ATEATICKÝ ÚSTAV Slezsá iverzi N Rybíč, 746 0 v DENNÍ STUDIU Alyicá geomerie Tém : Afií rosor Defiice Bdiž dá erázdá moži A, veorový rosor V d omivím ělesem T chrerisiy l oečě zobrzeí - : A A V řiřzjící sořádé dvojici (X,Y) A A veor Y - X Nechť ro zobrzeí - lí: V ) A,B,C A : (B - A) + (C - B) = C - A, ) X A V! Y A, že Y - X = Usořádo rojici (A, V, - ) zveme rozměrým fiím rosorem d ělesem T oži A se zývá osiel fiího rosor (A, V, - ), číslo je jeho dimeze Nebde-li ebezečí ofze bdeme hovoři věšio je o fiím rosor (res A); míso o fiím rosor (A,, - ) V Defiice Je li = 0, A 0 je jedobodová moži Afií rosor A zýváme fií římo, fií rosor zýváme fií rovio A Defiice 3 Je li T = R (res C), rosor Vě 4 Poždve ) v defiici lze hrdi oždvem ') P A, že zobrzeí - : A Vě 5 zýváme reálý (res omleí) fií, X X - P je vzájemě jedozčé V X A V! Y A, že Y - X = Úmlv: Bod Y, ro erý lí Y - X = ozčíme Y = X + říáme, že bod Y je sočem bod X veor Dále v celém člá zmeá T ěleso slárů změřeí V fiího rosor A Vě 6 X,Y,Z,U A,, v V lí ) X - X = o, ) X - Y = - (Y - X), 3) (X + ) - Y = (X - Y) +, 4) X - (Y + ) = (X - Y) -, 5) (X + ) + v = X + ( + v),
6) (X - Y) + (Z - U) = (X - U) + (Z - Y) Pozám: Vzhledem oždv ) z def úmlvě z věo 5 lze defiov soče bod X oečého oč veorů rereě ásledjícím zůsobem ( X ) X + + = + + + + Defiice 7 Bdiž dá fií rosor d ělesem T Nechť P je libovolý bod rosor e, e e je báze změřeí V Usořádo ( + )-ici P, e, e e zýváme fií bází rosor, P zýváme očáe fií báze Defiice 8 V rávě jed sořádá -ice je dá báze P, e, e e Kždém bod X je řiřze (,,, ) T, že lí X = P + e + e + + e () Defiice 9 Složy sořádé ice (,,, ) bod X vzhledem fií bázi P, e, e e ] z věy 7se zývjí sořdice Plí li (), zisjeme o X = [, vzhledem P, e, e e Neí li ebezečí edorozměí, íšeme je X = [, ] Zobrzeí, eré ždém bod A řiřzje ici sořdic se zývá fií sosv sořdic Úmlv: Frází veor rosor A o změřeí sořdice (,,, ) V má vzhledem bázi e V má vzhledem fií bázi P, e, e, e, fiího bdeme rozmě sečos, že veor, e e veorového rosor V sořdice,,, ozčov o = (, ) Vě 0 Nechť vzhledem e zvoleé fií sosvě sořdic v fiím rosor (A, V, - ) lí A = [,,, ], B = B = [ b, b,, b ], = (,,, ) A + = [ + + ], B - A = ( b b ) Vě Nechť jso v P zvoley dvě fií sosvy sořdic o bázích P, e, e e, B' = P,e, e e Nechť sořdice P,e, e e vzhledem bázi B jso P' = [ b, b,, ], b e i = ( i, i,, i ),,, ] [,,, ] i =,, zčíme-li sořdice libovolého bod X v bázi B [ v bázi B' = = = řičemž de ( i ) 0 + + + + + + lí Defiice Rovice () se zývjí rsformčí rovice ro řechod od báze B ( )
3 bázi B', de ( i ) zýváme deermi říslšé fií rsformce sořdic bod X Defiice 3 Nechť je dá fií rosor = (A, V, - ) d ělesem T Nechť W je odrosor V echť bod E Podmoži všech bodů X fiího rosor, imž eisje veor W, že lí X = E + se zývá odrosor fiího rosor, W se zývá změřeím odrosor Říáme, že odrosor je rče bodem E změřeím W íšeme = {E, W} Dimezí odrosor rozmíme dimezi změřeí W (edy dim = dim W) á-li změřeí W odrosor bázi ozčjeme odrosor = {E, W} éž zůsobem = { E; } Pozám: Bdiž odrosor dimeze fiího