Bodová a stejnoměrná konvergence

Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x 2 +... = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x 2 +... = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých funcí spojitá funkce? 1 (1 x) 2? Příklad 1.1 Nechť f n (x) = x n, x [0, 1]. Pak f(x) = lim n f n (x) je funkce daná předpisem f(x) = 0 pro x [0, 1) a f(1) = 1. Tedy v tomto případě limita spojitých funkcí není spojitá funkce. Definice 1.1 Nechť f n : M R a f : M R. Řekneme, že f n konvergují k funkci f bodově na množině M, jestliže x M je lim n f n (x) = f(x). Značíme f n M f. Definice 1.2 Nechť f n : M R a f : M R. Řekneme, že f n konvergují k funkci f stejnoměrně na množině M, jesliže ε > 0 n o N n > n 0 x M : f n (x) f(x) < ε. Značíme f n f (je-li množina M zřejmá z kontextu, tak používáme značení f n f, M nebo jen f n ). Řekneme, že řada v i(x) konverguje stejnoměrně na M k S(x), jestliže posloupnost jejich částečných součtů n v i(x) konverguje stejnoměrně k S(x) na M. 1

Poznámka 1.1 f n konvergují k funkci f bodově na množině M ε > 0 x M n o N n > n 0 : f n (x) f(x) < ε. Rozdíl je v prohození pořadí x a n 0. Zatímco u stejnoměrné konvergence volba n 0 nezávisí na bodu x (je pro všechna x stejná), u bodové konvergence záviset může. Poznámka 1.2 f n M f f n M f, f n f a f n f f n f. M 1 M 2 M 1 M 2 Pro ε > 0 n 1 N takové, že n > n 1 x M 1 : f n (x) f(x) < ε a n 2 N takové, že n > n 2 x M 2 : f n (x) f(x) < ε. Tedy n > max{n 1, n 2 } x M 1 M 2 : f n (x) f(x) < ε Cvičení 1.1 Nechť f n M omezená. Dokažte. f. Jsou-li všechny f n na M omezené, je také f na M Věta 1.1 Nechť f n f. Označme σ n = sup f n (x) f(x). M x M Pak f n f lim n σ n = 0. M Důkaz ( ) Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že n > n 0 platí σ n = sup f n (x) x M f(x) < ε. Tedy pro každé x M a každé n > n 0 je f n (x) f(x) < ε, a proto f n konverguje k f stejnoměrně. ( ) Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že n > n 0 a x M platí f n (x) f(x) < ε 2, tedy σ n ε 2 < ε. Věta 1.2 (B.C. podmínka pro ) Posloupnost funkcí f n je stejnoměrně konvergentní na M (existuje funkce f taková, že f n f) právě tehdy, když ε > 0 n N n, m > n 0 x M platí f n (x) f m (x) < ε (Bolzano-Cauchyova podmínka). Důkaz 2

( ) Je-li posloupnost f n stejnoměrně konvergentní na M, pak existuje funkce f taková, že ε > 0 n o N n > n 0 x M: f n (x) f(x) < ε 2. Tedy f n (x) f m (x) = f n (x) f(x) + f(x) f m (x) f n (x) f(x) + f m (x) f(x) < ε n, m > n o, x M. ( ) Nejprve ukážeme bodovou konvergenci (tj. existenci limitní funkce f). Zvolme x M, pak platí B.C. podmínka pro posloupnost f n (x) (posloupnost reálných čísel), a proto je tato posloupnost konvergentní. Označme f(x) její limitu. Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že n, m > n 0 platí f n (x) f m (x) < ε 2 (B.C. podmínka). Tedy pro n > n 0 a libovolné x M platí f n (x) f(x) = f n (x) lim m f m(x) = lim m f n(x) f m (x) ε 2 < ε. Věta 1.3 (Weierstrassova) Nechť i N x M platí v i (x) w i (x). Pak w i(x) v i(x) a v i(x). Důkaz v i(x) právě tehdy, když platí B.C. podmínka pro posloupnost částečných součtů n v i(x). Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že m > n > n 0 x M platí n w i(x) m w i(x) = w n+1 (x)+w n+2 (x)+...+w m (x) < ε ( w i(x) a tedy platí B.C. podmínka). Jelikož v n+1 (x)+...+v m (x) v n+1 (x) +...+ v m (x) w n+1 (x)+w n+2 (x)+...+w m (x) < ε, tak platí B.C. podmínka i pro n v i(x) a n v i(x) a tedy jsou obě řady stejnoměrně konvergentní. Věta 1.4 Nechť f n je posloupnost funkcí a platí: Pak i) f n f, (a,b) ii) existuje vlastní limita lim x b f n (x), označme tuto limitu F n. a) Existuje vlastní limita F = lim n F n, 3

b) existuje vlastní limita lim x b f(x) a platí lim x b f(x) = F. Tedy lim lim f n (x) = lim n x b x b lim f n (x). n Důkaz a) Jelikož f n, tak platí B.C. podmínka, tedy pro každé ε > 0 n 0 N n, m > (a,b) n 0 x (a, b) : f n (x) f m (x) < ε. Pak 2 F n F m = lim x b f n (x) lim x b f m (x) = lim x b f n (x) f m (x) ε 2 < ε, tedy platí B.C. podmínka i pro posloupnost reálných čísel F n, a proto je tato posloupnost konvergentní, tedy existuje vlastní limita F = lim n F n. b) Zvolme ε > 0. Z bodů i), ii) a a) postupně máme, že n 1 0 N n > n 1 0 x (a, b) : f n (x) f(x) < ε 3, pro kažné n N δ n > 0 x (b δ n, b) : f n (x) F n < ε 3, n 2 0 N n > n 2 0 : F n F < ε 3. Pro n 3 > max{n 1 0, n 2 0} a x (b δ n 3, b) dostaneme f(x) F = f(x) f n 3(x) + f n 3(x) F n 3 + F n 3 F Tedy lim x b f(x) = F. f(x) f n 3(x) + f n 3(x) F n 3 + F n 3 F < ε. Důsledek 1.5 Nechť f n jsou spojité funkce na intervalu (a, b) a f n spojitá na (a, b). f. Pak f je (a,b) Důkaz Zvolme c (a, b), pak dle věty 1.4 platí lim n lim x c f n (x) = lim x c lim n f n (x). Tedy lim f(x) = lim lim f n(x) = lim lim f n (x) = lim f n (c) = f(c). x c x c n n x c n 4

Věta 1.6 Nechť f n je posloupnost reálných funkcí, které mají na intervalu J vlastní derivaci. Nechť dále platí: i) Existuje bod x J takový, že f n (x) je konvergentní. ii) f n. J Označme g = lim n f n, pak a) Existuje funkce f na J taková, že f n f na intervalu J a tato konvergence je navíc stejnoměrná na každé omezené podmnožině J o J. b) f = g na J. Jinak zapsáno Důkaz ( lim n f n (x)) = lim n f n(x). a) Nechť posloupnost {f n } konverguje v x 0 J o J a J o je omezená množina. Označme K = sup x Jo x x 0, pak pro libovolné x J o dostaneme f n (x) f m (x) = f n (x) f m (x) (f n (x 0 ) f m (x 0 )) + f n (x 0 ) f m (x 0 ) f n (x) f m (x) (f n (x 0 ) f m (x 0 )) + f n (x 0 ) f m (x 0 ) = [f n(ξ) f m(ξ)](x x 0 ) + f n (x 0 ) f m (x 0 ) = f n(ξ) f m(ξ) K + f n (x 0 ) f m (x 0 ), kde ξ (x, x 0 ) (nebo ξ (x 0, x)). Pro ε > 0 existuje n 1 0 N takové, že f n (x 0 ) f m (x 0 ) < ε pro všechny n, m > 2 n1 0 a existuje n 2 0 N takové, že f n(ξ) f m(ξ) < ε 1 pro všechny n, m > n 2 2K 0. Tedy f n (x) f m (x) < ε, pro všechna n, m > max{n 1 0, n 2 0} a pro všechna x J o. Tedy posloupnost {f n (x)} splňuje B.C. podmínku a proto je stejnoměrně konvergentní na J o. 1 Jelikož ξ je z omezené podmnožiny intervalu J a f n konverguje na omezené podmnožině stejnoměrně a tak pro něj platí B.C. podmínka viz věta 1.2 5

b) Nechť x J a označme φ n (h) = fn(x+h) fn(x), pak f h n(x) = lim h 0 φ n (h). Ukažme nejdříve stejnoměrnou konvergenci funkcí φ n. Zvolme ε > 0 a h > 0, pak φ n (h) φ m (h) = 1 h f n(x + h) f n (x) (f m (x + h) f m (x)) = f n(ξ) f m(ξ) < ε pro všechny n, m > n 0 a všechny h (0, h), kde ξ (0, h). Tedy φ n dle věty 1.2. S použitím věty 1.4 dostaneme g = lim n f n = lim n lim h 0 φ n (h) = lim h 0 lim n φ n (h) = lim h 0 lim n f n (x + h) f n (x) h = lim h 0 f(x + h) f(x) h = f (x). Příklad 1.2 Bodová konvergence v alespoň jednom bodě x 0 v předchozí větě je podstatná. Nechť f n (x) = x + n, pak f n(x) = 1, tedy f n(x) 1, ale přesto f n (x) nekonverguje. Věta 1.7 (limita a Riemannův integrál) Nechť f n (x) mají na [a, b] Riemannův integrál a f n f. Pak [a,b] Důkaz lim n b a f n (x)dx b lim n a b a f n (x)dx = b f(x)dx = lim V poslední rovnosti využíváme větu 1.1. lim a b n a b n a b n lim = lim a n b a f(x)dx. (f n (x) f(x))dx f n (x) f(x) dx sup f n (x) f(x) dx x [a,b] σ n dx = lim n (b a)σ n = 0. 6

