Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic 4 Matematické modely (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 2 / 36

Co to je derivace? Derivace ve zkratce Geometricky: Derivace je směrnicí tečny ke grafu funkce, tj. f (x 0 ) = tg α. Animace Vyjadřuje rychlost změny Definice Bud f funkce a x 0 D(f ). Existuje-li f (x) f (x 0 ) lim, x x 0 x x 0 nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x 0 a značíme f (x 0 ) nebo df dx. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 3 / 36

Co to je derivace? Derivace a pohyb (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 4 / 36

Co to je derivace? Derivace a integrál v pohybu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 5 / 36

Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36

Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. Řešení: f f (x) f (x 0 ) x 4 x0 4 (x 0 ) = lim = lim = x x0 x x 0 x x0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 )(x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) x x 0 = = lim x x0 (x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) = = x 3 0 + x 3 0 + x 3 0 + x 3 0 = 4x 3 0. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36

Co to je derivace? Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci funkce f : y = x 4 v bodě x 0. Řešení: f f (x) f (x 0 ) x 4 x0 4 (x 0 ) = lim = lim = x x0 x x 0 x x0 x x 0 = lim x x0 (x x 0 )(x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) x x 0 = = lim x x0 (x 3 + x 0 x 2 + x 2 0 x + x 3 0 ) = = x 3 0 + x 3 0 + x 3 0 + x 3 0 = 4x 3 0. Vzorečky pro derivace: f f konst. 0, x n nx n 1, e x e x, ln x 1 x,... Inverzní operace k derivaci je integrace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 6 / 36

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. Příklad: Jaké je řešení diferenciální rovnice y = 4x 3? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Definice Bud G R 2 množina, f funkce definovaná na množině G. Rovnici tvaru y = f (x, y) nazýváme (obyčejnou) diferenciální rovnici prvního řádu. Jejím řešením rozumíme funkci y = ϕ(x) definovanou na intervalu I, která splňuje následující podmínku: (x, ϕ(x)) G ϕ(x) = f (x, ϕ(x)) pro I. Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka, množina G obor diferenciální rovnice. Příklad: Jaké je řešení diferenciální rovnice y = 4x 3? Hledáme funkci, která po zderivování bude 4x 3 Řešení: y = x 4 + konst. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 7 / 36

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice pod lupou y = f(x, y)... f (x, y) je směrnice tečny ke grafu řešení y = ϕ(x) Řešení není jednoznačné (výsledek integrálu se liší o konst.) - obecné řešení Počáteční podmínka y(x 0 ) = y 0, tj. integrální křivka projde bodem (x 0, y 0 ) - jednoznačná Cauchyova úloha Partikulární řešení - obecné řešení s jednoznačnou volbou konstanty Diferenciální rovnice vyšších řádů - podle násobnosti derivace (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 8 / 36

Diferenciální rovnice Rovnice y = x 2 + y 2 Izokliny = křivky k = x 2 + y 2 (vrstevnice funkce) - směrnice tečny ke grafu integrální křivky Lineární element dif. rce = (x, y, f (x, y)) - směrové pole (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 9 / 36

Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 Integrací dostaneme: dy(t) dt = gt + c 1 y(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

Diferenciální rovnice Kde najdeme diferenciální rovnici? Klasická mechanika Míč se pohybuje svisle vzhůru v tíhovém poli Země. V čase t = 0 se nachází ve výšce y 0 s rychlostí v 0. Jak se mění jeho poloha? 2. Newtonův zákon: F = m a... mg = m d 2 y(t) dt 2 Diferenciální rovnice 2. řádu: d 2 y(t) = g dt 2 Integrací dostaneme: dy(t) dt = gt + c 1 y(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 Počáteční podmínky: y(0) = 0 a dy(0) dt = v 0 y(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + y 0 (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 10 / 36

Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L Dif. rce 2. řádu: d2 y(t) dt 2 + g L y(t) = 0 Substituce: ω 2 = g L (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

