rovnice 8.1 Úvod Kapitola 8

Kpitol 8 Zobecněné lineární diferenciální rovnice 8.1 Úvod Všechny integrály v této kpitole jsou KS-integrály, jejichž definice je rozšířen ve smyslu odstvce 6.8 n mticové funkce (tj. funkce zobrzující intervl [, b] do prostoru mtic). Jk jsme již v odstvci 6.8 vysvětlili, všechny vlstnosti KSintegrálu i obou typů RS-integrálu, které jsme doposud dokázli pro sklární funkce, pltí i pro funkce vektorové či mticové, pokud se v příslušných formulích nezmění pořdí, v jkém se tm mticové funkce objevují. V důkzech se tedy budeme pro potřebné vlstnosti funkcí integrálů odvolávt n odpovídjící tvrzení pro sklární funkce z kpitol 1 6. Následující definice zvádí prostory vektorových, resp. mticových funkcí, se kterými budeme v této kpitole prcovt. (ii) 8.1 Definice. (i) G([, b], R n ) je Bnchův prostor funkcí f : [, b] R n, které jsou regulovné n [, b]. Norm n G([, b], R n ) je definován předpisem f = f(t) pro f G([, b], R n ), kde f(t) je norm vektoru f(t) v R n. sup t [,b ] BV([, b], L (R n )) je Bnchův prostor funkcí F : [, b] L (R n ),které mjí konečnou vrici n [, b]. Norm n BV([, b], L (R n )) je definován předpisem F BV = F () + vr b F pro F BV([, b], L (R n )), kde vr b F se definuje jko v odstvci 6.8 F () je norm mtice F () v L (R n ). Podobně se definují prostory BV([, b], R n ), C([, b], L (R n )) C([, b], R n ) normy n nich. Množinu funkcí f : [, b] R n s derivcí spojitou n intervlu [, b] znčíme C 1 ([, b], R n ). (Jko obvykle, definujeme f () = f (+) f (b) = f (b ) pro f C 1 ([, b], R n ).) Témtem této kpitoly budou rovnice tvru 203

204 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE x(t) x(s) s d A x = f(t) f(s), (8.1) kde t, s [, b], A je n n-mticová funkce, f je n-vektorová funkce hledáme n-vektorovou funkci x vyhovující následující definici. 8.2 Definice. Funkce x : [, b] R n je řešením rovnice (8.1) n intervlu [, b], jestliže existuje integrál b dax rovnost (8.1) je splněn pro libovolná t, s [, b]. Rovnice (8.1) se nzývá zobecněná lineární diferenciální rovnice. 8.3 Poznámk. Bud dáno [, b] necht x splňuje rovnost x(t) x( ) d A x = f(t) f( ) (8.2) pro t [, b]. Potom pro libovolné s [, b] máme x(s) = x( ) + s d A x + f(s) f( ). Odečteme-li tuto rovnost od (8.2), zjistíme, že (8.1) pltí pro libovolná t, s [, b], tj. x je řešení rovnice (8.1). Funkce x : [, b] R n je tedy řešením rovnice (8.1) n [, b] právě tehdy, když pro nějké pevné [, b] splňuje rovnost (8.2) n [, b]. 8.2 Diferenciální rovnice s impulsy Motivcí pro studium zobecněných diferenciálních rovnic jsou mj. úlohy s impulsy. V řdě prktických úloh se totiž potkáme s perturbcemi, jejichž dob působení je sice znedbtelná v porovnání s dobou celého procesu, které le nicméně podsttně ovlivní studovný proces. Zprvidl vhodným modelem pro popis tkovýchto procesů jsou diferenciální rovnice s impulsy, tj. diferenciální rovnice, jejichž řešení nemusí být hldká, b ni spojitá. Zdrojem modelů s impulsy je zejmén fyzik (npř. popis hodinových mechnismů, oscilce elektromechnických systémů, vyzřování elektrických, resp.

STIELTJESŮV INTEGRÁL 205 mgnetických vln v prostředí s rychle se měnícími prmetry, stbilizce Kpicov kyvdl, optimální regulce metodou bng-bng), le tké medicín (distribuce léčivých látek v těle, strtegie impulsní vkcince v epidemiologických modelech, studium účinku hromdného očkování proti splničkám), populční dynmik (modely s rychlými změnmi počtu některých populcí) či ekonomie (modely trhu, které připouštějí prudké změny cen). Nejjednodušší idelizcí impulsních procesů jsou procesy popsné lineárními diferenciálními rovnicemi, n které v konečném počtu pevně dných bodů působí lineární impulsy. Předpokládejme, že r N, < τ 1 <... < τ r < b, P C([, b], L (R n )), q C([, b], R n ), B k L (R n ), d k R n pro k = 1, 2,..., r. (8.3) (V této kpitole budou symboly typu B k, resp. d k znčit tké mtice, resp. vektory.) Oznčme D = { } τ 1, τ 2,..., τ r, τ0 =, τ r+1 = b. Pro kždou regulovnou funkci x : [, b] R n definujme x [1 ] (t) = x(t) pro t [, τ 1 ] (8.4) x(τ k 1 +) když t = τ k 1, x [ k ] (t) = pro k = 2, 3,..., r + 1. x(t) když t (τ k 1, τ k ] Lineární impulsní úloh je pk tvořen lineární diferenciální rovnicí x = P (t) x + q(t) (8.5) lineárními impulsními podmínkmi + x(τ k ) = B k x(τ k ) + d k, k = 1, 2,..., r, (8.6) přičemž řešení jsou určen podle následující definice.

206 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.4 Definice. Řekneme, že funkce x : [, b] R n je řešením úlohy (8.5), (8.6), jestliže x [ k] C 1 ([τ k 1, τ k ]) pro kždé k = 1, 2,..., r+1, (8.7) x vyhovuje impulsním podmínkám (8.6) splňuje diferenciální rovnost x (t) = P (t) x(t) + q(t) pro t [, b] \ D. (8.8) 8.5 Poznámk. Povšimněme si, že řešení úlohy (8.5), (8.6) ptří vždy do prostoru G([, b], R n ). Ukážeme nyní, že úlohu (8.5), (8.6) můžeme ekvivlentně přeformulovt jko zobecněnou lineární diferenciální rovnici tvru (8.2). Předpokládejme zprvu, že r = 1, necht x : [, b] R n je řešení impulsní úlohy (8.5), (8.6). Integrcí rovnosti (8.8) dostneme vzthy x(t) = x() + P (s) x(s) d s + q(s) ds pro t [, τ 1 ] x(t) = x(τ 1 +) + P (s) x(s) d s + τ 1 q(s) ds τ 1 pro t (τ 1, b ]. Doszením z podmínek (8.6) (kde k = r = 1) do druhého vzthu pk dostneme pro t (τ 1, b ] tedy x(t) = x(τ 1 ) + B 1 x(τ 1 ) + d 1 + P (s) x(s) d s + τ 1 = x() + x(t) = x() + + P (s) x(s) d s + B 1 x(τ 1 ) + P (s) x(s) d s +χ (τ1,b ](t) B 1 x(τ 1 ) q(s) ds +χ (τ1,b ](t) d 1 τ 1 q(s) ds q(s) ds + d 1, pro t [, b]. (8.9)

STIELTJESŮV INTEGRÁL 207 Položme A(t) = P (s) d s + χ (τ1,b ](t) B 1 f(t) = q(s) d s + χ (τ1,b ](t) d 1 pro t [, b]. Pk A BV([, b], L (R n )), f BV([, b], R n ) A(t ) = A(t) f(t ) = f(t) pro t (, b ]. Dále neboli A(t+) = P (s) d s + χ [τ1,b ](t) B 1 f(t+) = + A(t) = χ [τ1 ](t) B 1 + f(t) = χ [τ1 ](t) d 1 pro t [, b). q(s) d s + χ [τ1,b ](t) d 1 Podle věty o substituci 6.47 formule (6.11) z příkldů 6.15 (ii) (viz též příkldy 6.44) pltí d A x = f(t) f() = P (s) x(s) d s +χ (τ1,b ](t) B 1 x(τ 1 ) q(s) ds +χ (τ1,b ](t) d 1 pro t [, b] x G([, b], R n ). Doszením do (8.9) zjistíme, že x splňuje n [, b] rovnost (8.2), kde =. Obráceně, jestliže x G([, b], R n ) splňuje (8.2) n [, b], pk podle výše uvedeného pltí opět (8.9). Odtud vidíme, že definujeme-li funkce x [ k] jko v (8.4), bude pltit (8.7) (8.8). Nvíc, podle Hkeovy věty (viz též cvičení 6.43) je x(t ) = x(t) pro kždé t (, b ] x(t+) = x() + lim = x() + s t+ s d A x +f(t+) f() d A x + f(t) f() + + A(t) x(t) + + f(t) = x(t) + χ [τ1 ](t) ( ) B 1 x(t) + d 1 pro kždé t [, b].

