Kapitola Ukázkové testy Ukázka testových úloh spolu s řešením. V následující kapitole, z důvodů zvýšení pravděpodobnosti úspěchů studentů při získávání písemné části kolokvia, uvádíme ukázky testů v podobě, v jaké ji studenti obdrˇzí při testování. V druhé části tetu pak zájemci naleznou vzorové řešení testových úloh. Bodové hodnocení úloh v hlavičce zadání za označením varianty, berte pouze jako indikátor obtíˇznosti úlohy, které můˇze být v závislosti na okolnostech změněno. Ukázkové testy obsahují vˇzdy pět úloh, které představují po obsahové stránce stěˇzejní část výuky. Předpokládá se, ˇze je psána pouze jedna písemná práce za semestr. Záleˇzí ovšem na vyučujícím, zda nerozdělí učivo do dvou, či více písemných prací, které budou samozřejmě časově méně náročné. Přejeme všem čtenářům úspěšné řešení úloh, které svým dílem přispěje ke zvyšování Vašich matematických kompetencí. 00
Příklad.0.. MAT test Varianta A 5,5,0,5,5 Jméno: Datum:. Vyšetřete průběh funkce y = 5 a nakreslete její graf.. Mějme 900 metrů pletiva na oplocení dvou stejných sousedních obdélníkových pozemků o stejném plošném obsahu (na straně, kde sousedí povede jen jedno oplocení). Jaké rozměry pozemků stanovit, aby součet plošných obsahů byl co největší? Určete i velikost obou pozemků.. Vypočítejte ity (v případě, ˇze neeistují, zdůvodněte proč.) ( 0)( 0) + a) ( + ) 5 b) 5 + 6 4. Podle zdravotní dokumentace t týdnů po vypuknutí chřipkové epidemie byl počet onemocnění 4 určen jako f(t) = 0,8t tisíc osob. + e (a) Jakou rychlostí rostl počet nemocných na začátku prvního týdne? (b) Pokud by tento trend pokračoval podle uvedené funkce, k jaké hranici počtu onemocnění by se přiblíˇzil po velmi dlouhé době? 5. Rozloˇzte na parciální zlomky výraz 5 + ( )( + + 6). 0
Příklad.0.. MAT test Varianta B 0,5,5,5,5 Jméno: Datum:. Vypočítejte ity (v případě, že neeistují, zdůvodněte) a) ( 4)( 4) ( ) ( + ) b) ( 4) ( ). Zjistěte, zda funkce f() = + π je prostá. V kladném případě určete inverzní funkci f () a ověřte platnost vztahu f(f ()) =.. Vyšetřete průběh funkce f : y = + a nakreslete její graf. 4. Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu V = dm měla nádoba minimální povrch. 5. Určete reálné kořeny polynomu P () = 5 + 5. 0
Příklad.0.4. MAT test Varianta C 5,5,0,5,5 Jméno: Datum:. Vyšetřete průběh funkce f : y = e a nakreslete její graf.. Pořadatel koncertu má k dispozici sál pro 800 diváků. Rozhodl se, že stanovit cenu vstupenky na 000 Kč. Uvaˇzuje však o zvýšení ceny vstupenky a předpokládá, ˇze za kaˇzdou stokorunu navíc, přijde o 0 zájemců. Jak má stanovit cenu vstupenky, aby jeho příjem byl maimální.. Ve kterých bodech křivky y = je tečna rovnoběˇzná s přímkou p : y 6 = 0? 4. Načrtněte graf funkce y = ln( ) +. 5. Určete body nespojitosti funkce f() = + + a vypočítejte ity v těchto bodech. 0
