Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci a principy výpočtů citlivostních funkcí v časové oblasti. Použití metod citlivostní analýzy je předvedeno na případu diferenciální rovnice zadaného dynamického systému a na úloze určení citlivostní funkce výstupní veličiny v regulačním obvodu vzhledem k zadanému přenosu. Klíčová slova Citlivostní funkce, citlivostní model, diferenciální rovnice, SIMULINK Úvod Základní problém, který řeší citlivostní analýza je výpočet změn chování dynamického systému vzhledem ke změnám parametrů. Typickými parametry dynamického systému jsou např. počáteční podmínky, konstantní koeficienty, časově proměnné koeficienty, dopravní zpoždění, perioda vzorkování apod. V systémech automatického řešení může být parametrem i vstup systému. Matematický model přiřazuje v určité situaci vektoru parametrů a veličinu g, charakterizující dynamické chování systému. Touto veličinou může být např. veličina výstupní, velikost určitého kritéria apod. Za jistých podmínek spojitostí přiřazení je možno nalézt obecně matematickou funkci S(a o ) takovou, že pro malé odchylky od nominálního vektoru parametrů a o platí lineární vztah a << a g = S( a 0 ) a () Kde a o je nominální vektor parametrů, a = a a o je odchylka mezi aktuálním vektorem parametrů a a nominálním vektorem a o a S(a o ) je tzv. citlivostní funkce, definovaná jako parciální derivace g( S( a 0 ) = pro a T 0 = konst. () Jedná se o funkcionální matici, v níž element v řádku i a ve sloupci j je definován podobně jako v Kroneckerově násobku g x a T, tj. g i Si, j = pro a 0 = konst. (3) j a pro níž platí též rov. (). S(a o ) je vedle parametrů a o obecně závislá např. na čase, kmitočtu a vstupní veličině systému a proto se nazývá funkcí a nikoliv maticí koeficientů. Lze zavést i relativní (logaritmickou) nebo semirelativní citlivostní funkci (). Znalost citlivosti na změnu parametrů by měla být částí každé úlohy identifikace, syntézy a především optimalizace. Citlivostní analýza a syntéza je využívána především v gradientních metodách identifikace a optimalizace, adaptivních systémech, při návrhu optimalizačních systémů a systémů s malou citlivostí na změnu parametrů, při určení povolených tolerancí částí systému s předepsanými vlastnostmi apod.
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 Materiál a metody Interpretaci citlivostní analýzy budeme ilustrovat na několika grafech. Na obr. jsou znázorněny průběhy řešení diferenciální rovnice. y + ay = 0 y ( 0) = y0 (4) Řešení y(t) = y 0 e -at, T = /a časová konstanta [s] a > a > a 3 > a 4 Obr. Časový průběh řešení diferenciální rovnice Řešení této rovnice s parametrem a má klesající exponenciální charakter. Uvažujme případ, že koeficient a se změní o hodnotu a. Řešení y se tím změní o y. Máme tedy nové řešení a nový parametr y = y + y ; a = a + a. Vzniká otázka, jaký průběh bude mít proměnná y při změně parametru o a. Problém lze obecně rozšířit na soustavu rovnic s více parametry. Vliv změny parametru a j na chování dynamického systému lze vyšetřovat pomocí citlivostní funkce parametru a j, kterou zde označíme u aj (t). (Parciální derivace y(t) podle parametru a j ). ( t) uaj ( t) = (5) j Základní vztah pro určení odchylky y (vlivu změny parametru a j ) pomocí citlivostní funkce tohoto parametru je y = a j uaj (t). Platí věta, že počáteční hodnoty citlivostní funkce a jejich derivací jsou nulové bez ohledu na hodnoty počátečních podmínek diferenciální rovnice. Význam koeficientu citlivosti u aj (t) není jen v tom, že dovoluje stanovení přírůstků y, ale hlavně charakterizuje význam změn jednotlivých parametrů i kvalitativně. Na obr. jsou zobrazeny časové průběhy citlivostních funkcí proměnné y na parametrech a až a 4 hypotetického systému. Obr. Citlivostní funkce u aj (t) Obr. 3 Parametrická citlivost O jejich průbězích lze říci, že: - Výstup y je málo citlivý na změny parametru a 4 - Výstup y je nejcitlivější na změny parametru a 3 v čase t - Citlivost výstupu y na změnu a roste s časem - Význam změn parametru a na y je v průběhu času malý a téměř konstantní Značný význam má i závislost koeficientu citlivosti na absolutní hodnotě parametru