208 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Speciálně doszením t = τ 1 zjistíme, že x splňuje impulsní podmínku (8.6), kde k = r = 1. Vzhledem k poznámce 8.3 je tedy pro r = 1 úloh (8.5), (8.6) ekvivlentní se zobecněnou diferenciální rovnicí (8.1). V obecném přípdě r N, definujeme A(t) = f(t) = P (s) d s + q(s) d s + r χ (τk,b ](t) B k, k=1 r χ (τk,b ](t) d k, k=1 Indukcí sndno ověříme následující tvrzení. pro t [, b]. (8.10) 8.6 Vět. Předpokládejme (8.3) (8.10). Potom impulsní úloh (8.5), (8.6) je ekvivlentní se zobecněnou diferenciální rovnicí (8.2), tj. x : [, b] R n je řešením úlohy (8.5), (8.6) n intervlu [, b] tehdy jen tehdy, když je řešením rovnice (8.1) n intervlu [, b]. 8.3 Lineární operátory Připomeňme nyní stručně několik zákldních pojmů z funkcionální nlýzy, které budeme ndále potřebovt. Podrobnější informci lze njít ve většině učebnic funkcionální nlýzy (viz npř. [3], [16], [32], [41]). Zákldní přehled je obsžen tké v úvodní části monogrfie [55]. Necht X, Y jsou Bnchovy prostory. Zobrzení T : X Y (T zobrzuje X do Y ) je spojitý operátor, jestliže lim x n x X = 0 = n lim T (x n ) T (x) Y = 0, n kde X je norm n X Y je norm n Y. Operátor T : X Y se nzývá lineární, jestliže pltí T (c 1 x 2 + c 2 x 2 ) = c 1 T (x 1 ) + c 2 T (x 2 ) pro x 1, x 2 X c 1, c 2 R. Dále řekneme, že lineární operátor T je ohrničený, existuje-li číslo K [0, ) tkové, že pltí T (x) Y K x X pro kždé x X.

STIELTJESŮV INTEGRÁL 209 Je-li T lineární operátor, píšeme, jk je zvykem, T x místo T (x). Je známo, že lineární operátor T : X Y je spojitý právě tehdy, když je ohrničený. Množinu ohrničených lineárních zobrzení prostoru X do prostoru Y znčíme L (X, Y). Je-li X = Y, píšeme L (X) místo L (X, X). N L (X, Y) jsou zřejmým způsobem zvedeny operce sčítání operátorů násobení operátorů reálným číslem L (X, Y) je pk Bnchův prostor vzhledem k normě L L (X,Y) = sup { L x Y : x X x X 1 }. Je známo, že prostor L (R n ) je ekvivlentní s prostorem mtic typu n n. Konečně, řekneme, že L L (X, Y) je kompktní, jestliže zobrzuje kždou množinu ohrničenou v X n množinu reltivně kompktní v Y, tj. jestliže pro kždou posloupnost {x n } ohrničenou v X její obrz {L x n } Y obshuje podposloupnost konvergentní v Y. Je známo, že kždý kompktní lineární operátor je součsně spojitý. V důkzech hlvních výsledků této kpitoly využijeme následující dvě tvrzení. První z nich je zobecněním jedné z Fredholmových vět známých z teorie integrálních rovnic. Jeho důkz je obsžen npř. v monogrfiích N. Dunford J. T. Schwrtze [5], M. Schechter [44] nebo ve skriptech J. Lukeše [32]. 8.7 Vět (FREDHOLMOVA VĚTA O ALTERNATIVĚ). Bud X Bnchův prostor necht operátor L L (X) je kompktní. Potom operátorová rovnice x L x = g (8.11) má jediné řešení pro kždé g X tehdy jen tehdy, když příslušná homogenní rovnice x L x = 0 (8.12) má pouze triviální řešení x = 0 X. Druhé tvrzení je známo tké z elementární teorie mtic. Připomeňme si zde jeho obecnou podobu převztou z monogrfie [58] (viz Lemm 4.1-C). 8.8 Lemm. Necht X je Bnchův prostor, T L (X) T L (X) < 1. Potom existuje ohrničený inverzní operátor [ I T ] 1 k operátoru [ I T ] pltí nerovnost [ I T ] 1 L (X) 1 1 T L (X).

210 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.4 Existence řešení zobecněných lineárních diferenciálních rovnic Studium zobecněných lineárních diferenciálních rovnic zhájíme prostým pozorováním vycházejícím ze známých vlstností KS-integrálu. 8.9 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) f G([, b], R n ). Potom kždé řešení x rovnice (8.1) n [, b] je regulovné n [, b] pltí pro něj vzthy } x(t) = A(t) x(t) + f(t) když t (, b ], (8.13) + x(s) = + A(s) x(s) + + f(s) když s [, b). D ů k z plyne z důsledku 6.41 Sksov-Henstockov lemmtu. Vzhledem k větě 8.9 je tedy vhodné hledt řešení zobecněných lineárních diferenciálních rovnic ve třídě G([, b], R n ). Anlogiemi počátečních úloh pro lineární obyčejné diferenciální rovnice jsou úlohy x(t) x d A x = f(t) f( ), (8.14) kde bod [, b] vektor x R n jsou dány předem. 8.10 Definice. Řešením počáteční úlohy (8.14) n intervlu [, b] rozumíme funkci x : [, b] R n, pro kterou je splněn rovnost (8.14) pro kždé t [, b]. 8.11 Poznámk. Vzhledem k poznámce 8.3 je zřejmé, že funkce x je řešením počáteční úlohy (8.14) n [, b] právě tehdy, když je řešením rovnice (8.1) n [, b] pltí x( ) = x. Kždé funkci x G([, b], R n ) bodu [, b] přiřd me funkci A t0 x předpisem (A t0 x)(t) = d A x pro t [, b]. (8.15) Podle důsledku 6.41 jsou funkce A t0 x regulovné n [, b]. Zobrzení A t0 : x G([, b], R n ) A t0 x G([, b], R n )

STIELTJESŮV INTEGRÁL 211 je zřejmě lineární dále podle věty 6.18 pltí A t0 x ( vr b A ) x pro kždé x G([, b], R n ). Pro kždé [, b] je tedy A t0 A t0 L (G([, b], R n )). spojitý lineární operátor n G([, b], R n ), tj. Dokážeme nyní, že součsně je předpisem (8.15) definován spojitý lineární operátor zobrzující G([, b], R n ) do BV([, b], R n ). 8.12 Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] necht funkce A t0 x je pro x G([, b], R n ) definován vzthem (8.15). Potom A t0 x BV([, b], R n ) pro kždé x G([, b], R n ) operátor x G([, b], R n ) A t0 x BV([, b], R n ) je ohrničený. D ů k z. Bud σ libovolné dělení intervlu [, b]. Podle věty 6.18 pro kždé x G([, b], R n ) máme ν(σ) ν(σ) (A t0 x)(σ j ) (A t0 x)(σ j 1 ) = j=1 j=1 j=1 σj d A x σ j 1 ν(σ) ( vr σ j σ j 1 A ) x = ( vr b A ) x (A t0 x)() = d A x ( vr b A ) x. Tudíž A t0 x BV([, b], R n ) A t0 x BV = (A t0 x)() + vr b (A t0 x) 2 ( vr b A ) x pro kždé x G([, b], R n ). Pomocí operátoru A t0 operátorovou rovnici z (8.15) můžeme přepst počáteční úlohu (8.14) jko x A t0 x = g, kde g = x + f f( ).

212 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Protože nemáme k dispozici prostředky postčující k důkzu kompktnosti operátoru A L (G([, b], R n )), nemůžeme přímo plikovt Fredholmovu větu (vět 8.7) musíme postupovt tk trochu oklikou. V následující větě ukážeme pomocí Hellyovy věty Osgoodovy věty, že operátor A t0 generuje kompktní zobrzení prostoru BV([, b], R n ) do sebe. 8.13 Vět. Necht [, b] A BV([, b], L (R n )). Položme L x = A t0 x pro x BV([, b], R n ). Potom L je kompktní lineární operátor n BV([, b], R n ). D ů k z. Protože je x x BV pro kždé x BV([, b], R n ), plyne z lemmtu 8.12, že L L (BV([, b], R n )). Dokážeme, že pro kždou posloupnost {x n } ohrničenou v BV([, b], R n ) její obrz {L x n } BV([, b], R n ) obshuje podposloupnost, která je konvergentní v BV([, b], R n ). Necht jsou tedy posloupnost {x n } BV[, b] číslo κ [0, ) tkové, že x n BV κ < pro kždé n N. Podle Hellyovy věty (vět 2.46) existují funkce x BV([, b], R n ) rostoucí podposloupnost {n k } N tkové, že x BV 2 κ lim k x nk (t) = x(t) pro kždé t [, b]. Oznčme z k (t) = x nk (t) x(t) pro k N t [, b]. Potom z k (t) 4 κ lim k z k (t) = 0 pro k N t [, b]. Vzhledem k tomu, že integrály d c d A z k d d [vr s A] z k (s) existují pro libovolná c, d [, b] k N, vět 6.18 zručuje, že pltí ν(σ) ν(σ) (L z k )(σ j ) (L z k )(σ j 1 ) = j=1 ν(σ) σj j=1 b j=1 σ j 1 d [ vr s A ] z k (s) pro libovolná σ D [, b] k N. Máme tedy vr b (L z k ) b c σj d A z k σ j 1 d [ vr s A ] z k (s) d [ vr s A ] z k (s) pro k N.