Příklad.0.5. MAT test Varianta D 5,0,5,5,5 Jméno: Datum:. Vyšetřete průběh funkce y = a nakreslete její graf. 4 +. Vypočítejte: ( )( + 5 + 6) a) + 8 ( )( + 5 + 6) b) + 8. Napište rovnici tečny t a normály n v bodě T [8,?] funkce f() = +. 4. Načrtněte graf funkce y =. 5. Dostali jste povolení na stavbu bazénu se čtvercovým dnem o objemu m. Jaké zvolíte rozměry bazénu, aby spotřeba kachliček na jeho obloˇzení byla minimální? 04
Řešení:.0.. (VARIANTA A). y = 5 D f = R {0} f( ) = 5 y = 5 (5 ) 4 = 5+ = 0 = 5. (, 0) = 0 (0, 5 ) [ 5 5 ), 4 )] ( 5 ), ) MAX f() f() ani sudá ani lichá. y = 5 ( 5+) 6 = 0 6 4 = 0 = 5. (, 0) = 0 (0, 5 ) [ 50 5 ), 9 )] ( 5 ), ) IB ABS: 5 0 = a : = 0. ASS: k = ± a : y = 0. 5 = ± 5 0 + =. 5 5 = 0 q = ± = ± 5 = 0. Obrázek.: Graf funkce f : y = 5. o = 4a + b = 900 b = 900 4a. S = ab = a 900 4a = 800a 8a S = 800 6a = 0 a =, 5m. Po dosazení do prvního vztahu platí: b = 50m, S = 5 50 = 750(m ).. (a) ( 0)( 0) 6 (+) = 4 +... 5 486 5 +... = 0 (b) + 5+6 = 5 0 Je nutné vyšetřit jednostranné ity. + 5+6 = + + + 5+6 =. 05
Jednostranné ity si nejsou rovny, proto ita neeistuje. 4. Počet nemocných v závislosti na čase, udaných v týdnech je dán funkcí f(t) = 4 +e 0,8t = = 4( + e 0.8t ). (a) My hledáme rychlost šíření nákazy na počátku (t = 0). Tu lze najít jako derivaci této funkce pro t = 0. f (0) = [4( )( + e 0.8t ) e 0.8t ( 0.8)] 0 = 0.6(v tisících). Na počátku byla rychlost šíření nákazy 600 osob za týden. (b) Zajímá nás itní počet nakaˇzených osob za velmi dlouhou dobu (t ). 4 +e = = 4 (v tisících). 0,8t t 4 t + e 0,8t 5 5. Výraz + ( )( ++6) je ryze racionální, jmenovatel jiˇz v R nelze rozdělit. Rozklad na parciální zlomky proto bude mít tvar: 5 + ( )( + + 6) = A + B + C + + 6 5 + = A( + + 6) + (B + C)( ) = A + A + 6A + B + (C B) C : 5 = A + B : 0 = A + C B, 0 : = 6A C Součet všech rovnic je: 6 = 8A A =. Z první rovnice pak B = a y třetí rovnice C =. Výsledný rozklad nabývá tvaru: 5 + ( )( + + 6) = + + + + 6. 06
Řešení:.0.. (VARIANTA B) (. (a) 4)( 4) 48 ( ) ( +) = 4 4 6 + 4 9 4 +5 6 = 4 (48...) 4 ( 9+...) = 6. (b). Je prostá? ( 4) ( ) = číslo 0. Je nutné vyšetřit jednostranné ity. Závěrem, lze říci, ˇze = +π +π ( 4) ( ) = +. ( 4) ( ) = +, + ( 4) ( ) = +. 9 + π = 9 + π = = Funkce je prostá. Inverzní funkce: = y y+π y + π = y y( ) = π f : y = π. Ověříme platnost vztahu f(f ()) =. f(f ()) = π π +π = π π+π π =.. D f = R {} = definiční obor není symetrický, proto není třeba vyšetřovat paritu funkce (není ani sudá, ani lichá). y = ( ) = 4+ ( ) = ( )( ) ( ) = 0. Body podezřelé z etrémů: = nebo =. (, ) [, 0] (, ) = (, ) [, 4] (, ) MAX MIN f () = ( 4)( ) ( )( )( ) ( ) = 4 ( ) = 0. Nemá body podezřelé z inflee. (, ) = (, ) ABS: + =, hspace5mm + + =. ASS: k = ± a : = + = q = ± + = 0. a : y =. 07
