Kapitola 9. Rezidua Definice 9.. ( izolovaná singularita ) Bod z 0 2 C nazveme izolovanou singularitou (izolovaný singulární bod) funkce f, jestliže i) f není holomorfní v bodě z 0, ii) existuje prstencové okoĺı bodu z 0, na němž je f holomorfní. Izolovanou singularitu z 0 nazýváme i) odstranitelnou singularitou, jestliže lim f(z) 2 C, ii) pólem, jestliže lim f(z) =, iii) podstatnou singularitou, jestliže lim f(z) neexistuje. Věta 9.2. ( o izolované singularitě v nekonečnu ) Funkce f = f(z) má izolovaný singulární bod z 0 = právě tehdy, když funkce g(w) = f w singulární bod w 0 = 0. má izolovaný Druh singularity funkce f v bodě z 0 = je shodný jako druh singularity funkce g v bodě w 0 = 0. Věta 9.3. ( charakteristika odstranitelné singularity ) i) Bod z 0 je odstranitelnou singularitou funkce f, tj. lim f(z) 2 C: ii) Funkce f je omezená na nějakém prstencovém okoĺı P (z 0 ), tj. 9 > 0 9 K > 0 8 z 2 P (z 0 ; ) : jf(z)j K: iii) Všechny členy hlavní části Laurentova rozvoje funkce f se středem v bodě z 0 jsou rovny nule, tj. 8 k 2 N : a k = 0: iv) Funkci f lze definovat (či změnit) v bodě z 0 tak, že f bude holomorfní na nějakém okoĺı U (z 0 ).
Definice 9.4. ( násobnost kořene funkce ) Necht funkce f je holomorfní na okoĺı U (z 0 ) bodu z 0 2 C. Pokud f není identicky rovna nule na U (z 0 ), potom číslo k 2 N, pro které platí se nazývá násobnost (řád) kořene z 0 funkce f. Věta 9.5. ( charakteristika pólu ) f(z 0 ) = = f (k ) (z 0 ) = 0 a f (k) (z 0 ) 6= 0; i) Bod z 0 je pólem, tj. lim f(z) = : ii) Existuje číslo k 2 N tak, že funkci f lze na nějakém prstencovém okoĺı P (z 0 ) vyjádřit ve tvaru f(z) = h(z) (z z 0 ) k ; kde funkce h je holomorfní na okoĺı U (z 0 ) = P (z 0 ) [ fz 0 g a h(z 0 ) 6= 0. Tj. číslo k 2 N je takové nejmenší číslo, že lim (z z 0 ) k f(z) 2 C: Číslo k je určeno jednoznačně a nazývá se násobnost nebo řád pólu z 0. iii) Hlavní části Laurentova rozvoje funkce f se středem v bodě z 0 má pouze k 2 N nenulových členů, tj. 9 k 2 N : a k 6= 0 ^ 8 n 2 N : n > k ) a n = 0 : iv) Funkce g(z) = f(z) má izolovaný nulový bod z 0 (násobnost nulového bodu udává násobnost pólu). Věta 9.6. ( charakteristika podstatné singularity ) i) Bod z 0 je podstatnou singularitou, tj. lim f(z) neexistuje: ii) Hlavní části Laurentova rozvoje funkce f se středem v bodě z 0 má nekonečně mnoho nenulových členů, tj. a n 6= 0 pro nekonečně mnoho n 2 N:
Věta 9.7. ( l Hospitalovo pravidlo ) Necht funkce f a g jsou holomorfní v bodě z 0 2 C, který je jejich nulovým bodem, nebo mají v bodě z 0 2 C pól. Potom platí f(z) lim g(z) = lim f 0 (z) g 0 (z) : Věta 9.8. ( Weierstrass - Casorati - Sochockij ) Je-li z 0 2 C podstatným singulárním bodem funkce f, potom 8 2 C 9 (z n ) : lim n!+ z n = z 0 ^ lim n!