III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce f je množina D f = R, funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je = 9x 4xy + 5y 6, Po dosazení souřadnic bodu a dostaneme (a) = 1, = x + 10xy + 5 (a) = 7 Protože f(a) = f(1, 1) = 9 je rovnice tečné roviny τ : z 9 = 1(x 1) 7(y + 1) 1x 7y z 10 = 0 Úloha : Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = x, a = (1, 1) y Řešení Definičním oborem funkce f je množina D f = {(x, y); y 0}, funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je = 1 y, Po dosazení souřadnic bodu a dostaneme (a) = 1, = x y Protože f(a) = f(1, 1) = 1 je rovnice tečné roviny (a) = 1 τ : z 1 = (x 1) (y 1) x y z + 1 = 0 Vektor normály je n = (,, 1), tedy v bodě (a, f(a)) je n = ( 1, 1, 1) Parametrická rovnice normály má tvar x = 1 t, y = 1 + t, z = 1 + t, t R Úloha 3: Určete rovnici tečné roviny τ ke grafu fukce z = f(x, y), která je rovnoběžná s rovinou ρ f(x, y) = x 4xy + 4y + 5, ρ : 4x 1y + z = 3 Řešení Definičním oborem funkce je množina R a ve všech bodech této množiny má daná funkce spojité parciální derivace Dále je = 4x 4y, Z rovnice roviny ρ vyplývá, že musí být = 4x + 8y 4x 4y = 4 4x + 8y = 1 1
Rovnice má řešení x = 1 a y = Protože je f(1, ) = 15, má hledaná tečná rovina rovnici τ : z 15 = 4(x 1) + 1(y ) 4x 1y + z + 5 = 0 Úloha 4: Určete tečnou rovinu ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku p danou rovnici p : X = (,, 1) + t(, 1, 1) Řešení Vektorem kolmým na tečnou rovinu ke grafu funkce je vektor n 1 = (,, 1) Hledáme tedy bod, ve kterém bude tento vektor rovnoběžný s vektorem n = (, 1, 1), což zanamená, že n 1 = α n Z rovnice pro třetí souřadnici vidíme, že α = 1, tedy máme pro hledaný bod podmínky: = y =, = x = 1 y =, x = 1 Protože je f(1, ) =, je rovnice hledané tečné roviny z = (x 1) + (y ) x + y z = 0 Úloha 5: Určete vektor grad f v obecném bodě a v daných bodech a) f(x, y) = 4xy 6xy + 5, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce je množina D f = R a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je a tudíž = 4y 6y, = 8xy 6x (4y 6y, 8xy 6x) Po dosazení souřadnic daného bodu dostaneme, že grad f(a) = (10, 14) b) f(x, y) = 36 4x 9y + 1xy, a = (, 1), b = (1, ) Řešení Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); 4x + 9y 1xy 36} a funkce má spojité parciální derivace v bodech množiny {(x, y); 4x + 9y 1xy < 36} a je a tudíž = 6y 4x 36 4x 9y + 1xy, = 6x 9y 36 4x 9y + 1xy 6y 4x ( 36 4x 9y + 1xy, 6x 9y 36 4x 9y + 1xy ) Po dosazení souřadnic bodu a dostaneme, že ( ) 3 grad f(a) =, 35 35 a v bodě b nelze vektor grad f počítat, neboť tento bod nepatří do definičního oboru funkce Úloha 6: Určete vektor grad f v daných bodech Určete směry, ve kterých funkce f v daných bodech nejvíce roste a klesá a rozhodněte zda ve směru určeném vektorem u = (, 3) funkce v daných bodech roste či klesá 13
f(x, y) = x+3y 5, a = (, 0), b = (1, 3) x y+ Řešení Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x y + 0} a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je a tudíž = Po dosazení souřadnic bodu a dostaneme, že 9 5y (x y + ), = 5x + 1 (x y + ) ( ) 9 5y (x y + ), 5x + 1 (x y + ) grad f(a) = ( 9 16, 11 ) 16 a v bodě b nelze vektor grad f počítat, neboť tento bod nepatří do definičního oboru funkce Funkce v bodě a nejvíce roste ve směru u 0 určeném vektorem grad f(a) Je tedy u 0 = (9, 11) (9, 11) = 1 (9, 11) 0 Rozhodnutí o růstu či klesání funkce f v bodě v daném směru učiníme podle znaménka skalárního součinu grad f(a) u = 1 18 33 (9, 11)(, 3) = 16 16 = 15 16 = 0, 9375 Protože je hodnota záporná, funkce f v daném směru klesá Rychlost klesání je určena směrnicí tečny ke grafu v tomto bodě v daném směru a ta je rovna tgα = 15 16 (, 3) = 15 16 13 = 0, 6 Úloha 7: Určete, ve kterých bodech je vektor grad f nulový a) f(x, y) = 3x 5xy + 4y 6x + 5y Řešení Definičním oborem funkce je množina D f = R a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny Dále je a tudíž (0, 0) jestliže platí: (6x 5y 6, 8y 5x + 5) 6x 5y = 6, 5x 8y = 5 Podmínka je splněna pro x = 1, y = 0 Vektor grad f je nulový v bodě (1, 0) b) f(x, y) = ln(x + x + y 4xy + 4y + 6) Řešení Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x + x + y 4xy + 4y + 6 > 0} a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny Dále je (x y + 1, y x + ) x + x + y 4xy + 4y + 6 14