Poznámka 1.3 Leibnizovo kritérium a Abel-Dirichletovo kritérium platí i pro stejnoměrnou konvergenci řad, pokud v předpokladech nahradíme konvergenci stejnoměrnou konvergencí a omezenost stejnoměrnou omezeností. Kde stejnoměrnou omezeností funkcí f n (x) na množině myslíme, že existuje K R takové, že pro všechny x M a všechny n N je f n (x) < K. 7

Kapitola 2 Mocninné řady v C Definice 2.1 n=0 a n(z z 0 ) n, kde a n, z, z 0 C nazýváme mocninnou řadou se středem v bodě z 0 a koeficienty a n. Substitucí u = z z 0 převedeme řadu do tvaru n=0 a nu n, což je řada se středem v nule. Věta 2.1 Nechť řada n=0 a nz n 1 konverguje pro z 1 0. Pak: a) Řada n=0 a nz n konverguje absolutně pro všechny z C, splňující z < z 1. b) Řady n=0 a nz n a n=0 a n z n konvergují stejnoměrně na každé množině M ρ = {z C : z ρ}, kde ρ < z 1. Důkaz zn z. Jelikož a 1 n n z1 n 0 (řada n=0 a nz n konverguje), tak je člen a n z1 n omezený, tedy a n z1 n < K a) Nechť z < z 1, pak a n z n = a n z1 n zn = a z1 n n z1 n R. Označme q = z z 1 < 1, pak a n z n < Kq n a jelikož je řada n=1 Kqn konvergentní, tak konverguje řada n=0 a nz n absolutně. b) Jelikož a n z n a n ρ n a řada n=0 a nρ n konverguje stejnoměrně 1. Tedy aplikací Weierstrassovy věty 1.3 dostaneme stejnoměrnou konvergenci pro řady n=0 a nz n a n=0 a n z n. 1 Konvergence plyne z bodu a), stejnoměrnost z faktu, že tato řada není řadou funkcí, ale řadou reálných čísel, a tedy konverguje stejnoměrně, jelikož se na její členy lze dívat jako na konstantní funkce. 8

Věta 2.2 Ke každé řadě n=0 a nz n existuje právě jedno R [0, ] takové, že platí: a) Je-li z > R, tak řada diverguje. b) Je-li z < R, tak řada konverguje. c) Řada konverguje stejnoměrně na množině M ρ = {z C : z ρ}, kde ρ < R. R pak nazýváme poloměr konvergence řady n=0 a nz n. Důkaz Definujme R = sup z C { z : n zn konverguje}. Ukážeme, že takto definované R má vlastnosti a), b) a c). a) Z definice R plyne, že R z pro všechna z C, ve kterých řada konverguje. Proto řada nekonverguje pro každé z > R. b) Je-li z < R, pak existuje z 1 C takové, že z < z 1 < R a řada a n z n 1 konverguje. Tedy konverguje řada a n z n dle věty 2.1 a). c) Je-li ρ < R, pak existuje z 1 C takové, že ρ < z 1 < R a řada a n z n 1 konverguje. Stejnoměrná konvergence na množině M ρ plyne z věty 2.1 b). Jednoznačnost R plyne z bodů a) a b). Jsou-li R 1 < R 2 takové, že oba splňují body a) a b), pak pro z C splňující R 1 < z < R 2 platí, že řada a n z n musí konvergovat z bodu b) aplikovaného na R 2 a zároveň musí divergovat dle bodu a) aplikovaného na R 1. Proto je poloměr konvergence R určen jednoznačně. Příklad 2.1 z n n=0, kde z C. Jelikož řada z n n! n=0 = e z konverguje n! pro všechna z C, tedy je poloměr konvergence R =. Konvergence není stejnoměrná v celé rovině, ale pouze v každé omezené podmnožině komplexních čísel. n=0 n!zn. Tato řada konverguje jen pro z = 0, tedy je poloměr konvergence R = 0. n=0 zn. Tato řada konverguje pro z < 1, tedy poloměr konvergence je R = 1. Oblast konvergence řad v tomto príkladu lze vyšetřit pomocí limitního podílového kritéria. 9

V předchozím příkladu jsme si ukázali příklady řad s různým poloměrem konvergence. V následujícím příkladu si ukážeme řady se stejným poloměrem konvergence, ale s různým chováním na hranici konvergenčního kruhu. Příklad 2.2 U všech řad v tomto příkladu je poloměr konvergence R = 1. n=0 zn. Pro bod z = 1 dostaneme řadu 1 =, tedy řada diverguje. Pro z = 1 dostaneme řadu ( 1) n, tedy oscilující řadu. z n n=1. Pro bod z = 1 dostaneme řadu 1 =, tedy řada diverguje. Pro n n z = 1 dostaneme řadu ( 1) n, tedy řada konverguje dle Leibnizova kritéria. n z n n=1, pak řada konverguje na celém konvergenčním kruhu (tedy pro všechna n 2 z = 1), jelikož 1 je konvergentní řada. n 2 Věta 2.3 Buď n=0 a nz n mocninná řada. Pak a) Je-li a n 0 a existuje-li následující limita, pak R = lim n a n a n+1. 1 b) Označme R = lim sup n. Poznamenejme, že máme-li na pravé straně rovnosti a n výraz 1, tak je R = 0 a pokud je na pravé straně výraz 1 je R =. 0 Důkaz a) Použijeme limitní podílové kritérium. Označme b n = a n z n, pak řada n=0 b n = n=0 a nz n b konverguje, jestliže lim n+1 b n b n < 1 a diverguje, jestliže lim n+1 n 1. Tedy z nerovnice b n+1 lim n b n = lim n a n+1 z n+1 a n z n = lim n a n+1 a n z < 1 dostaneme, že pro z < lim n a n a n+1 řada konverguje a pro z > lim n an a n+1 řada diverguje. Proto je poloměr konvergence R = lim n a n a n+1. b) Nechť z > R, pak lim n sup n z n a n 1 pro nekonečně mnoho n N, tedy posloupnost {a n z n } nemá nulovou limitu a proto řada diverguje (neni splněna nutná podmínka konvergence). Nechť z < R, tedy lim n sup n z n a n < 1. Proto existuje n 0 N a n q < 1 takové, že n > n 0 platí z n a n < q, tedy z n a n < q n n > n 0. Jelikož řada n=0 qn konverguje, tak konverguje i řada n=0 a nz n a řada n=0 a n z n. b n > 10

Věta 2.4 (Abelova) Nechť n=0 a nz n má poloměr konvergence R (0, ). Jestliže konverguje řada n=0 a nr n, pak a n z n na [0, R]. n=0 Důkaz Jelikož a n z n = a n R ( n z n. R) Jelikož řada an R n konverguje stejnoměrně 2 a posloupnost ( ) z n R je stejnoměrně omezená 3 a monotónní. Tak řada a n z n konverguje dle Abel-Dirichletova kritéria. Lemma 2.5 Řady n=0 a nz n a n=0 na nz n 1 mají stejný poloměr konvergence. Důkaz Označma R 1 poloměr konvergence řady n=0 a nz n a R 2 poloměr konvergence řady n=0 na nz n 1 Nechť z < R 2, pak a n z n = na n z n 1 z n. Jelikož z 0 (omezená a klesající), tak z konvergence řady n n=0 na nz n 1 plyne konvergence řady n=0 a nz n, takže R 2 R 1. Nechť z < R 1, pak existuje z 1 C takové, že z < z 1 < R 1. Tedy na n z n 1 = a n z n n = a z nz1 n n z z n z 1. Jelikož řada an z 1 n je konvergentní a posloupnost a n z z n z 1 je omezená 4, tedy řada na n z n 1 konverguje a proto je R 1 R 2. Z předchozích bodů dostáváme R 1 = R 2. Věta 2.6 Nechť R je poloměr konvergence řady n=0 a nx n. Pak tuto řadu můžeme libovolně derivovat a integrovat uvnitř intervalu ( R, R). 2 Je ( to řada konstantních funkcí. 3 z n R) 1 pro všechna z [0, R] 4 Je klesající pro n 1 ln z a jdoucí do nuly. z 1 11

