplexní maticeavšechnymaticee i vespektrálnímrozkladua=λ 1 E 1 + +λ t E t jsou hermitovské, pak je matice A normální. Důkaz.Je-liAnormální,pakA=PDP 1 pronějakouunitárnímatici PadiagonálnímaticiDpodleVěty10.21.MaticeE i =PD i P 1 =PDP sestrojené v důkazu Věty 10.15 jsou potom hermitovské. Obráceně,jsou-livšechnymaticeE i vespektrálnímrozkladua=λ 1 E 1 + +λ t E t hermitovské,pakrovněž A = λ 1 E 1 + +λ 1 λ t E t jespektrálnírozkladmaticea.potom coždokazuje,žeajenormální. AA = λ 1 λ 1 E 1 + +λ t λ t E t =A A, Tvrzení10.23 Je-liA C m n (R m n )komplexní(reálná)matice,pak každévlastníčíslomaticea A(A T A)jenezápornéreálnéčíslo. Důkaz.Je-liAkomplexnímatice,paksoučinA Ajehermitovskámaticeřádu n.je-litoreálnámatice,paksoučina T Ajesymetrickámatice řádu n.voboupřípadechjsouvšechnavlastníčíslamaticea A(A T A) reálná podle Tvrzení 10.5. Je-li λnějakévlastníčíslomaticea Aax 0vlastnívektorodpovídající λ,pakplatía Ax=λx.Vynásobímetutorovnostzlevavektoremx a dostaneme Ax 2 =x A Ax=λx x=λ x 2, odkud vyplývá λ= Ax 2 x 2 0. VpřípaděreálnématiceAplatíA =A T,protorovněž λ 0prokaždé vlastníčíslo λmaticea T A. Dále si ještě ukážeme následující tvrzení. Tvrzení10.24 Prokaždoureálnou(komplexní)maticiAtvaru m nplatí rank(a T A)=rank(A)=rank(AA T ),(rank(a A)=rank(A)= rank(aa )),

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 196 S(A T A)=S(A T ),(S(A A)=S(A )), S(AA T )=S(A),(S(AA )=S(A)), N(A T A)=N(A),(N(A A)=N(A)), N(AA T )=N(A T ),(N(AA )=N(A )). Důkaz. Dokážeme pouze reálnou část tvrzení, komplexní část se dokážeanalogicky,pouzevšudenahradímetransponovanoumaticia T maticí A. Nejdřívedokážeme,že N(A T ) S(A)={0}.Je-lix N(A T ) S(A), pakplatía T x=0asoučasněx=aypronějakývektory R n 1.Odtud plynex T x=y T A T x=0aprotox=0.ztvrzení6.19pakplyne rank(a T A)=rank(A) dim N(A T S(A))=rank(A). Zaměníme-liroleA T aa,dostanemerovněž rank(aa T )= rank(a T )= rank(a). Kdůkazudruhéčástitvrzenísinapředvšimněme,že S(A T A) S(A T ). Protože dále dim S(A T A)=rank(A T A)=rank(A)=rank(A T )=dim S(A T ), vyplýváodtudrovnost S(A T A)=S(A T ).Třetíčásttvrzeníihnedvyplývá zdruhé,zaměníme-liroleaaa T. Kdůkazučtvrtéčástiopětstačíuvědomitsi,že N(A) N(A T A),a dále dim N(A)=n rank(a)=n rank(a T A)=dim N(A T A). Proto N(A)=N(A T A).Posledníčásttvrzeníopětihnedvyplývázpředchozí,pokudzaměnímeroleAaA T. Věta 10.25 Předpokládáme, že A je reálná(komplexní) matice tvaru m n ahodnosti r.potomexistujíreálnádiagonálnímaticed r r řádu raortogonální(unitární)maticeuřádu mavřádu ntakové,žeplatí A=U ( Dr r 0 0 0 ) V T, (A=U ( Dr r 0 0 0 ) V ).

