Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud má polynom p s celočíselnými koeficienty celočíselný kořen α, pak α dělí a 0, kde a 0 je absolutní člen polynomu p. 3. Ukažte, že konstanta a v rozvoji polynomu na kořenové činitele p(x) = a (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ) je rovna koeficientu polynomu p u nejvyšší mocniny. 4. Nechť polynom p má reálné koeficienty. Dokažte, že pak pro každý komplexní kořen α polynomu p má tento polynom také kořen komplexně sdružený α. 5. Jak souvisí věta o částečném podílu polynomů s algoritmem na dělení polynomu polynomem? Souvislost zdůvodněte. 6. Dokažte, že polynomy r a z (částečný podíl a zbytek) z věty o částečném podílu jsou určeny při daných polynomech p a q jednoznačně. 7. Nechť polynom p má reálné kořeny a dále kořeny komplexní vždy po dvou vzájemné komplexně sdružené. Nechť dále koeficient polynomu p u nejvyšší mocniny je roven jedné. Zdůvodněte, že pak má polynom p reálné koeficienty. 8. Je podmínka na koeficient u nejvyšší mocniny v předchozí úloze nutná? 9. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít aspoň jeden reálný kořen? 10. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájemně různých kořenů? 1
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést veškerá násobení ve výrazech AX, X(AB) T? 2. Jakou maticí musíme vynásobit zprava matici A typu 2 4, aby vznikla matice, která se od A liší pouze přičtením dvojnásobku prvního sloupce k třetímu sloupci? Dokažte. 3. Vyjádřete z rovnice 2X + AX C = B matici X a popište přesně, jakých vlastností operací s maticemi jste při úpravách použili a za jakých podmínek lze matici X vyjádřit. 4. Definujte pojem inverzní matice k matici A. Dokažte, že pro regulární matici A existuje jediná matice B, která splňuje definici inverzní matice k matici A. ( a b 5. Vyjádřete obecně inverzní matici k matici A = c d ). Za jaké podmínky tato matice existuje? 6. Definujte pojem determinant matice. Dokažte z definice, že determinant trojúhelníkové matice je roven součinu čísel na diagonále. 7. Dokažte, že přičtení dvojnásobku prvního řádku k druhému se nezmění determinant dané matice. 8. Jak se změní determinant matice A typu n n, když matici vynásobíme dvěma? Zdůvodněte. 9. Jak se změní determinant matice A typu n n, když od dvojnásobku druhého řádku odečteme trojnásobek prvního řádku? Zdůvodněte. 10. Spočtěte determinant matice A typu n n, která má na diagonále prvky a i,i = i a jinde a i,j = 2. maticeteorie 1
linproteorie 1. Definujte lineární závislost a nezávislost vektorů x 1, x 2,..., x n lineárního prostoru L. Rozhodněte, zda platí, že po přidání vektoru k lineárně závislé množině vektorů zůstává tato množina stále lineárně závislá. Své tvrzení zdůvodněte za použití definice. 2. Dokažte, že jsou-li vektory v 1, v 2,..., v n lineárně závislé, pak je některý z nich lineární kombinací předchozích vektorů, tj. v k = k 1 α i v i. i=1 3. Dokažte, že lineární obal podmnožiny M prostoru L tvoří podprostor v L. 4. Dokažte, že průnik dvou podprostorů je podprostor. 5. Necht { u, v, w} tvoří bázi v R 3. Je množina vektorů { u + v, v + 2 w, u v w} také báze v R 3? Svou odpověd zdůvodněte. 6. Dokažte, že množina všech matic B typu n n komutujících s danou maticí ( A, tj. ) splňujících rovnost 3 1 AB = BA, tvoří podprostor v prostoru všech matic typu n n. Pro n = 2, A = najděte bázi tohoto 2 0 podprostoru. 7. Dokažte, že množina všech řešení homogenní soustavy rovnic A x T = o T tvoří podprostor v R n, kde n je počet neznámých. 8. Nalezněte nějakou bázi podprostoru P = {(x, y, z) R 3 ; x + y z = 0} v R 3. Najděte souřadnice vektoru v = (1, 0, t) vůči vaší bázi. (Parametr t nahrad te takovým reálným číslem, aby vektor v náležel do podprostoru P.) 9. Dokažte, že různé vektory v prostoru L mají různé souřadnice vůči dané bázi B. 10. Souřadnice vektoru u vůči bázi (B) = ( u, v, w) jsou (a, b, c). Jaké budou souřadnice vektoru u vůči bázi (C) = (2 u, w, u + v)? 11. Dokažte, že vynásobení matice číslem r = 0 nezmění lineární obal řádkových vektorů. linproteorie 1
1. Dokažte, že souřadnicové zobrazení je lineární. linzobteorie 2. Necht f : L 1 L 2, g: L 2 L 3 jsou lineární zobrazení. Dokažte, že také h = g f : L 1 L 3 je lineární. 3. Dokažte, že jádro lineárního zobrazení f : L 1 L 2 je podprostor v L 1. 4. Dokažte či vyvrat te následující tvrzení: Necht f : L 1 L 2 je lineární zobrazení. Pokud u 1,..., u n je lineárně nezávislá posloupnost vektorů, pak f (u 1 ),..., f (u n ) je také lineárně nezávislá posloupnost vektorů. 5. Dokažte či vyvrat te následující tvrzení: Necht f : L 1 L 2 je lineární zobrazení. Pokud u 1,..., u n je lineárně závislá posloupnost vektorů, pak f (u 1 ),..., f (u n ) je také lineárně závislá posloupnost vektorů. 6. Dokažte, že lineární zobrazení je jednoznačně určeno obrazy bázických vektorů. 7. Necht f : L L je lineární zobrazení, dim L = 3 a B = {b 1, b 2, b 3 }, C = {b 2, b 1, b 3 } jsou báze v L. Necht A = 1 2 3 4 5 6 je matice zobrazení f vzhledem k bázi B a B. Napište matici zobrazení f vzhledem k bázím 7 8 9 C a C a zdůvodněte vaši odpověd. 8. Definujte hodnost lineárního zobrazení f. Dokažte, že hod f = hod A f, kde A f je matice zobrazení f vzhledem k bázím B a C. 9. Jak se pozná z matice lineárního zobrazení, že zobrazení je izomorfismus? Dokažte. linzobteorie 1
analgeoteorie 1. Definujte skalární součin volných vektorů v trojrozměrném prostoru E 3. Dokažte z definice, že pro α R, u, v V 3 platí (α u) v = α( u v). 2. Odvod te vzorec pro výpočet skalárního součinu volných vektorů v trojrozměrném prostoru E 3 ze souřadnic vůči ortonormální bázi. 3. Dokažte pomocí skalárního součinu, že pro kolmé vektory u, v platí u + v 2 = u 2 + v 2 (Pythagorova věta). 4. Definujte vektorový součin volných vektorů v trojrozměrném prostoru E 3. Dokažte z definice, že pro u, v V 3 platí v u = ( u v). 5. Odvod te vzorec pro výpočet objemu rovnoběžnostěnu určeného vektory u, v, w. 6. Napište vzorec pro výpočet vzdálenosti bodu A od roviny ρ: ax + by + cz + d = 0 a dokažte ho. 7. Uved te parametrický a neparametrický popis přímky v trojrozměrném prostoru E 3 a zdůvodněte, proč jsou to popisy přímky. 8. Odvod te vzorec pro výpočet paty výšky v A v trojúhelníku ABC. analgeoteorie 1