4. KRUHOVÁ KOVOLUCE, RYCHLÁ FOURIEROVA TRASFORMACE FFT A SEKTRÁLÍ AALÝZA SIGÁLŮ Kruová cylcá ovoluce Ryclá Fourerova trasformace Aplace DFT a aalogové sgály, frevečí aalýza perodcýc aalogovýc sgálů s využtím DFT 383ZS 4
KRUHOVÁ CYKLICKÁ KOVOLUCE Kruová ovoluce dvou perodcýc sgálů a s perodou je 0 0 y oz.: Kovoluce sgálů dsrétíc v čase je y * ro odlšeí od ruové ovoluce se též azývá eperodcá ědy, ale evodě, taé leárí ovoluce. ro DFT platí Y H X y Grafcý postup aleze ruové ovoluce KK. KK je perodcá se stejou perodou jao vstupí sgály déla záladío tervalu KK je stejá jao déla vstupíc sgálů, tj.. 383ZS 4
Dvě možost alezeí průběu KK v záladím tervalu y IDFT Y DFT y Y H X H X,, Druý způsob ryclejší, poud se použje FFT tzv. ryclá ovoluce. UŽITÍ KK RO ALEZEÍ EERIODICKÉ KOVOLUCE KK defováa pouze pro perodcé posloupost, lze j ale užít pro alezeí eperodcé ovoluce. Je uto zařídt, aby oba typy ovoluce měly stejý průbě v záladím tervalu, tj. pro body 0 až -. ostup závsí a délce vstupíc sgálů. 383ZS 4 3
A KOVOLUCE SIGÁLŮ KOEČÉ DÉLKY,,, *, +, + Zvolt: Každý ze sgálů a se doplí ulam a délu + - ebo větší, v pra většou a mocu dvou. omocí algortmu ryclé ovoluce užtí DFT a IDFT se ajde KK a její průbě v tervalu dély + - je eperodcá ovoluce. 383ZS 4 4
383ZS 4 5
B KOVOLUCE SIGÁLU KOEČÉ DÉLKY SE SIGÁLEM EKOEČĚ DLOUHÝM eoečě dlouý sgál - apř.: vzorovaá řeč, vzorovaý sgál ze símače. Sgál oečé dély má délu a je to apř. mpulsí odezva FIR fltru. y * římý výpočet: je možý, lze o uryclt pomocí DFT a IDFT, ale prví odota y se ajde až po sočeí dlouéo sgálu. Řešeí segmetace sgálu. Rozděleí a M segmetů, aždý o délce L. Kovoluce je součtem M dílčíc ovolucí: y + + y + y + L + y L ostupý výpočet dílčíc ovolucí pomocí ruové ovoluce a DFT a IDFT. Každá má délu L+ -, taže u aždéo segmetu je přeryv - odot. je déla sgálu. ro výpočet dílčíc ryclýc ovolucí stačí je jedou vypočíst H, použje se ve všec výpočtec. Do výsledéo součtu se musí zarout přeryvy dílčíc ovolucí. Jde o metodu s částečým přerýváím výsledů overlap-add metod. V MATLABu fuce fftflt,,y 383ZS 4 6 M
RYCHLÁ FOURIEROVA TRASFORMACE FFT FAST FOURIER TRASFORM Z defce DFT a IDFT aleze aždéo bodu: ompleíc ásobeí a - sčítáí. Celem: ásobeí a.- sčítáí, tj. počet operací je řádu. ro velá výpočet přílš dlouý. Řešeí: modface algortmu pro výpočet DFT a IDFT ta, aby počet operací lesl. ratcy použtelý algortmus z r.965 J.W.Cooley, J.W. Tuey, A algortm for mace calculato of comple Fourer seres. Mat. Computato, 4 stráy rcp: Výpočet řady DFT ratší dély a ombováí jejc výsledů. Déla sgálu pro záladí algortmy FFT je M, M - přrozeé. očet operací je řádu.m čl.log. + V teor FFT se užívá ozačeí ep j π/ W X + W 0 0, taže FFT je dáa vztay X W 383ZS 4 7
EJBĚŽĚJŠÍ ALGORITMUS: DIT DECIMATIO I TIME, FFT S VÝBĚREM VE VSTUÍ OSLOUOSTI bodová DFT sgálu o délce M se vypočte ombováím výsledů dvou / bodovýc DFT, počítaýc ze sudýc vzorů sgálu a lcýc vzorů sgálu. očet operací lese z a. / /, čl o 50 %. Teto postup se opauje př výpočtu obou / bodovýc DFT, ty se počítají pomocí /4 bodovýc DFT atd. rotože je M, je těcto roů M. osledí ro je ombováí výsledů M -bodovýc DFT. ALIKACE DFT A AALOGOVÉ SIGÁLY, DFT SEKTRÁLÍ AALÝZA ERIODICKÝCH SIGÁLŮ DFT a FFT defováy pro sgál dsrétí v čase. V pra se používá pro přblžé zjštěí spetra aalogovýc sgálů spojtýc v čase ampltudě. V důsledu oečéo počtu vzorů v časové frevečí oblast, evodé vzorovací frevece ebo esplěí podmíy avzorováí celéo počtu perod aalogovéo sgálu vzají cyby cyba useutím, alasg, leaage. Správé spetrum ajdeme aplací spojté Fourerovy Trasformace: H FT t { } ω. 383ZS 4 8
rcp alezeí spetra sgálu t spojtéo v čase pomocí DFT: a sgál aplujeme obdélíové oo dély T M tj. pracujeme s úseem sgálu dély T M : w t t w t Sgál w t ovzorujeme a aplujeme a ěj DFT: H { } DFT Spetrum H ω se ale lší od spetra H ampltudou tvarem. Může vzout cyba useutím a alasg. rotože je fyzálě emožé, aby t H ω byly oba oečé dély, elze zabrát oběma cybám současě. rojeví se alespoň jeda, v pra často obě. avíc se v reálém systému projeví cyby použtéo AD převodíu ampltudová a časová. odrobější výlad - vz ásledující obráze. w 383ZS 4 9