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 197 Důkaz. Dokážeme pouze část týkající se komplexních matic. Pro reálné matice se věta dokáže analogicky. MaticeA Ajenormální,neboť (A A) A A=A AA A=A A(A A). PodleVěty10.21jematiceA Aunitárnědiagonalizovatelná,existujetedy podle Věty 10.21 unitární matice V řádu n taková, že V (A A)V=D, kdedjediagonálnímaticesnezápornýmireálnýmičísly λ i (vlastníčísla maticea A)nahlavnídiagonále.Protože rank(a A)= rank(a)=r, můžemepředpokládat,že λ i >0pro i=1,...,raλ i =0pro i=r+1,...,n. Označíme σ i = λ i pro i=1,...,na u i = Av i σ i pro i=1,...,r.potomplatíprokaždédvaindexy i, j {1,2,...,r} u ju i = v j A σ i Av i σ i = v j A Av i λ i = λ iv j v i λ i =v jv i = δ ij. Posloupnostvektorůu 1,...,u r jetakortonormální,protožeortonormální jeposloupnostvektorův 1,...,v n.můžemejiprotodoplnitdoortonormální bázeu 1,...,u k,u k+1,...,u m prostoruc m 1. OznačímeU=[u 1 u m ].Potompro i-týsloupecsoučinuu AVplatí [U AV] i =U Av i =U σ i u i. Prveknamístě(j, i)vsoučinuu AVseprotorovná [U AV] ji =[U ] j σ i u i =u jσ i u i = σ i δ ji. SoučinU AVjeprotodiagonálnímaticeD,prvkynahlavnídiagonáleD serovnají σ i = λ i,kde λ i jsouvlastníčíslasoučinua A.Odtudhned dostaneme(protožematiceuavjsouunitární),žea=udv. Číslům σ i >0seříkásingulárníhodnotymaticeA.JsouurčenéjednoznačněmaticíA,neboťzrovnostiA=UDV plyne V A AV=V A UU AV=D D=D 2.

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 198 Druhémocninysingulárníchhodnot σ 2 i jsouprotovlastníhodnotysoučinu A A.Geometrickývýznamsingulárníchhodnotsiukážemevkapitoleo kvadratických formách. Jordanův kanonický tvar Diagonalizovatelné matice mají dobře pochopitelnou strukturu popsanou ve spektrální Větě 10.15. Matice, které nelze diagonalizovat, nemají bázi složenou z vlastních vektorů, musí mít nějaké vícenásobné vlastní číslo λ, prokteréjedimenzenulovéhoprostoru N(A λi)menšínežalgebraická násobnost vlastního čísla λ. Takovou maticí je například následující matice řádu n, pokud platí n 2. J= λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 0 0..... 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ Všechny prvky na hlavní diagonále se rovnají stejnému číslu λ, všechny prvky bezprostředně nad hlavní diagonálou se rovnají 1 a zbývající prvky matice J se rovnají 0. Charakteristický polynom matice J se rovná p(t)=(λ t) n a λjetakjedinýmvlastnímčíslemmaticea.maticej λi n jevřádkově odstupňovaném tvaru, její hodnost se rovná n 1 a její nulový prostor N(J λi n )máprotodimenzirovnou1.každývlastnívektormaticejje tvaru(0,0,...,x) T.MaticeJprotonenídiagonalizovatelná. Definice 10.26 Matice J se nazývá Jordanova buňka řádu n příslušná vlastnímu číslu λ. Ukazuje se, že Jordanovy buňky jsou typickým příkladem nediagonalizovatelných matic. Platí totiž následující věta o Jordanově kanonickém tvaru. Jejídůkazjepracný,uvedemesijiprotobezdůkazu..

KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 199 Věta 10.27 Pro každou čtvercovou matici A existuje regulární matice P taková, že J 1 0 0 0 0 J 2 0 0 P 1 AP= 0 0 J 3 0,..... 0 0 0 J k kdekaždázmaticj i pro i=1,...,kjejordanovabuňkanějakéhořádu n i příslušnávlastnímučíslu λ i.čísla λ 1,...,λ k jsouvšechna,nikolivnutně různá,vlastníčíslamaticeaaplatídále n 1 + +n k = n.dvojice n i, λ i pro i=1,...,kjsoumaticíaurčenéjednoznačněažnapořadí. V případě diagonalizovatelné matice jsou všechny Jordanovy buňky stejnéhořádu1.