Důkaz Je-li R poloměr konvergence řady i=0 a ix i, pak dle lemma 2.5 je to také poloměr konvergence řady i=0 ia ix i 1. Pro všechna 0 < R < R platí, že obě řady konvergují na [ R, R] stejnoměrně. Označme S n = n i=0 a ix i, a nechť x ( R, R) 5, pak ( ) ( ( ) n ) a i x i = lim S věta 1.6 n = lim (S n ) = lim a i x i n n n i=0 i=0 ( n ) = lim ia i x i 1 = ia i x i 1. n i=0 U integrování postupujeme obdobně. i=0 Důsledek 2.7 Mocninná řada je Taylorova řada svého součtu. Důkaz Nechť S(x) = n=0 a nx n, pak S (k) (x) = n=k a nn(n 1)(n 2)...(n k + 1)x n k. Pro x = 0 dostáváme S (k) (0) = a k k! a k = S(k) (0) k!. 1 Příklad 2.3 Víme = 1 x n=0 xn 1 a = 1+x n=0 ( 1)n x n, kde rovnost platí pro x < 1, tedy poloměr konvergence je R = 1. Dle věty 2.6 lze obě řady integrovat na intervalu ( 1, 1). Pak dostaneme, že ( 1) n x n+1 ln(1 + x) = n + 1 n=0 + C, kde C je integrační konstanta. Po dosazení x = 0 dostáváme ln(1) = C = 0, tedy Jelikož řada ( 1) n+1 n=1 n ln(1 + x) = ( 1) n+1 x n. n n=1 konverguje dle Leibnizova kritéria, tak řada konverguje stejnoměrně na [0, 1] a tedy ln 2 = n=1 ( 1) n+1 n n=1 ( 1) n+1 x n n. Je třeba si uvědomit, že zde byla použita věta 2.6, která nám zaručuje rovnost ln(1 + x) = n=0 ( 1) n x n+1 n+1 na (1, 1) (pro x = 1 tato rovnost platí buď pokud větu 2.6 přeformulujeme tak, aby platila i v bodě R za předpokladu stejnoměrné konvergence na [0, R] a nebo pokud 5 Poznamenejme, že pro každé x ( R, R) existuje R < R takové, že x ( R, R). 12

uděláme v rovnosti limitní přechod pro x jdoucí zleva do jedné). Obecně nemusí platit, že Taylorova řada nějaké funkce f konverguje v této funkci na celém intervalu konvergence této řady. Tedy Taylorova řada pro funkci f sice může konvergovat v nějakém bodě x, ale její součet S(x) může být různý od funkční hodnoty f(x). 1 Příklad 2.4 = 1+x 2 n=0 ( 1)n x 2n pro x < 1. Integrováním dostaneme arctgx = ( 1) n x 2n+1 n=0. Pro x = 1 opět dostaneme konvergentní řadu dle Leibnizova kritéria, 2n+1 ( 1) n, tedy π = 4 ( 1) n 2n+1 n=0. 2n+1 takže π 4 = arctg(1) = n=0 Příklad 2.5 f(x) = (1 + x) p, pak f (n) (x) = p(p 1)...(p n + 1)(1 + x) p n, tedy (1 + x) p = ( p n=0 n) x n, pro x < 1 (až na výjimky (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2, tj, kdy p N). Zde používáme značení ( ) p n = p(p 1)...(p n+1) a ( p n! 0) = 1. ( 1 ) (1 + x) 1 2 = 2 x n = 1 + n n=0 = 1 + Pak n=1 17 = 16 + 1 = 4 [ = 4 1 + 1 2 1 ( 1 1)...( 1 n + 1) 2 2 2 n! n=1 x n 1(1 2)...(1 2n + 2) x n = 1 + x 2 n n! 2 + n=2 1 + 1 16 = 4 [ 1 + 1 2 16 + 1 16 1 1 4 2! 16 + 1 3 ] 1 2 2 3 3! 16... 3 n=2 ( 1) n 1 1 3...(2n 3) x n 2 n n! ( 1) n 1 1 3...(2n 3) 2 n n! ( ) ] n 1 16 (arcsinx) = 1 = ( ) 1 2 ( x 2 ) n = 1 x 2 n n=0 n=0 ( ) 1 2 ( 1) n x 2n n arcsinx = n=0 ( ) 1 2 ( 1) n x 2n+1 n 2n + 1 13

Příklad 2.6 Rozviňte do mocninné řady 1 x 2 5x+6. 1 x 2 5x + 6 = 1 (x 2)(x 3) = 1 x 3 1 1 x 2 = 3 = 1 3 = n=0 ( x ) n 1 + 3 2 n=0 3 n+1 2 n+1 6 n+1 x n ( x ) n = 2 n=0 n=0 + 1 x 3 x n 3 + n+1 1 2 1 x 2 n=0 x n 2 n+1 14

Kapitola 3 Funkce více proměnných 3.1 Metrické prostory Vzdálenost v R n. R n je množina uspořádaných n-tic (x 1,..., x n ), kde x i R n, i = 1,..., n. Definice 3.1 Zobrazení ρ(x, y) : M M [0, ), kde M R n se nazývá metrika (vzdálenost) na množině M, jestliže platí: 1) ρ(x, y) 0 x, y M, ρ(x, y) = 0 x = y, 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y, M, 3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ρ(x, z) x, y, z M. Dvojici (M, ρ) nazveme metrický prostor. Příklad 3.1 d(x, y) = n (x i y i ) 2 je metrika na R n. Důkaz 1) d(x, y) 0 jelikož (x i y i ) 2 0. Je-li d(x, y) = 0 = n (x i y i ) 2, tedy n (x i y i ) 2 = 0 (x i y i ) 2 = 0 i = 1,..., n, proto x i = y i i = 1,..., n a tedy x = y. 2) Jelikož (x i y i ) 2 = (y i x i ) 2, tak d(x, y) = d(y, x). 3) Označme u i = x i y i a v i = y i z i, pak d(x, y) + d(y, z) = n (x i y i ) 2 + n (y i z i ) 2 = n (u i) 2 + n (v i) 2. Oveřme nerovnost d(x, y) + 15

d(y, z) d(x, z). d(x, y) + d(y, z)? d(x, z) (d(x, y) + d(y, z)) 2 = d(x, y) 2 + 2d(x, y)d(y, z) + d(y, z) 2? d(x, z) 2 n (u i ) 2 + 2 n (u i ) 2 n n n (v i ) 2 + (v i ) 2? (u i + v i ) 2 n (u i ) 2 + 2 n n (u i ) 2 (v i ) 2 + n n (v i ) 2? (u 2 i + 2u i v i + vi 2 ) 2 n n (u i ) 2 (v i ) 2? n (2u i v i ) ( n n n ) 2 (u i ) 2 (v i ) 2? u i v i. Stačí tedy ověřit, zda platí nerovnost n (u i) 2 n (v i) 2 ( n u iv i ) 2. Jelikož platí 0 n (u i +λv i ) 2 = n (u 2 i +2λu i v i +vi 2 λ 2 ) = n n n u 2 i +λ2 (u i v i )+λ 2 vi 2. Tedy polynom a + bλ + cλ 2, kde a = n u2 i, b = 2 n (u iv i ) a c = n v2 i má maximálně jeden kořen a tedy je jeho diskriminant D 0. ( n 2 0 D = b 2 4ac = 4 (u i v i )) 4 n u 2 i n v 2 i a tedy n n u2 i v2 i ( n (u iv i )) 2. Příklad 3.2 I. d 1 (x, y) = max,...,n x i y i je metrika. 16

1) d 1 (x, y) 0. Je-li d 1 (x, y) = max,...,n x i y i = 0, pak x i y i = 0 i = 1,..., n a tedy x = y. 2) Jelikož x i y i = y i x i, tak d 1 (x, y) = d 1 (y, x). 3) d(x, z) = max x i z i = max x i y i + y i z i max ( x i y i + y i,...,n,...,n,...,n z i ) max x i y i + max y i z i = d(x, y) + d(y, z).,...,n,...,n II. d 2 (x, y) = n x i y i je metrika. 1) x i y i 0 d 2 (x, y) 0. Je-li d 2 (x, y) = 0, pak x i y i = 0 pro všechny i = 1,.., 2 a tedy x i = y i i = 1,..., n x = y. 2) x i y i = y i x i d 2 (x, y) = d 2 (y, x). 3) x i z i = x i y i + y i z i x i y i + y i z i, tedy d 2 (x, y) + d 2 (y, z) = n x i y i + n y i z i = n x i z i = d 2 (x, z) n ( x i y i + y i z i ) Je dobré si uvědomit, že v jednodimenzionálním případě všechny tři uvedené metriky splývají, tedy platí d(x, y) = d 1 (x, y) = d 2 (x, y). Příklad 3.3 Diskrétní metrika d(x, y) = 1 pro x y a d(x, y) = 0 pro x = y. Ověřte, že jde o metriku. Příklad 3.4 Metriky se dají zavést i na obecnějších množinách, než je jen množina čísel. Je-li M množina funkcí definovaných na intervalu I, pak lze zadefinovat metriku třeba následujícím způsobem ρ(f, g) = sup f(x) g(x). Oveřte, že je ρ(f, g) metrika. x I Další způsob zavedení je pomocí L 1 normy. ρ(f, g) = f g L1 = f(x) g(x) dx. I Toto zavedení nesplňuje bod 1). Jelikož změna funkce jen v konečně mnoha bodech, nezmění se její vzdálenost od druhé funkce. Je-li tedy f = g až na konečně mnoho bodů (obecněji až na množinu nulové míry), tak je ρ(f, g) = 0, i když f a g nemusejí být stejné funkce. Pokud ale uvažujeme třeba jen spojité funkce, tak už tento problém nenastane. Definice 3.2 Nechť x n, x M a (M, ρ) je metrický prostor. Pak lim n x n = x lim n ρ(x n, x) = 0. 17