rosor (A, V, - ), W jeho změřeí Poom je (, W, - ) fií rosor dimeze Bází odrosor rozmíme jooli bázi fiího rosor (, W, - ) Je zřejmé, že od =, je = A Je-li odmoži A odrosorem fiího rosor A (řesěji odrosorem fiího rosor (A, V, - )), zíšeme o A Defiice 4 V sohlse s defiicí zýváme odrosory dimezí fiího rosor A jeho římmi, res rovimi, odrosory dimeze zýváme drovimi fiího rosor Vě 5 Podrosor je rče jedozčě změřeím W erýmoliv svým bodem zvým zoveím (j = {E; W}), je li A, = {A; W} Vě 6 Nechť E,,, je báze odrosor Bod X je bodem ehdy je ehdy, dyž eisjí, K, T, že lí X = E + (3) Čísl, K, jso bodem X bází rčeá jedozčě Defiice 7 Vzh (3) se zývá veorová rovice odrosor ; se zývjí rmery bod X vzhledem bázi E,,, ebo é viří fií sořdice bod X Vě 8 Nechť je v dá fií sosv sořdic omocí báze B = P, e, e e Bdiž = { E, e, e e odrosor Nechť vzhledem bázi B lí E = [, ], i = ( i, i,,i), i =,, P ro bod X = [, ] lí: X ehdy je ehdy, eisjí-li T, že = = = ) + + + řičemž mice ( má hodos h = i } ( 4 )
4 Defiice 9 Rovice (4) se zývjí rmericé rovice odrosor v fií sosvě sořdic o bázi B = P, e, e e, v rosor Vě 0 Průi N odrosorů = {A; W}, N = {B; W'} fiího rosor je bď rázdá moži ebo odrosor fiího rosor V drhém řídě je jeho změřeí růiem změřeí odrosorů N lí dim( N) = dim(w W') Vě Nechť, N jso odrosory rosor Podrosor S fiího rosor zveme sojeím odrosorů, N ozčjeme S = + N, dyž lí ) S, N S, ) lí li ro libovolý dlší odrosor S', S' N S', lí éž S S' Vě Jso dáy odrosory = {A; W}, N = {B; W'} fiího rosor A P + N = {A; W + W' + [ B - A]}, de [ B - A] je odrosor V geerový veorem B - A Defiice 3 Jso dáy odrosory = {A; W}, N = {B; W'} fiího rosor Je li W W' říáme, že je rovoběžý s N íšeme N Vě 4 Je li N, dim dim N Vě 5 N, N Vě 6 Je li N, bď, N emjí solečé body ebo N Vě 7 Je dá odrosor = {B; W } fiího rosor Nechť A, je bod A obsže rávě v jedom odrosor N, ro erý lí dim N = N Vě 8 Jso dáy odrosory = {A; W}, N = {B; W'} N ehdy je ehdy, dyž W' W B - A W Vě 9 Nechť = {A; W}, N = {B; W'}, de báze změřeí W je voře veory báze změřeí W' je voře veory v v h Nechť dim(w + W') = s, dim( + N) = s' P ždá z ásledjících odmíe je odmío o osčjící roo, by růi N byl erázdý: ) s = s', ) B - A W + W', 3) B - A je lieárí ombicí veorů, v v Vě 30 Nechť odrosory, N z věy 8 mjí erázdý růi P lí dim + dim N = dim( N) + dim( + N) Vě 3 Nechť jso dáy odrosory, N fiího rosor A z věy 8 echť lí é sejé ozčeí P ždá z ásledjících odmíe je o osčjící roo, by N byl rávě jedobodový: ) s = s' = dim + dim N, ) B - A W + W', W W' = {o}, 3) B - A je lieárí ombicí veorů, v v h, řičemž veory h
5, v v h jso lieárě ezávislé Vě 3 Nechť v je zvole fií sosv sořdic Poom lí: I Ke ždé droviě ρ fiího rosor eisje sořádá ( + )-ice (,, b) ová, že ) (, ) (0,,0), ) ρ = {X, X = [, ]; + + = 0 } II Nechť (,,,, b) je ová sořádá ( + )-ice, že (, ) } je dro- (0,,0), oom moži {X, X = vi rosor [,,, ] ; + + = 0 Defiice 33 Plí li o droviě ρ fiího rosor (A, V, - ), že ρ = {X, X = [, ]; + + = 0 }, (, ) (0,,0) říáme, že ρ má v dé sosvě sořdic obeco rovici + + = 0 Vě 34 Ndrovi ρ = { E,,, v A, de vzhledem dé fií sosvě sořdic je A = [,,, ], libovolý bod, má obeco rovici } (, ), i =,, X = [, ] je její i = i i i = 0 Vě 35 V je dá fií sosv sořdic Aby veor =, řil do změřeí droviy ρ : + + = 0 je é sčí, by jeho sořdice slňovly rovici = ( ) 0 Zobecěím věy 3 je ásledjící vě: Vě 36 Nechť v je dá fií sosv sořdic Poom lí: I Ke ždém odrosor fiího rosor eisje mice ( 5 ) A = b b b (6) ová, že ) odmice
