ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ 1. CHYBY MĚŘENÍ Nedokoalost metod měřeí, přístroů ldských smslů a emožost regstrace a kotrol všech podmíek, které určuí stav měřeého obektu způsobuí, že měřeím emůžeme zstt skutečou (pravou) hodotu měřeé velč. Záleží však a přesost měřcích přístroů a metod kokrétím způsobu provedeí měřeí, ak se této skutečé hodotě velč měřeím přblížíme. V každém případě výsledkem měřeí bude hodota, která se od skutečé hodot velč lší, a rozdíl těchto dvou hodot se azývá chba měřeí a ozačue se, kde e smbol pro měřeou velču. Tuto chbu elze přesě staovt, lze však alespoň odhadout. Na základě odhadu chb lze určt estotu měřeí, která charakterzue rozsah hodot okolo výsledku měřeí, který lze zdůvoděě přřadt k hodotě měřeé velč. Nestota se udává ee pro výsledk měřeí, ale pro měřdla, pro použté kostat, korekce apod. O estotách měřeí bude poedáo podrobě v odstavcích 4 7. Chba charakterzue odchlku aměřeé hodot od skutečé (pravé) hodot velč, a proto vadřueme v edotkách měřeé velč. Takto defovaou chbu azýváme absolutí chba. Někd se ázorě přesost aměřeé hodot velč charakterzue relatví chbou, která vztahue velkost absolutí chb k aměřeé hodotě. Relatví chba určté hodot velč e defováa vztahem r. (1) Příklad: Posuvým měřítkem bla aměřea vzdáleost dvou bodů d 15,3 mm. Absolutí chba aměřeé délk e d 0,1 mm. Podle defce e relatví chba rd 0,065, 0,1 15,3 což e 6,5 % z hodot výsledku. Podle původu dělíme chb a sstematcké (soustavé) a áhodé, a proto také chba aměřeé hodot se skládá z chb sstematcké a áhodé. 1

. SYSTEMATICKÉ CHYBY Sstematcké chb souvseí obvkle s použtou metodu č měřícím přístro ebo se samotým pozorovatelem. Říkáme, že sou způsobe kotrolovatelým vlv. Příklad: V případě vážeí a rovorameých vahách může sstematckou chbu způsobovat odchlka od rovorameost vah, odchlka v hmotost závaží, ezapočítaá oprava a rozdíl vztlaku závaží a předmětu ve vzduchu apod. Vzklé sstematcké chb zkresluí výsledek př opakovaém měřeí koaém za steých podmíek vžd steým způsobem, t. buď výsledek stále zvětšuí ebo stále zmešuí. Teoretck lze kotrolovatelé vlv zstt a ohodott pomocí přesěších přístroů, evetuálě korekčí metod, a proto b v prcpu blo možé sstematcké chb vloučt. V pra e teto požadavek těžko uskutečtelý a velkost chb se sažíme alespoň přblžě odhadout. Sstematckou chbu hodot ozačueme m. Tato absolutí chba má často charakter mamálí chb. Jeí výzam e takový, že chba, které se př měřeí hodot skutečě dopustíme, e vžd meší ebo evýš rova chbě m. V ěkterých případech e výhoděší pracovat s relatví sstematckou chbou m měřeé hodot. r Zdroem sstematckých chb e: 1. Omezeá přesost přístroů. Jeí příču e třeba hledat v edokoalém a e zcela přesém provedeí měřcích přístroů. Tpckým příkladem může být edokoalost a epřesost stupc. Tto chb b blo možo odstrat ebo alespoň podstatě zmešt použtím dokoaleších zařízeí, ale v techcké pra b používáí velm přesých přístroů blo často ákladé a těžko realzovatelé. Proto se sažíme v ěkterých případech dosáhout větší přesost, a tím zmešeí sstematcké chb, kalbrací přístroe před měřeím. Kalbrace spočívá v porováí údaů přístroe s úda podstatě přesěšího měřdla a výsledkem e staoveí hodot korekčího faktoru č korekčí křvk, pomocí kterých aměřeé hodot opravueme. Příklad: 3 Mohrovým vážkam bla př teplotě 0 C aměřea hustota vod s 997 kg m. Tabulková hodota hustot vod př této teplotě, což e hodota aměřeá přesěším měřeím, e 3 s 998, 05 kg m. Opravý koefcet k, kterým musíme ásobt každou hodotu hustot s aměřeou těmto vážkam, e dá vztahem k. V ašem případě k = 1,001. s

