3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv Josef Volý Abstrakt říspěvek je věová popisu a aplikaci metodiky Value at Risk při výpočtu itegrovaé hodoty Value at Risk lieárích sub-portfolií za předpokladu, že výosy aktiv sub-portfolií se chovají dle vícerozměrého ormálího rozděleí. Nejprve je představe přístup Value at Risk, poté je a základě vlastostí vícerozměrého ormálího rozděleí a vzorce pro aalytický výpočet hodoty Value at Risk odvozea formule pro určeí itegrovaé hodoty Value at Risk. tegrace je ověřea a reálých datech českého kapitálového trhu. Výsledky jsou iterpretováy. líčová slova Value at Risk, vícerozměré ormálí rozděleí, itegrovaá hodota Value at Risk. Úvod otřeba řízeí a elimiace fiačích rizik je důsledkem začé promělivosti fiačích trhů, jež se projevuje ve volatilitě poteciálí ztráty ebo zisku spojeých s vlastictvím fiačích aktiv a portfolií. Aalýza a řízeí fiačích rizik se des opírá o velmi rozviutou a prakticky využívaou metodu Value at Risk. odstata tohoto přístupu již byla diskutováa v publikacích řady autorů, blíže Jorio (000), Dowd (998), Holto (003); trží stadard této metody uvedla baka J.. Morga přístupem RiskMetrics, blíže Logerstay ad Specer (996). Metodologie RiskMetrics je založea a předpokladu, že výosy aktiv portfolia mají vícerozměré ormálí rozděleí. eto přístup je vhodý pro lieárí portfolia (akcie, obligace a komodity), kde relativí změy výosů portfolia jsou lieárí fukcí změ výosů rizikových faktorů (ce fiačích istrumetů). U velkých fiačích istitucí zpravujících řadu rozsáhlých portfolií je možé kvatifikovat riziko u každého dílčího portfolia a základě metodologie Value at Risk. Vziká však požadavek, jak vyčíslit výši pravděpodobé ztráty pro celou fiačí istituci, tz. jak itegrovat hodoty Value at Risk držeých portfolií. Zaměříme-li se pouze a lieárí portfolia, pak vzhledem k charakteristikám statistického rozděleí výosů aktiv a liearitě agregace výosů aktiv portfolií, lze provést spojeí lieárích portfolií růzých fiačích trhů a vypočíst itegrovaou hodotu Value at Risk tohoto globálího portfolia. Cílem příspěvku je odvodit vztah pro aalytický výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk za předpokladu vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv portfolia a ověřit možost itegrace a reálých datech českého kapitálového trhu. g. Josef Volý, Vysoká škola báňská echická uiverzita Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací, Sokolská třída 33, 70 Ostrava, josef.voly.ekf@vsb.cz. 435
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value at Risk. Metodologie Value at Risk lze defiovat dvěma přístupy, jejichž podstata závisí a způsobu iterpretace: (a) Ztráta z portfolia aktiv bude větší ež předem staoveá hladia ztráty (VAR ), a daé hladiě výzamosti za určitý časový iterval. vrzeí lze zapsat tímto vztahem r ( ZRÁA ) =, graficky Obr. č.. Obr. č. : Value at Risk v oboru ztráty -st. Distribučí fukce Fukce hustoty = ZS ZRÁA (b) Zisk z portfolia aktiv bude meší ež předem určeá hladia zisku ( VAR ), a staoveé hladiě výzamosti za daý časový iterval. vrzeí lze zapsat takto r ZS =, graficky Obr. č.. ( ) Obr. č. : Value at Risk v oboru zisku -st. Distribučí fukce Fukce hustoty = ZS ZS Je tedy zřejmé, že pro odvozeí hodoty Value at Risk portfolia pro daé je ezbyté určit rozděleí pravděpodobosti přírůstku hodoty portfolia aktiv. Hodota Value at Risk může být staovea aalytickým způsobem ebo pomocí simulačích techik. ro potřebu tohoto příspěvku se zaměřme a aalytické řešeí hodoty Value at Risk portfolia, jež vychází ze dvou základích předpokladů: (i) výosy aktiv portfolia se chovají jako áhodá proměá dle vícerozměrého ormálího rozděleí R N ( Ε ( R),Σ), (ii) přírůstek hodoty portfolia lze vyjádřit lieárí kombiací áhodých výosů aktiv portfolia R a absolutí částky ivestovaé do každého aktiva δ, Π = R δ + + R δ. oté hodotu Value at Risk lze defiovat ásledujícím vztahem = Φ ( Π) ( Π) E, () 436