6 A = (7) má hodos h = ) = {X, X = [, ]; ( 8)} = 0 = 0 = 0 (8) II Pro ždo mici A' y (6) ovo, že mice A ze (7) má hodos h = je moži = {X, X = [, ]; ( 8)} odrosorem dimeze fiího rosor Defiice 37 Plí li o odrosor, že = {X, X = [, ]; (8)}, de mice A má hodos h =, sosv (8) zýváme sosvo obecých rovic odrosor Defiice 38 Nechť A, B jso dv růzé body fiího rosor Bod X echť je bod římy AB ový, že X B Dělicím oměrem bod X vzhledem sořádé dvojici (A, B) zveme rve T, ro erý lí X - A = (X - B) ozčjeme jej = (ABX) Body A, B zýváme záldími body dělicího oměr Vě 39 Dělicí oměr = (ABX) bodů A, B, X je ěmio body rče jedozčě Vě 40 Nechť A B jso dv body fiího rosor P zobrzeí ϕ, eré ždém bod X římy AB s výjimo bod B řiřzje dělicí oměr = (ABX), je bijeiví zobrzeí možiy bodů římy AB bez bod B moži T \ {} Je li X = A + (B - A) rmericé vyjádřeí římy AB, ϕ: AB \{ } T \ { } B je dáo vzhem = Defiice 4 Nechť jso dáy dv růzé body A, B Bod S = A + (B - A) se zývá sřed sořádé dvojice bodů (A,B) Vě 4 Sřed dvojice (A,B) je rove sřed dvojice (B,A) Defiice 43 Afií rosor d sořádým ělesem T se zývá orieovým, je li jeho změřeí V orieovým veorovým rosorem Afií bázi P, e, e e zveme ldo, je li ldá báze e, e e ve V Pozám: Vše, co je řečeo o orieci fiího rosor, lí i ro všechy jeho odrosory Defiice 44 Zvolme římce fií sosv sořdic o bázi P, Nechť
7 X = P +, Y = P + y jso libovolé body římy Zvedeme li biárí relci = odmío X = Y y, je o relce (úlé) sořádáí římy Bdeme je zýv sořádáí rčeé fií sosvo sořdic o bázi P,, že "X je řed bodem Y" ebo "bod Y je z bodem X", dyž X = Y X Y (zisjeme oze X Y) bdeme ří, že "X je rovo Y ebo je řed Y", řídě, že "X je rovo Y ebo Y je z X" v řídě, že X = Y Vě 45 Usořádáí římy rčeé dvěm fiími sosvmi sořdic o bázích P, Q,, T jso sejá rávě dyž > 0 očá rávě, dyž < 0 Vě 46 N římce eisjí rávě dvě sořádáí rčeá fiími sosvmi sořdic jso sobě očá Vě 47 Nechť A,B, A B P eisje rávě jedo sořádáí fií sosvo sořdic, ro eré A = B = římy rčeé Defiice 48 Nechť A, B sořádáí = ové, že A = B Řeeme, že bod C leží mezi body A, B, dyž A = C = B Vě 49 Nechť A,B,C, A B Bod C leží mezi body A, B rávě dyž (ABC) < 0 Defiice 50 Nechť A, B, A B evřeo úsečo AB s ocovými body A, B zveme moži bodů X římy AB, eré leží mezi body A, B Uzvřeo úsečo AB zveme moži AB = AB {A} {B} Je li A = B, ldeme AB = {A} Vě 5 Nechť A,B X = A + (B - A), de 0, A B P úseč AB je moži bodů X ových, že Defiice 5 ějme změřeí V fiího rosor d sořádým ělesem T Nechť W je odrosor V N možiě Z = V \ W zvedeme relci (mod W ) ásledjícím zůsobem: (9), y Z, y (mod W ) = + cy, de c > 0, W (zde míso (mod W ) y íšeme ( y (mod W )) Relci čeme: je sohlsý s y odle modl W Vě 53 Relce (9) je relcí evivlece možiě Z K í říslšý rozld možiy Z má rávě dvě řídy Defiice 54 V A d sořádým ělesem T je dá drovi = {A;W } veor V \ W = Z oži bodů X fiího rosor, imž eisje veor, že X = A +, (mod W ) zýváme oevřeý olorosor rčeý drovio veorem ; ozčjeme (, ) oži bodů