Pro ěkteré sérově vráběé přístroe výrobce udává ech mamálí (evětší přípustou) chbu m. Tak zaručue, že hodota velč aměřeá přístroem bude v celém eho rozsahu mít chbu zpravdla meší, ale aevýš rovou mamálí chbě. Mamálí chba e pro elektrcké ukazovací (ručkové) měřcí přístroe výrobcem udáváa pomocí tříd přesost T. Úda o třídě přesost e obvkle uvede v pravém dolím rohu pod stupcí přístroe, a to p ad začkou udávaící, e-l přístro urče pro střídavý ebo steosměrý proud. Podle platé orm e třída přesost číslo z řad 0,1; 0,; 0,5; 1; 1,5;,5; 5. Mamámí chbu aměřeé hodot lze pak staovt ze vztahu m 1 Tpma, () 100 kde ma e evětší hodota měřeé velč v uvažovaém rozsahu. Mamálí chba e steá, ať měříme v kterékolv část rozsahu, zatímco relatví chba e tím větší, čím meší e měřeá hodota vzhledem k mamálí hodotě v rozsahu. Proto se s elektrckým měřcím přístro sažíme měřt tak, ab výchlka bla pokud možo ve třetí třetě rozsahu. Měříme-l hodotu právě rovou mamálí hodotě rozsahu, e relatví chba měřeé hodot emeší, a e právě rova třídě přesost vádřeé v procetech. Příklad: Měříme s voltmetrem tříd přesost Tp 0, 5 a rozsahu 0 30 V. Naměřeé hodot apětí sou U1 15 V, U 30 V. Mamálí chb vplývaící z tříd přesost sou pro obě aměřeé hodot steé, protože bl měře a edom rozsahu a ech velkost vpočteme ze vztahu () m m 0,010,530 0,15 V. U1 U Relatví chb 0,15 mru 0,01 1 15 0,15 m ru1 0,005. 30 Hodotu apětí 15 V měříme s relatví chbou 1 %, hodotu 30 V, která e mamálí hodotou rozsahu 0 30 V, měříme s relatví chbou 0,5 %, která e číselě rova třídě přesost. U číslcových elektrckých měřcích přístroů má chba dvě složk: základí chba e chba př referečích podmíkách staoveých výrobcem přístroe a přídavá chba e chba vzkaící př edodržeí referečích podmíek. Základí chba číslcových voltmetrů a číslcových multmetrů se skládá ze dvou složek. Chbou m r v procetech měřeé hodot a počtem kvatzačích kroků N, což e počet edček (dgtů) ežšího místa číslcového zobrazovače a zvoleém rozsahu. Předem e třeba zstt z rozsahu a počtu míst eho zobrazovače, aká hodota měřeé velč odpovídá 1 3

dgtu. Teto tvar vádřeí přesost se používá zeméa v zahračí lteratuře, kde úda přesost má apř. tvar 0,0%rdg. dgts, kde zkratka rdg. (readg) zameá čteí. Příklad: Číslcový voltmetr s mamálím údaem 9999 e použt a rozsahu 0 10 V a měřeý úda e 5,000 V. Jeho chba e specfkováa ásledově: 0,01 % údae plus kvatovací krok (0,01%rdg. + dgts). Pro voltmetr e mamálí chba měřeé hodot 4 3 110 5 V 10 V,5 mv. m U Jestlže výrobce eudává formace o přesost měřdla, musíme sam chbu měřdla odhadout. Obvkle chbu m odhadueme tak, že položíme rovu část emešího dílku a stupc přístroe, kterou sme schop eště rozlšt. Zpravdla to bývá 1/ emešího dílku ebo celý dílek. Teto způsob určeí chb m souvsí s tím, že optmálí hodota emešího dílku stupce b měla být výrobcem staovea tak, abchom mohl a stupc odečítat hodot aměřeé velč v souladu s ctlvostí a přesostí daého přístroe ebo měřdla. Takto odhadutou chbu čteí považueme za evětší přípustou chbu m a opět používáme k vádřeí sstematcké chb a eurčtost. Hodot mamálích chb pro ečastě užívaá měřdla sou v tab. 1. Tabulka 1 měřdlo váh praktkatské měřítko pásové měřítko posuvé mkrometr teploměr m (0,01 0,1) g (0,5 1) mm 0,1 mm 0,01 mm (0,5 1) emeší dílek. Použtá metoda. Sstematcká chba vzká epřesostí, edokoalostí ebo evhodostí použtého způsobu měřeí. Například př vážeí a vzduchu vzká sstematcká chba určeé hmotost ako důsledek ezapočteí růzého vztlaku působícího a závaží a vážeý předmět, estlže maí rozdílé obem. Tto chb lze odstrat ebo potlačt buď změou metod ebo vloučeím chb výpočtem (oprava a vztlak). 3. Osobí chb. Jedotlví pozorovatelé se obvkle dopouštěí chb, které souvseí s růzou smslovou koordací a sou pro ě charakterstcké. Uplatňuí se apř. př měřeí časových tervalů, odečtu př zrcátkové metodě apod. Lze e vloučt tím, že subektví měřeí ahradíme obektvím, apř. časový terval měříme místo stopek pomocí čdla spoeého s počítačem. V moha případech, zvláště př složtěších měřeích, elze dostatečě určt a ohodott zdroe sstematckých chb, které se podíleí a epřesost výsledku, a elze proto provést přesé oceěí sstematckých chb. Vžd se však sažíme alespoň o řádový odhad chb. 4