Obrázek.: Graf funkce f : y = + 4. Víme, ˇze V = πr v = = v = πr S = πr(r + v) = πr(r + πr ) = πr + 4 r. Pokud má být obsah etrémní, musí platit: S = 4πr 4 r = 0 = r = π. Po dosazení pak v = π. 5. Vytipujeme čísla r a s: r r =,,, ; s s =,. r s :,,,,,,,. r s : r + s : 0 4 5 P ( ) = 5 r s : 4 0 5 P () = Z tabulky je zřejmé, že není nutné vyšetřovat všechny hodnoty, ale pouze,. 5 5 7 Hornerovo schéma: 0 7 P () lze rozložit v R následovně: P () = ( )( + ). (Trojčlen + není v R rozloˇzitelný.) 08
Řešení:.0.4. (VARIANTA C). y = e D f = R nemá ABS. f( ) = e f() f() ani sudá ani lichá. y = e + e = e ( + ) = 0 = = 0. (, ) [, 4e ] (, 0) [0, 0] (0, ) MAX MIN y = ( + )e + ( + )e = e ( + 4 + ) = 0 = = +. (, [, f( )], + [ +, f( + )] +, ) IB IB ASS: k = k = + a : y = 0. e = 0 e = + v + nemá ASS. e = e = e = 0 q = e = e = e = Obrázek.: Graf funkce f : y = e. Označme P příjem z prodeje vstupenek. Funkce P () udává závislost příjmu ku počtu navýšených stokorun oproti základní ceně. Pak P () = (800 0)(000 + 00) = 800000 + 60000 000 P () = 60000 4000 = 0 = 5. Pro maimální zisk je nutno navýšit cenu vstupenky o 5 stokorun. Optimální cena vstupenky je tak 500 Kč.. Tečna t je rovnoběˇzná s přímkou p : y = + 6, právě kdyˇz mají směrnice stejnou hodnotu (k t = k p = ). Směrnici tečny ke grafu funkce lze najít jako hodnotu derivaci funkce v bodě dotyku: k t = f (T ) = ( ) T = =. Tedy hledaný bod křivky je T = [, ]. 09
4. 5. Funkce f() = + + není definována pro pro něˇz platí: = 0 = ( )( + ). Odtud body nespojitosti =, = 0, =. + + = (+) ( )(+) = + = 0. 0 + + = + 0 =. + + = 48 0 Je nutné vyšetřit jednostranné ity. + + = + + + = +. Jednostranné ity si nejsou rovny, proto ita neeistuje. 0
Řešení:.0.5. (VARIANTA D). y = 4+ D f = R nemá ABS. f( ) = 4+ = f() funkce je lichá. y = 4+ (4+ ) = 4 (4+ ) = =. (, ) [, 4 ] (, ) [, 4 ] (, ) MIN MAX y = (4+ ) (4 )(4 ) (4+ ) = ( ) 4 (4+ ) = 0 = = 0 =. (, [, 8 ], 0 [0, 0] 0, [, 8 ], ) ASS: k = IB IB IB ± 4+ = 0 q = ± 4+ = 0. a : y = 0. Obrázek.4: Graf funkce f : y = ( )(. (a) +5+6) +8 = +... +8 = (b) 4+ ( )( +5+6) ( )(+)(+) ( )(+) +8 = (+)( +4) = +4 = 5.. Nejprve dopočítáme y-ovou souřadnici bodu T : f(8) = 8 + 8 = 5 (T [8, 5 ]). Směrnice tečny je hodnota první derivace funkce v bodě dotyku, tedy k t = f (8) = [ 4 ] 8 = ( 4 6 ) = 6. t : y = 6 + q, navíc víme, že T t a odtud po dosazení za a y dostáváme rovnici tečny t : y = 6 + 4. Pro směrnici normály v bodě T platí k t k n =, tedy k n = 6. Stejným postupem jako u tečny dostáváme rovnici normály n : y = 6 + 6. 4. 5. Víme, ˇze objem bazénu V = a b = = mm b = a Povrch bazénu se skládá z povrchu jeho čtyř stěn a čtvercového dna, tedy S = 4ab + a = 4 a + a.