8 X = A +, - (mod W ) zýváme oevřeý olorosor očý ozčjeme (,-)Ndrovi zýváme hričí drovio olorosorů ožiy, res zýváme zvřeé olorosory Pro = olorosor zýváme olořímo, ro = olorovio Vě 55 Hričí drovio jso rčey rávě dv oevřeé (res zvřeé) olorosory v Vě 56 Nechť je oevřeý olorosor v X, Y P XY = Vě 57 Nechť je zvřeý olorosor v X, Y P ro oevřeo úseč lí XY - = s hričí drovio, hričí drovio Vě 58 Je li v báze P, e, e e - = P, e, e e, X = [,, ], Y = [ y,,y ] ří do éhož oevřeého olorosor s hričí drovio ehdy je ehdy, dyž y > 0 Vě 59 Nechť drovi v dé fií sosvě sořdic má rovici A + + + A 0 = 0 Pro ždo (,, ) T oložme f(,, ) = A + A + + + A 0 Poom je jede z zvřeých olorosorů rčeých drovio možio {X A, X = [,, ] f(,, ) 0}, zbývjící z ich možio {X A, X = [,, ] f(,, ) 0} Vě 60 Nechť R jso dvě růzé rovoběžé droviy fiího rosor Poom ždá z ich je obsže rávě v jedom oevřeém olorosor rčeém zbývjící z ich Defiice 6 Nerázdo moži bodů K zýváme oveí možio, lí li, je li X, Y K, úseč XY K Prázdo moži oládáme rověž z oveí Vě 6 Koveí možiy římce jso: celá řím, oevřeá ebo zvřeá olořím, oevřeá ebo zvřeá úseč, bod rázdá moži Vě 63 Průi libovolého oč oveích moži je oě oveí moži Vě 64 Podrosor fiího rosor je oveí moži Defiice 65 V fiím rosor jso dáy dvě růzé rovoběžé droviy R Nechť je olorosor rčeý drovio R obshjící drovi je olorosor rčeý drovio obshjící drovi R P moži zýváme vrsvo Nechť v jso dáy růzoběžé droviy R Nechť je libovolý olorosor rčeý drovio R je libovolý olorosor rčeý drovio P moži zýváme líem Je li = vrsv zýváme ásem, lí úhlem Defiice 66 Body A 0, A,, A - A 0, A - A 0,, A 0 lieárě ezávislé, zýváme geomericy ezávislé, jso li veory Pozám: Nechť A 0,, A r jso geomericy ezávislé body Poom fií odrosor r = {A 0 ; A - A 0,, A r - A 0 } je zřejmě jediým odrosorem dimeze r obshjící body
9 A 0,,A r Říáme, že r je rče geomericy ezávislými body A 0,,A r Defiice 67 Nechť K je odmoži v Průi všech oveích moži, eré obshjí moži K se zývá oveím oblem možiy K ozčje se K(K) Defiice 68 Koveí obl oečé možiy K bodů z zýváme oveím mohosěem v Body možiy K zýváme vrcholy mohosě ierr: Sei ol, Geomerie I, II, Sáí edgogicé ldelsví Prh 986, 988 B Bydžovsý, Úvod do lyicé geomerie, Prh 956 Bsem, Kelly: Projecive Geomery d Projecive erics Acdemic Press New Yor 953 Rsý řeld, osv 957 K Bri, Geomerie I, srim PF, srv 984 E Peschl, Alyicá geomerie lieárí lgebr, Prh 97 V Hvel, J Holed, ieárí lgebr, SNT/AFA, Prh 984 B Bdísý, Alyicá difereciálí geomerie, SNT, Prh 983 J Jyš, A Seiová, Alyicá eorie želoseče vdri, sri U, Bro 996 P Horá, J Jyš, Alyicá geomerie, sri U, Bro 997 E Čech, Záldy lyicé geomerie, Prh 95 J Jchová, rová, H Žáová, Cvičeí z geomerie I, srim UP, lomoc 99