Lineární algebra Eva Ondráčková

Lineární algebra Eva Ondráčková Vektorové prostory Mnozízvásužsenejspíšsetkalispojmemvektor.Ukážemesi,ževektorynejsoujen množiny orientovaných úseček v rovině či trojrozměrném prostoru, ale něco zajímavějšího, kolem čeho existuje spousta teorie. Mým cílem ale není zahltit vás větami a definicemi(i když to tak možná vypadá), většinu tvrzení zde uvedených proto nebudeme na přednášce dokazovat, postačí nám intuitivní představa o tom, co říkají. Na úvod si dopřejeme několik definic: Definice. Tělesem budeme rozumět množinu T se dvěma binárními operacemi +, (sčítání, násobení), která je alespoň dvouprvková a ve které platí následující: (a 0 ) a,b T a+b T(uzavřenostsčítání). (a 1 ) a,b, c T(a+b)+c=a+(b+c)(asociativitasčítání). (a 2 ) a,b T a+b=b+a(komutativitasčítání). (a 3 ) 0 T a T0+a=a+0=a(existencenulovéhoprvku). (a 4 ) a T a T a+( a)=( a)+a=0(existenceopačnéhoprvku). (m 0 ) a,b T a b T(uzavřenostnásobení). (m 1 ) a,b, c T(a b) c=a (b c)(asociativitanásobení). (m 3 ) 1 T a T a 1=1 a=a(existencejednotkovéhoprvku). (m 4 ) a int a 1 T a a 1=a 1 a=1(existenceinverzníhoprvku). (d 1 ) a,b, c T a (b+c)=a b+a c(distributivitazleva). (d 2 ) a,b, c T(a+b) c=a c+b c(distributivitazprava). Platí-linavíc(m 2 ) a, b T a b=b a(komutativitanásobení),řekneme,že T je komutativní těleso. Poznámka. Pro násobení je zvykem místo a b používat často zkráceného zápisu ab. Příklad. S některými tělesy jste se jistě už setkali, ačkoliv o tom možná ani nevíte například R, C, Qsesčítánímanásobením,najakájstezvyklí,jsoukomutativní tělesa. Nikoho asi nepřekvapí, že nulový prvek bude obyčejná 0 a jednotkový 1. Tělesyužalenejsou Nani Z(rozmysletesiproč). Další příklady těles jsou Z p = {0,1,..., p 1}, kde p je prvočíslo a sčítání i násobení provádíme modulo p. 22

Eva Ondráčková: Lineární algebra Definice. Je-li T těleso, V jemnožinasdefinovanýmioperacemi+:v V V a :T V V,pakřekneme,že V jevektorovýprostornadtělěsem T,platí-li: (a 0 ) x,y V x+y V. (a 1 ) x,y, z V (x+y)+z= x+(y+ z). (a 2 ) x,y V x+y= y+ x. (a 3 ) o V x V x+o=o+x=o(existencenulovéhovektoru). (a 4 ) x V x V x+( x)=( x)+x=o(existenceopačnéhovektoru). (m 0 ) α T x V α x V. (m 1 ) α, β T x V (α β) x=α (β x). (m 2 ) α, β T x,y V (α+β) x=α x+β x. (m 3 ) α T x,y V α (x+y)=α x+α y. (m 4 ) x V 1 x=x(kde1jejednotkovýprvektělesa T). Prvkům V říkáme vektory, prvkům T skaláry. Zaxiomu(a 3 )vyplývá,ževektorovýprostornikdynemůžebýtprázdnámnožina, vždy musí obsahovat aspoň nulový vektor. Množina {o} už ale vektorový prostor je označímeji Oabudemejíříkatnulovývektorovýprostor. Některé příklady vektorových prostorů si ukážeme na přednášce, pro jeden z nich budeme potřebovat další definici: Definice. Nechť Mjeneprázdnámnožinaam, npřirozenáčísla.maticítypu m n nad M budeme rozumět každé obdélníkové schéma kde a ij M. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n........, a m1 a m2... a mn Maticeoznačujemevelkýmipísmeny,někdysezjednodušeněpíše A=(a ij ) m n. Sčítatbudemepouzematicestejnéhotypu,atoposložkách,tedy(a ij ) m n + (b ij ) m n =(a ij + b ij ) m n. Násobitskalárembudemetaképosložkách: α (a ij ) m n =(α a ij ) m n. Matice nad tělesem T s takto definovanými operacemi potom tvoří vektorový prostor. Následuje spousta definic a vět, kterými se budeme zabývat, možná si uvedeme některé další(když budete chtít), ukážeme si také příklady. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad T. Podprostorem prostoru V budeme rozumět každou podmnožinu M prostoru V, která je vzhledem k původním operacím sama vektorovým prostorem nad T. 23

