Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18
Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18
Vektorová funkce jedné proměnné je zobrazení f : a,b R 3, f(t) = [x(t),y(t),z(t)] = x(t)i +y(t)j +z(t)k, t a,b. Poznámky grafickému znázornění vektorové funkce se říká hodograf hodografem je křivka ve fyzice popisuje trajektorii hmotného bodu po složkách se definují pojmy jako limita, spojitost, derivace, integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 3 / 18
Příklad Pro f(t) = 3cost i +3sint j, t 0,2π : nakreslete hodograf vypočítejte derivaci vypočítejte neurčitý integrál Příklad Předpokládejme, že předchozí vektorová funkce f popisuje pohyb hmotného bodu. Určete: rychlost a její velikost v čase t = π 3 zrychlení a jeho velikost v čase t = π 3 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 4 / 18
Skalární pole v oblasti Ω R 3 je u : Ω R, u = u(x,y,z) Hladinou skalárního pole je plocha u(x,y,z) = C, kde C R. (vrstevnice, izobary, izotermy) derivace skalárního pole u ve směru s = [s 1,s 2,s 3 ], s = 1, v bodě A: platí: du(a) ds du(a) ds = u(a) x = lim t 0 u(a+ts) u(a) t s 1 + u(a) y s 2 + u(a) s 3 z Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 5 / 18
Definice Gradientem skalárního pole u nazýváme vektorovou funkci: [ u gradu = x, u y, u ] z Značení grad u = u, operátor nabla (Hamiltonián) [ = x, y, ] z vyjádření směrové derivace pomocí skalárního součinu du ds = u s = gradu s Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 6 / 18
Věta (vlastnosti gradientu) 1 Gradient je kolmý k hladině. 2 Gradient je směr největšího růstu, opačný směr určuje největší pokles. 3 Velikost největšího růstu je grad u. Z rovnice hladiny u(x,y,z) C = 0 a rovnice tečné roviny k implicitní funkci z = z(x,y) v bodě A = [x 0,y 0,z 0 ], u x (A)(x x 0)+ u y (A)(y y 0)+ u z (A)(z z 0) = 0, dostáváme 1. tvrzení. 2. tvrzení plyne z vlastnosti skalárního součinu: du(a) ds = gradu s = gradu s cosα = gradu cosα, kde dostaneme maximální hodnotu pro α = 0, tj. když s a gradu mají stejný směr. Odtud plyne i 3. tvrzení. Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 7 / 18
Příklady 1 Vypočítejte derivaci v bodě A = [1,2,1] ve směru v = [3,4,5] pro: u(x,y,z) = 3x 2 4y 3 +2z 4 2 Vypočítejte směr maximálního růstu a největší hodnotu směrové derivace v bodě A = [1,2,1] pro: u(x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 2xy +2xz +2yz 3 Určete množinu bodů, v nichž je velikost gradientu rovna 12 pro: u(x,y) = (x 2 +y 2 ) 3 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 8 / 18
Vektorové pole v oblasti Ω R 3 je vektorová funkce tří proměnných f : Ω R 3, f(x,y,z) = [P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)] Graficky se vektorové pole znázorňuje vektorovými čarami. (siločáry, indukční čáry, proudnice) Definice Potenciálem vektorového pole f nazýváme skalární pole φ, jestliže platí: f = gradφ. Má-li vektorové pole potenciál, nazývá se potenciálové. Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 9 / 18
Věta Necht f je vektorové pole v Ω R 3. (A) Je-li f potenciálové, pak platí: P y = Q x, P z = R x, Q z = R y (1) (B) Je-li splněno (1), pak je pole f potenciálové. Důkaz: Je-li f potenciálové, existuje potenciál φ a podle Schwarzovy věty o záměnnosti pořadí derivování u smíšené derivace dostáváme tvrzení (A). Např.: P y = 2 φ x y = Q x Opačné tvrzení (B) dokazovat nebudeme. Důkaz je konstruktivní a sleduje ideu, která se použije při výpočtu potenciálu v konkrétních příkladech. Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 10 / 18
Příklad Rozhodněte, zda je pole f = [2xy,x 2 z,2z y] potenciálové. Řešení: Najdeme potenciál φ. Postupně integrujeme a zjišt ujeme přitom jak vypadají integrační konstanty: φ x = 2xy φ(x,y,z) = x2 y +C 1 (y,z) φ y = x2 z x 2 + C 1 y = x2 z C 1 y = z C 1(y,z) = yz +C 2 (z) φ(x,y,z) = x 2 y yz +C 2 (z) φ z = 2z y y +C 2(z) = 2z y C 2 (z) = z 2 +0 φ(x,y,z) = x 2 y yz +z 2 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 11 / 18
Definice Necht f je vektorové pole v oblasti Ω. Divergencí pole f nazýváme skalární pole: divf(x) = P x + Q y + R z = f Je-li divf = 0 v každém bodě X Ω, nazývá se pole f nezřídlové (solenoidální). Body, v nichž platí divf(x) > 0 resp. divf(x) < 0, se nazývají zřídla resp. nory. Pro proudění kapaliny udává divergence množství kapaliny, které vyteče za jednotku času z jednotkového objemu v okoĺı bodu X, tj. vydatnost zřídla. Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 12 / 18
Definice Necht f je vektorové pole v oblasti Ω. Rotací pole f nazýváme vektorové pole: i j k rotf(x) = x y z P(X) Q(X) R(X) = f(x) Jestliže rotf = 0 v každém bodě X Ω, nazývá se pole f nevírové (laminární). Rotace vektorového pole v bodě X určuje osu kolem které kapalina v malém okoĺı tohoto bodu rotuje. Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 13 / 18
Věta Vektorové pole f je potenciálové právě tehdy, když je nevírové. Stačí si uvědomit, kdy je pole nevírové. Podle definice máme [ R rotf = y Q z, P z R x, Q x P ], y což je nulový vektor právě, když platí: R y = Q z, P z = R x, Q x = P y Podle předchozí věty tyto rovnosti nastanou právě, když f je pole poteciálové. Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 14 / 18
Příklady 1 Rozhodněta zda je pole f nezřídlové, nevírové a určete jeho potenciál, pokud existuje: f(x,y,z) = [x 2,y 2,z 2 ] 2 Silové pole f směřuje do počátku systému souřadnic a jeho velikost v bodě X je rovna převrácené hodnotě čtverce vzdálenosti tohoto bodu od počátku. Zjistěte, zda je toto pole potenciálové. Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 15 / 18
Operace druhého řádu grad : skalární pole vektorové pole div : vektorové pole skalární pole rot : vektorové pole vektorové pole je 9 možností jak tyto operace kombinovat, ale 4 kombinace nelze utvořit dvě jsou vždy nulové: rotgradu = 0 a divrotf = 0 zbývají tři: graddivf, divrotf a divgradu = 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2, pro jejiž označení se zavádí Laplaceův operátor = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 16 / 18
Příklady 1 Vypočítejte u pro: 2 Vypočítejte grad div f pro: u(x,y,z) = 3x 2 +4y 3 2z 4 f(x,y,z) = [xyz,xyz,xyz] Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 17 / 18
Shrnutí vektorové funkce Zdroj skalární pole, směrová derivace, gradient vektorové pole, divergence a rotace operace druhého řádu, Laplaceův operátor skripta Matematika III str. 130 172 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 18 / 18