STIELTJESŮV INTEGRÁL 213 Podle věty 6.51 je ovšem b lim k d [ vr s A ] z k (s) = 0, tudíž tké lim vr ( b L xnk L x ) = lim vr b (L z k ) = 0. k k Podobně lim ( L x nk () L x() ) = lim (L z k )() = lim d A z k k k k [ lim vr s A ] z k (s) = 0. k Vět je dokázán. Následující tvrzení je důsledkem věty 8.7 věty 8.13. 8.14 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) [, b]. Potom počáteční úloh x(t) d A x = g(t) (8.16) má pro kždou funkci g BV([, b], R n ) jediné řešení n [, b] právě tehdy, když odpovídjící homogenní úloh x(t) d A x = 0 (8.17) má n [, b] pouze triviální řešení x 0. D ů k z. Rovnice (8.16) je ekvivlentní s operátorovou rovnicí x L x = g, kde L x = A t0 x pro x BV([, b], R n ), tj. (L x)(t) = d A x pro x BV([, b], R n ) t [, b]. Podle věty 8.13 je L lineární kompktní operátor n BV([, b], R n ). K dokončení důkzu věty využijeme větu 8.7.

214 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Předpokládejme nyní, že τ (, b ] funkce x G([, b], R n ) splňuje rovnost (8.14) n intervlu [, τ). Zřejmě je x( ) = x. Pomocí Hkeovy věty (vět 6.42, viz též příkldy 6.44 cvičení 6.45) sndno ověříme, že pltí x(τ ) = x + lim = x + = x + s τ τ t 0 τ s d A x + ( f(τ ) f( ) ) d A x + f(τ) f( ) lim s τ τ s d A x f(τ) d A x + f(τ) f( ) A(τ) x(τ) f(τ). Má-li tedy funkce x splňovt (8.14) tké v bodě τ, musí hodnot x(τ) vyhovovt rovnici [ I A(τ) ] x(τ) = x(τ ) + f(τ), (8.18) kde I znčí jednotkovou mtici typu n n (viz Úmluvy oznčení (xiv)). Odtud je zřejmé, že řešení počáteční úlohy (8.14) n intervlu [, τ) bude možno jednoznčným způsobem prodloužit do bodu τ, jestliže bude pltit det [ I A(τ) ] 0. (8.19) Podobně jko výše můžeme usoudit, že funkce x G([, b], R n ) splňující (8.14) n intervlu (τ, ], kde τ [, ), splňuje (8.14) tké v bodě τ tehdy jen tehdy, když pltí [ I + + A(τ) ] x(τ) = x(τ+) + f(τ), (8.20) k tomu stčí, by pltilo det [ I + + A(τ) ] 0. (8.21) (Rozmyslete si detily!) Můžeme tedy očekávt, že podmínky (8.19) (8.21) jsou podsttné pro existenci řešení úlohy (8.14). 8.15 Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )) [, b]. Potom úloh (8.16) má jediné řešení pro kždou funkci g BV([, b], R n ) tehdy jen tehdy, když det [ I A(t) ] 0 pro kždé t (, b ] (8.22) det [ I + + A(s) ] 0 pro kždé s [, ). (8.23) (Zde (, b ] =, když = b, [, ) =, když =.)

STIELTJESŮV INTEGRÁL 215 D ů k z. ) Předpokládejme, že [, b), g BV([, b], R n ), A splňuje (8.22) (8.23) x splňuje (8.17) n [, b]. Vzhledem k poznámce 8.3 je x řešením rovnice (8.1) n [, b], přičemž x( ) = 0. Podle věty 8.9 je x regulovná n [, b] z druhé rovnice v (8.13) plyne, že pltí + x( ) = + A( ) x( ) = 0, tj. x( +) = 0. Oznčme α(t) = vr t A pro t [, b ]. Funkce α je neklesjící n intervlu [, b ]. Existuje tedy konečná limit α( +) můžeme zvolit δ (0, b ) tk, by pltilo 0 α( + δ) α( +) < 1/2. Pro kždé t [, +δ] odtud pomocí vět 6.18 6.42 odvodíme nerovnosti x(t) ( lim x d α τ + τ x d α [ α( +δ) α( +) ] ( sup x d α = + α( ) x( ) + = lim τ + ( 1 2 τ sup t [, +δ] ) x(t) ) x(t). ( sup t [, +δ] t [, +δ] ) x(t) ) x(t). To je le možné pouze tehdy, Tudíž sup 1 t [, +δ] 2 když x = 0 n [, + δ]. Položme t = sup{τ (, b ] : x = 0 n [, τ]. Zřejmě je x = 0 n [, t ), tudíž tké x(t ) = 0. Dále podle (8.13) máme 0 = [ I A(t ) ] x(t ). To je le, vzhledem k předpokldu (8.22), možné pouze tehdy, když x(t ) = 0. Předpokládejme, že t < b. Stejnou rgumentcí, jkou jsme n zčátku důkzu dokázli, že existuje δ (0, b ] tkové, že x je nulové n [, + δ], ukázli bychom nyní, že existuje η (0, b t ) tkové, že x se nuluje n [t, t + η], což je ovšem vzhledem k definici t nemožné, tudíž musí být t = b. Dokázli jsme, že kždé řešení úlohy (8.17) je nulové n [, b ]. Podobně bychom pomocí předpokldu (8.23) dokázli, že je-li (, b ], pk se řešení x úlohy (8.17) nuluje tké n [, ]. Dokázli jsme, že pltí-li (8.22) (8.23), má úloh (8.17) pouze triviální řešení n [, b]. Podle věty 8.14 má tedy úloh (8.16) jediné řešení n [, b]. b) Předpokládejme, že nepltí npř. (8.22). Zřejmě je det [ I A(t) ] 0, jestliže je A(t) 1/2. N druhou strnu, podle důsledku 4.11 obrácená nerovnost A(t) > 1/2 pltí pro nejvýše konečně mnoho bodů t (, b ]. Mtice I A(t) tedy není regulární pro nejvýše konečně mnoho bodů t (, b ].

216 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Můžeme tedy zvolit t (, b ] tkové, že det [ I A(t) ] 0 pro t (, t ) det [ I A(t ) ] = 0. Dále ze zákldů lineární lgebry je známo, že potom existuje d R n tkové, že [ I A(t ) ] c d pro kždé c R n. (8.24) Definujme g(t) = { 0 když t t, d když t = t. Máme g BV([, b], R n ) g(t ) = d. Předpokládejme, že rovnice (8.16) má n [, b] řešení x. Potom podle první části důkzu [ musí být x = 0 n [, t ), tedy tké x(t ) = 0. Podle věty 8.9 musí pltit I A(t ) ] x(t ) = d. To je ovšem ve sporu s tvrzením (8.24). Úloh (8.16) tedy nemůže mít řešení. Nepltí-li (8.23), pk nlogicky njdeme bod t [, ) funkci g tkové, že bude [ I + + A(t ) ] c + g(t ) pro kždé c R n, což vede opět ke sporu s větou 8.9. 8.16 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) [, b]. Potom počáteční úloh (8.14) má pro kždou funkci f BV([, b], R n ) kždý vektor x R n jediné řešení tehdy jen tehdy, když pltí (8.22) (8.23). D ů k z. Vět je důsledkem lemmtu 8.15, kde položíme g(t) = x + f(t) f( ) pro t [, b]. 8.5 Zobecněné Gronwllovo lemm priorní odhdy řešení Důležitou roli v teorii obyčejných diferenciálních rovnic (npř. při důkzu jednoznčnosti řešení počáteční úlohy nebo při důkzech spojité závislosti řešení n některých prmetrech) hrje tvrzení, které se nzývá Gronwllovo lemm. Připomeňme si jeho znění. Důkz lze njít ve většině učebnic obyčejných diferenciálních rovnic (viz npř. [23, Pomocná vět 4.3.1]).