Chlumětín 02 Definice. Nechť V jevektorovýprostornad T, v 1,..., v n V, a 1,..., a n T.Lineárníkombinacívektorů v 1,..., v nskoeficienty a 1,..., a n nrozumímevektor a i v i. i=1 Definice. Nechť V jevektorovýprostornad T, M V.Lineárnímobalemmnožiny M budeme rozumět množinu všech lineárních kombinací vektorů z M s koeficienty z T. Značíme M nebo L(M).Je-li M =V,pakříkáme,že Mjemnožinougenerátorů V (žegeneruje V). Například R =R, O =O. (1,1) jemnožinavektorůzr 2,jejichžsložkyse rovnají(v geometrické představě je to osa I. a III. kvadrantu). Věta. Je-li M V,pak M jepodprostoremprostoru V. Definice. Nechť V jevektorovýprostornad T, M V.Řekneme,žeMjelineárně nezávislá,pokudprokaždouposloupnostvektorů v 1,..., v n Mplatí n a i v i = o a 1 = a 2 = =a n=0. i=1 Pokudtomutaknení,říkáme,že Mjelineárnězávislá. Lemma. M je lineárně závislá právě tehdy, když některý vektor v M lze vyjádřit jako lineární kombinace ostatních vektorů z M. Definice. Bází vektorového prostoru budeme rozumět každou jeho lineárně nezávislou množinu generátorů. Věta. Podmnožina vektorového prostoru V je báze V právě tehdy, když každý vektor v V je možno právě jedním způsobem vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z M. Definice. Je-li B= {u 1,..., u n}báze V, u= n a i u i,potomkoeficienty a 1,... a n i=1 nazvemesouřadnicevektoru uvzhledemkbázi B.Značíme[u] B =(a 1,..., a n). Věta. Každá množina generátorů M prostoru V obsahuje nějakou bázi B M prostoru V. Věta. Každédvěkonečnébázemajístejnýpočetprvků 2. Definice. Nechť V je vektorový prostor, ve kterém existuje konečná báze. Potom početprvkůlibovolnébáze V nazývámedimenzeprostoru V.Značímedim V. 2 Analogickétvrzeníplatípronekonečnébázeajejichmohutnost. 24

Eva Ondráčková: Lineární algebra Příklady (1) Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové prostory: Přímkavrovině,tj. {(x, y); y= ax+b},kde a, bjsounenulovéreálnékonstanty. Přímkavroviněprocházejícístředem(tostejné,ale b=0). Maticetypu2 2nad N,maticetypu2 2nad Z. VektoryzR 5 sposlednísložkounulovou. Vektory(x 1, x 2, x 3 )zr 3 takové,že x 3 = x 1 + x 2. (2) Lzereálnývektor(1,2,3,4)vyjádřitjakolineárníkombinacivektorů(1,3,2,0) a(2,3,2,3)? (3) Jsou následující množiny lineárně nezávislé? {(1,2),(2,1),(287,1092)} R 2 {(1,2,3),(3,4,5),(0,0,0)} R 3 {(1,0,3),(2,1,1),(1,2,3)} R 3, Z 3 5 (4) Naleznětesouřadnicevektoru(3,3,3)vzhledemkbázi {(1,0,2),(2,1,1),(0,0,1)} (v R 3 ). (5) Určete dimenzi podprostoru {(1,3,2,1),(3,4,2,1),(0,2,0,0)} R 4, {(2,2),(2,1),(2,0)} R 2. Homomorfismy Až dosud jsme vektory pouze sčítali a násobili skalárem. Tím ale naše možnosti zdaleka nejsou vyčerpány. Jistě si dokážete představit zobrazení, které vektoru přiřadí vektor. Dále se budeme zabývat speciálními případy takových zobrazení homomorfismy. Definice. Nechť V a W jsou vektorové prostory nad T. Homomorfismem prostoru V do Wbudemerozumětkaždézobrazení f: V W,prokteréplatí: (i) v 1, v 2 V f(v 1 + v 2 )=f(v 1 )+f(v 2 ). (ii) a T v V f(av)=a f(v). Tyto dvě podmínky se někdy zapisují dohromady takto: a T v 1, v 2 V f(av 1 + v 2 )=a f(v 1 )+f(v 2 ). Definice. Jádrem Ker f homomorfismu f budeme rozumět množinu Ker f= {v V; f(v)=o}. 25