Diferenciální rovnice Matematické kyvadlo Pohybová rovnice: F = mg sin θ Aproximace: sin θ θ = y L Úprava: m d 2 y(t) dt 2 = mg y L Dif. rce 2. řádu: d2 y(t) dt 2 + g L y(t) = 0 Substituce: ω 2 = g L Výsledek (2 poč. podm.): y = y 0 cos ωt (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 11 / 36

Diferenciální rovnice Ukázky diferenciálních rovnic Radioaktivní rozpad dm = λm dt dm m = λ dt m = m 0e λt (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 12 / 36

Diferenciální rovnice Ukázky diferenciálních rovnic Radioaktivní rozpad dm = λm dt dm m = λ dt m = m 0e λt Barometrická rovnice Závislost atmosferického tlaku na nadmořské výšce Stavová rovnice: pv = konst. p 0 p = V V 0 = ρ 0 ρ Dif. rce 1. řádu: dp = ρg dh dp p = ρ 0 p 0 g dh Výsledek: p = p 0 e ρ 0 p 0 gh (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 12 / 36

RLC obvod Diferenciální rovnice Vznik elektromagnetického vlnění (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 13 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Systém diferenciálních rovnic Definice Uvažujme systém rovnic x 1 =f 1(t, x 1,..., x n ). x n =f n (t, x 1,..., x n ), kde t, x 1,..., x n jsou reálné proměnné, f j : G R pro j = 1,..., n, kde G R n+1. Množina G se nazývá obor systému diferenciálních rovnic. Řešením systému diferenciálních rovnic rozumíme uspořádanou n-tici funkcí (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) G definovanou na intervalu I R takovou, že po dosazení do uvedeného systému dif. rovnic dostaneme identitu pro každé t I. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 14 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Autonomní rovnice Definice Necht Ω R n je oblast a necht f : Ω R n. Rovnici X = f (X) nazveme autonomní rovnicí (nezávisí na t). Oblast Ω se nazývá fázový prostor, proměnná t čas. Geometrická interpretace řešení X = ϕ(t): Graf funkce ϕ(t) v prostoru R n+1... pohyb Křivka v prostoru R n daná parametricky rovnicím X = ϕ(t)... trajektorie trajektorie je kolmý průmět pohybu do fázového prostoru (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 15 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Fázový portrét - trajektorie a pohyb Libovolné dvě trajektorie nemají bud žádný společný bod, nebo splývají. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 16 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod Definice Bod X 0 Ω nazýváme singulární bod (stacionární, rovnovážný) rovnice X = f (X), jestliže f (X 0 ) = 0. Rovnice X = f (X) má konstantní řešení X(t) = X 0... X 0 je singulární bod Druhy trajektorií: Singulární body Uzavřené trajektorie (cykly) Trajektorie, které samy sebe neprotínají (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 17 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Typy singulárních bodů v rovině Střed: v jistém okolí všechny trajektorie uzavřené Bod rotace: existuje posloupnost uzavřených trajektorií kolem singulárního bodu (nemusí být všechny křivky uzavřené) (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 18 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Typy singulárních bodů v rovině Ohnisko: existuje okolí takové, že každá trajektorie procházející v tomto okolí se limitně blíží do singulárního bodu (otočí se nekonečně mnohokrát) Uzel: stejná vlastnost jako u ohniska, ale trajektorie se otočí konečně mnohokrát - vlastní nebo nevlastní uzel (na obr. jen 4 polotečny) Sedlo: existuje pouze konečný počet trajektorií blížících se k singulárnímu bodu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 19 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 20 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Singulární bod autonomního systému 2D Střed: pro vlastní číslo s nulovou reálnou částí. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 23 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Stabilita řešení Jak se změní řešení rovnice při malé změně počátečních podmínek? (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 26 / 36

