Popis jednotlivých kvadrik

Podobné dokumenty
= 1, (2.3) b 2 + z2. c2 se nazývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme z rovnice (2.3), neobsahuje žádný reálný bod.

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

1.13 Klasifikace kvadrik

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Funkce dvou proměnných

SBÍRKA PŘÍKLADŮ NA KVADRATICKÉ PLOCHY

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

1.6 Singulární kvadriky

ploch Maturitní práce 2013/2014 Oponenti: RNDr. Alena Rybáková, RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D.

y Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A

Klasické třídy ploch

Vlastní čísla a vlastní vektory

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

Základy analytické geometrie. II

Elementární plochy-základní pojmy

Eliptický paraboloid je kvadrika, která má v nějaké kartézské soustavě souřadnic rovnici x 2 a 2 + y2

Základní vlastnosti ploch

Další plochy technické praxe

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Konstruktivní geometrie

4.2. Graf funkce více proměnných

Diferenciáln. lní geometrie ploch

Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

17 Kuželosečky a přímky

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Analytická geometrie v rovině

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Zobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

Singularity rotačních obalových ploch

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část

Deskriptivní geometrie 2

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

Michal Zamboj. January 4, 2018

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Modely zborcených ploch

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Elementární křivky a plochy

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Přírodovědecká fakulta. Jindřich Červinka. Rotační plochy. Diplomová práce

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Základy matematiky kombinované studium /06

Michal Zamboj. December 23, 2016

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Kartografické projekce

Průniky rotačních ploch

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Základní topologické pojmy:

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Deskriptivní geometrie 2

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Gymnázium, Brno, Elgartova 3

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

13. Kvadratické rovnice 2 body

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Konvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Transkript:

Kapitola Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme abývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoid a hperboloid, které patří do skupin regulárních středových kvadrik. Poté uvedeme vlastnosti paraboloidů. V další části budeme koumat kuželové a válcové ploch, které patří do skupin singulárních kvadrik. Uvedeme vlastnosti, které jsou pro dané ploch charakteristické, rovněž připojíme možnosti použití uvedených ploch v prai..1 Elipsoid Trojosý elipsoid je středová regulární kvadrika, která má rovnici =1. (.1) c Kladná čísla a, b, c jsou délk os elipsoidu, obr..1 Souřadnicová rovina = protíná elipsoid (.1) v elipse o rovnici =1, (.) b jak se le snadno přesvědčit dosaením a = do rovnice elipsoidu (.1). Vememe-li místo souřadnicové rovin = rovinusnírovnoběžnou = k, pro nějakou konstantu k, vidíme, že pro k >crovina elipsoid neprotíná, pro k <crovina = k protíná elipsoid v elipse, která je podobná elipse (.). Pro k = c je průnikem jediný bod [,,c], který je bodem dotku tečné rovin = c. Obdobné platí pro rovinu = c. Ostatní souřadnicové rovin = a = protínají elipsoid po řadě v elipsách orovnicích a + c =1 a c =1. 67

68 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obráek.1: Trojosý elipsoid + + =1. a b c Analogický výsledek jako pro rovinu = k dostaneme, vememe-li místo rovin =a =rovinsnimirovnoběžné = k a = k, pro nějakou reálnou konstantu k. Vrchol elipsoidu A, B, C, D, E, F jsou bod o souřadnicích A =[a,, ], B= [,b,], C=[,,c], D=[ a,,c], E=[, b, c], F =[,, c]. Vrchol leží v průsečících tří os elipsoidu (které v našem případě splývají s osami souřadnic,, ) s elipsoidem. 1 1 1 1 Obráek.: Trojosý elipsoid Speciálním případem je rotační elipsoid, jehož dvě os mají stejnou délku. Jestliže a = b > c,potom se elipsoid naývá ploštělý rotační elipsoid sosou

.1. ELIPSOIDY 69 rotace. Obráek.3: Zploštělý rotační elipsoid Jestliže a = b < c,potom se jedná o vejčitý (protáhlý) rotační elipsoid s osou Obráek.4: Vejčitý rotační elipsoid a + c =1. rotace v ose, obr..4.

7 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obráek.5: Vejčitý rotační elipsoid Pokud a = b = c = r, potom se tato plocha naývá kulová plocha o poloměru r. Její rovnice je + + = r. Kulová plocha má mnoho ajímavých vlastností a je skutečnou královnou mei plochami. Jednou vlastností je tv. ioperimetrická vlastnost kulové ploch: Mei všemi konveními plochami o daném povrchu má kulová plocha největší objem. Této vlastnosti se vužívá např. při výrobě nádrží, obalů apod. Obráek.6: Mýdlové bublin svým tvarem potvrují ioperimetrickou vlastnost kulové ploch (droj obráku: http://www.google.c, bubbles.jpg)

.. HYPERBOLOIDY 71 Kvadratická plocha, jejíž rovnice je = 1, (.3) c se naývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme rovnice (.3), neobsahuje žádný reálný bod.. Hperboloid Hperboloid patří společně s elipsoid mei středové regulární kvadrik. Vlastní čísla jsou nenulová a mají, na rodíl od elipsoidů, růná naménka. Rolišujeme dva druh hperboloidů jednodílný a dvojdílný. Nejprve se budeme věnovat jednodílnému hperboloidu...1 Jednodílný hperboloid Jednodílný hperboloid má rovnici b =1. (.4) c Kladná čísla a, b, c jsou délk os hperboloidu. 5 5 Obráek.7: Jednodílný hperboloid Souřadnicová rovina = protíná hperboloid (.4) v hperbole b =1, (.5) c jak plne dosaením = do rovnice (.4). Analogick, rovina = protne hperboloid v hperbole a =1, (.6) c