a tudíž (0, 0) jestliže platí: x y = 1 x y = Podmínka je splněna pro x = 5 a y = 4 Protože tento bod není z definičního oboru 3 3 dané funkce, má uvažovaná funkce ve všech bodech nenulový gradient Úloha 8: Určete zda funkce f(x, y) v bodě a ve směru vektoru u roste či klesá a určete rychlost změny a) f(x, y) = ln(x y + 1), a = (1, ), u = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce f je D f = {(x, y); x y + 1 > 0}, a D f a funkce má všude spojité parciální derivace Je = xy x y + 1, = x x y + 1, tedy = 4 3, Pro derivaci funkce f ve směru vektoru u dostaneme = 1 3 f u(a) = grad f(a) u = 1 (4, 1)(1, 1) = 1 3 a pro derivaci ve směru u 0 (a) = f u(a) u = 1 = 0, 707 Funkce f ve směru vektoru u v bodě a roste a rychlost jejího růstu je 0,707 b) f(x, y) = x y, a = (3, 4), u = (1, 1) Řešení Funkce f je definována v celém R a má všude spojité parciální derivace Je = x, = 4y, tedy = 6, Pro derivaci funkce f ve směru vektoru u dostaneme = 16 a pro derivaci ve směru u 0 f u(a) = grad f(a) u = (6, 16)(1, 1) = 10 (a) = f u(a) u = 10 = 7, 0711 Funkce f ve směru vektoru u v bodě a klesá rychlostí 7,0711 Úloha 9: Pro funkci f určete směr u 0, ve kterém funkce v bodě a nejvíce roste a určete rychlost růstu a) f(x, y) = x 3y + 5, a = (1, ) Řešení Funkce je definována v R a (4x, 3) Tedy grad f(a) = (4, 3) Funkce nejvíce roste ve směru a rychlost růstu je rovna u 0 = grad f( a) grad f(a) = 1 (4, 3) 5 (a) = grad f(a) = 5 15
b) f(x, y) = e x y, a = (1, 1) Řešení Funkce je definována v R a e x y (x, 1) Tedy grad f(a) = e (, 1) Funkce nejvíce roste ve směru a rychlost růstu je rovna = u 0 = grad f( a) grad f(a) = 1 (, 1) 5 (a) = grad f(a) = e 5 = 16, 5 Neřešené úlohy Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) a) f(x, y) = x + y, a = (4, 3) [D f = R, Funkce má spojité parciální derivace v bodech množiny R {0}; x x, = +y y x ; (a) = 4, +y 5 (a) = 3 5 ; f(a) = f(4, 3) = 5; τ : z 5 = 4 5 (x 4) 3 (y + 3) 4x 3y 5z = 0] 5 b) f(x, y) = x y + 5, a = (, 3) [D f = R ; Funkce má spojité parciální derivace v Df; (a) = 4, (a) = 6; f(a) = f(, 3) = 0; = x, = y; τ : z = 4(x ) 6(y 3) 4x 6y z + 10 = 0] Úloha : Určete rovnici tečné roviny τ ke grafu fukce z = f(x, y), která je rovnoběžná s rovinou ρ f(x, y) = x y + 5, ρ : 8x + y z = 0 [Df = R ; = 4xy = 8, f(1, ) = 9, f( 1, ) = 1 = x = ; x 1 = 1, y 1 = a x = 1, y = ; τ 1 : z 9 = 8(x 1) + (y ) 8x + y z 3 = 0 v bodě (1,, 9), τ : z 1 = 8(x + 1) + (y + ) 8x + y z + 13 = 0 v bodě ( 1,, 1)] Úloha 3: Určete vektor grad f v obecném bodě a v daných bodech f(x, y) = ln(e x + x 3y), a = (1, 1), b = ( 1, ) [D f = {(x, y); e x + x 3y > 0}; = e x + e x + x 3y, = 3 e x + x 3y ; ( e x ) + e x + x 3y, 3 e x + x 3y grad f(a) = 1 (e +, 3) ; e + 5 bod b nepatří do definičního oboru funkce Úloha 4: Určete, ve kterých bodech je vektor grad f nulový 16
f(x, y) = x 4x + y + 6y + 4 [D f = {(x, y); x 4x + y + 6y + 4 0} a funkce má spojité parciální derivace v bodech množiny {(x, y); x 4x + y + 6y + 4 > 0} (x, y + 3) = (0, 0) x =, y = 3 x 4x + y + 6y + 4 (, 3) / Df, grad f(x) 0, x Df] Úloha 5: Určete zda funkce f(x, y) v bodě a ve směru vektoru u roste či klesá a určete rychlost změny f(x, y) = arctg x y [D f = {(x, y); y 0},, a = ( 1, 1), u = (, 1) = y, x +y = x ; grad f(a) = ( 1, 1); x +y f u(a) = 3, f u 0 (a) = 3 5 = 0, 6708] 10 Úloha 6: Pro funkci f určete směr u 0, ve kterém funkce v bodě a nejvíce roste a určete rychlost růstu a) f(x, y) = arcsin (x + y), a = ( 1, 1 ) [D f = {(x, y); 1 < x + y < 1}, a D f ; grad f(a) = 1 (, 1); u 0 = grad f( a) = 1 grad f(a) 5 (, 1), f u 0 (a) = 10 = 1 (x+y), = 1 1 (x+y) ; = 1, 581] 17