Obrázek 3.1: Jednotková kružnice v různých metrikách. 18

Definice 3.3 U ε (x) := {y M : ρ(x, y) < ε} nazveme okolí bodu x M. Definice 3.4 Množina V M je otevřená, jestliže pro každé x M existuje U ε (x) takové, že U ε (x) M. Tvrzení 3.1 U ε (x) je otevřená množina. Důkaz U ε (x) je otevřená množina y U ε (x) ε y > 0 takové, že U εy (y) U ε (x). Nechť y U ε (x), pak ρ(x, y) < ε. Označme ε y = ε ρ(x, y). Je-li z U εy (y), tak ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) < ρ(x, y) + ε y = ε, tedy z U ε (x). Věta 3.2 (Vlastnosti otevřených množin) i) a M jsou otevřené množiny. ii) Sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina. iii) Průnik dvou otevřených množin je otevřená množina. 1 Důkaz i) je otevřená množina, jestliže y U ε (y) takové, že U ε (y). To platí, jelikož prázdná množina neobsahuje žádný prvek a tedy neexistuje žádné y, které by danou podmínku nesplňovalo. Jelikož U ε (y) M pro každé y M a ε > 0 (z definice), tak je i množina M otevřená. ii) Nechť x A i, tak existuje i takové, že x A i. Tedy existuje U ε (x) takové, že U ε (x) A i a tedy U ε (x) A i. iii) Nechť x A 1 A 2 ε > 0 a ε 2 > 0 takové, že U ε1 (x) A 1 a U ε2 (x) A 2, tedy U min{ε1,ε 2 }(x) A 1 A 2. Definice 3.5 Množina L M je uzavřená, jestliže M \ L je otevřená. Poznámka 3.1 Průnik uzavřených množin je uzavřená množina. Sjednocení dvou uzavřených množin je uzavřená množina. 1 Lze rozšířit na konečné průniky. 19

Důkaz Viz. vlastnosti otevřených množin a fakt, že M \ ( A i ) = (M \ A i ) a M \ ( A i ) = (M \ A i ). Poznámka 3.2 i M jsou otevřené i uzavřené množiny. Definice 3.6 Množina A M je omezená, pokud diam(a) := sup x,y A ρ(x, y) <. V opačném případě není množina A omezená. Definice 3.7 Množina všech limit posloupností {x n }, kde x n N se nazývá uzávěrem množiny N a značí se N. Příklad 3.5 Nechť N = (0, 1), pak ˆN = [0, 1] (uvažujeme-li Eukleidovskou metriku d(x, y) = (x y) 2 ). Je dobré si uvědomit, že konvergence a tedy i uzávěr je spojen s metrikou, kterou používáme. Neboť ta nám definuje pojem okolí. Zatímco použití metrik d 1 (x, y) a d 2 (x, y) by nám dalo stejný výsledek, při diskrétní metrice (příklad 3.3) by N = N = (0, 1). 2 Definice 3.8 Mějme (M, ρ) a (P, σ) dva metrické prostory. Zobrazení g : M P se nazývá spojité v bodě m M, jestliže U(g(m)) V (m) tak, že g(v (m)) U(g(m)). Označme E d := (R d, d), kde d(x, y) = n (x i y i ) 2 je Eukleidovská metrika, pak E d nazýváme Eukleidovský prostor prostor. V E d je okolí definováno U ε (x) = {y R d : d(x, y) < ε}. Věta 3.3 Konvergence v E d je konvergence po souřadnicích. Důkaz Nechť posloupnost {x n = [x 1 n,..., x d n]} konverguje v E d, pak existuje x R d takové, že pro každé ε > 0 existuje n 0 N tak, že d(x, x n ) < ε, n > n 0. Tedy x i n x i d(x n, x) < ε pro každé n > n 0. Nechť konverguje posloupnost {x n } po složkách, tedy pro každé ε > 0 existuje n i 0 N takové, že x i n x i < ε d, n > n i 0, = 1, 2,..., d. Nechť n 0 = max{n 1 0,..., n d 0}, pak d(x n, x) = d (xi n x i ) 2 < d ε 2 d = ε, pro všechna n > n 0. 2 V této metrice jsou konvergentní posloupnosti jen takové posloupnosti, které jsou od nějakého n 0 N konstantní. 20

Příklad 3.6 Uvažujme prostor posloupností P = {{x i }, x i R}. Jakou zvolit metriku na takovém protoru? Uvažujme posloupnost konstantních posloupností x n = { 1 n } a posloupnost samých nul y = {0}. Pak bychom asi očekávali, že x n y. Při metrice d(x, y) = (x i y i ) 2 ale takový výsledek nedostaneme, neboť d(x n, y) =, n N. Jedna z variant, jak v tomto případě volit metriku, je (x ˆd(x, y) = i y i ) 2. 2 i Definice 3.9 Buď f : M R, M E d, funkce f je definovaná na nějakém okolí U(m). Pak f je spojitá v bodě m M, jestliže ε > 0 δ > 0 tak, že d(m, x) < δ f(x) f(m) < ε. Poznámka 3.3 Pro funkce jedné proměnné máme spojitost zprava a zleva. Pro funkce více proměnných definujeme spojitost vzhledem k množině. f : M R, m Q M. f je spojitá v bodě m M vzhledem k množině Q, jestliže Příklad 3.7 V (f(m)) U(m) : (f(u(m) Q)) V (f(m)). f(x, y) = R 2 (x 2 + y 2 ). D f = {[x, y] : x 2 + y 2 R 2 }, f je spojitá na D f vzhledem k D f. Příklad 3.8 f(x, y) = x4 + y 4 x 2 + y 2. Tuto funkci lze spojitě dodefinovat v nule svou limitou lim [x,y] [0,0] f(x, y) = 0. Skutečně pro x = r sin φ a y = r cos φ dostaneme f(x, y) = r4 sin 4 φ+r 4 cos 4 φ 2r 2. Nechť r 2 ε > 0, pak pro δ = ε dostaneme, že pro (x, y) U 2 δ(0) = {(u, v) R 2 : u 2 +v 2 < δ 2 } platí 0 f(x, y) = f(x, y) < 2r 2 = 2(x 2 + y 2 ) < 2δ 2 = ε. Poznámka 3.4 Spojitost implikuje spojitost vzhledem k množině, tj. je-li f(x, y) spojitá v bodě [a, b], pak je spojitá v tomto bodě na každé přímce procházející tímto bodem. Příklad 3.9 Funkce f(x, y) = y = kx, pak f(x, kx) = xy x 2 +y 2 není spojitá v bodě [0, 0]. Uvažujme přímku kx2 = k. Tedy lim (1+k 2 )x 2 1+k 2 x 0 f(x, kx) = k. 1+k 2 21

3.2 Diferenciální počet funkcí více proměnných 3.2.1 Parciální derivace, totální diferenciál a derivace ve směru Definice 3.10 Nechť je f definovaná na nějakém okolí U(a), a = [a 1,..., a d ] R d. Existuje-li vlastní limita lim h 0 f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a d ) f(a 1,..., a d ), h pak se nazývá parciální derivace funkce f v a podle proměnné x i a značí se f, f nebo f xi. Existuje-li parciální derivace funkce f xi (x 1,..., x d ) podle proměnné x j, pak tuto derivaci nazveme parciální derivací druhého řádu podle proměnných x i a x j a značíme ji 2 f x j nebo f xi,x j. Obdobně zadefinujeme parciální derivace n-tého řádu. Příklad 3.10 Nechť f(x, y) = x 2 y 3, pak f x (x, y) = 2xy 3 a f y (x, y) = 3x 2 y 2. Skutečně f x = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h = lim h 0 [2xh + h 2 ]y 3 h = lim h 0 (x + h) 2 y 3 x 2 y 3 h = lim h 0 [2x + h]y 3 1 = 2xy 3. = lim h 0 [(x + h) 2 x 2 ]y 3 h Poznámka 3.5 Obecně záleží na pořadí, ve kterém derivujeme, tedy nemusí platit, že f xi,x j je rovna f xj,x i. Příklad 3.11 Nechť f(x, y) = x 2 y 3, pak f x (x, y) = 2xy 3, f y (x, y) = 3x 2 y 2 a f x,y (x, y) = 6xy 2 = f y,x (x, y). Tedy v tomto případě můžeme pořadí derivací zaměnit. Nechť Pak f x,y (0, 0) = y f(x, y) = xy, x > y, = 0, x y. ( ) f x (0, h) f x (0, 0) f(0, 0) = lim x h 0 h limĥ 0 f(ĥ,h) f(0,h) limĥ 0 f(ĥ,0) f(0,0) ĥ ĥ = lim h 0 h 0 0 limĥ 0 = lim lim ĥ 0 0 ĥ ĥ 0 ĥ = 0 h 0 h 22