3. NÁHODNÉ CHYBY Rozhodeme-l se pro opakovaé měřeí velč X (edotlvé aměřeé hodot velč X ozačueme ), apř. délk předmětu, a provádíme-l e za steých podmíek, t. steým měřdlem za steé teplot a tlaku, zstíme, že výsledk edotlvých měřeí se poěkud lší, až dovedeme určt přesou příču těchto odchlek. Může to být okamžtá malá změa tlaku ebo teplot, proměé magetcké pole v místě měřeí apod. Chba, která se př měřeí realzue, vzká složeím chb od velkého možství edotlvých vlvů uplatňuících se během měřeí. Tto vlv esou pod aší kotrolou, a proto říkáme, že áhodé chb sou způsobe ekotrolovatelým vlv. Chb opakovaých měřeí vtvářeí soubor áhodých chb vkazuící určté statstcké zákotost, které dovoluí staovt vlv áhodých chb a přesost měřeí. Budeme-l apříklad opakovat měřeí délk tčk steým mkrometrem v laboratoř, kde během měřeí kolísala teplota mamálě v rozmezí C a provedeme celkem 100 měřeí, můžeme aměřeé hodot rozdělt podle velkost do skup. Iterval mez hodotam v edotlvých skupách e 0,01 mm, což e právě přesost čteí a mkrometru. Z takto roztříděých hodot lze sestavt závslost absolutí četost aměřeých délek v edotlvých skupách a aměřeé délce a grafck zázort. Toto rozděleí aměřeých hodot, uvedeé a obr. 1, e smetrcké a vsthue e ečastě ormálí Gaussovo rozděleí velč. Obr. 1 Základí otázkou e, kterou ze souboru aměřeých hodot můžeme považovat za esprávěší ebo akým způsobem esprávěší hodotu velč z tohoto souboru hodot určt. Logck se abízí možost považovat za esprávěší tu hodotu, která se v souboru ečastě opakue. Nazýváme epravděpodoběší hodota a odpovídá mamum v ormálím Gaussově rozděleí. Z matematckého vádřeí tohoto rozděleí lze dokázat, že touto hodotou e artmetcký průměr ze všech aměřeých hodot. Platí 5

1, (3) kde sou edotlvé aměřeé hodot velč X a e počet měřeí. Protože v uvedeém případě e počet měřeí = 1000 a e ekoečě velký, e získaý soubor aměřeých hodot pouze výběrovým souborem a artmetcký průměr vpočteý podle vztahu (3) e výběrový artmetcký průměr. Čím větší e počet měřeí, tím více se hodota artmetckého průměru přblíží ke skutečé hodotě velč. Další otázkou e, ak sou edotlvé aměřeé hodot rozlože okolo hodot artmetckého průměru. Je zřemé, že čím přesěším měřdlem budeme popsovaé měřeí délk provádět, tím méě budou aměřeé hodot rozptýle kolem hodot artmetckého průměru a křvka rozděleí bude štíhleší. Míru rozptlu aměřeých hodot kolem artmetckého průměru kvattatvě charakterzue směrodatá odchlka s edoho měřeí velč, daá vztahem s 1 1. (4) Častě budeme používat směrodatou odchlku artmetckého průměru, protože opakovaá měřeí budeme vhodocovat pomocí artmetckého průměru. Platí s 1 1. (5) Obě tto odchlk bchom měl přesě azývat výběrové směrodaté odchlk, protože soubor měřeí bl áhodě vbrá ze základího souboru, který představue ekoečý počet aměřeých hodot. Chceme-l početě staovt směrodatou odchlku podle vztahů (4) ebo (5) můžeme s výhodou použít kalkulátor, které umožňuí vpočítat ze zadaého souboru hodot ak artmetcký průměr, tak směrodatou odchlku s, evetuálě s. 4. NEJISTOTY MĚŘENÍ Zatímco chba charakterzovala rozdíl aměřeé hodot od skutečé (pravé) hodot, estota měřeí charakterzue rozsah (terval) hodot měřeé velč kolem výsledku měřeí, který podle očekáváí obsahue skutečou hodotu měřeé velč. Nestota se staoví ee pro výsledek měřeí, ale také pro měřdla, použté kostat, pro korekce apod. Základem určováí estot e statstcký přístup. Předpokládá se určté rozděleí pravděpodobost, které popsue, ak se mohou aměřeé hodot velč X odchlovat od skutečé hodot. Základí charakterstkou estot e stadardí estota ozačovaá písmeem u (z agl. ucertat), a eí mírou e směrodatá odchlka udávaé hodot velč. Stadardí estota udává rozsah hodot okolo aměřeé (staoveé) hodot, ve kterém se s da- 6