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 kde Φ je hodota iverzí fukce k distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí a hladiě pravděpodobosti, E ( Π ) je středí hodota přírůstku hodoty portfolia a Π je směrodatá odchylka přírůstku hodoty portfolia. ( ). Charakteristika statistického rozděleí výosů aktiv portfolia ředpokládejme rozměrý áhodý vektor spojitých výosů aktiv portfolia R = ( R,, R ), kde R ( ) = l S, t S, t a R N( E( R ), ). Dále uvažujme rozměrý vektor středích hodot výosů aktiv portfolia E ( R) = ( E( R ),, E( R ) a rozměrou kovariačí matici Σ, kde je -tý diagoálí prvek kovariačí matice, pak áhodý vektor výosů aktiv portfolia má -rozměré ormálí rozděleí R N ( Ε ( R),Σ), jehož fukce hustoty je defiováa takto N( R; E( R), Σ) = ( π ) Σ exp{ 0,5( R E( R ) Σ ( R E( R )}, a distribučí fukce dle ásledujícího vztahu F { } dr dr R R ( R,, R ) ( ) Σ exp 0,5( R E( R ) Σ ( R E( R ) = π. Následující obrázek zázorňuje rozděleí áhodého vektoru výosů aktiv pro případ ormovaého dvourozměrého ormálího rozděleí. Obr.č.3: Normovaé dvourozměré ormálí rozděleí výosů aktiv portfolia df. 0.5 0. 0.05 0-0 - 0 R R Dále předpokládejme rozměrý vektor absolutího možství peěz, ivestovaého do -tého aktiva v portfoliu δ = ( δ,, δ ). Má-li áhodý vektor výosů aktiv portfolia R N ( E( R),Σ), pak přírůstek hodoty portfolia Π, má ormálí rozděleí Π N ( E( Π), ( Π ). řírůstek hodoty portfolia je defiová vztahem Π = δ R = δ R, () středí hodota přírůstku hodoty portfolia vzorcem 437
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 ( Π) = δ E( R ) δ E( R) = Ε, (3) rozptyl přírůstku hodoty portfolia výrazem Π = δ δ = δ Σ, pro i, j =,,, (4) ( ) δ i j i ij j a směrodatá odchylka přírůstku hodoty portfolia takto Π = δ δ = δ Σ, pro i, j =,,. (5) ( ) δ i j i ij j ro itegraci hodot Value at Risk dále uvažujme rozděleí tohoto portfolia aktiv a dvě sub-portfolia tak, že áhodý vektor výosů aktiv portfolia je možé rozložit a dvě podmožiy R ( R, R ) =, kde R a R platí R ( ( ), N E R Σ ) a R N ( ( ), E R Σ ), s vektorem absolutích částek ivestovaých do aktiv portfolia δ = ( δ,δ ), s odpovídajícím vektorem středích hodot Ε ( R) = ( E( R ), E( R ) a rozměrou kovariačí maticí výosů aktiv portfolia Σ Σ Σ =, Σ Σ kde Σ je rozměrá a Σ je rozměrá kovariačí matice sub-portfolií, pro + = a Σ je rozměrá kovariačí matice výosů aktiv mezi sub-portfolií. Rozptyl přírůstku hodoty portfolia skládajícího se ze dvou sub-portfolií je poté defiová takto ( Π) δ Σδ = δ Σδ + δ Σδ + δ Σδ, (6) kde výrazy δ δ Σ představují rozptyly přírůstků hodot sub-portfolií, výraz δ δ Σ δ Σ a δ je kovariace mezi sub-portfolií..3 Odvozeí formule pro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk ro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk portfolia skládajícího se ze dvou subportfolií vyjděme ze vztahu pro aalytický výpočet, vzorec (). Vzhledem k symetričosti ormálího rozděleí pro které platí, že Φ = Φ, pak vzorec () lze zapsat takto = Φ δ Σδ δ E( R). (7) V ěkterých aplikacích metody Value at Risk se předpokládá, že středí hodota výosu aktiv a tedy i portfolia se rová ule. Empiricky byla tato skutečost ověřea zejméa u krátkodobých výosů, tj. deí, týdeí a měsíčí, blíže Zmeškal (004). Jestliže E ( R ) = 0, pak také Ε ( Π ) = 0 a po úpravě výrazu (7), lze vypočíst takto = Φ δ Σδ, (8) o ásledující úpravě = ( Φ ) δ Σδ = ( Φ ) δ Σδ, je obdrže výraz, (9) o dosazeí do (9) za δ Σδ vzorec (5) dostaeme = Φ δ Σ δ + δ Σ δ + δ Σ δ, ( ) ( ) po rozásobeí hodotou ( Φ ) pak = ( Φ ) δ Σδ + ( Φ ) δ Σδ + ( Φ ) δ Σδ. 438