ale f y,x (0, 0) = ( ) f y (h, 0) f y (0, 0) f(0, 0) = lim x y h 0 h limĥ 0 f(h,ĥ) f(h,0) limĥ 0 f(0,ĥ) f(0,0) ĥ ĥ = lim h 0 h limĥ 0 h ĥ 0 0 0 limĥ 0 ĥ ĥ = lim = 1. h 0 h Tedy v tomto případě pořadí derivací prohodit nelze. Věta 3.4 Nechť f má spojité derivace až do řádu n na nějakém okolí U(a), pak nezáleží na pořadí, podle kterého derivujeme. Důkaz Důkaz provedeme jen pro funkci dvou proměnných f(x, y) a n = 2. Označme a = (a 1, a 2 ) a F (h) = f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 + h) + f(a 1, a 2 ) h 2. Pak dvojím použitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě (nejdříve na rozdíl funkcí k(a 1 + h) k(a 1 ), kde k 1 (a 1 ) = [f(a 1, a 2 + h) f(a 1, a 2 )] a v x (0, 1) a pak na rozdíl funkcí f x (a 1 + hv x, a 2 + h) f x (a 1 + hv x, a 2 ), v y (0, 1). Dostaneme F (h) = [f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1 + h, a 2 )] [f(a 1, a 2 + h) f(a 1, a 2 )] h 2 = k(a 1 + h) k(a 1 ) = k (a 1 + hv x )h h 2 h 2 = [f x(a 1 + hv x, a 2 + h) f x (a 1 + hv x, a 2 )]h h 2 = f x(a 1 + hv x, a 2 + h) f x (a 1 + hv x, a 2 ) h = f x,y (a 1 + hv x, a 2 + hv y ). = f x,y(a 1 + hv x, a 2 + hv y )h h Obdobně lze postupovat pro g(a 2 ) = [f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 )]. 23

F (h) = f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 + h) + f(a 1, a 2 ) h 2 = [f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1, a 2 + h)] [f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 )] h 2 = g(a 2 + h) g(a 2 ) = g (a 2 + hv y )h h 2 h 2 = [f y(a 1 + h, a 2 + hv y ) f y (a 1, a 2 + hv y )]h h 2 = f y(a 1 + h, a 2 + hv y ) f y (a 1, a 2 + hv y ) h = f y,x (a 1 + hv x, a 2 + hv y ) = f y,x(a 1 + hv x, a 2 + hv y )h h f x,y (a 1, a 2 ) = lim h 0 f x,y (a 1 + hv x, a 2 + hv y ) = lim h 0 F (x) = lim h 0 f y,x (a 1 + hv x, a 2 + hv y ) = f x,y (a 1, a 2 ). Věta 3.5 (Věta o střední hodnotě) Nechť má funkce f v okolí bodu U(a) všechny první parciální derivace (vlastní). Pak x, y U δ (a) ξ i U δ (a), i = 1,..., d tak, že d f(x) f(y) = f(ξ i )(x i y i ), kde x = (x 1,..., x d ) a y = (y 1,..., y d ). Důkaz Důkaz pro jednoduchost provedeme pouze pro d = 2, tedy f : R 2 R. Nejdříve se zaměříme na to, zda pro x = (x 1, x 2 ) U δ (a) a y = (y 1, y 2 ) U δ (a) platí, že alespoň jeden z bodů (x 1, y 2 ) a (y 1, x 2 ) je také v okolí U δ (a). Jelikož x, y U δ (a), tak x a = 2 (x i a i ) 2 < δ a y a = 2 (y i a i ) 2 < δ. a) Je-li (x 2 a 2 ) 2 (y 2 a 2 ) 2, tak 2 (x i a i ) 2 (x 1 a 1 ) 2 + (y 2 a 2 ) 2, a proto (x 1, y 2 ) U δ (a). b) Je-li (x 2 a 2 ) 2 < (y 2 a 2 ) 2, tak 2 (y i a i ) 2 < (y 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2, a proto (y 1, x 2 ) U δ (a). 24

Uvažujme nyní případ, kdy (y 1, x 2 ) U δ (a). f(x) f(y) = f(x 1, x 2 ) f(y 1, y 2 ) = f(x 1, x 2 ) f(y 1, x 2 ) + f(y 1, x 2 ) f(y 1, y 2 ) = f(ξ 1,1, x 2 )(x 1 y 1 ) + f(y 1, ξ 2,2 )(x 2 y 2 ) x 1 x 2 2 = f(ξ i )(x i y i ), kde ξ 1,1 (x 1, y 1 ), ξ 2,2 (x 2, y 2 ), ξ 1 = (ξ 1,1, x 2 ) a ξ 2 = (y 1, ξ 2,2 ). Jelikož (x 1, x 2 ), (y 1, x 2 ) U δ (a), tak i ξ 1 = (ξ 1,1, x 2 ) U δ (a) a obdobně i ξ 2 U δ (a). Věta 3.6 Nechť jsou všechny parciální derivace f pro a R d. Pak je funkce f spojitá v a. omezené na nějakém okolí U(a) Důkaz Připomeňme, že f je spojitá v a, jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že x a < δ f(x) f(a) < ε a parciální derivace jsou omezené na okolí U(a), jestliže existuje K R takové, že f (x) < K x U(a) i = 1,..., d. Zvolme ε > 0, pak d f d f(x) f(a) = (ξ i )(x i a i ) f (ξ i )(x i a i ) < d K x i a i dk max,...,d x i a i dk x a. Chceme-li, aby ε > dk x a, stačí volit δ ε dk takové, že U δ(a) U(a). Potom f(x) f(a) < dk x a < dkδ ε x U δ (a). Definice 3.11 Nechť f je funkce definovaná na nějakém okolí U(a). Pak totální diferenciál d(f, a) funkce f v bodě a je lineární zobrazení d(f, a) : h = (h 1,..., h d ) d α i h i, 25

pro které platí f(a + h) f(a) = d α i h i + η(h), kde lim h 0 η(h) h = 0. Má-li funkce f v bodě a totální diferenciál, pak říkáme, že je v a diferencovatelná. Věta 3.7 Nechť existuje d(f, a), pak funkce f je v bodě a spojitá, existují všechny parciální derivace f Důkaz v bodě a a α i = f (a). Spojitost: Zvolme ε > 0. d d f(a + h) f(a) = α i h i + η(h) α i h i + η(h) ( d d ) α i h + η(h) = h α i + η(h) (K + 1) h, h kde K = n α i a h je dostatečně malé, aby η(h) < 1. Pak pro δ = ε h dostaneme, že f(a + h) f(a) < ε, tedy f je spojitá v a. f f(a + e i h) f(a) (a) = lim h 0 h = lim h 0 f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a d ) f(a 1,..., a d ) h = lim h 0 α i h + η(h) h = α i + lim h 0 η(h) h = α i. K+1 26

Příklad 3.12 Nechť f(x, y) = x 2 y 3 a a = [1, 1], pak f x = 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 a tedy kde h = (h 1, h 2 ). d(f, a)(h) = f x (1, 1)h 1 + f y (1, 1)h 2 = 2h 1 + 3h 2, f(1 + h 1, 1 + h 2 ) f(1, 1) = (1 + h 1 ) 2 (1 + h 2 ) 3 1 Tedy totální diferenciál je lineární část přírůstku. = (1 + 2h 1 + h 2 1)(1 + 3h 2 + 3h 2 2 + h 3 2) 1 = 2h 1 + 3h 2 + (h 2 1 + 6h 1 h 2 +...) = d(f, a)(h) + (h 2 1 + 6h 1 h 2 +...). Z definice totálního diferenciálu a věty 3.7 dostaneme f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + η(h) = f(a) + = f(a) + d f (a)h i + η(h), d α i h i + η(h) kde h = (h 1,..., h d ). Poznamenejme, že f(a) + d f (a)h i je tečná rovina k funkci f v bodě a. Definice 3.12 Nechť f : R d R n, f = (f 1,..., f n ) T. Pak d f 1 (a)h i kde d(f, a)(h) = A = f 1 x 1 (a) f n. d. f n (a)h i f 1 x 2 (a)... x 1 (a)...... je Jacobiho matice zobrazení f v a. = A h T, f 1 x d (a). f n x d (a) Poznámka 3.6 Z definic 3.12, 3.11 a věty 3.7 plyne, že pro funkci f : R d R n platí f(a + h) = f(a) + A h T + η(h) T, kde η(h) = (η 1 (h),..., η n (h)) : R d R n a lim h 0 η(h) h = (0,..., 0). 27