ou pravděpodobostí achází skutečá hodota. Stadardí estot se podle zdroů, z kterých vzkaí (obdobě ako chb) dělí a stadardí estot tpu A velč X a stadardí estot tpu B velč X. Stadardí estot tpu A velč X sou způsobová áhodým vlv. Staoví se z opakovaých měřeí určté hodot za stále steých podmíek a základě statstckého přístupu a ozačuí se u A. Nestot tpu A se zmešuí se zvětšuícím se počtem opakovaých měřeí. Stadardí estot tpu B sou způsobová zámým a odhadutelým příčam vzku. Stadardí estot tpu B velč X se ozačuí u B. Jech určeí vchází z odhadu sstematckých chb aměřeých hodot. Mohou pocházet z růzých zdroů a př určtém měřeí e výsledá stadardí estota tpu B dáa odmocou ze součtu kvadrátů estot od edotlvých zdroů s respektováím korelací (vzáemých závslostí) mez edotlvým zdro estot. Protože se staoveí estot tpu A B provádí a základě steého přístupu, e možé skládat estot tpu A a B. Sumací kvadrátů stadardí estot tpu A a stadardí estot tpu B se dostae kvadrát kombovaé stadardí estot. Hodotí-l se výsledek měřeí stadardí estotou, pak se euváděí odděleě estot tpu A a tpu B. Kombovaá stadardí estota u udává terval č rozsah hodot, ve kterém se s poměrě velkou pravděpodobostí může vsktovat skutečá hodota velč X. V pra se však často obevue požadavek a zvýšeí pravděpodobost (sížeí rzka) a toho se dosáhe zvětšeím tervalu, který pokrývá estota. Proto se zavádí rozšířeá stadardí estota U, která e dáa vztahem U k u, (6) U kde k U e koefcet rozšířeí ebo pokrtí. Rozšířeá estota má být vžd doplěa údaem o velkost k U. Velkost k U se volí až 3. V posledí době se doporučue volt ku, t. U u, což odpovídá pravděpodobost 95 % pro ormálí rozděleí. Stadardí estotu můžeme vadřovat v edotkách měřeé velč, pak hovoříme o absolutí stadardí estotě, ebo poměrem absolutí estot a hodot příslušé velč, který azýváme relatví stadardí estota. Zaméko se dává před číselou hodotu estot v případě, že se přpoue k hodotě výsledku měřeí. 5. STANOVENÍ STANDARDNÍCH NEJISTOT PŘI PŘÍMÉM MĚŘENÍ Podle způsobu určeí hodot měřeé velč se dělí měřeí a přímé měřeí velč, epřímé měřeí velč. Postup př staoveí stadardích a rozšířeých estot se lší podle toho, zda se edá o přímé ebo epřímé měřeí určté velč č velč. Př přímém měřeí se ezámá hodota zšťue přímým porováím s míram (edotkam) měřeé velč, apř. měřeí délk metrem, měřeí teplot teploměrem, měřeí apětí voltmetrem, staoveí hmotost pomocí vážeí apod. 7

Měřeí se provádí buď edou (př většě techckých měřeích) ebo opakovaě. Př opakovaém měřeí se vchází se ze sére měřeí provedeých př stále steých podmíkách a získá se aměřeých hodot. Př edém měřeí b měla být zaručea dostatečě malá áhodá chba, provádí-l se opakovaé měřeí, měl b být počet měřeí eméě 5. Staoveí stadardí estot př přímém měřeí. Jestlže opakovaým měřeím velč X získáme údaů... 1 a výsledek měřeí bude (výběrový) artmetcký průměr daý vztahem (3), e stadardí estota tpu A velč X rova výběrové směrodaté odchlce artmetckého průměru 1 u s A ( ), (7) ( 1) 1 kde e výběrový artmetcký průměr. Pokud e počet opakovaých měřeí meší ež 10 a eí možé určt kvalfkovaý odhad a základě zkušeost, lze stadardí estotu tpu A staovt přblžě a základě vztahu u k s, (8) A kde k e koefcet, ehož velkost závsí a počtu měřeí tak, že pro počet 5 eho hodota začě vzrůstá (pro = 4 e eho hodota 1,7 a pro = 3 e to ž,5). Doporučue se proto volt počet měřeí větší ež 10, v kraím případě větší ež 5. Stadardí estot tpu B sou ěkd ozačová ako sstematcké estot a v moha případech se tak proevuí. Jech určováí e založeo ako v případě estot tpu A a statstckém přístupu. Dříve, ež se přstoupí k měřeí, e třeba aít možé zdroe sstematckých chb (estot tpu B). Zdroe estot tpu B př měřeí (podobě ako sstematcké chb) vzkaí v důsledku: edokoalost měřcích přístroů a měřcí techk, použtých měřcích metod, podmíek př měřeí, odečtu aměřeé hodot (ukazatel aměřeé hodot se achází mez ozačeým dílk stupce a eho polohu určí epermetátor odhadem), a dalších vlvů. Odhad stadardích estot tpu B od edotlvých zdroů estot Z se provádí ásleduícím způsobem: Odhade se pro každý zdro estot mamálí rozsah změ zma, velkost zma se volí taková, ab eí překročeí blo málo pravděpodobé (mamálě přípustá chba ebo emeší dílek stupce). Uváží se, které rozděleí pravděpodobost elépe vsthue výskt hodot v tervalu zma, ab blo možé z mezí odchlk zma staovt směrodatou odchlku příslušeící tomuto tpu rozděleí. Je třeba se rozhodout, ak bude rozdělea pravděpodobost, se kterou může ovlvňuící velča abývat edotlvých hodot mez svým kraím mezem daým z. Nečastě se předpokládá rovoměré rozdě- ma 8