383ZS 4 0
UŽITÍ DFT RO FREKVEČÍ ALÝZU ERIODICKÉHO SIGÁLU SOJITÉHO V ČASE erodčost a X, možost prosaováí eerge ve spetru leaage. K tomu edojde, je-l splěa podmía oeretío vzorováí T m TSIG, terou můžeme vyjádřt T f SIG f SIG m, m celé ladé počet avzorovaýc perod TSIG fvz / f FFT a pro reálý sgál dostaeme ezresleé spetrum v tervalu f 0, f /, terý zobrazují FFT aalyzátory. VZ oud ale př vzorováí platí T f SIG f SIG m + α, T f / f SIG VZ FFT dojde př výpočtu DFT prosaováí eerge do oolíc frevečíc bů Spetrum se rozmaže, čl místo jedé čáry v záladím tervalu 0 až -odpovídající oeretě ovzorovaé susovce resp. epoecále s magárím epoetem se objeví čar ěol. Celová eerge sgálu se ezměí, ale rozdělí se do šršío frevečío pásma. α <, α 0 383ZS 4
Spetrum ompleí epoecály pro m3, α0 a α0.3 v obr. je α ozačeo jao a oud elze zajstt oeretí vzorováí, lze zvýšt rozlšovací scopost ve spetru zmešeím vzdáleost sousedíc spetrálíc čar DFT spetra. Tyto čáry leží a tzv. mřížce DFT DFT grd, čl a frevecíc v ásobcíc odoty f Hz T. Hodota f je tzv. frevečí b. Zuštěí DFT mřížy př VZ vyjádřeí frevece a vodorové ose v Hz, olv v bezrozměré odotě! se dosáe zmešeím f, čl zvětšeím doby odebíráí vzorů TM TVZ. To lze provést zvětšeím dély DFT čl zvětšeím počtu vzorů odebraéo sgálu př zacováí vzorovací frevece ebo zvětšeím vzorovacío tervalu T VZ, čl sížeím vzorovací frevece př zacováí počtu vzorů. 383ZS 4
elze-l zajstt oeretí vzorováí, potlačuje se v pra leaage oéováím sgálu. oužtí vodéo oa síží postraí čáry spetra armocéo sgálu, ale změí eerg sgálu a tedy apř. efetví odotu susovéo apětí měřeéo sgálu. ezajímá-l ás je tvar spetra, ale cceme-l zacovat eerg sgálu, je uto spetrum ásobt opravým oefcetem závslým a tvaru použtéo oa. Dooalejší metodou je použtí terpolovaé DFT, de se pomocí terpolace určí přesá frevece sgálu terá eleží a DFT mřížce a a záladě zalost průběu spetra oa se určí správá výša spetrálí čáry. Spetrum ompleí epoecály pro m3, α0 a α0.3 př užtí oa Ha v obr. je α ozačeo jao a 383ZS 4 3
Je-l splěa podmía oeretío vzorováí je avzorová celý počet perod aalogovéo sgálu, leaage edojde. a je pro spetrálí aalýzu ejlepší epoužít žádé oo tj. použít oo obdélíové, protože pracujeme s oečou délou sgálu. Oo Ha a jeo spetrum. oud ebyl avzorová celý počet perod, pa př spetrálí aalýze použjeme oo, čl aalyzujeme sgál W w. říladem často používaéo oa je oo Ha ědy azývaé ag resp. Hag, jeož spetrum je tvořeo superposcí tří speter oa obdélíovéo. Oo může být položeo souměrě olem počátu souřadc pa je sudé a má sudé a reálé spetrum. Taové oo Ha začíme w. Oo může ale začíat v počátu souřadc. a je posuutým sudým oem, zde oem w H. Ozačíme je wh. Toto oo se používá v pra číslcovéo zpracováí sgálu protože fyzálí sgály se geerují pro ladé časy. Jeo ampltudové spetrum je totožé se spetrem sudéo oa, ale jeo fázové spetrum je eulové oo má leárí fáz. H 383ZS 4 4
ro oa Ha platí w w H H < π < π + 0, cos, cos FTD spetrum oa je w H 4 4 π θ + π θ θ θ + + j O j O j O j H e W e W e W e W FTD spetrum sudéo oa Ha je tedy součtem tří speter obdélíovéo oa. Spetrum je sudé a ásobeé oefcetem 0.5, zbývající dvě spetra jsou ásobea oefcety 0,5 a posuuta prot prostředímu spetru o odoty jθ W O e jθ W O e θ ± π., teré př vyjádřeí frevece v Hz odpovídají odotě frevečío bu f f VZ ±. rotože DFT spetrum odpovídá vzorovaému spetru FTD v odotác π θ ±, je DFT spetrum sudéo oa Ha tvořeo je třem vzory a to /4 pro ± a / pro 0. V obrázu je θ ozačeo jao q a π jao p. 383ZS 4 5
FTD spetrum oa Ha: DFT spetrum oa Ha je FTD spetrum oa Ha vzorovaé v bodec.π/, tj. 3 spetrálí čáry, dély /4, / a /4 pro w H a /4, / a /4 pro w H. 383ZS 4 6