Věta 3.8 Nechť f : R d R n a g : R n R l, f má totální diferenciál v bodě a R d a g má totální diferenciál v bodě f(a). Označme d(f, a)(h) = A h T a d(g, f(a))(ĥ) = B ĥt. Pak g f má totální diferenciál v bodě a a platí d(g f, a)(h) = BA h T. Důkaz f(a + h) = f(a) + A h T + η(h) T, g(b + ĥ) = g(b) + B ĥt + ˆη(ĥ)T, η(h) lim h 0 h = 0, ˆη(ĥ) lim = 0. ĥ 0 ĥ g f(a + h) = g(f(a + h)) = g(f(a) + A h T + η(h) T ) = g(f(a)) + B(A h T + η(h) T ) + ˆη(A h T + η(h) T ) T = g(f(a)) + BA h T + Bη(h) T + ˆη(A h T + η(h) T ) T. Označme η(h) = Bη(h) T + ˆη(A h T + η(h) T ) T, pak η(h) lim h 0 h = lim Bη(h) T + ˆη(A h T + η(h) T ) T h 0 h = lim h 0 Bη(h) T h + lim h 0 ˆη(A h T + η(h) T ) T A h T + η(h) T jelikož A h T + η(h) T 0 pro h 0. Tedy g f(a + h) = g f(a) + BA h T + η(h), a tedy totální diferenciál g f v bodě a je d(g f, a)(h) = BA h T. A ht + η(h) T h η(h) lim h 0 h = 0, Důsledek 3.9 Nechť f : R d R n a g : R n R a nechť dále existují totální diferenciály d(f, a)(h) a d(g, b)(ĥ), kde b = f(a). Pak n g g f(a) = (f(a)) f j (a). x j j=1 28

Důkaz d(g f, a)(h) = BA h T = = ( g x 1 (f(a))... ( n j=1 g x n (f(a)) g x j (f(a)) f j x 1 (a)... ) n j=1 = ( x 1 g f(a)... x d g f(a) ) h T f 1 x 1 (a).... f n x 1 (a)... f 1 x d (a). f n x d (a) g x j (f(a)) f j x d (a) h T ) h T Definice 3.13 Nechť je funkce f : R d R definovaná na nějakém okolí U(a) bodu a R d a v = (v 1,..., v d ) je nenulový vektor. Pak f(a + h v) f(a) lim h 0 v h nazveme derivací funkce f v bodě a ve směru v a značíme ji f v (a).3 Poznámka 3.7 Z předchozí definice je vidět, že u směrové derivace nezáleží na velikosti vektoru v, ale pouze na jeho směru. Věta 3.10 Nechť má funkce f totální diferenciál v bodě a R d (Je diferencovatelná v a). Pak existuje derivace ve směru v a platí Důkaz f v (a) = d f (a)v i v f f(a + h v) f(a) f(a) + d(f, a)(h v) + η(h v) f(a) (a) = lim = lim v h 0 v h h 0 v h d(f, a)(h v) η(h v) d = lim + lim h 0 v h h 0 v h = lim α d ihv i = α iv i h 0 v h v = d f (a)v i v. 3 Někdy se v této definici uvažuje pouze jednotkový vektor ( v = 1), pak je derivace ve směru definovaná následující limitou lim h 0 f(a+h v) f(a) h. 29

Definice 3.14 Nechť má f všechny první parciální derivace v bodu a R d, pak vektor parciálních derivací ( f gradf(a) = f(a) = (a),..., f ) (a) x 1 x 1 nazveme gradientem funkce f v bodě a. Důsledek 3.11 Nechť má funkce f totální diferenciál v bodě a R d, pak f v gradf(a) v (a) =. v Tvrzení 3.12 (Vlastnosti gradientu) Nechť je f diferencovatelná v bodě a R d. Pak i) gradient gradf(a) je směr největšího růstu funkce f v bodě a, ii) gradient je kolmý na vrstevnici. Důkaz i) Hledejme směr určený vektorem v, ve kterém je parciální derivace největší, tedy směr nejvetšího růstu funkce f. Tedy f f (a) = max v u, u =1 u (a). Z předchozího důsledku víme, že f gradf(a) u (a) = = gradf(a) u, pro u = 1. u u Tedy max u, u =1 f (a) = max gradf(a) u = max gradf(a) u cos(α) u u, u =1 u, u =1 = max gradf(a) cos(α) = gradf(a), u, u =1 kde α je úhel mezi vektory u a gradf(a). Maximální hodnotu dostaneme, když cos(α) = 1, tedy α = 0, tedy vektor u má stejný směr jako gradient gradf(a) a proto v = gradf(a) a gradient určuje směr největšího růstu funkce f v a ii) Uvažujme vrstevnici k funkci f v bodě a, tedy parametricky zadanou křivku c : (x 1 (t),..., x d (t)), pro kterou platí: 30

a) že f(x 1 (t),..., x d (t)) = f(a), pro všechna t I (je to vrstevnice), b) existuje t 0 I takové, že (x 1 (t 0 ),..., x d (t 0 )) = a (prochází bodem a). Pak f(x 1 (t),..., x d (t)) = 0 (jde o konstantní funkci, viz bod a)), a tedy dle důsledku 3.9 0 = f(x 1 (t 0 ),..., x d (t 0 )) = = ( f x 1 (a),..., f = gradf(a) ) (a) x d d f (a) t (t o) ( x1 ( x1 t (t 0),..., x 1 t (t 0) t (t 0),..., x ) 1 t (t 0) ). Proto je gradient kolmý na vektor ( x 1 (t t 0),..., x 1 (t t 0) ) a tedy kolmý na vrstevnici c. 4 Příklad 3.13 Uvažujme funkci dvou proměnných f(x, y), h = (h 1, h 2 ), a = (a 1, a 2 ) R 2 a nechť má funkce f všechny parciální derivace až do řádu n. Označme F (t) = f(a + th), pak F (0) = f(a) a F (1) = f(a + h). Dle pravidel o derivaci složené funkce (důsledek 3.9) dostaneme F (t) = f x (a + th)h 1 + f y (a + th)h 2, F (t) = 2 f x x (a + th)h2 1 + 2 f x y (a + th)h 1h 2 + 2 f y x (a + th)h 2h 1 + 2 f y y (a + th)h2 2 d F (n) n f (t) = (a + th)h i1 h i2... h in. 1 2...n Pak i 1,...,i n=1 kde η (0, 1). f(a + h) = F (1) = F (0) + F (0) + F (0) 2! +... + F (n 1) (0) (n 1)! 4 Vektor ( x 1 t (t 0),..., x1 t (t 0) ) určuje směr, kterým jde vrstevnice c z bodu a. + F (n) (η), n! 31

Definice 3.15 Nechť f má v bodě a R d spojité parciální derivace až do řádu n včetně. Diferenciálem n-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme zobrazení d n (f, a)(h) = d i 1,...,i n=1 n f 1 2...n (a)h i1 h i2... h in. Věta 3.13 Nechť f : R d R, a R d, h = (h 1,..., h d ) R d a A R d je otevřená množina splňující: Pak a, a + h A, fukce f má na A spojité všechny parciální derivace až do řádu n + 1. f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a)(h) 2! kde v (0, 1). +... + dn (f, a)(h) n! + dn+1 (f, a + vh)(h), (n + 1!) Důkaz Zavedeme funkci F (t) = f(a+th), pak podobně jako v předchozím příkladu použijeme Taylorův rozvoj této finkce v nule. Tedy f(a + h) = F (1) = F (0) + F (0) + F (0) 2! kde v (0, 1). = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a)(h) 2! +... + F (n) (0) (n)! +... + dn (f, a)(h) (n 1)! + F (n+1) (v) (n + 1)! + dn (f, a + vh)(h), (n + 1)! 3.2.2 Lokální extrém funkce Definice 3.16 Nechť f : R d R je definovaná na okolí U(a), kde a R d. Pak i) f má v a lokální maximum, jestliže existuje okolí Û(a) takové, že f(x) f(a) x Û(a). Je-li f(x) < f(a) x Û (a), kde Û (a) = Û(a) \ {a}, tak jde o ostré lokální maximum. Podobně zadefinujeme lokální/ostré lokální minimum. ii) f má v a (ostré) lokální maximum vzhledem k množině M R d, jestliže existuje Û(a) takové, že f(x) f(a) x Û(a) M, (f(x) < f(a) x Û (a) M). 32