3 Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 u aj (t i ) = f(. Tato závislost bývá označována jako tzv. parametrická citlivost a pro určenou hodnotu nezávislé proměnné (t = t i ) můžeme o systému získat další informace (obr. 3). Z průběhů křivek lze vyčís že: - V čase t je systém nejcitlivější na změny a v oblasti a a s růstem a citlivost klesá. - V čase t je systém nejcitlivější na změnu parametru a v oblasti a krit. Přes tuto kritickou oblast nesmíme při optimalizaci parametru a přejí neboť optimalizační proces by nekonvergoval. - V čase t 3 je citlivost systému na změnu parametru a konstantní po celý interval (a min, a max ). K dynamickému systému, popsanému soustavou diferenciálních rovnic lze odvodit citlivostní model, v němž jako proměnné vystupují citlivostní funkce a jejich derivace. Je-li dynamický systém popsán soustavou diferenciálních rovnic tvaru dy r = f r ( y, y,..., yr ; a, a,..., an ) (r =,,, R) (6) dt kde a, a, a N jsou parametry systému, které se mohou měni má řešení těchto rovnic pro zadané počáteční podmínky a parametry tvar y i = y i ( a, a,, a N ). (i =,,,R) i r Parciální derivace,..., jsou parametrické citlivostní funkce, vyjadřují míru změny N parametrů a n na řešení y i. Lze je použít na predikci chování soustavy v okolí známého řešení y i0 a na popis citlivosti soustavy na změny parametrů a n. Citlivostní funkce dostaneme řešením soustavy pomocných diferenciálních rovnic, které se nazývají rovnice citlivosti, současně se soustavou původních rovnic. Pro jednoduchost odvodíme rovníce citlivosti pro diferenciální rovnici II. řádu F ( y, y, y, = 0. Derivací podle parametru a dostaneme rovnici + + + = 0 (7) Označení: ( = u(, = = u, = = u Konečný tvar rovnice citlivosti je u + u + u = (8) Tato rovnice se řeší pro u(. Poznamenejme, že citlivostní rovnice je vždy lineární. Ze známého řešení pro hodnotu parametru a 0 můžeme určit řešení pro parametr a = a 0 + a na základě extrapolace I. řádu. S uvážením definice citlivostní funkce platí vztah a y ( = y( a ) + (, ) + 0 a u t a0 u ( a0 ) +... (9)! Výraz v hranaté závorce zanedbáváme (jde o Taylorův rozvoj fce y( v bodě a 0. Uvažujme konkrétní tvar diferenciální rovnice II.řádu se zadanými počátečními podmínkami y(0) = a, y (0) = b y + µ y + λy = f (t) (0)
4 Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 Úlohou je nalézt vliv změny parametru λ o hodnotu λ na řešení y = y(λ). Ukážeme postup vytvoření citlivostní rovnice. Přitom citlivostní funkci definujeme jako u ( λ) = y λ Derivací rovnice (9) máme 3 y y + µ + λ + y = 0 λ λ λ po dosazení u(λ) obdržíme citlivostní rovnici u u + µ + λu = y () Soustava diferenciálních rovnic pro určení vlivu změny parametru λ má pak tvar y + µ y + λy = f (t) (původní rovnice) u + µ u + λu = y (citlivostní rovnice se stejnou strukturou) () y( λ0 + λ) = y( λ0 ) + λu (extrapolační rovnice I.řádu) Doposud jsme se zabývali citlivostí dynamického systému na změnu jednotlivých parametrů. Nyní budeme prezentovat analýzu citlivosti systému G automatického řízení na jeho subsystém G i. Označme u vstup systému, y jeho výstup a G přenos systému. Podobně u i, y i, G i představují vstup, výstup a přenos i-tého subsystému. Budeme studovat citlivost výstupu systému y na změnu přenosu G i i-tého subsystému. Tato citlivost je reprezentována funkcí citlivosti λ i= resp. Laplaceovým obrazem funkce citlivosti. K výpočtu citlivosti G λ i využijeme blokové schéma podle obr. 4. i Obr. 4 Výpočet funkce citlivosti systému na změnu i-tého subsystému. Pomocný systém, který slouží k výpočtu funkce citlivosti je téměř totožný s vyšetřovaným systémem, ale liší se ve dvou bodech. ) Pomocný systém nemá vstup u ) K výstupu subsystému G i pomocného systému je přičten vstup subsystému G i vyšetřovaného systému (čárkový spoj). Výstupem pomocného systému je funkce citlivosti λ i. Výsledky a diskuse Na základě poznatků uvedených v předchozí kapitole budeme výpočet funkcí citlivostí ilustrovat na vybraných případech.