leí, pro které e steá pravděpodobost výsktu lbovolé hodot ležící mez kraím mezem. V tomto případě e koefcet, sloužící k přepočtu mezí hodot ovlvňuící velč a směrodatou odchlku 3. Normálí (Gaussovo) rozděleí se volí tehd, e-l pravděpodobost malých odchlek začá a velkých odchlek zaedbatelá a koefcet 3. Určí se estot tpu B od edotlvých zdroů Z ze vztahu u zb z ma, (9) kde udává poměr mezí odchlk ke směrodaté odchlce pro vbraý tp rozděleí. Hodota abývá obvkle hodot 3, evet. 3. Určí se výsledá stadardí estota tpu B podle vztahu B, z z 1 u A u, (10) kde se provádí sčítáí přes všech zdroe estot tpu B. Odhaduté estot od edotlvých zdroů se ve vztahu (10) ásobí koefcet vpočteým pomocí fukčí závslost X f Z1, Z,..., Z. Koefcet A Z, (ctlvostí koefcet) se vpočtou z relací A Z, X. (11) Z Pomocí koefcetů A Z, (ctlvostí) lze převést edotlvé složk estot tpu B a edotk měřeé velč. Vztah (10) platí pouze za určtého předpokladu, t. tehd, estlže eí mez edotlvým složkam estot vazba (korelace). Naštěstí teto předpoklad e ve většě měřeí splě a eí proto uté použít obecěší vzorec pro výpočet výsledé stadardí estot tpu B, který zahrue korelačí koefcet, popsuící míru vzáemé vazb edotlvých vlvů způsobuících estot tpu B. Kombovaá stadardí estota u se př přímém měřeí určue ze vztahu u u u. (1) A B Př dosazováí do vztahu (1) e vhodé posoudt, estl ěkterá složka estot emá rozhoduící výzam, a druhou e pak možo zaedbat. 9

Příklad: Měřeí délk l předmětu blo prováděo mkrometrem 0 krát. Z aměřeých hodot délk bla určea směrodatá odchlka artmetckého průměru s 0, 01 mm. Směrodatá odchlka artmetckého průměru e podle vztahu (7) rova stadardí odchlce u la tpu A. Zdroem estot tpu B e pouze omezeá přesost mkrometru, a proto se pro teto případ měřeí určí z mamálí chb mkrometru, která e 0,01 mm. Předpokládáme smetrcké rozložeí hodot 0,01 měřeých mkrometrem v tervalu 0, 01 mm, a proto podle vztahu (9) e ulb mm. 3 0,01 Kombovaá stadardí estota e podle vztahu (1) u l 0,01 0,01 mm. 3 Obě složk estot sou v tomto případě řádově steě velké, a proto emůžeme a edu z ch zaedbat. l 6. STANOVENÍ STANDARDNÍCH NEJISTOT PŘI NEPŘÍMÉM MĚŘENÍ Dosud uvedeý postup předpokládal prováděí přímého měřeí edé velč s ěkolka ovlvňuícím velčam ako zdro estot tpu B. Předpokládeme í, že určueme hodotu velč a základě vztahu, v kterém vstupue eda ebo více přímo měřeých velč a kostat. Nechť velča Y e dáa fukčí závslostí a edé ebo ěkolka přímo měřeých velčách X a kostatách V h, které emaí přesé hodot. Platí Y f X, X,..., X,..., X, V, V,..., V,..., V. 1 m 1 h p Předpokládeme obecý případ, kd měřeí se opakue krát a pro té měřeí se získaí hodot,..., 1 m přímo měřeých velč X,..., 1 X m. Výsledou hodotu staovíme tak, že dosadíme výběrové artmetcké průměr přímo měřeých velč do fukčí závslost. Stadardí estotu př epřímém měřeí lze staovt steým obecým postupem, ako v případě přímo měřeé velč. Staoveí stadardí estot př epřímém měřeí velč lze shrout do ásleduících kroků: Staovíme výběrový artmetcký průměr podle vztahu f,,...,,...,, V, V,..., V,..., V, (13) 1 m 1 h p kde e artmetcký výběrový) průměr té přímo měřeé velč daý vztahem (3). 10

Staovíme směrodaté odchlk s pro edotlvé opakovaě měřeé velč X podle vztahu (7), které sou totožé s estotam tpu A, t. u A. Výsledou stadardí estotu u A tpu A určíme a základě estot od edotlvých zdroů podle vztahu m A 1 u s A s, (14) kde A f ( X1,..., X,..., X m, V1,..., Vh,..., Vp) X sou převodí koefcet, echž hodot se vpočítaí dosazeím hodot a V h do parcálích dervací, a které převáděí edotlvé estot do edotek měřeé velč. Pro zedodušeí zde předpokládáme, že hodot kostat V h esou ovlvě estotam. Jestlže eprovádíme opakovaé měřeí, prví tř bod odpadaí a hodotu velč Y dostaeme dosazeím edou měřeých hodot velč X,..., 1 X m a estotu tpu A epočítáme. Určíme všech zdroe složek estot tpu B. Pro každý zdro estot tpu B určíme kraí meze, mez kterým b se měla acházet eho skutečá hodota. Pro každý zdro estot zstíme předpokládaé rozděleí pravděpodobostí výsktu edotlvých hodot mez kraím mezem a podle tpu rozděleí m přřadíme hodot koefcetu ( 3 pro ormálí rozděleí, 3 pro rovoměré rozděleí). Podle vztahu (9) vpočteme estot tpu B od edotlvých zdroů. Vpočteme výsledou stadardí estotu u B tpu B podle vztahu m l B B Vh VhB 1 h1, (15) u A u A u Y kde A, A X Vh Y V h sou převodí koefcet určeé pomocí parcálích dervací, převáděící estot od edotlvých zdroů do edotek určovaé velč. S použtím Gaussova kvadratckého zákoa šířeí estot určíme kombovaou stadardí estotu u u u u. (16) A B Je-l požadavek a zvýšeí pravděpodobost (sížeí rzka) výsktu skutečé hodot v tervalu U, U zavádí vztahem staovíme rozšířeou stadardí estotu U, která se U k u, (17) U 11