Věta 3.14 Nechť f má v a R d lokální extrém a existují všechny parciální derivace f v a, tak ( f gradf(a) = f(a) = (a),..., f ) (a) = 0. x 1 x d Důkaz Nechť f (a) 0, pak pro f (a) > 0 dostaneme f f(a (a) = lim 1,...,a i +h,...,a d ) f(a) h 0 > 0, tedy pro h dostatečně blízké nule platí h f(a 1,..., a i + h,..., a d ) > f(a) pro h > 0, f(a 1,..., a i + h,..., a d ) < f(a) pro h < 0. Tedy v každém okolí U(a) existují body x, y, pro které platí f(x) > f(a) > f(y) a tedy f nemá v a extrém. Obdobně pro f (a) < 0. Příklad 3.14 Nechť má funkce ( f(x 1, x 2 ) v a) R 2 spojité parciální derivace do řádu f řádu n = 2 a nechť f(a) = x 1 (a), f x 2 (a) = 0. d 2 (f, a)(h) = 2 f (a)h 1 h 1 + 2 2 f (a)h 1 h 2 + 2 f (a)h 2 h 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 2 2 f = (a)h i h j. x j Pak dle věty 3.13 i,j=1 f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a + vh)(h) 2! = f(a) + d2 (f, a + vh)(h), 2! kde v (0, 1). Z této rovnosti se zdá, že o tom, zda má funkce f v a extrém rozhoduje tvar druhého diferenciálu. Přesneji tuto teorii formulujeme na následujících stránkách. Definice 3.17 Nechť Q(h) = d i,j=1 a i,jh i h j, kde a i,j jsou prvky symetrické matice A typu d d a h = (h 1,..., h d ) R d. Pak Q(h) nazýváme kvadratickou formou. Kvadratická forma Q(h) je 1) pozitivně definitní, jestliže Q(h) > 0 h 0, 33

2) pozitivně semidefinitní, jestliže Q(h) 0 h, 3) negativně definitní, jestliže Q(h) < 0 h 0, 4) negativně semidefinitní, jestliže Q(h) 0 h, 5) indefinitní, jestliže existuje h a ĥ takové, že Q(h) > 0 a Q(ĥ) < 0. Následující tvrzení uvedeme bez důkazu. Tvrzení 3.15 Kvadratická forma Q(h) určená maticí A = (a ij ) je pozitivně definitní, právě tehdy když jsou její hlavní minory matice A, tj. determinanty a 11, a 11 a 12 a 21 a 22,... a 11... a 1d......... a d1... a dd = deta kladné. Kvadratická forma Q(h) je negativně definitní, právě tehdy když jsou její hlavní minory střídají znaménka a a 11 < 0. Příklad 3.15 Nechť f(x, y) = x 2 + y 2 a a = (0, 0), pak ) A = ( 2 f (a) x x 2 f (a) y x 2 f (a) x y 2 f (a) y y = ( 2 0 0 2 Pozorování: Kvadratická forma Q(h) = d 2 (f, a)(h) = 2h 1 h 1 + 2h 2 h 2 = 2(h 2 1 + h 2 2) příslušné matice A je pozitivně definitní a funkce f má v a lokální minimum. 5 Pro f(x, y) = x 2 y 2 a a = (0, 0) dostaneme matici A = ( 2 f (a) x x 2 f (a) y x 2 f (a) x y 2 f (a) y y ) = ( 2 0 0 2 Pozorování: Kvadratická forma Q(h) = d 2 (f, a)(h) = 2h 1 h 1 + = 2h 2 h 2 = 2(h 2 1 + h 2 2) příslušné matice A je indefinitní, jelikož Q(1, 0) = 2 > 0 a Q(0, 1) = 2 < 0 a funkce f nemá v a lokální extrém. Otázka: Platí obecně, že pozitivní definitnost (negativní definitnost) příslušné kvadratické formy, při splnění podmínky f(a) = 0, implikuje, že f má v a lokální minimum (lokální maximum)? A platí, že indefinitnost příslušné formy nám již říká, že funkce f v bodě a nemá extrém? Na tyto otázky nalezneme odpověď v následující větě. 5 Zde je možné vypozorovat podobnost s funkcí jedné proměnné, kde platilo f (a) = 0 a f (a) > 0, pak má funkce f v a lokální minimum. 34 ). ).

Věta 3.16 ( Nechť f má spojité ) parciální derivace až do řádu n = 3 na okolí U(a) a f f(a) = x 1 (a),..., f x d (a) = 0. Je-li kvadratická forma d 2 (f, a)(h) (Q(h)) i) pozitivně definitní, pak má f v a lokální minimum, ii) negativně definitní, pak má f v a lokální maximum, iii) indefinitní, pak funkce f nemá v a lokální extrém. Než provedeme důkaz této věty, tak si připravíme trochu teorie, která se nám bude k tomuto důkazu hodit. Tvrzení 3.17 M je uzavřená x n M, lim n x n = x implikuje, že x M. Důkaz ( ) Sporem: Nechť x n M, lim n x n = x, ale x M c, pak v každém okolí U(x) leží nějaký bod x n M, tedy celé okolí U(x) neleží v M c, proto M c neni otevřená množina a tudíž M není uzavřená. ( ) Sporem, nechť M není uzavřená, tedy M c není otevřená množina. Pak existuje x M c takové, že v každém okolí U δn (x), kde δ n = 1, existuje alespoň jeden n bod x n, který neleží v M c. Tedy x n M, x n x < δ n = 1, a proto x n n x M c. Což je ve sporu s předpokladem, že x n M, lim n x n = x implikuje, že x M. Definice 3.18 Množina A M je kompaktní z každé posloupnosti {x n }, x n A lze vybrat konvergentní podposloupnost {x nk } a platí lim k x nk = x A. Věta 3.18 Kompaktní množina je uzavřená a omezená. Důkaz (Uzavřenost) Nechť x n A a lim n x m = x. Jelikož je A kompaktní, tak existuje vybraná konvergentní posloupnost {x nk } taková, že lim k x nk = ˆx A. Jelikož vybraná podposloupnost z konvergentní posloupnosti má stejnou limitu, tak x = â A, tedy je A uzavřená. 35

(Omezenost) Sporem: Nechť není množina A omezená, pak diam(a) = sup x,y A ρ(x, y) =, tedy pro každé x 0 A je sup x A ρ(x 0, x) =. 6 Zvolme x 0 A, pak pro každé n N existuje x n A takové, že ρ(x 0, x n ) > n. Z posloupnosti {x n } vybereme konvergentní podposloupnost {x nk } a označme x její limitu, tedy x nk x. Pak ρ(x 0, x) = lim k ρ(x 0, x nk ) =, pak ale x neleží v A, jelikož vzdálenost dvou bodů v metrickém prostoru je vždy konečná. Tedy jsme došli ke sporu. Věta 3.19 Množina M R d je kompaktní (uvažujeme Eukleidovskou metriku) M je uzavřená a omezená. Důkaz ( ) Věta 3.18. ( ) Nechť je M uzavřená a omezená, tedy existuje K takové, že x < K x M Nechť {x n } je posloupnost prvků x n = (x 1 n, x 2 n,..., x d n) M. Z omezenosti množiny M dostaneme, že reálná posloupnost prvních souřadnic {x 1 n} posloupnosti {x n } je omezená, a tedy dle Weierstrassovy věty existuje vybraná konvergentní podposloupnost {x 1 n k,1 }. Zaměříme se nyní na posloupnost druhých souřadnic vybrané podposloupnosti {x nk,1 }, tj. na reálnou posloupnost {x 2 n k,1 }. Tato posloupnost je omezená, a tak existuje vybraná konvergentní podposloupnost {x 2 n k,2 }. Poznamenejme, že podposloupnost {x 1 n k,2 } je konvergentní, protože je to podposloupnost konvergentní posloupnosti {x 1 n k,1 }. Obdobně z posloupnosti {x 3 n k,2 } vybereme konvergentní podposloupnost {x 3 n k,3 }. Tímto způsobem nakonec dostaneme konvergentní podposloupnost {x nk,d = (x 1 n k,d,..., x d n k,d )}. Že leží limita x = lim k x nk,d v M, plyne přímo z uzavřenosti množiny M a tvrzení 3.17. Věta 3.20 Spojitý obraz kompaktní množiny je kompaktní množina. Důkaz Nechť f : M A je spojitá funkce, M je kompaktní množina a A = f(m). Nechť {y n } je posloupnost prvků z A, tedy y n A n N. Pak existují vzory této posloupnosti x n M, tj. y n = f(x n ). Jelikož je M kompaktní, tak z posloupnosti {x n } lze vybrat konvergentní podposloupnost {x nk } a navíc platí lim k x nk = x 6 Jelikož ρ(x, y) ρ(x, x 0 ) + ρ(x 0, y). 36