STIELTJESŮV INTEGRÁL 217 8.17 Lemm (GRONWALL). Necht funkce u p jsou spojité nezáporné n [, b], K 0 necht Potom u(t) K + u(t) K exp ( p(s) d s ) ( p(s) u(s) ) d s pro t [, b]. pro t [, b]. Pro nás bude podobně důležité zobecnění Gronwllov lemmtu n přípd, kdy se v příslušných integrálních nerovnostech vyskytuje Stieltjesův integrál. 8.18 Vět (ZOBECNĚNÉ GRONWALLOVO LEMMA). Předpokládejme, že funkce u : [, b] [0, ) je ohrničená n [, b], funkce h : [, b] [0, ) je neklesjící zlev spojitá n (, b ], K 0, L 0 necht Potom u(t) K + L u d h pro t [, b]. (8.25) u(t) K exp ( L [h(t) h()] ) pro t [, b]. (8.26) D ů k z. Necht κ 0 w κ (t) = κ exp ( L [h(t) h()] ) pro t [, b]. Potom w κ d h = κ = κ exp ( L [h(s) h()] ) d h(s) ( k=0 L k k! [ h(s) h()] k) d h(s) pro t [, b]. L k [ Protože, jk známo, řd h(t) h()] k konverguje stejnoměrně n [, b], k! k=0 můžeme přehodit pořdí opercí integrce sčítání. Použijeme-li nyní nvíc tvrzení z příkldu 6.22, dostneme ( L k [ ] ) k w κ d h = κ h(s) h() d [h(s)] k! κ k=0 ( L k [h(t) h()] k+1 ) = κ (k + 1)! L k=0 = w κ(t) κ L ( ) exp(l [h(t) h()]) 1

218 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE pro t [, b]. To znmená, že funkce w κ splňuje pro kždé κ 0 t [, b] nerovnost w κ (t) κ + L w κ d h. (8.27) Bud dáno ε > 0 položme κ = K + ε v ε = u w κ. Odečtením nerovností (8.25) (8.27) zjistíme, že pltí v ε (t) ε + L v ε d h pro t [, b]. (8.28) Speciálně v ε () ε < 0. Zbývjící část důkzu bude připomínt postup z důkzu lemmtu 8.15. Funkce u i w κ jsou evidentně ohrničené n [, b] pro kždé κ 0. Tudíž tké funkce v ε je ohrničená n [, b]. Podle Hkeovy věty 6.42 (ii) máme v ε d h = v ε () + h() + lim v ε d h δ 0+ +δ tedy v ε (t) ε + L ε + h() + v ε [h(t) h(+)] v ε [h(t) h(+)], v ε d h ε + L v ε [h(t) h(+)] pro t [, b]. Zvolme η > 0 tk, by pltilo L v ε [h(t) h(+)] < ε/2 pro t [, + η ]. Pk bude v ε < 0 n [, + η ]. Oznčme t = sup{τ [, b] : v ε < 0 n [, τ]}. Vidíme, že je t > v ε < 0 n [, t ). Opětným použitím Hkeovy věty 6.42 (i) dostneme z (8.28) v ε (t ) ε + L = ε + L protože h(t ) = 0 v ε d h ( v ε (t ) h(t ) + lim δ 0+ δ δ v ε d h 0 pro kždé δ > 0. ) v ε d h ε < 0, Kdyby bylo t < b, zopkovli bychom předcházející postup ukázli, že existuje θ (0, b t ) tkové, že v ε < 0 n intervlu [, t + θ], což je ve sporu s definicí t. Tudíž t = b, v ε < 0 n celém [, b] u(t) < w κ (t) = K exp ( L (h(t) h()) ) + ε exp ( L (h(t) h()) ) pro t [, b].

STIELTJESŮV INTEGRÁL 219 Protože ε > 0 bylo libovolné, znmená to, že pltí (8.26). 8.19 Cvičení. Dokžte následující vrintu věty 8.18: Předpokládejme, že funkce u : [, b] [0, ) je ohrničená n [, b], funkce h : [, b] [0, ) je neklesjící zprv spojitá n [, b), K 0, L 0 Potom u(t) K + L b t u d h pro t [, b]. (8.29) u(t) K exp ( L [h(b) h(t)] ) pro t [, b]. (8.30) 8.20 Poznámk. Obecnější verze zobecněného Gronwllov lemmtu jsou obsženy v monogrfiích Š. Schwbik [45] (viz větu 1.40) J. Kurzweil [27] (viz kpitol 22). V následující větě využijeme zobecněné Gronwllovo lemm k odvození důležitého odhdu pro řešení úlohy (8.14). 8.21 Vět. Necht [, b] A BV([, b], L (R n )) splňují (8.22) (8.23), f G([, b], R n ), x R n necht x je řešení počáteční úlohy (8.14) n [, b]. Potom vr b (x f) (vr b A) x <, (8.31) { c (A,t0 ):= mx 1, sup [I A(t)] 1, t (,b ] sup [I + + A(t)] 1 } (8.32) <, t [, ) ( ) ( x(t) c (A,t0 ) x + 2 f exp 2 c(a,t0 ) vr t A ) pro t [, b ], ( ) ( x(t) c (A,t0 ) x + 2 f exp 2 c(a,t0 ) vr t A ) pro t [, ]. (8.33) D ů k z. ) Pro libovolné dělení σ intervlu [, b] máme ν(σ) x(σ j ) f(σ j ) x(σ j 1 ) + f(σ j 1 ) j=1 ν(σ) = j=1 σj ν(σ) [ d[ A] x (vr σ j σ j 1 A) x ] = (vr b A) x <. σ j 1 j=1

220 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Odtud okmžitě plyne, že pltí (8.31). b) Pro t (, b ] tkové, že A(t) 1 2 máme podle lemmtu 8.8 [I A(t)] 1 1 1 A(t) < 2. Protože množin { t [, b]: A(t) > 2} 1 je podle důsledku 4.11 nejvýše konečná, plyne odtud, že sup [I A(t)] 1 <. t (,b ] Podobně bychom dokázli, že je c) Necht x splňuje (8.14). Položme B(t) = { A(t), když t [, t0 ], A(t ), když t (, b ]. Zřejmě A(t) B(t) = A(t) vr t (B A) = s (,b ] sup [I + + A(t)] 1 <. Pltí tedy (8.32). t [, ) A(s) vr t A pro t (, b] (viz důsledek 2.27). Tudíž A B BV([, b], R n ) vr t B 2 vr t A. Dále podle lemmtu 6.31 je d [A B ] x = A(t) x(t) pro t (, b ]. Rovnice (8.14) se tedy n intervlu (, b ] redukuje n [I A(t)] x(t) = x + d [B ] x + f(t) f( ) odtud sndno (tké díky tomu, že je c (A,t0 ) 1) odvodíme nerovnost x(t) K + L x d h pro t [, b ],

STIELTJESŮV INTEGRÁL 221 kde K = c (A,t0 ) ( x + 2 f ), L = c (A,t0 ) h(t) = vr t B. Funkce h je neklesjící n [, b ]. Dále protože B je zlev spojitá n (, b ], je podle lemmtu 2.24 funkce h tké zlev spojitá n (, b ]. Podle zobecněného Gronwllov lemmtu 8.18 dostáváme tedy konečně první nerovnost v (8.33). Důkz druhé nerovnosti v (8.33) by se z pomoci vrinty Gronwllovy nerovnosti ze cvičení 8.19 provedl podobně. 8.22 Cvičení. Z předpokldů věty 8.21 dokžte podrobně nerovnosti 0 < sup [I + + A(t)] 1 < t [, ) x(t) c (A,t0 ) ( x + 2 f ) exp ( 2 c(a,t0 ) vr t A ) pro t [, ]. 8.6 Spojitá závislost řešení n prmetrech existence řešení pro regulovné prvé strny Necht [, b] A BV([, b], L (R n )) splňují (8.22) (8.23), necht x R n, f G([, b], R n ) necht x je řešení úlohy (8.14) n [, b]. Dále necht y je n [, b] řešení počáteční úlohy y(t) ỹ d A y = g(t) g( ), (8.34) kde g G([, b], R n ) ỹ R n. Potom ( x(t) y(t) ) = ( x ỹ ) + pro t [, b]. Podle věty 8.21 tedy máme d A ( x y ) + ( f(t) g(t) ) ( f( ) g( ) ) x y c (A,t0 ) exp ( 2 c (A,t0 ) vr b A ) ( x ỹ + 2 f g ), kde c (A,t0 ) (0, ) je definováno v (8.32). Vidíme, že vzájemná,,vzdálenost řešení počátečních úloh (8.14) (8.34) je přímo úměrná tomu, jk jsou od sebe,,vzdálen vstupní dt (tj. počáteční hodnoty x, ỹ prvé strny f, g ) těchto rovnic. Podrobněji je tento jev popsán v následující větě.