Systémy diferenciálních rovnic Stabilita řešení Definice Řešení X 0 (t) rovnice X = f (t, X) se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke ε > 0 δ(ε) > 0 takové, že pro t 1 t 0 platí, že libovolné řešení X(t) rovnice X = f (t, X) splňující podmínku, že X(t 1 ) X 0 (t 1 ) < δ je definováno pro všechna t t 1 a pro všechna t platí, že X(t) X 0 (t) < ε. Trajektorie začínající v δ okolí nevyjde s rostoucím časem z ε okolí Silnější než ljapunovská stabilita (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 27 / 36

Modely Matematické modely Zjednodušené zobrazení zkoumané skutečnosti Matematické modely: stochastické (prvky náhodné veličiny) x deterministické statické (nezávislé na čase) x dynamické deterministické matametické modely: diskrétní (diferenční rce) x spojité (diferenciální rce) Matematické modelování Sestavení modelu (vlastnosti a zákonitosti objektu) Matematická analýza modelu, teoretické důsledky Souhlas se skutečností přijetí modelu Analýza modelu, případná modernizace modelu, určení hodnot parametrů v modelu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 28 / 36

Matematické modely Modely existence dvou živočišných druhů N 1... velikost 1. populace, N 2... velikost 2. populace N 1 = (ε 1 α 11 N 1 )N 1 + γ 1 N 1 N 2 N 2 = (ε 2 α 22 N 2 )N 2 + γ 2 N 1 N 2 Znaménka γ 1, γ 2 : Symbióza, kooperace Predátor - kořist Konkurence Neutralismus (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 29 / 36

Matematické modely Konkurence Zajímá nás N 1 0, N 2 0. Substituce γ 1 = α 12, γ 2 = α 21. N 1 = (ε 1 α 11 N 1 )N 1 α 12 N 1 N 2 N 2 = (ε 2 α 22 N 2 )N 2 α 21 N 1 N 2 Substituce: a = α 12 ε 1, b = α 21 α 11, c = ε 2 ε 1. N 1 = (1 N 1 an 2 )N 1 N 2 = (c bn 1 N 2 )N 2 Singulární body: (0, 0), (0, c), (1, 0), ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab ). (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 30 / 36

Matematické modely Konkukrence - druhy Slabá konkurence: b < c, ac < 1 Silná konkurence: b > c, ac > 1 Dominance 2. druhu: b < c, ac > 1 Dominance 1. druhu: b > c, ac < 1 Jakobián: ( 1 2N1 an J = 2 an 1 bn 2 c bn 1 2N 2 ) Dosazení bodu a určení vlastních čísel typ singulárního bodu (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 31 / 36

Matematické modely Slabá konkurence (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... sedlo (1, 0)... sedlo ( 1 ac 1 ab, c b uzel 1 ab )... stabilní (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 32 / 36

Matematické modely Silná konkurence (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... stabilní uzel (1, 0)... stabilní uzel ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... sedlo (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 33 / 36

Matematické modely Dominance 2. druhu (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... stabilní uzel (1, 0)... sedlo ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... mimo 1. kvadrant (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 34 / 36

Matematické modely Dominance 1. druhu (0, 0)... nestabilní uzel (0, c)... sedlo (1, 0)... stabilní uzel ( 1 ac 1 ab, c b 1 ab )... mimo 1. kvadrant (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 35 / 36

Literatura Matematické modely Přednáška doc. RNDr. Josefa Kalase, CSc.: Diferenciální rovnice a spojité modely, MU. Kalas, Josef - Ráb, Miloš. Obyčejné diferenciální rovnice. 2. vyd. Brno : MU, 2001. 207 s. ISBN 80-210-2589-1. Kalas, Josef - Pospíšil, Zdeněk. Spojité modely v biologii. 1. vyd. Brno : MU, 2001. 256 s. ISBN 80-210-2626-X. Diferenciální rovnice - příklady z praxe: http://fo.cuni.cz/texty/matematika/difro.pdf (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 36 / 36