M. Označme y = f(x) A a zvolme ε > 0, pak existuje δ > 0 takové, že pokud x ˆx < δ, tak f(x) f(ˆx) = y f(ˆx) < ε (f je spojitá). Jelikož x nk x, tak existuje n 0 N n > n 0 x nk x < δ. Tedy f(x) f(x nk ) = y y nk < ε y nk y. Ukázali jsme, že z libovolné posloupnosti {y n } prvků množiny A lze vybrat konvergentní podposloupnost, jejíž limita lezí v A, tedy je množina A kompaktní. Důsledek 3.21 Spojitá funkce f : M A R na kompaktu nabývá svého minima i maxima. Důkaz Nechť f : M A, f je spojitá a M je kompaktní, tak z předchozí věty 3.20 víme, že A = f(m) je kompaktní. Tedy A je uzavřená a omezená (věta 3.18). Pak max y A = sup y A. Existence suprema plyne z omezenosti množiny A, existence maxima plyne z uzavřenosti množiny A. Nechť S = sup y A, pak pro každé n N existuje y n N takové, že S y n < 1 n, tedy y n S, a proto S A. Jelikož S A, tak existuje vzor tohoto bodu v M, tedy existuje x M takové, že f(x) = S = sup y A = sup x M f(x), proto f nabývá svého maxima v x. Obdobně provedeme důkaz pro minimum. Lemma 3.22 Nechť je kvadratická forma Q(h) pozitivně definitní, pak existuje β > 0 takové, že Q(h) > β h 2 h R d. Důkaz Připomeňme, že Q(h) = i,j α i,jh i h j je pozitivně definitní, když Q(h) > 0 h 0. Uvažujme kvadratickou formu Q na jednotkové sféře b(0, 1) = {x R d : x = 1}. Pak dle důsledku 3.21 nabývá Q na b(0, 1) svého minima. Označme β = min h b(0,1) Q(h) 2 > 0. Nechť h 0, pak Q(h) = d a i,j h i h j = i,j=1 d i,j=1 a i,j ( ) h i h j h h h h 2 = h 2 Q > h 2 β. h Nyní se vrátíme k důkazu věty 3.16. Důkaz( Nechť f má spojité ) parciální derivace až do řádu n = 3 na okolí U(a), f f(a) = x 1 (a),..., f x d (a) = 0 a uvažujme kvadratickou formu Q(h) = d 2 (f, a)(h) = d 2 f i,j=1 x j (a)h i h j. 37

i) Nechť je Q(h) pozitivně definitní. Dle věty 3.13 dostaneme f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a)(h) + d3 (f, a + vh)(h) 2! 3! d f = f(a) + (a)h i + Q(h) d 3 f i,j,k=1 x + i x j x k (a + vh)h i h j h k. 2! 3! Tedy f(a + h) f(a) = d = Q(h) 2! f (a)h i + Q(h) d 3 f i,j,k=1 x + i x j x k (a + vh)h i h j h k 2! 3! + d3 (f, a + vh)(h). 3! Jelikož Q(h) je pozitivně definitní, pak dle lemma 3.22 Q(h) > h 2 β. Označme M = max 3 f i,j,k=1,...,d x j x k (a + vh), pak d 3 (f, a+vh)(h) d i,j,k=1 M h ih j h k Md 3 h 3. Dostáváme lim h 0 ( β f(a + h) f(a) = Q(h) 2! Md3 h 2! 3! okolí U(0)) platí + d3 (f, a + vh)(h) 3! ( ) β = h 2 2! Md3 h. 3! > β h 2 Md3 h 3 2! 3! ) = β > 0, tedy pro h dostatečně blízké nule (na nějakém 2! ) > 0, proto ( β Md3 h 2! 3! > β 4 f(a + h) f(a) > h 2 β 4 > 0, h 0. Tedy f má v a lokální minimum. ii) Pro Q(h) negativně definitní dokážeme podobně, jako v bodu i). iii) Nechť Q(h) je indefinitní, tak existují h a ĥ takové, že Q(h) > 0 a Q(ĥ) < 0. Použijeme stejný trik jako v příkladu 3.13. Nechť F (t) = f(a + th), pak F (0) = f(a), F (t) = d(f, a + th)(h) F (0) = d(f, a)(h) = 0, F (t) = d 2 (f, a + th)(h) F (0) = d 2 (f, a)(h) = Q(h) > 0. 38

Tedy funkce F má v nule ostré lokální minimum, a proto f(a) = F (0) < F (t) = f(a + th) pro t 0. Obdobně pro ˆF (t) = f(a + tĥ) dostaneme, že funkce ˆF má v nule ostré lokální maximum a tedy f(a) = ˆF (0) > ˆF (t) = f(a + tĥ) pro t 0. Proto funkce f nemá v bodě a lokální extrém. Věta 3.23 Nechť d(f, a)(h) = 0 a d 2 (f, x)(h) je pozitivně (negativně) semidefinitní na nějakém okolí U(a), pak má funkce f v bodě a lokální minimum (maximum). Důkaz Nechť d 2 (f, x)(h) je pozitivně semidefinitní na U(a). Označme F (t) = f(a + th), kde h R d a a + h U(a). Pak f(a + h) = F (1) = F (0) + F (0) + F (v) 2! = f(a) + d2 (f, a + vh)(h) 2! Tedy f má v a lokální minimun. Obdobně pro lokální maximum. f(a). = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a + vh)(h) 2! 3.2.3 Extrémy na množině Příklad 3.16 Určete extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 5xy 7y 2 na množině M = {(x, y) R 2 : x 1, y 1} = [ 1, 1] 2. 1. Nejdříve se zaměříme na vnitřek množiny M. Má-li f extrém v bodě [x 0, y 0 ], který je vnitřním bodem množiny M, pak je tento extrém lokální, a tedy gradf(x 0, y 0 ) = 0. Určeme parciální derivace funkce f, položme je rovny nule a získáme body, ve kterých by mohl být extrém funkce (bereme jen body uvnitř množiny M). [x 0, y 0 ] = [0, 0]. f x = 2x + 5y = 0 a f 2. Teď se postupně zaměříme na hrany čtverce. y = 5x 14y = 0, tedy dostaneme hrana I. x = 1, y [ 1, 1], tedy f(x, y) = f( 1, y) = 1 5y 7y 2. Hledáme extrém této funkce, tedy f (y) = 5 14y = 0 y = 5. Je třeba ověřit, 14 že tento bod leží na první hraně. Další bod, kde by mohl být extrém, je bod [ 1, 5 ]. 14 39

Obrázek 3.2: Množina M je znázorněna světle hnědým čtvercem s vyznačenými hranami I. II. III. a IV. Všechny body, ve kterých by mohl být extrém funkce, jsou rovněž vyznačeny v obrázku. Modrou barvou jsou vyznačeny body, ve kterých má funkce f minimum, červenou barvou body, ve kterých má f maximum. hrana II. x [ 1, 1], y = 1, tedy f(x, 1) = x 2 +5x 7. f (x) = 2x+5 = 0 x = 5 2, což ale není v množině M. hrana III. x = 1, y [ 1, 1], tedy f(1, y) = 1 + 5y 7y 2. f (y) = 5 14y = 0 y = 5 5, a tedy další hledaný bod je [1, ]. 14 14 hrana IV. x [ 1, 1], y = 1, tedy f(x, 1) = x 2 5x 7, f (x) = 2x 5 = 0 x = 5 / M. 2 3. Přidáme ještě všechny vrcholy, tedy body [1, 1], [1, 1], [ 1, 1] a [ 1, 1]. Postupně určíme hodnotu funkce f v každém z vybraných bodů. V bodě/bodech, kde bude hodnota největší, má funkce f maximum na množině M, v bodě/bodech, kde 40

bude hodnota nejmenší, má funkce f minimum. f(1, 1) = 1 f( 1, 1) = 11 f( 1 1) = 1 f(1, 1) = 11 f(0, 0) = 0 f( 1, 5 14 ) = 1 + 25 14 25 28 = 53 28 f(1, 5 14 ) = 53 28. Funkce f má tedy maximum na množině M v bodech [1, 5 ] a [ 1, 5 ] a minimum 14 14 v bodech [1, 1] a [ 1, 1]. V předcházejícím příkladu jsme viděli, že k určení extrémů na množině M potřebujeme určit body, ve kterých by mohl být extrém, jak uvnitř množiny M (bod 1.), tak na její hranici (body 2. a 3.). K určování bodů uvnitř množiny M, ve kterých by mohl být extrém funkce f, nám poslouží teorie o lokálních extrémech funkce. K určování bodů na hranici M, ve kterých by mohl být extrém funkce f, si teorii vyložíme nyní. Omezme se zatím na funkci dvou proměnných f(x, y) a M R 2. Jedna z variant je popsat hranici (nebo část hranice) pomocí nějaké funkce y = g(x) (v předchozím příkladu šlo třeba o funkci y = g(x) = 1 pro x [ 1, 1], tato funkce byla použita pro popis hrany II. ). Máme-li část hranice M popsanou pomocí funkce y = g(x) pro x I, pak přejdeme k funkci jedné proměnné ˆf(x) = f(x, y) = f(x, g(x)), x I. Tuto funkci můžeme derivovat a body [x 0, g(x 0 )], pro které platí, že ˆf (x 0 ) = 0, jsou body, které hledáme. Uvažujme pouze množiny M ve tvaru M = {x R 2 : F (x) c}, kde F : R 2 R je nějaká funkce a c R 2. Jelikož je v tomto případě často hranice množiny M popsána rovnicí F (x, y) = c, zaměříme se na to, kdy lze najít funkci g(x) = y(x) takovou, aby F (x, g(x)) = c Příklad 3.17 i) F (x, y) = x 2 + y 2 = 1. Pak g 1 (x) = y(x) = 1 x 2 a g 2 (x) = y(x) = 1 x 2, kde x [ 1, 1]. Tedy v okolí bodů [1, 0] a [ 1, 0] nejsme schopni popsat hranici množiny M pomocí jedné funkce proměnné x. ii) F (x, y) = x 2 y 2 = 0. Pak g 1 (x) = y(x) = x a g 2 (x) = y(x) = x. Problém s nejednoznačným popisem je v počátku (bod [0, 0]). 41