kde k U e koefcet rozšířeí ebo pokrtí. Hodot koefcetu se obvkle volí od do 3, vět-šou se doporučue volt ku, ab pro ormálí rozděleí odpovídal pravděpodobost pokrtí cca 95 %. Určováí estot př epřímém měřeí e často zatížeo moha dílčím estotam růzých velkostí. Výpočet e možo zedodušt zaedbáím řádově meších výrazů (kvadrátů estot). Přpustíme-l zmešeí pravé stra rovce (16) o 5 % zaedbáím meší z estot, což eovlví praktck velkost výsledé estot, bude uvedeý požadavek a změu výsledé estot splě tehd, estlže složka estot, kterou chceme zaedbat, bude meší ež 1/3 větší. Př kokrétím výpočtu můžeme ted zaedbat všech složk estot, pro ěž bude platt 1 ul uk... u ma. (18) 3 Výpočet estot pro edoduché případ epřímo měřeých velč. Předpokládeme, že hodotu velč Y přímo eměříme, ale určueme pomocí edou měřeých hodot 1, dvou epřímo měřeých velč X1, X. Záme-l tvar fukčí závslost Y f X X 1, a stadardí estot přímo měřeých velč 1B B u, u, lze určt stadardí estotu u B pomocí vztahu (10). Nestota u B e zároveň kombovaou estotou u, vztah (16), protože hodot přímo měřeých velč sou měře pouze edou. Pro kombovaou estotu u dostaeme Y Y u u u 1B B X1 X. (19) Obecý vzorec (19) pro šířeí estot lze ve specálích případech fukčích závslostí ahradt edodušším výraz pro výpočet estot epřímo měřeé velč. Nepřímo měřeá velča e leárí kombace přímo měřeých velč: Y f X, X ax bx, (0) 1 1 kde a, b sou reálá čísla. Z kvadratckého zákoa šířeí estot, vztah (19) vplývá, že kombovaá stadardí estota velč Y e u a u b u. (1) 1B B Pro prostý součet a rozdíl dvou velč: Y f X, X X X () 1 1 1

se (1) redukue a ásleduící vztah u u u. (3) 1B B V případě, kd určueme estotu velč, která e rova součtu ebo rozdílu dvou velč, e eí výsledá estota rova odmocě součtu kvadrátů estot přímo měřeých velč. Pro zpřesěí výsledku má smsl zpřesňovat měřeí té velč, eíž absolutí estota e evětší. Příklad: Určueme tloušťk stě dutého válce. Věší průměr válečku d1 1,1 mm, vtří průměr d 8,1 mm, rozměr bl změře posuvým měřítkem. Chba údae posuvého měřítka e pro rozměr steá, m1 m 0,1 mm. Předpokládáme-l, že hodot sou v rozmezí 0,1mm rozlože rovoměrě, pak podle vztahu (9) 0,1 ud 1B udb mm, 3 eboť pro rovoměré rozděleí hodot platí, že 3. 1 Ozačíme-l tloušťku stě, pak pro platí d1 d. Nestota určeí e podle vztahu (3) rova 1 1 1 0,1 0,1 u ud 0,041 mm 1B ud 1B 4 4. 3 3 Tloušťka stě e určea s estotou 0,041 mm. Kdbchom chtěl zpřest měřeí, e třeba zpřest měřeí obou rozměrů d 1 d, protože se podíleí a výsledé estotě rovým dílem. Nepřímo měřeá velča e moca přímo měřeých velč: f X, X a, (4) m 1 1 kde a, m, sou reálé kostat. Z obecého vztahu (10) vplývá, že relatví (poměrá) stadardí estota tpu B velč Y e u m u u. (5) r r1 r Pro prostý souč ebo podíl dvou velč X1, X se výraz (5) redukue a vztah u u u. (6) r r1 r 13