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 Výrazy ( ) δ Σδ a ( ) δ Σδ Φ sub-portfolií = + + tedy určea vztahem Φ a ( Φ ) δ Σ jsou vztahy pro výpočet hodot Value at Risk. o substituci obdržíme δ. Hodota Value at Risk celkového portfolia je ( Φ ) δ Σ = + + δ. (0) ovariaci celkového portfolia lze vyjádřit výrazem Σδ = φ δ Σδ δ Σδ δ, () kde po úpravě φ = δ Σδ, δ Σδ δ Σδ () je parametr φ korelace mezi sub-portfolií, kde φ platí φ ; +. Dosadíme-li do (0) výraz () obdržíme = ( Φ ) φ δ Σδ δ Σ + + δ. Vzhledem k tomu, že výrazy Φ δ Σδ =, (3) a Φ δ Σδ =, (4) po úpravě je itegrovaá hodota Value at Risk portfolia, ozačme ji + +, vyjádřea takto = φ. (5) Dosadíme-li zpět do vzorce (5) středí hodotu přírůstků hodoty portfolia E( Π) = δ E( R), pak vzorec pro aalytický výpočet hodoty je ásledující ( ) = E Π + + + φ. (6) Z výše uvedeého rozkladu vyplývá, že lze itegrovat dvě lieárí sub-portfolia a určit itegrovaou hodotu Value at Risk globálího portfolia a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií a daé hladiě pravděpodobosti dle vzorce (6) za předpokladu, že výosy aktiv sub-portfolií mají vícerozměré ormálí rozděleí. 3 Ověřeí itegrace hodot Value at Risk portfolia Cílem této kapitoly je ověřeí možosti výpočtu a základě hodot Value at Risk sub-portfolií. Jak bylo uvedeo v předchozích odstavcích, mají-li výosy dílčích aktiv portfolia vícerozměré ormálí rozděleí R N ( E( R),Σ), vzhledem k lieárí agregaci výosů aktiv portfolia a absolutích částek ivestovaých do každého aktiva, má přírůstek hodoty portfolia ormálí rozděleí Π N ( E( Π) ; ( Π ) a je možé určit hodotu Value at Risk portfolia a hladiě pravděpodobosti. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, pak hodotu lze odvodit a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií, a koeficietu korelace φ pro φ ; +, přičemž musí platit rovost =. 439
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 3. Charakteristiky portfolia ředpokládejme akciové portfolio českého kapitálového trhu o aktivech. Charakteristiky portfolia určeé a základě 5 deích časových řad ce titulů portfolia uvádí ab. č.. Data v tabulce jsou uspořádáy do dvou podskupi, představující dílčí subportfolia. rví sub-portfolio obsahuje tituly ásledujících emitetů: ČEZ, a. s., Český telecom, a. s., ErsteBak, a. s., omerčí baka, a. s., Zetiva, a. s., Uipetrol, a. s. Druhé sub-portfolio poté tituly emitetů: hilip Morris ČR, a. s., Severočeské doly, a. s., Severočeská eergetika, a. s., Stavby silic a železic, a. s., aramo, a. s. δ E ( R ) Aktivum č % ČEZ 7 60-0,35 Český telecom 5 5-0,5 ErsteBak 3 500-0,09 omerčí baka 34 430-0,05 Zetiva 0-0, Uipetrol 33-0,3 hilip Morris ČR 75 050-0,07 Severočeské doly 8 60-0,08 Severočeská eergetika 3 600-0,08 Středočeská eergetika 7 360-0,09 Stavby silic a železic 4 000-0,8 aramo 9 300-0,08 ab.č.: Charakteristiky aktiv portfolia ovariačí matici deích výosů uvádí ásledující tabulka. ČEZ Č Erste b. B Zetiva Uip. hil. M. Sev. d. S. e. St. e. Stav. s. ar. ČEZ 0,0004 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Č 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 Erste b. 