Chlumětín 02 Definice. Obrazem Im f homomorfismu f budeme rozumět množinu Imf= {w W; v V f(v)=w}=f(v). Věta. základní vlastnosti homomorfismů Nechť V, W jsou vektorové prostory nad T, f: V W. (i) f(o)=o. (ii) f( v) = f(v). (iii) f( k a i v i )= k a i f(v i ). i=1 i=1 (iv) Obrazem podprostoru prostoru V je podprostor prostoru W. (v)imfjepodprostoremprostoru W. (vi) Obrazem množiny generátorů je množina generátorů obrazu. (vii)úplnývzorpodprostoru U prostoru W (množinavšechvektorůvv,kterése zobrazído U)jepodprostor V. (viii)kerfjepodprostorve V. (ix) Jsou-li f : V W a g : W U homomorfismy, pak g f : V U je homomorfismus(složení homomorfismů je homomorfismus). Věta. Libovolné zobrazení báze B prostoru V do W lze právě jedním způsobem rozšířit na homomorfismus. Definice. Prostý homomorfismus se nazývá monomorfismus, homomorfismus, který je na, se nazývá epimorfismus, vzájemně jednoznačný homomorfismus se nazývá izomorfismus, homomorfismus z V do V se nazývá endomorfismus, vzájemně jednoznačný homomorfismus z V na V se nazývá automorfismus. Lemma. fjemonomorfismusprávětehdy,kdyžker f= O. Definice. Nechť f je homomorfismus. Hodností r(f) homomorfismu f budeme rozumět dimenzi prostoru Imf, tj. r(f)=dimimf. Defektem d(f) homomorfismu f budeme rozumět dimenzi prostoru Kerf, tj. d(f)=dimkerf. Příklady Pokud nebude napsáno jinak, souřadnice vektorů jsou vzhledem ke standardní bázi. (6) Dokažte,žezobrazení f: R 2 R 2, f(x 1, x 2 )=(3x 1 x 2, x 2 )jehomomorfismus. (7) Najděte jádra homomorfismů f: R 2 R 2, f(x 1, x 2 )=(x 1 2x 2, x 1 ), 26

Eva Ondráčková: Lineární algebra g: R 3 R 3, g(x 1, x 2, x 3 )=(x 1 x 2 +2x 3,3x 1 + x 2 x 3,4x 1 + x 3 ), h:z 2 5 Z2 5, h(x 1, x 2 )=(4x 1 +2x 2,3x 1 +4x 2 ). (8) Najděte obraz R 2 vhom. f: R 2 R 2, f(x 1, x 2, x 3 )=(2x 1 x 2, x 1 + x 2 + x 3, 3x 2 2x 3 ), {(1,2,3),(1,1,1)} vhom. g: R 3 R 2, g(x 1, x 2, x 3 )=(2x 1 + x 2, x 1 +3x 3 ). (9) Vyjádřete f: R 3 R 3 jako f(x 1, x 2, x 3 ),víte-li,že f(1,3,2)=(2,1,0), f(2,1,2)=(3,0,2), f(0,0,1)=(0,0,1). (10) Jsou f, g, h:r 2 R 2,kde f(x 1, x 2 )=(x 2, x 1 ), g(x 1, x 2 )=(x 1, x 1 ), h(x 1, x 2 )=(x 1 +3x 2,2x 1 +6x 2 ) monomorfismy? Svou odpověď zdůvodněte. (11) Najděte hodnost a defekt homomorfismu f: Z 3 5 Z 4 5, f(x 1, x 2, x 3 )=(4x 1 +2x 3,2x 2 +4x 3, x 1 + x 2 +2x 3, x 3 ). 27