V případě, kd určueme estotu velč, která e rova souču ebo podílu dvou velč, e eí relatví estota rova odmocě ze součtu kvadrátů relatvích estot přímo měřeých velč. Pro zpřesěí výsledku má smsl zpřesňovat měřeí té velč, eíž relatví estota e evětší ebo se ve vztahu (5) vsktue ve všší mocě. Příklad: Určueme estotu elektrckého odporu R spotřebče pro proud I 100 ma měřeého s mamálí chbou mi 0,5 ma, apětí a spotřebč U 00 V s mamálí chbou mu 5V. Předpokládáme, že pro hodot apětí a proudu v rozmezí chb platí ormálí rozděleí, a proto podle vztahu (9) 0,5 5 uib ma 0,17 ma, uub V 1, 7 V 3 3 a relatví estot sou 0,17 3 1, 7 3 uri 1,7 10, uru 8,5 10. 100 00 U Protože elektrcký odpor souvsí s proudem I a apětím U vztahem R, platí pro relatví I stadardí estotu tpu B elektrckého odporu R určeého z edoho měřeí proudu a apětí vztah (6). Př výpočtu sme vužl defčí vztah pro relatví estotu. Velkost relatví estot elektrckého odporu čí 0,87 %. Z výpočtu vplývá, že hodota apětí má pětkrát větší relatví estotu ež hodota proudu. Zlepšeí přesost výsledku b blo možo dosáhout apř. použtím voltmetru s lepší třídou přesost. 7. VÝSLEDEK MĚŘENÍ Z předchozích odstavců vplývá, že výsledkem měřeí e ee hodota velč, ale současě eí estota. Př zpracováí měřeí e třeba dodržet určtý postup, který shrueme do ěkolka bodů. V případě přímo měřeé velč: K přímo měřeé velčě X staovte ebo alespoň odhaděte zdroe všech sstematckých chb a uvažte, akým rozděleím se budou hodot v rámc chb řídt. Vpočtěte stadardí estotu tpu B velč X podle vztahu (10). Je-l velča měřea opakovaě, staovte eí artmetcký průměr a směrodatou odchlku s, která e rova stadardí estotě u A. Staovte kombovaou stadardí estotu podle vztahu (1). 14

V případě epřímo měřeé velč: V případě, že ěkteré velč měříte opakovaě, staovte výběrový artmetcký průměr dosazeím artmetckých průměrů edotlvých přímo měřeých velč X podle vztahu (13). Staovte směrodaté odchlk s pro edotlvé opakovaě měřeé velč X podle vztahu (7), které sou totožé s estotam tpu A, t. u A. Výsledou stadardí estotu u A tpu A určete a základě estot od edotlvých zdroů podle vztahu (14). Jestlže eprovádíte opakovaé měřeí, prví tř bod odpadaí. Určete všech zdroe složek estot tpu B přímo měřeých velč a epřesost kostat. Pro každý zdro estot tpu B určete kraí meze, mez kterým b se měla acházet skutečá hodota a zstěte předpokládaé rozděleí pravděpodobostí výsktu edotlvých hodot mez kraím mezem a podle tpu rozděleí m přřaďte hodot koefcetu ( 3 pro ormálí rozděleí, 3 pro rovoměré rozděleí). Jestlže s este st výběrem rozděleí, použte hodotu 3. Podle vztahu (9) vpočtěte estot tpu B od edotlvých zdroů. Staovte výsledou stadardí estotu u B tpu B podle vztahu (15). S použtím Gaussova kvadratckého zákoa šířeí estot, vztah (16) určete kombovaou stadardí estotu u. Je-l požadavek a zvýšeí pravděpodobost (sížeí rzka) výsktu skutečé hodot v tervalu U, U vztahu (17). staovte rozšířeou stadardí estotu U podle Záps výsledku Obvkle se výsledek měřeí uvádí ve tvaru, (7) kde e výsledek měřeí a e estota. Př každém úda estot musí být asě uvedeo, o akou estotu se edá. Pro stadardí estot tpu A se uvádí: počet opakovaých měřeí a výběrové směrodaté odchlk. Pro stadardí estot tpu B se uvádí: uvažovaé zdroe estot, výchozí hodot a hodot vpočítaých estot pro edotlvé zdroe. Všech potřebé údae e vhodé přehledě sestavt do ásleduící tabulk: velča hodota mamálí pravděpod.ctlvostí příspěvek rozmezí rozděleí koefcet k estotě Nestota ve výsledku se zaokrouhlue evýš a dvě cfr, vžd ahoru, a hodota velč se zaokrouhlí tak, ab se řád posledí cfr hodot velč estot shodoval. 15

