Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace je ekvivalence na M n (C) Existuje tedy rozklad M n (C) na třídy vzájemně podobných matic Věta 85 Necht A, B M n (C) jsou regulární Jestliže A B, pak 1 det(a) = det(b), 2 h(a) = h(b) Charakteristická matice Definice 85 Charakteristickou maticí matice (a ij ) M n (C) rozumíme matici A λe, tedy a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n A λe = a n1 a n2 a nn λ Příklad 83 Charakteristická matice k matici 1 3 1 2 1 4 3 1 A λe = je matice 1 λ 3 1 2 1 λ 4 3 1 λ Charakteristický polynom matice, vlastní čísla Definice 86 Charakteristickým polynomem matice M n (C) nazýváme determinant matice A λe Píšeme ch A (λ) = det(a λe) Jeho kořeny nazýváme vlastní čísla matice A Příklad 84 Charakteristický polynom matice ( ) 1 2 1 1 je polynom ch A (λ) = 1 λ 2 1 1 λ = λ2 2λ + 3 Vlastní čísla matice A jsou tedy 1 ± i 2 5
Spektrum matice Matice A M n (C) má tedy právě n vlastních čísel v množině C a to včetně jejich algebraických násobností Množina vlastních čísel matice A M n (C) se nazývá spektrum matice A, píšeme Spec(A) Tedy Spec(A) = {λ C : det(a λe) = } Necht Spec(A) = {λ 1, λ 2,, λ k }, a přitom násobnost vlastního čísla λ i je rovna n i Pak k n a k i=1 n i = n Věta 86 Podobné matice mají stejná spektra, včetně algebraických násobností vlastních čísel Podobnost matic, charakterizace Věta 87 Dány matice A, B M n (C) se stejným charakteristickým polynomem (λ λ 1 ) n1 (λ λ 2 ) n2 (λ λ k ) n k Pak matice A a B jsou podobné právě když platí h(a λ i E) j = h(b λ i E) j i = 1,, k j = 1,, n i Podobnost matic, charakterizace Příklad 85 Pro matice 2 2 1 4 4 1 5 3 3 C = 1 2 1 2, B =, D = 3 1 3 7 2 9 2 1 4 1 2 2 vzhledem k předchozímu kritériu máme A C B D, a to proto, že matice A, C, D mají stejný charakteristický polynom, ch(λ) = (λ 1)(λ 2) 2, přitom ale jiný než matice B a navíc, 6
Podobnost matic, charakterizace Příklad 85 platí, že dále a konečně h(a E) = 2, h(c E) = 2, h(d E) = 2, h(a 2E) = 2, h(c 2E) = 2, h(d 2E) = 1, h(a 2E) 2 = 1, h(c 2E) 2 = 1, h(d 2E) 2 = 1 Vlastní vektory čtvercové matice Definice 87 Necht λ je vlastní číslo matice A M n (C) Pak vektor x C n splňující A x T = λ x T se nazývá vlastní vektor matice A příslušný k vlastnímu číslu λ Maticovou rovnici A x T = λ x T můžeme ekvivalentně psát ve tvaru (A λe) x T = o T, což je homogenní SLR s maticí (A λe) M n (C) Tato matice je pro každé vlastní číslo λ matice A singulární To ale znamená, že uvedená homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení Tedy jednomu vlastnímu číslu λ odpovídá nekonečně mnoho vlastních vektorů, které tvoří podprostor v C n, který značíme N λ Jeho dimenze je rovna n h(a λe) Vlastní vektory čtvercové matice Příklad 86 Charakteristická matice k matici je matice A λe = 4 2 2 3 1 4 λ 2 2 λ 3 1 λ a tedy ch A (λ) = (λ 2) 2 (λ 1) Pak Spec(A) = {1, 2}, 7
Vlastní vektory čtvercové matice Příklad 86 Pro λ = 1 řešíme soustavu: 3 2 1 3 2 Pak N 1 = [{(2,, 3)}] Pro λ = 2 řešíme soustavu: 2 2 3 3 Pak N 2 = [{(1,, 1), (, 1, )}] x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Geometrická násobnost vlastního čísla = = Věta 88 Vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům matice A M n (C) jsou lineárně nezávislé Definice 88 Necht λ je vlastní číslo matice A M n (C) Dimenzi podprostoru N λ říkáme geometrická násobnost vlastního čísla λ Geometrická násobnost vlastního čísla Geometrická násobnost vlastního čísla λ matice A M n (C) nemusí být vždy stejná jako jeho algebraická násobnost Obecně pro λ Spec(A) platí, že jeho geometrická násobnost není větší než algebraická, tedy GN(λ) AN(λ) Platí, že podobné matice mají stejná spektra a AN vlastních čísel To samé se dá ukázat pro GN Obráceně neplatí! Např matice 7 1 7 7 1 7, B = 7 1 7 1 7 7 mají stejné spektrum, Spec(A) = Spec(B) = {7}, v obou případech AN(7) = 4, a dokonce pro obě matice GN(7) = 2 Přesto A B 8
Blokově diagonální matice Definice 89 Matice A M n (C) se nazývá blokově diagonální, jestliže: 1 (A ij ) i, j=1,,k, kde A ij M ni n j (C), a přitom k i=1 n i = k j=1 n j = n; 2 A ii M ni (C) pro každé i = 1, 2,, k; 3 A ij = N ni n j pro každé i, j = 1, 2,, k, pokud i j Tedy blokově diagonální matice je obecně matice ve tvaru A 11 N n1 n 2 N n1 n k N n2 n 1 A 22 N n2 n k N nk n 1 N nk n 2 A kk Definice 81 Jordanovým polem (r-tého stupně) nazýváme pro libovolné komplexní číslo ρ matici A M r (C) ve tvaru ρ 1 ρ 1 ρ 1 ρ Jordanovou maticí (nebo Jordanovým kanonickým tvarem matice) nazýváme blokově diagonální matici, jejíž všechny diagonální bloky jsou Jordanova pole Příklad 87 Matice 2 2 1 2 3 1 3 je v JKT, přičemž Jordanovy buňky na hlavní diagonále v A jsou ( ) ( ) 2 1 3 1 (2),, 2 3 9
Věta 89 Každá matice A M n (C) je podobná některé matici v Jordanově kanonickém tvaru Je-li podobná dvěma, pak se tyto liší pouze pořadím diagonálních polí Necht Spec(A) = {λ 1, λ 2,, λ k }, a přitom alg násobnost vlastního čísla λ i je rovna n i a jeho geom násobnost r i Pak číslu λ i odpovídá v matici v JKT právě r i diagonálních polí s n i hodnotami λ na hlavní diagonále Příklad 88 Najděte matice 1 1 2 1 1 3 3 4 1 2 1