222 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.23 Vět. Necht [, b] A BV([, b], L (R n )) splňují (8.22) (8.23). Dále necht f, f k G([, b], R n ) x, x k R n pro k N. Předpokládejme, že lim f k f = 0 k (8.35) lim x k = x. k (8.36) Necht počáteční úlohy x k (t) x k d A x k = f k (t) f k ( ) (8.37) mjí pro k N řešení x k n intervlu [, b]. Potom má tké úloh (8.14) řešení x n intervlu [, b] pltí lim xk x = 0. (8.38) k D ů k z. ) V důsledku (8.35) (8.36) existuje k 0 tkové, že f k f + 1 x k x + 1 pltí pro k k 0. Podle věty 8.21 pltí tedy pro k k 0 tké ( ) ( x k κ 0 <, kde κ 0 = c (A,t0 ) x + 2 f + 3 exp 2 c(a,t0 ) vr b A ) nezávisí n k. Podle téže věty máme dále vr b (x k f k ) κ 0 vr b A < pro k k 0. Nyní, podle Hellyovy věty o výběru (vět 2.46) existují funkce y BV([, b], R n ) rostoucí posloupnost {k l } N tkové, že k 1 k 0, y BV 2 mx{κ 0 vr b A, κ 0 + f + 1} ( lim xkl (t) f kl (t) ) = y(t) pro t [, b]. l Vzhledem k předpokldu (8.35) to ovšem znmená, že pro kždé t [, b] existuje limit x(t):= lim x kl (t) Díky stejnoměrné ohrničenosti posloupnosti {x kl } l pomocí Osgoodovy věty (vět 6.51) tedy získáme pro kždé t [, b] rovnost lim l d A x kl = d A x.

STIELTJESŮV INTEGRÁL 223 Tudíž limitním přechodem l v rovnici (8.37) ( tké s použitím předpokldů (8.35) (8.36)) dospějeme ke zjištění, že x je řešením úlohy (8.14) n [, b]. b) Zopkujeme-li nyní pro kždé k N úvhu z úvodu tohoto odstvce, přičemž v ní x k nhrdí y, f k nhrdí g x k nhrdí ỹ, zjistíme, že pro kždé k N pltí x x k K ( x xk + 2 f fk ), kde K = c (A,t0 ) exp ( 2 c (A,t0 ) vr b A ) < nezávisí n k. Pltí tedy tké (8.38). Poždvek existence řešení rovnic (8.37) v předchozí větě byl podsttný. Existenční vět 8.16, kterou máme ztím k dispozici, se vzthuje pouze n přípdy, kdy prvá strn f má konečnou vrici n [, b]. Nyní můžeme konečně doplnit větu 8.16 n obecný přípd f G([, b], R n ). 8.24 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] pltí (8.22) (8.23). Potom pro kždou funkci f G([, b], R n ) kždý vektor x R n má počáteční úloh (8.14) jediné řešení n [, b]. D ů k z. ) Máme-li dvě řešení x, y úlohy (8.14) n intervlu [, b], bude jejich rozdíl n [, b] řešením homogenní úlohy (8.17), která má ovšem podle lemmtu 8.15 pouze triviální řešení. Musí tedy pltit x y n [, b]. b) Položme x k = x pro k N. Podle věty 4.8 existuje posloupnost {f k } jednoduchých skokových funkcí (tedy funkcí z BV([, b], R n )), která konverguje stejnoměrně n [, b] k f. Podle věty 8.16 pro kždé k N existuje jediné řešení x k úlohy (8.37) podle věty 8.23 posloupnost {x k } konverguje stejnoměrně k řešení úlohy (8.14). Ve zbývjící části odstvce se omezme pro jednoduchost n přípd =, tj. vyšetřujeme počáteční úlohu x(t) x jko limitu úloh x k (t) x k d A x = f(t) f() (8.39) d A k x k = f k (t) f k (), (8.40) kde tké jádr A k závisí n prmetru k N. Tento přípd je poněkud složitější než ten, který jsme řešili ve větě 8.23. Nejprve dokážeme konvergenční větu pro KS-integrály pro situci, která není pokryt větmi z kpitoly 6.

224 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.25 Vět. Necht f, f k G([, b], R n ), A, A k BV([, b], L (R n )) pro k N. Předpokládejme, že pltí (8.35), Potom lim A k A = 0 k α := sup k N lim k ( sup t [,b ] (8.41) vr b A k <. (8.42) d A k f k ) d A f = 0. D ů k z. Bud dáno ε > 0. Podle věty 4.8 můžeme zvolit funkci ϕ : [, b] R n tkovou, že kždá její komponent je jednoduchá skoková funkce n [, b] přitom f ϕ < ε. Dále podle (8.35) (8.41) můžeme zvolit k 0 N tk, by součsně pltilo f k f < ε A k A < ε pro k k 0. Pro dné t [, b] k k 0 máme podle vět 6.18 6.25 d A k f k d A f ( d A k fk ϕ ) + d [ A k A ] ϕ + d A ( ϕ f ) (vr b A k ) f k ϕ + 2 A k A ϕ BV + (vr b A) ϕ x α ( f k f + f ϕ ) + 2 A k A ϕ BV + (vr b A) ϕ f ( 2 α + 2 ϕ BV + vr b A ) ε = K ε, kde K = ( 2 α + 2 ϕ BV + vr b A ) (0, ) nezávisí ni n k ni n t. Tím je vět dokázán. Dále je třeb dokázt následující pomocné tvrzení. 8.26 Lemm. Necht A, A k BV([, b], L (R n )) pro k N. Dále předpokládejme, že pltí (8.22) (kde = ) (8.41). Potom existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k 0 pltí det [ I A k (t) ] 0 pro t (, b ] (8.43)

STIELTJESŮV INTEGRÁL 225 sup [I A k (t)] 1 < 2 c A, (8.44) t (,b ] kde c A = c (A,) (0, ) je konstnt definovná v (8.32) pro =. D ů k z. Díky (8.41) pltí podle lemmtu 4.15 Můžeme tedy zvolit k 0 N tk, by bylo lim A k A = 0. k A k (t) A(t) < 1 4 c A pro t [, b] k k 0. (8.45) Necht t (, b] k k 0 jsou dány. Sndno ověříme, že pltí rovnost kde I A k (t) = [ I A(t) ] [ I T k (t) ], T k (t) = [ I A(t) ] 1 ( A k (t) A(t) ). Vzhledem k předpokldu (8.22) je tudíž mtice I A k (t) regulární tehdy jen tehdy, když je regulární mtice I T k (t). Podle (8.32) (8.45) máme T k (t) = [ I A(t) ] 1 A k (t) A(t) < 1 4. Lemm 8.8 tedy zručuje, že mtice I T k (t), tudíž tké I A k (t) jsou regulární, že pltí [ I T k (t) ] 1 < 2. Odtud z (8.32) plyne [ I A k (t) ] 1 [ I Tk (t) ] 1 [ I A(t) ] 1 < 2 ca. Důkz je dokončen. Nyní můžeme zformulovt dokázt hlvní větu tohoto odstvce. 8.27 Vět. Necht =, A, A k BV([, b], L (R n )), f, f k G([, b], R n ), x, x k R n pro k N. Dále předpokládejme, že pltí (8.22), (8.35), (8.36), (8.41) (8.42). Potom existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k 0 má počáteční úloh (8.40) jediné řešení x k n [, b] pltí (8.38), kde x je řešení úlohy (8.39).

226 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE D ů k z. Podle věty 8.24 má úloh (8.39) jediné řešení x n [, b]. Dále podle lemmtu 8.26 existuje k 0 N tkové, že (8.43) pltí pro k k 0. Tudíž, vzhledem k větě 8.24, úloh (8.40) má pro kždé k k 0 jediné řešení x k n [, b]. Položme Potom w k = (x k f k ) (x f). (8.46) w k (t) = w k + kde w k = ( x k f k ()) ( x f()) h k (t) = Dokážeme, že d A k w k + h k (t) h k () pro k N t [, b], ( ) d [A k A ] (x f) + d A k f k d A f. (8.47) lim w k = 0. k (8.48) Podle (8.42), (8.44) věty 8.21 je w k (t) 2 c A ( w k + h k ) exp ( 4 c A α ) pro t [, b], (8.49) kde, podobně jko v lemmtu 8.26, píšeme c A místo c (A,). Stčí tedy dokázt, že lim w k = 0 lim h k = 0. (8.50) k k Nejprve si povšimněme, že první vzth z (8.50) plyne okmžitě z předpokldů (8.35) (8.36). Dále podle věty 8.25 je lim sup k t [,b ] d A k f k d A f = 0. (8.51) Součsně podle věty 6.25 máme d [A k A] (x f) 2 A k A x f BV pro t [, b].