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 B 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 Zetiva 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Uip. 0,0003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000-0,000 0,000 hil. M. 0,000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 Sev. d. 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,0008 0,0000 0,0000 0,000 0,000 S. e. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000 St. e. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0000 0,0000 Stav. s. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0004 0,000 ar. 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,0008 ab.č.: ovariačí matice 3. Algoritmus výpočtu i. Výpočet hodot aalytickým přístupem, dle vzorce (), a základě íže defiovaých vstupích parametrů ( E ( Π ) dle vztahu (3), ( Π ) dle vztahu (5) a Φ a hladiě pravděpodobosti 5%). ii. Rozklad kovariačí matice Σ a sub-matice Σ, Σ, Σ. 440
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 iii. Určeí hodot a, dle vzorců (3) a (4), za předpokladu, že středí hodota přírůstků hodot sub-portfolií je rova ule. iv. Výpočet koeficietu korelace φ mezi sub-portfolii podle vztahu (). v. Dopočet hodoty podle vzorce (6). 3.3 Řešeí příkladu, iterpretace výsledků a aalýza citlivosti Veškeré vstupí parametry jsou vypočtey ve třech variatách, tz. pro celé portfolio,. sub-portfolio a. sub-portfolio. Nezbytý rozklad kovariačí matice a sub-matice je provede takto Σ Σ = Σ Σ Σ M = M 6, 6 6,7 6,. 7, 7,6 7 7,, O N,6 M M,6,7 M M,7 N O, M M Vstupí parametry výpočtu hodot Value at Risk, E ( Π ), ( Π ) pravděpodobosti 5%, uvádí ab. č. 3. ( Π E ) ( Π ) ( Π ) a Φ a hladiě Ukazatel č č č - ortfolio celkem -407,84 5 07 853,86 3 876,58,65. sub-portfolio -93,5 996 098,8 998,05,65. sub-portfolio -34,3 397 78,9 3 5,05,65 ab.č.3: Vstupí parametry k výpočtu hodot Value at Risk Nejprve jsou vypočtey hodoty dílčích portfolií, tz. u celého portfolia, u. subportfolia a. sub-portfolia. oté jsou určey hodoty a za předpokladu, že středí hodota přírůstků hodot sub-portfolií je rova ule. oeficiet korelace je determiová ve výši φ = 0, 3. Výsledky shruje ab. č. 4. ( Π ) Ukazatel E č č ortfolio celkem -407,84 6 784,4. sub-portfolio -93,5 735,6. sub-portfolio -34,3 6 05,9. sub-portfolio 0 64,64. sub-portfolio 0 5 79,6 ortfolio po itegraci -407,84 6 784,4 ab.č.4: Výsledé hodoty Value at Risk Hodota deí ztráty portfolia a hladiě pravděpodobosti 5% bude vyšší ež 6 784,4 č. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, poté hodota deí ztráty. subportfolia a hladiě pravděpodobostí 5% bude vyšší ež 735,6 č a. sub-portfolia vyšší ež 6 05,9 č. tegrujeme-li zpět tato sub-portfolia a základě výše uvedeé procedury, Φ 95% 44
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 obdržíme hodotu ztráty itegrovaého portfolia a hladiě pravděpodobostí 5% ve výši 6 784,4 č, čímž je ověřea itegrovatelost portfolií. Výše ztráty itegrovaého portfolia je ovšem závislá a míře korelace výosů aktiv apříč portfolií, tz. a výši koeficietu korelace φ. Důkaz uvádí ab. č. 5 a Obr. č. 4, prezetující aalýzu citlivosti hodoty ztráty itegrovaého portfolia v závislosti a míře korelace mezi výosy sub-portfolií φ, a hladiě pravděpodobosti 5%. φ -,00-0,50 0,00 +0,50 +,00 (v č) 4 557,80 5 577,94 6 47,6 7 7,37 7 84,08 ab. č.5: Výsledé hodoty závislosti a φ, a hladiě pravděpodobosti 5% Z tabulky je zřejmé, že roste-li míra korelace mezi aktivy apříč sub-portfolií (roste koeficiet korelace φ ), roste výše deí ztráty itegrovaého portfolia a daé hladiě pravděpodobosti. ro hodotu φ = + je výše deí ztráty itegrovaého portfolia rova součtu ztrát sub-portfolií a daé hladiě pravděpodobosti. Obr.