Příklad: Měřeím bla staovea vlová délka světla helum eoového laseru 63,84 m s estotou u 1, 9 m. Nestotu zaokrouhlíme a dvě platé cfr a tomu přzpůsobíme posledí cfru hodot vlové délk. 63,8 1,3 m. Záps výsledku měřeí vlové délk e 8. VYROVNÁNÍ FUNKČNÍ ZÁVISLOSTI Př moha techckých měřeích všetřueme závslost edé velč a druhé. Měříme proto hodot edé velč pro určté hodot velč druhé. Předpokládeme pro edoduchost, že velča e fukcí pouze edé velč. Závslost vadřueme zápsem f a pro růzé hodot argumetu měříme hodot. Provedeme-l taková měřeí, e výsledkem soubor hodot a, přčemž hodot,..., 1 ezávsle proměé velč volíme a m odpovídaící hodot,..., 1 dostaeme ako výsledek měřeí. Úkolem obvkle bývá určt ebo potvrdt tp závslost f, evetuálě určt parametr této závslost. Chb aměřeých hodot způsobuí, že soubor aměřeých hodot,..., 1 esplňue fukčí závslost zcela přesě, a proto se musíme zabývat problémem, ak co elépe proložt aměřeé hodot očekávaou fukčí závslostí. Počet aměřeých hodot přtom esmí být přílš malý. Problémem optmálího vrováí aměřeých hodot fukčí závslostí se zabývá regresí aalýza. Dále probereme edu z metod často používaých v regresí aalýze, metodu emeších čtverců. Metoda emeších čtverců (MNČ) Nezáměší metodou, kterou vrováváme soubor aměřeých hodot,..., 1 eplctě vádřeou fukčí závslostí f, e MNČ. Tato metoda e početě sce dost áročá, ale bývá součástí softwarového vbaveí počítačů vědeckých kalkulátorů a e k dspozc ve cvčé laboratoř. Prcp MNČ vložíme a eedodušším případu, kd aměřeé hodot odpovídaící hodotám maí ležet a přímce procházeící počátkem. Naším úkolem e ted aměřeé hodot co elépe vrovat leárí závslostí a a určt optmálí hodotu parametru a a dále eho chbu a estotu. MNČ e založea a splěí požadavku, ab součet čtverců odchlek aměřeých hodot pro edotlvá od vrovaých hodot a, bl mmálí. Parametr a přtom určueme. Musí ted platt m, (8) 1 16

kde a a e počet měřeí. Pro edotlvé dvoce hodot, můžeme ted vádřt z rozdílů 1 1 a1 a a Požadavek mma z rovce (8) e splě tehd, e-l dervace výrazu a levé straě rovce podle parametru a rova ule. 1 a 0 (9) Dosazeím za do rovce (8) dostaeme a a... 1 1 1 1 a a...... a a... m (30) Provedeím dervace levé stra rovce (9) podle a získáme výraz a 1 1 1 a a eho úpravou dále dostaeme a 1... a 1 1.... Teto výraz se podle (9) rová ule a pro a ted platí a 1 1. (31) V případě obecé přímk tpu a b bchom dostal mohem komplkovaěší výraz pro staoveí mma a hledal bchom dva parametr a, b této fukčí závslost z podmíek pro ulové dervace. 17

Postupem výpočtu chb a ted estot a, b tpu A se v tomto skrptu ebudeme zabývat, protože eho umercký výpočet e dost komplkovaý a bývá součástí softwarového vbaveí pro MNČ. Pro výpočet estot ua, u b parametrů a, b budeme chb parametrů vplývaící z výpočtu považovat za ech směrodaté odchlk. Příklad: Vrováí přímé úměrost metodou emeších čtverců. Doba kvu kvadla bla měřea stopkam s mezčasem tak, že měřeí započalo v čase t = 0, dále bl zazameává okamžk průchodu kvadla rovovážou polohou po každém kvu. Blo aměřeo celkem 5 hodot času. (pořadové číslo měřeí) 1 3 4 5 t (aměřeé čas v s) 4,1 7,8 1,0 16, 19,9 Dále předpokládáme, že doba kvu se s časem eměí, t. aměřeé hodot t b měl ležet, kde odpovídaí hodotám ezávsle proměé a t hodotám závsle pro- a přímce t a měé v obecé fukčí závslost a. Naměřeé hodot chceme co elépe vrovat přímkou doucí počátkem. Závslost aměřeých a vrovaých hodot času a pořadovém čísle měřeí e a obr.. Parametr a vpočteme podle vztahu (31) 5 t 1 60 a 4 5 15 1 Na základě vpočteého a, což e zároveň určeá doba kvu a 4s, můžeme staovt vrovaé hodot t. t (aměřeé čas v s)) 4,1 7,8 1,0 16, 19,9 a (vrovaé hodot v s) 4 8 1 16 0 18

Obr. Skupová metoda Pro aměřeé hodot, o kterých předpokládáme, že splňuí fukčí závslost a, e možé provést vrováí také skupovou metodou. Tato metoda e založea a grafcké metodě hledáí těžště bodů reprezetuící aměřeé hodot. Předpokládáme, že platí 1 a 0, ted a, kde e počet měřeí. 1 1 Pro a dostaeme vztah a 1 1. (3) Přtom musíme předpokládat, že všech bod sou změře steě přesě a přsuzueme m steou váhu. Vrováí leárí závslost e samozřemě edodušší ež vrováí obecěších závslostí. Proto se vžd, pokud e to možé, sažíme převést měřeou fukčí závslost a leárí, apř. vhodou matematckou úpravou. 19

Příklad: Měříme hodot velč N vhovuící fukčí závslost tpu N N z aměřeých dvoc, 0 l N, ep 0, a úkolem e N určt hodotu. Závslost převedeme a leárí úpravou do tvaru N což e ž rovce přímk procházeící počátkem, protože pro 0, e N N0 a úloha se redukue a fukčí závslost tpu a, kde l N a určovaý parametr a. 0 N 0