+ f(z n) = : Věta 9.9. ( velká Picardova věta ) Je-li z 0 2 C podstatným singulárním bodem funkce f, potom na každém prstencovém okoĺı P (z 0 ) nabývá funkce f všech konečných hodnot w = f(z) 2 C s výjimkou nejvýše jedné. Definice 9.9. ( reziduum funkce v bodě ) i) Necht z 0 2 C je izolovaná singularita funkce f a mějme Laurentův rozvoj funkce f na nějakém prstencovém okoĺı bodu z 0 X n= a n (z z 0 ) n = + a 2 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) + a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 + : : : Číslo a nazýváme reziduum funkce f v bodě z 0 a značíme f(z) nebo f(z) nebo f(z z 0 0): ii) Necht je izolovaná singularita funkce f a mějme Laurentův rozvoj funkce f na nějakém prstencovém okoĺı bodu X a n z = + a 2z 2 + a z + a n 0 + a z + a 2 z + : : : 2 n= Číslo a nazýváme reziduum funkce f v bodě a značíme z= f(z) nebo f(z) nebo f(): Věta 9.0. ( o převodu rezidua v nekonečnu ) Je-li izolovanou singularitou funkce f, potom platí kde g(z) = z f. 2 z z= f(z) = g(z); z=0
Věta 9.. ( výpočet rezidua v bodech odstranitelné singularity ) i) Necht z 0 2 C je bod odstranitelné singularity funkce f, potom f(z) = 0: ii) Necht je bod odstranitelné singularity funkce f, potom kde a 0 = lim z! f(z): f(z) = lim z= z! z (f(z) a 0) ; Věta 9.2. ( výpočet rezidua v pólech ) i) Necht z 0 2 C je pól násobnosti menší nebo rovné k 2 N funkce f, potom f(z) = (k )! lim Speciálně pro jednoduchý pól z 0 2 C funkce f (tj. k = ) platí d k h i (z z dz k 0 ) k f(z) : f(z) = lim [(z z 0 )f(z)] : ii) Necht je pól násobnosti menší nebo rovné k 2 N funkce f, potom! ( )k f(z) = z= (k + )! z! lim dk+ f(z) zk+2 : dz k+ Věta 9.3. ( reziduum pro násobek a podíl funkcí ) i) Necht funkce f je holomorfní v bodě z 0 2 C a necht funkce g má v bodě z 0 jednoduchý pól. Potom (f(z) g(z)) = f(z 0 ) g(z): ii) Necht funkce g a h jsou holomorfní v bodě z 0 2 C. Necht g(z 0 ) 6= 0 a h má v bodě z 0 jednoduchý kořen (tj. h(z 0 ) = 0, h 0 (z 0 ) 6= 0). Potom g(z) h(z) = g(z 0) h 0 (z 0 ) : Věta 9.4. ( vztah konečného počtu reziduí ) Necht funkce f je holomorfní v C s vyjímkou konečného počtu bodů z ; z 2 ; : : : ; z n. Potom platí X n z= f(z) + f(z) = 0: z=z j j=
Věta 9.5. ( reziduová věta ) Mějme jednoduše souvislou oblast 2 C a necht i) ' je jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka v, ii) funkce f je holomorfní na fz ; z 2 ; : : : ; z n g, kde z ; z 2 ; : : : ; z n jsou navzájem různé izolované singularity funkce f z vnitřku křivky '. Potom platí I ' f(z) dz = 2i nx j= f(z): z=z j Věta 9.6. ( Jordanovo lemma ) Necht = fz 2 C : Im z 0; jzj R0 g pro nějaké R 0 0 a mějme konečnou funkci f : C! C, která je spojitá na. Dále označme horní polokružnici poloměru R se středem v počátku ' R (t) = R e i t pro R R 0, t 2 h0; i a M R = max z2h' R i jf(z)j. Pak platí následující implikace: i) Jestliže R M R! 0 pro R! +, potom ii) Jestliže > 0 a M R! 0 pro R! +, potom Z ' R f(z) dz! 0 pro R! +. Z ' R f(z) e i z dz! 0 pro R! +.