STIELTJESŮV INTEGRÁL 227 Protože (x f) BV([, b], R n ) podle (8.31), plyne odtud díky (8.41), že pltí tké lim sup d[ A k A] (x f) = 0. (8.52) k t [,b ] Souhrnem, podle (8.47) (8.51) (8.52) dostáváme lim k h k = 0. Pltí tedy (8.50), vzhledem k (8.49) tudíž tké (8.48). Podle (8.46) je x k x = w k + ( f k f ). Tvrzení věty tudíž plyne z (8.35) (8.48). 8.7 Fundmentální mtice Zobecněním homogenních systémů lineárních obyčejných diferenciálních rovnic je rovnice x(t) x(s) s d A x = 0. (8.53) Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] necht pltí (8.22) (8.23). Potom podle věty 8.16 (kde f(t) f() n [, b]) má rovnice (8.53) pro kždé x R n právě jedno řešení x BV([, b], R n ) n [, b] tkové, že x( ) = x. Nopk, kždému řešení x rovnice (8.53) můžeme přiřdit hodnotu x( ) R n. Vzhledem k poznámkám 8.3 8.11 je tento vzth mezi řešeními rovnice (8.53) vektorovým prostorem R n vzájemně jednoznčný. Sndno ověříme, že jsou-li x, y řešení rovnice (8.53) n [, b] α, β R n, pk α x + β y je tké řešení rovnice (8.53) n [, b]. Nyní můžeme tyto úvhy shrnout do následujícího tvrzení. 8.28 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) necht pltí (8.22) (8.23). Potom množin řešení rovnice (8.53) je lineární tvoří podprostor BV([, b], R n ) dimenze n. Nyní ukážeme, že i pro zobecněné lineární diferenciální rovnice existuje obdob fundmentální mtice. Fundmentální mtici pro zobecněné lineární diferenciální rovnice definujeme následujícím způsobem. 8.29 Definice. Mticová funkce X : [, b] L (R n ) se nzývá fundmentální mtice rovnice (8.53) n intervlu [, b], jestliže splňuje rovnost X(t) = X(s) + s d A X pro t, s [, b] (8.54)

228 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE det X(t) 0 pro lespoň jedno t [, b]. 8.30 Poznámk. Jestliže mticová funkce X splňuje vzth (8.54), pk sndno ověříme, že pro libovolné c R n je funkce x(t) = X(t) c řešením rovnice (8.53). 8.31 Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] necht pltí (8.22) (8.23). Potom pro kždou mtici X L (R n ) existuje jednoznčně určená mticová funkce X t0 BV([, b], L (R n )) tková, že pltí X t0 (t) = X + d A X t0 pro t [, b]. (8.55) D ů k z. Pro k = 1, 2,..., n oznčme k-tý sloupec mtice ) X jko x k. Máme tedy x k R n pro k = 1, 2,..., n X = ( x1, x 2,..., x n. Podle věty 8.16 pro kždé k {1, 2,..., n} existuje právě jedn funkce x k BV([, b], R n ) vyhovující rovnosti x k (t) x k d A x k = 0 pro t [, b]. Funkce X t0 (t) = ( x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) ) (tj. mticová funkce se sloupci x k pro k = 1, 2,..., n) splňuje tedy vzth (8.55) je určen jednoznčně. 8.32 Poznámk. Je-li [, b], X L (R n ) funkce X t0 je určená lemmtem 8.31, pk funkce X = X t0 zřejmě splňuje vzth (8.54). Je-li tedy det X 0, pk je tkto definovná funkce X fundmentální mticí rovnice (8.53). Nyní, pro usndnění, poněkud zesílíme nše předpokldy (8.22) (8.23). Budeme nyní předpokládt, že pltí det [ I A(t) ] 0 pro kždé t (, b ] det [ I + + A(s) ] (8.56) 0 pro kždé s [, b). 8.33 Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )) necht pltí (8.56). Potom pro libovolnou fundmentální mtici X rovnice (8.53) je det X(t) 0 pro kždé t [, b]. (8.57) D ů k z. Necht X je fundmentální mtice rovnice (8.53) n [, b] necht (8.57) nepltí. Potom existují body τ 0, τ 1 [, b] tkové, že det X(τ 0 ) 0 det X(τ 1 ) = 0.

STIELTJESŮV INTEGRÁL 229 Z druhé rovnosti plyne, že sloupce x 1 (τ 1 ), x 2 (τ 1 ),..., x n (τ 1 ) mtice X(τ 1 ) jsou lineárně závislé. Existují tedy koeficienty c 1, c 2,..., c n R tkové, že n c k > 0 k=1 n c k x k (τ 1 ) = 0. k=1 Položme x(t) = n c k x k (t) pro t [, b]. Potom x je řešením rovnice (8.53) k=1 (viz poznámku 8.30) x(τ 1 ) = 0. Doszením s = τ 1 do (8.53) odečtením tkto získné rovnosti od (8.53) zjistíme, že x je řešením počáteční úlohy x(t) = τ 1 d A x pro t [, b]. Vzhledem k předpokldu (8.56) jsou podmínky (8.22) (8.23) splněny pro = τ 1, protože stejnou úlohu jko x splňuje i identicky nulová funkce, plyne z věty 8.16, kde položíme = τ 1, že x = 0 n [, b]. Speciálně x(τ 0 ) = n c k x k (τ 0 ) = 0, k=1 což ovšem, vzhledem k předpokldům det X(τ 0 ) 0 n c k > 0, není možné. Připomeňme nyní některá oznčení užívná pro funkce dvou proměnných. 8.34 Oznčení. Necht U: [, b] [, b] L (R n ). Potom pro dné τ [, b] znčí symboly U(τ, ), resp. U(, τ) funkce jedné proměnné Podobně k=1 U(τ, ) : s [, b] U(τ, s) resp. U(, τ) : t [, b] U(t, τ). U(τ, s+) = lim U(τ, s + δ), U(τ, s ) = lim U(τ, s δ), δ 0+ δ 0+ U(t+, τ) = lim U(t + δ, τ), U(t, τ) = lim U(t δ, τ). δ 0+ δ 0+ Následující vět je důsledkem lemmt 8.31 8.33.

230 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.35 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) splňuje (8.56). Potom existuje právě jedn mticová funkce U : [, b] [, b] L (R n ) tková, že pltí U(t, s) = I + s d [A(τ) ] U(τ, s) pro t, s [, b] [, b]. (8.58) Pro kždé [, b] je funkce U(, ) : t [, b] U(t, ) R n fundmentální mtice rovnice (8.53). Funkce U má nvíc tyto vlstnosti: (i) U(, s) BV([, b], L (R n )) pro kždé s [, b], (ii) U(t, t) = I pro kždé t [, b], (iii) det U(t, s) 0 pro všechn t, s [, b]. D ů k z. Pro kždé s [, b] existuje podle lemmtu 8.31 právě jedn mticová funkce X s BV([, b], L (R n )) tková, že pltí X s (t) = I + s d A X s pro t [, b]. Definujme U(t, s) = X s (t) pro t, s [, b]. Potom U splňuje (8.58) U(t, t) = I pro t [, b]. Vzhledem k poznámce 8.32 odtud plyne, že pro kždé [, b] je U(, ) fundmentální mtice rovnice (8.53) n [, b]. Konečně, podle lemmtu 8.33 je det U(t, s) 0 pro všechn t, s [, b]. 8.36 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b], x R n, necht pltí (8.56) necht mticová funkce U je určen větou 8.35. Potom x : [, b] R n je řešení počáteční úlohy x(t) x d A x = 0 (8.59) n intervlu [, b] tehdy jen tehdy, když x(t) = U(t, ) x pro t [, b]. (8.60) D ů k z. ) Dosdíme-li (8.60) do d A x využijeme-li (8.58), dostneme d A x = d [A(τ) ] U(τ, s) x = ( U(t, ) I ) x = x(t) x

STIELTJESŮV INTEGRÁL 231 pro t [, b], tj. funkce x definovná vzthem (8.60) je řešení úlohy (8.59). b) Obrácená implikce plyne z jednoznčnosti řešení počáteční úlohy (8.59) (viz větu 8.16). 8.37 Definice. Necht A BV([, b], L (R n )) necht pltí (8.56). Potom mticovou funkci U určenou větou 8.35 nzýváme Cuchyov mtice rovnice (8.53). 8.38 Důsledek. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] X L (R n ). Dále necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom mticová funkce X : [, b] L (R n ) splňuje rovnost X(t) = X + d A X pro t [, b] tehdy jen tehdy, když (8.61) X(t) = U(t, ) X pro t [, b]. (8.62) D ů k z. Pro kždý sloupec x k, k = 1, 2,..., n, mticové funkce X pltí podle věty 8.36 x k (t) = U(t, ) x k pro t [, b], kde x k jsou sloupce mtice X. Odtud tvrzení okmžitě plyne. 8.39 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom vzthy U(t, r) U(r, s) = U(t, s), (8.63) (U(t, r)) 1 = U(r, t) pltí pro libovolnou trojici bodů t, s, r z intervlu [, b]. D ů k z. ) Pro libovolná t, s, r [, b] máme podle (8.58) U(t, s) = I + = I + s r s = U(r, s) + d [A(τ) ] U(τ, s) d [A(τ) ] U(τ, s) + r d [A(τ) ] U(τ, s). r d [A(τ) ] U(τ, s) (8.64)