č.4: Závislost hodoty a koeficietu korelace φ, a hladiě pravděpodobosti 5% 4 Závěr V příspěvku byla popsáa problematika výpočtu ukazatele Value at Risk portfolia aalytickým přístupem za předpokladu vícerozměrého ormálího rozděleí výosů aktiv portfolia. Dále bylo demostrováo odvozeí formule pro výpočet itegrovaé hodoty Value at Risk portfolia a základě dílčích hodot Value at Risk lieárích sub-portfolií, jež je možé aplikovat a základě charakteristik vícerozměrého ormálího rozděleí. tegrace ukazatelů Value at Risk byla ověřea a reálých datech akciového portfolia českého kapitálového trhu a hladiě pravděpodobosti 5%. Z výsledků vyplyulo, že mají-li výosy aktiv portfolia vícerozměré ormálí rozděleí, lze a základě lieárí agregace výosů a absolutích částech ivestovaých do aktiv určit přírůstky hodoty portfolia, jež mají ormálí rozděleí a poté určit hodotu Value at Risk. Je-li toto portfolio rozděleo a dvě sub-portfolia, pak itegrovaou hodotu Value at Risk lze vypočíst a základě dílčích hodot Value at Risk sub-portfolií (za předpokladu ulové středí hodoty přírůstku hodot sub- 44
3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 portfolií) a koeficietu korelace mezi sub-portfolií. Je zřejmé, že výši itegrovaé hodoty Value at Risk ovlivňuje koeficiet korelace mezi sub-portfolií. S rostoucí mírou korelace, roste itegrovaá hodota Value at Risk. eto přístup je vhodý pouze pro lieárí portfolia, skládající se apř. z akciových, komoditích a měových pozic, kde relativí změa výosů portfolia je lieárí fukcí změy výosů rizikových faktorů (ce fiačích istrumetů). uto itegraci lze využít zejméa v případě, kdy kapacití možosti hardwaru fiačí istituce eumožňují zpracováí velkého možství dat simultaě a jedom počítači a tudíž je ezbyté kvatifikaci rizika provést odděleě a poté hodoty itegrovat. Literatura [] CAROL, A.: Risk Maagemet ad Aalysis, Measurig ad Modellig Fiacial risk. New York: Joh Wiley & Sos. 999. 75 p. [] CHOUDHRY, M.: A troductio to Value-at-Risk. Chichester: Joh Wiley & Sos. 006. 7 p. [3] AMDEM, S. J.: Value at Risk ad Expected Shortfall for Liear ortfolios with Elliptically Distributed Risk Factors. Workig paper. 004. [4] LONGERSAEY, J., Specer, M.: RiskMetrics M echical Documet. New York: J.. Morga/Reuters, 996. 83 p. [5] RACHEV, S.., MENN. CH., FABOZZ, J. F.: Fat-ailed ad Skewed Asset Retur Distributios, mplicatios for Risk Maagemet, ortfolio Selectio, ad Optio ricig. New Jersey: Joh Wiley & Sos. 005. 369 p. [6] ONG, Y. L.: he Multivariate Normal Distributio. New York: Spriger-Verlag. 990. 7 p. [7] ZMEŠAL, Z. et al.: Fiacial models. Ostrava: VSB-echical Uiversity of Ostrava, 004. 54 p. Summary his paper is devoted to the descriptio ad the applicatio of Value at Risk methodology for estimatio of itegrated value of Value at Risk, which is based o Value at Risk of the liear sub-portfolios. he basic assumptio is multivariate ormal distributio of uderlyig assets retur. First, Value at Risk approach is preseted. Next, there is derived formula for estimatio itegrated value of Value at Risk. tegratio is verified o model sample of equity portfolio of the Czech capital market. Results are iterpreted. 443