5 Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005. Případ Je dán dynamický systém x = ax, x ( 0) = a. Vyšetřete citlivost veličiny x(t) na změny parametrů a, a při nominálních hodnotách a = a = 0,5. Rovnice citlivosti jsou v maticové formě = a [ ] [ x 0] λ λ λ λ [ λ ( 0) λ (0)] = [ 0 ] (3) x x kde citlivostní funkce jsou λ = ; λ = Ve skalárním tvaru lze psát λ = aλ x, λ (0) = 0 λ = aλ, λ (0) = S využitím schématických značek pro klasický AP lze vytvořit obecné programové schéma pro výpočet funkcí citlivosti λ, λ, které lze např. v SIMULINKU. Jsou-li kontakty v neznačené poloze, vypočítá se λ ; při opačné poloze se určí λ. Obr. 5 Programové schéma pro λ, λ Obr. 6 Časové průběhy citlivostních funkcí λ, λ Na obr. 6 jsou zakresleny časové průběhy funkcí citlivosti λ, λ. Z průběhů křivek vyplývá, že:. Na počátku řešení je systém citlivý na změnu parametru a ; při rostoucím a stav x roste.. V okolí času t = s je systém nejcitlivější na změnu parametru a ; při rostoucím a stav x klesá. 3. Pro větší časy jsou změny parametrů a, a bezvýznamné. Řešením zadaných rovnic např. Laplaceovou transformací kontrolně určíme, že at at at x( t) = a e, λ ( t = a te, λ t) = e (4) ) (
6 Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 Chceme-li změnu výstupní veličiny vyjádřit také v procentech nominální hodnoty, můžeme citlivostní funkce definovat takto: a a S = λ = at ; S = λ = (5) x x Z funkcí citlivostí S, S vidíme, že:. Při změně parametru a o % roste procentuální změna stavu x s časem a má opačné znaménko než změna parametru a. Změna stavu je rovna a t % jeho nominální hodnoty.. Při změně parametru a o % je změna stavu trvale také %.. Případ Na obr. 7 je nakreslen RO s přenosy G ( p) = p + G ( p) = G 3 ( p) = (6) p + ( ) Obr. 7 Regulační obvod Máme určit citlivost RO na změnu přenosu G. Vstup u = (t). Blokové schéma pro výpočet citlivosti je uvedeno na obr. 8. Obr. 8 Blokové schéma pro výpočet citlivosti systému na změnu subsystému G Citlivostní funkce λ, λ jsou na obr. 9. Obr. 9 Časové průběhy citlivostní funkce λ, λ.
7 Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 Závěr V článku jsou popsány základní přístupy tzv. citlivostní analýzy, jejíž metodika umožňuje posuzovat vliv jednotlivých parametrů na výsledné chování dynamického systému v časové oblasti. Jsou ukázány dva případy určování citlivostních funkcí a citlivostních rovnic. Uvedená metodika bude vhodně aplikována ve výuce předmětu Počítačové modelování dynamických soustav na ČZÚ TF. Literatura. John, J., Systémy a řízení, ČVUT, Praha 003, ISBN 80-0-0745-7. Frank, P.M., Introduction to Systém Sensitivity Theory, Academic Press, 978 3. Tomovič, R., Vukobratovič, M., Obščaja teoria čuvstvítělnosti, Moskva, 97 Ing. Künzel Gunnar TF ČZU Praha Katedra elektrotechniky a automatizace Kamýcká 87, 65, Praha 6 Suchdol