232 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Oznčíme-li sloupce mtice U symboly u k, k = 1, 2,..., n, zjistíme, že pro kždé k = 1, 2,..., n r, s [, b] je funkce x(t) = u k (t, s) řešením úlohy x(t) u k (r, s) r d A x = 0 n [, b]. Podle věty 8.36 tudíž pltí u k (t, s) = U(t, r) u k (r, s) pro k = 1, 2,..., n t, s, r [, b]. Odtud už vzth (8.63) okmžitě plyne. b) Speciálně jestliže t = s, pk podle věty 8.35 dostáváme U(t, r) U(r, t) = I pro kždé r [, b]. Vzhledem k větě 8.35 (iii) tedy pltí (8.64). 8.40 Poznámk. Je-li U Cuchyov mtice pro (8.53), pk podle věty 8.39 pltí U(t, s) = U(t, ) U(, s) = U(t, ) (U(s, )) 1 pro t, s [, b]. Oznčíme-li tedy X(t) = U(t, ), bude pltit U(t, s) = X(t) (X(s)) 1 t, s [, b]. Připomeňme, že X je fundmentální mtice rovnice (8.53). pro Ve zbývjící části tohoto odstvce uvedeme ještě několik dlších vlstností Cuchyovy mtice rovnice (8.53). 8.41 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom existuje M (0, ) tkové, že pltí U(t, s) + vr b U(, s) + vr b U(t, ) M pro t, s [, b]. (8.65) D ů k z. ) Pro k = 1, 2,..., n oznčme symbolem e k k-tý sloupec jednotkové mtice I. Potom e k = 1 pro kždé k = 1, 2,..., n. Podle věty 8.21 máme u k (t, s) M 1 : = c A exp ( 2 c A vr b A ) < pro t, s [, b] k = 1, 2,..., n, kde díky předpokldu (8.56) můžeme položit { c A := mx 1, sup [I A(t)] 1, sup [I + + A(t)] 1 }. t (,b ] t [,b) Tudíž U(t, s) = mx u k(t, s) M 1 pro t, s [, b]. (8.66) k=1,2,...,n

STIELTJESŮV INTEGRÁL 233 b) Necht t 1, t 2, s [, b] t 1 t 2. Potom u k (t 2, s) u k (t 1, s) = 2 d [A(τ) ] u k (τ, s) M 1 vr t 2 t 1 t1 A. Pro libovolné s [, b], k = 1, 2,..., n libovolné dělení σ intervlu [, b] tedy máme proto ν(σ) V (u k (, s), σ) M 1 vr σ j σ j 1 A = M 1 vr b A =: M 2 <, vr b U(, s) j=1 mx vr b u k (, s) M 2 pro s [, b]. (8.67) k=1,2,...,n c) Necht s 1, s 2 [, b] s 1 s 2. Potom pro kždé t [, b] máme u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) = = s 2 d [A(τ) ] u k (τ, s 2 ) s2 s 1 d [A(τ) ]u k (τ, s 1 ) + s 2 d [A(τ) ] u k (τ, s 1 ) s2 s 1 d [A(τ) ] u k (τ, s 1 ) s 2 d [A(τ) ] ( u k (τ, s 2 ) u k (τ, s 1 )). Funkce x(t) = u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) je tedy n [, b] řešením počáteční úlohy x(t) = s2 s 1 d [A(τ) ]u k (τ, s 1 ) + s 2 d A x. Podle věty 8.36 pro kždé t [, b] k = 1, 2,..., n pltí ( s 2 ) u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) = U(t, s 2 ) d [A(τ) ]u k (τ, s 1 ). s 1 Tudíž u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) M 2 1 vr s 2 s 1 A pro k = 1, 2,..., n t [, b]. Pro libovolné t [, b], k = 1, 2,..., n libovolné dělení σ intervlu [, b] pltí V (u k (t, ), σ) M 2 1 ν(σ) vr σ j σ j 1 A = M1 2 vr b A =: M 3 <, j=1

234 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE proto vr b U(t, ) mx vr b u k (t, ) M 3 pro t [, b]. (8.68) k=1,2,...,n d) Podle (8.65) (8.67) tvrzení věty pltí pro M = M 1 + M 2 + M 3. 8.42 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom pltí U(t+, s) = [ I + + A(t) ] U(t, s) pro t [, b), s [, b], U(t, s) = [ I A(t) ] U(t, s) pro t (, b ], s [, b], U(t, s+) = U(t, s) [ I + + A(s) ] 1 (8.69) pro t [, b], s [, b), U(t, s ) = U(t, s) [ I + A(s) ] 1 pro t [, b], s (, b ]. D ů k z. Nejprve si všimněme, že podle předchozí věty mjí funkce U(, s) U(t, ) konečné vrice n [, b] pro libovolná t, s [, b]. Všechny jednostrnné limity objevující se ve vztzích (8.69) tedy mjí smysl. ) První dv vzthy odvodíme, jestliže do vzthů (8.13) z lemmtu 8.15 dosdíme postupně z x sloupce mticové funkce U. b) Necht s [, b) δ (0, b s). Potom podle (8.58) máme U(t, s + δ) U(t, s) = = s+δ s+δ d [A(τ)] U(τ, s + δ) d [A(τ)] ( U(τ, s + δ) U(τ, s) ) s s+δ s d [A(τ)] U(τ, s) d [A(τ)] U(τ, s) pro kždé t [, b]. Mticová funkce Y (t) = U(t, s + δ) U(t, s) tedy splňuje rovnost kde Y (t) = Ỹ + s+δ d [A(τ)] Y (τ) pro t [, b], s+δ Ỹ = d [A(τ)] U(τ, s). s

STIELTJESŮV INTEGRÁL 235 Podle důsledku 8.38 tudíž máme U(t, s + δ) U(t, s) = Y (t) = U(t, s + δ) Ỹ = U(t, s + δ) s+δ s d [A(τ)] U(τ, s) pro t [, b]. Limitním přechodem δ 0+ při použití Hkeovy věty 6.42 odtud dostneme U(t, s+) U(t, s) = U(t, s+) + A(s) U(s, s) = U(t, s+) + A(s) neboli U(t, s) = U(t, s+) [ I + + A(s) ]. Odtud okmžitě plyne pltnost třetího vzthu z (8.69). Zbývjící rovnost bychom dokázli nlogicky. Pro funkce dvou proměnných je možno definovt pojem vrice několik různými způsoby. Pro nás je zjímvá definice Vitliov. 8.43 Definice. Necht F : [, b] [, b] L (R n ). Pro dná dělení σ, ρ intervlu [, b], j = 1, 2,..., ν(σ) k = 1, 2,..., ν(ρ) položme j,k (F, σ, ρ) = F (σ j, ρ k ) F (σ j 1, ρ k ) F (σ j, ρ k 1 )+F (σ j 1, ρ k 1 ). Potom veličin v(f ) = sup σ, ρ D [,b ] j,k (F, σ, ρ) ν(σ) ν(ρ) j=1 k=1 se nzývá Vitliov vrice funkce F n intervlu [, b] [, b]. 8.44 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom v(u) <. D ů k z. Mějme dvě libovolná dělení σ, ρ intervlu [, b]. Podle věty 8.39 (viz též poznámku 8.40) je U(t, s) = U(t, ) U(, s) pro t, s [, b]. Pro libovolná j = 1, 2,..., ν(σ) k = 1, 2,..., ν(ρ) tedy máme j,k (U, σ, ρ) ν(σ) ν(ρ) j=1 k=1 ν(σ) ν(ρ) = [ U(σ j, ) U(σ j 1, ) ] [ U(, ρ k ) U(, ρ k 1 ) ] j=1 k=1 vr b U(, ) vr b U(, ) M 2, kde M < bylo určeno ve větě 8.41.

236 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.8 Nehomogenní rovnice Vrt me se nyní k nehomogenní počáteční úloze x(t) x d A x = f(t) f( ). (8.14) Budeme předpokládt, že A BV([, b], L (R n )) splňuje (8.56). Pro libovolná x R n f G([, b], R n ) existuje podle věty 8.24 jediné řešení x počáteční úlohy (8.14) toto řešení je regulovné n [, b]. Následující vět ukzuje, že toto řešení je možno vyjádřit ve tvru připomínjícím formuli vrice konstnt známou z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. 8.45 Vět. Necht [, b], A BV([, b], L (R n )) splňuje (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom úloh (8.14) má pro kždé x R n kždé f G([, b], R n ) jediné řešení x n [, b]. Toto řešení je dáno formulí x(t) = U(t, ) x + f(t) f( ) d s [U(t, s) ] ( f(s) f( ) ) pro t [, b]. (8.70) Je zřejmé, že pro podrobný důkz je nutné něco vědět o integrálních operátorech typu K : x G([, b], R n ) y(t) = d s [K(t, s) ] x(s), (8.71) kde funkce K má stejné vlstnosti jko Cuchyov mtice U příslušné homogenní rovnice symbol d s nznčuje, že integrujeme funkce proměnné s, ztímco t je zde prmetr. Vzhledem k vlstnostem funkce U popsným v předešlém odstvci je vidět, že pro kždou funkci x G([, b], R n ) je její obrz y = K x dobře definován n celém intervlu [, b]. (Jde vždy o integrci funkce regulovné vzhledem k funkci s konečnou vricí.) Bohužel, vlstnosti operátorů tvru (8.72) nejsou už tk n první pohled zřejmé. Nvíc, bychom dokázli, že funkce x je řešením úlohy (8.14), potřebujeme umět změnit pořdí integrce ve dvojném integrálu d [A(τ) ] ( τ d s [U(τ, s) ] ( f(s) f( ) ))

STIELTJESŮV INTEGRÁL 237 tk, by bylo možno využít vzth (8.58) definující funkci U. K tomu je nutné mít k dispozici prát umožňující zcházení s dvojnými integrály. Ten se opírá též o pojem vrice funkcí dvou proměnných zvedený v definici 8.43. Toto vše se v potřebném rozshu už do tohoto textu nevejde. Nebudeme zde tedy provádět podrobné důkzy jenom se pokusíme spoň přiblížit jejich hlvní myšlenky. Většinou není obtížné doplnit vynechné detily n zákldě znlosti postupů z předešlých kpitol. Podrobnosti týkjící se vrice funkcí dvou proměnných integrálních operátorů určených tkovýmito funkcemi lze njít zejmén v kpitole III monogrfie [11] v odstvci I.6 kpitole II monogrfie [55]. Formule vrice konstnt pro f BV([, b], R n ) je dokázán v [55, III.2] nebo v [45, Theorem 6.17], ztímco v [59, Proposition 4.4.3] je dokázán pro f regulovnou. Omezíme se nyní n přípd =, tj. hledáme řešení úlohy (8.39). Důkz je rozdělen n 4 kroky: Nejprve definujeme U(t, s) když s t b, K(t, s) = U(t, t) když t < s b. Zřejmě je vr b K(t, ) vr t U(t, ) vr b K(, s) vr b s U(, s) pro libovolná t, s [, b]. Lze tké dokázt, že je v(k) < (viz [55, Lemm III.2.7]). Existuje tedy konstnt κ (0, ) tková, že v(k) + vr b K(t, ) + vr b K(, s) κ < pro t, s [, b]. Dále pro kždé x G([, b], R n ) je funkce y : t [, b] b dobře definován n [, b], přičemž d s [K(t, s) ] x(s) (8.72) c d s [K(t, s) ] x(s) = d s [U(t, s) ] x(s) pro kždé t [, b] c [t, b]. Podle [55, Theorem I.6.18] je vr b y v(k) x <.

238 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Druhý krok spočívá v důkzu, že pltí y(t+) = y(t ) = b b d s [K(t+, s) ] x(s) když t [, b), (8.73) d s [K(t, s) ] x(s) když t (, b ]. (8.74) Podle [55, Lemm I.6.14] mjí všechny funkce K(t+, ) K(s, ), t [, b), s (, b ], konečnou vrici n [, b], tudíž jsou integrály n prvých strnách v (8.73) dobře definovány. Protože x je n [, b] stejnoměrná limit jednoduchých skokových funkcí, stčí dokázt, že rovnosti (8.73) pltí pro kždou funkci typu χ [,τ], χ [τ,b ], τ [, b]. (8.75) Je-li npříkld x = χ [,τ], kde τ [, b], pk pro kždé t [, b] dostneme (viz (6.18)) y(t) = K(t, τ+) K(t, ), tudíž y(t+) = K(t+, τ+) K(t+, ) když t [, b) y(t ) = K(t, τ+) K(t, ) když t (, b ]. N druhou strnu, máme b b d s [K(t+, s)]χ [,τ] = K(t+, τ+) K(t+, ) když t [, b) d s [K(t, s)]χ [,τ] = K(t, τ+) K(t, ) když t (, b ], tj. pltí (8.73) pro x = χ [,τ]. Podobně bychom ověřili pltnost relcí (8.73) pro funkce tvru x = χ [τ,b ], τ [, b], tedy i pro kždou funkci x G([, b], R n ). Vidíme tedy, že funkce x(t) definovná formulí (8.70) je regulovná n [, b] pro kždou funkci f G([, b], R n ) kždý vektor x R n. Třetím krokem je důkz, že z nšich předpokldů je pro kždé t [, b] kždou funkci f G([, b], R n ) prvdivá relce Fubiniov typu ( d [A(τ) ] d s [K(τ, s) ] ( f(s) f() )) = [ (f(s) ) d s d [A(τ) ] K(τ, s)] f().

STIELTJESŮV INTEGRÁL 239 V důkzu tohoto kroku se opět využije stejnoměrná proximce regulovných funkcí jednoduchými skokovými funkcemi, vzorce z příkldů 6.15 konvergenční vlstnosti KS-integrálu. Nvíc je ovšem nutno tké použít vlstnosti operátorů tvru f G([, b], R n ) b N závěr dosdíme (8.70), tj. K(, s) d [f(s) ]. x(t) = U(t, ) x + f(t) f() d s [K(t, s) ] ( f(s) f() ), do integrálu d A x, vzhledem k definici funkce K, dostneme d A x = d [A(τ) ] U(τ, ) x + ( τ 0 0 d [A(τ) ] d [A(s) ] (f(s) f()) ) d s [U(τ, s)] (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + d[ A(s)] (f(s) f()) ( ) d [A(τ) ] d s [K(τ, s)] (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + d[ A(s)] (f(s) f()) [ ] d s d [A(τ)] K(τ, s) (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + d[ A(s)] (f(s) f()) [ s ] d s d [A(τ)] U(τ, τ) (f(s) f()) [ ] d s d [A(τ)] U(τ, s) (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + s d [A(s) ] (f(s) f()) d[ A(s)](f(s) f()) d s [U(t, s) I] (f(s) f())

240 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE = [U(t, ) I] x d s [U(t, s) ] (f(s) f()) = x(t) x f(t) + f(). Funkce x je tedy řešení úlohy (8.39) n [, b]. Tímto je důkz věty 8.45 dokončen. Jestliže je funkce A spojitá zlev n intervlu (, b ] =, pk je možno vzorec (8.70) poněkud zjednodušit, definujeme-li X(t) = U(t, ) pro t [, b] Y (s) = { U(, s+), když s < b, U(, b), když s = b. (8.76) 8.46 Důsledek. Necht = A BV([, b], L (R n )) je zlev spojitá n (, b ] pltí det[i + + A(t)] 0 pro t [, b). Necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53), X(t) = U(t, ) pro t [, b] Y je definovná předpisem (8.76). Potom rovnice (8.39) má pro kždé x R n kždou funkci f G([, b], R n ) zlev spojitou n (, b ] jediné řešení x n [, b]. Toto řešení je dáno formulí ( x(t) = X(t) x +X(t) ) Y d f pro t [, b]. (8.77) D ů k z. Necht x R n necht f G([, b], R n ) je zlev spojitá n (, b ]. Podle věty 8.45 má rovnice (8.39) jediné řešení x n [, b]. Formuli (8.70) můžeme přepst ve tvru x(t) = X(t) x + ( f(t) f() ) ( X(t) d [X 1 (s) ] ( f(s) f() )), kde X 1 (s) = U(, s) pro s [, b]. Vzhledem k definici (8.76) máme X 1 (s) = Y (s) + X 1 (s) pro s [, b). Podle lemmtu 6.35 je tedy pro kždé t [, b] d [X 1 (s) ] ( f(s) f() ) = d [Y (s) ] ( f(s) f() ) + X 1 (t) ( f(t) f() ).

STIELTJESŮV INTEGRÁL 241 Protože f je zlev spojitá n (, b ] Y je zprv spojitá n [, b), integrcí perprtes (vět 6.36) dostneme pro kždé t [, b] x(t) = X(t) x + ( f(t) f() ) ( X(t) = X(t) x ( f(t) f() ) + X(t) d [X 1 (s) ] ( f(s) f() )) Y d f + X(t) + X 1 (t) ( f(t) f() ) X(t) Y (t) ( f(t) f() ). Konečně, protože pro kždé t [, b] X(t) + X 1 (t) ( f(t) f() ) X(t) Y (t) ( f(t) f() ) = X(t) ( X 1 (t+) X 1 (t) ( f(t) f() ) X(t) X 1 (t+) ( f(t) f() ) = ( f(t) f() ), dostáváme konečně (8.77). Díky větě 8.45, resp. jejímu důsledku 8.46 je již možné s úspěchem vyšetřovt npříkld okrjové úlohy, ve kterých se hledá funkce, která splňuje n intervlu [, b] rovnici (8.59) nvíc i nějké dodtečné podmínky, npříkld dvoubodové podmínky M x() + N x(b) = 0, kde M, N L (R n ). To je le už jiný příběh, který se do tohoto textu, stejně jko řd dlších témt, jko jsou souvislosti s funkcionálně-diferenciálními rovnicemi, dynmickými systémy n tzv. čsových škálách (time scles), plikce n úlohy s impulsy dlší, už oprvdu nevejde. Jko doplňkovou literturu k této kpitole lze doporučit npříkld monogrfie [12], [27], [45], [59] nebo články [1], [7], [38], [51], [52].