em do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda

Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete předat osobně či zaslat emailem do konce semestru. Obsah Problém č.5: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Vetknutý nosník, str. 2 Problém č.6: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Prostě podepřený nosník, str. 3 Problém č.7: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Vetknutý nosník, str. 4 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Prostě podepřený nosník, str. 5 Problém č.9: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Vetknutý nosník, str. 6 Problém č.10: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Prostě podepřený nosník, str. 7 Problém č.11: Průhyb nosníku - kvartický spline Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.12: Průhyb nosníku - kvartický spline Prostě podepřený nosník, str. 9 Problém č.13: Průhyb nosníku - kvartický spline Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.14: Průhyb nosníku - kvartický spline Prostě podepřený nosník, str. 9

Problém č.5: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Vetknutý nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 5.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 5.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 5.1 metodou sítí s krokem sítě h = 1/4, tedy x i = ih pro i = 0,1,2,3,4. Řešíme-li diferenciální rovnici metodou sítí konečných diferencí, nahradíme derivace vhodnými diferencemi. Pro čtvrtou derivaci funkce u lze odvodit následující diferenční náhrady: u 12 x 11h 4 2ux h+h 2 u x h+5ux 4ux+h+ux+2h, 5.2 u 12 x 11h 4 ux 2h 4ux h+5ux+h 2 u x+h 2ux+h, 5.3 u 2 x 3h 4 11ux h 6hu x h+18ux 9ux+h+2ux+2h, 5.4 u 2 x 3h 4 2ux 2h 9ux h+18ux+6hu x+h 11ux+h, 5.5 u x 1 ux 2h 4ux h+6ux 4ux+h+ux+2h h 4. 5.6 1. Vyberte 3 diferenční náhrady vhodné pro uvedenou diferenciální rovnici. Sít je tvořena 5 uzly, z toho jsou 3 uzly vnitřní. Diferenční náhrady vybereme tak, abychom pro každý vnitřní uzel x i mohli aproximovat hodnotu u x i pomocí hodnot funkce u ve vnitřních uzlech sítě nebo pomocí známých okrajových podmínek. 2. U vybraných diferenčních náhrad ověřte jejich přesnost pro všechny funkce ux {1,x,x 2,x 3,x 4 }. Tzn. dosad te vždy konkrétní u z uvedené množiny do pravé strany některých vybraných rovnic 5.2 5.6 a výraz co nejvíce zjednodušte. Následně spočítejte u x a ověřte,že získáte to samé. Přitěchto výpočtech NEdosazujte za h konkrétní hodnotu. 3. Ve vnitřních bodech sítě nahrad te derivace vhodnými diferenčními náhradami a dosad te za okrajové podmínky. Ze tří rovnic u x i = qx i, i = 1,2,3, tak získáte soustavu tří rovnic pro tři neznámé hodnoty U i ux i, i = 1,2,3. Soustavu rovnic vyřešte. 4. Přenásobte každý řádek předchozí soustavy rovnic vhodným číslem tak, aby vektor u 1 = 1,2,1 T byl vlastním vektorem matice takto vzniklé soustavy rovnic a aby stopa této matice byla rovna 42. Nalezněte vlastní čísla a zbývající vlastní vektory této matice. 5. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte max 1 i 3 U i ux i. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciálnírovniceaporovnánímlevéapravéstranydiferenciální rovnice spočtete některé z koeficientů µ i. Zbylé koeficienty pak zjistíte z okrajových podmínek.

Problém č.6: Průhyb nosníku - metoda sítí/metoda konečných diferencí Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 6.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 6.1 můžeme interpretovat jako je na obou koncích prostě podepřený. dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 6.1 metodou sítí s krokem sítě h = 1/4, tedy x i = ih pro i = 0,1,2,3,4. Řešíme-li diferenciální rovnici metodou sítí konečných diferencí, nahradíme derivace vhodnými diferencemi. Pro čtvrtou derivaci funkce u lze odvodit následující diferenční náhrady: u 12 x 11h 4 2ux h+h 2 u x h+5ux 4ux+h+ux+2h, 6.2 u 12 x 11h 4 ux 2h 4ux h+5ux+h 2 u x+h 2ux+h, 6.3 u 2 x 3h 4 11ux h 6hu x h+18ux 9ux+h+2ux+2h, 6.4 u 2 x 3h 4 2ux 2h 9ux h+18ux+6hu x+h 11ux+h, 6.5 u x 1 ux 2h 4ux h+6ux 4ux+h+ux+2h h 4. 6.6 1. Vyberte 3 diferenční náhrady vhodné pro uvedenou diferenciální rovnici. Sít je tvořena 5 uzly, z toho jsou 3 uzly vnitřní. Diferenční náhrady vybereme tak, abychom pro každý vnitřní uzel x i mohli aproximovat hodnotu u x i pomocí hodnot funkce u ve vnitřních uzlech sítě nebo pomocí známých okrajových podmínek. 2. U vybraných diferenčních náhrad ověřte jejich přesnost pro všechny funkce ux {1,x,x 2,x 3,x 4 }. Tzn. dosad te vždy konkrétní u z uvedené množiny do pravé strany některých vybraných rovnic 6.2 6.6 a výraz co nejvíce zjednodušte. Následně spočítejte u x a ověřte,že získáte to samé. Přitěchto výpočtech NEdosazujte za h konkrétní hodnotu. 3. Ve vnitřních bodech sítě nahrad te derivace vhodnými diferenčními náhradami a dosad te za okrajové podmínky. Ze tří rovnic u x i = qx i, i = 1,2,3, tak získáte soustavu tří rovnic pro tři neznámé hodnoty U i ux i, i = 1,2,3. Soustavu rovnic vyřešte. 4. Přenásobte každý řádek předchozí soustavy rovnic vhodným číslem tak, aby vektor u 1 = 1,2,1 T byl vlastním vektorem matice takto vzniklé soustavy rovnic a aby stopa této matice byla rovna 4. Nalezněte vlastní čísla a zbývající vlastní vektory této matice. 5. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte max 1 i 3 U i ux i. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciálnírovniceaporovnánímlevéapravéstranydiferenciální rovnice spočtete některé z koeficientů µ i. Zbylé koeficienty pak zjistíte z okrajových podmínek.

Problém č.7: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Vetknutý nosník Uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici čtvrtého řádu s 4 xu +s 3 xu +s 2 xu +s 1 xu +s 0 xu = qx v intervalu 0,l, 7.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Za určitých podmínek viz úkol č.1 níže lze rovnici 7.1 převést do divergentního tvaru p2 xu + p1 xu +p0 xu = qx v intervalu 0,l. 7.2 Speciálním případem obyčejné diferenciální rovnice čtvrtého řádu zapsané v divergentním tvaru je rovnice EIu = qx v intervalu 0,l, 7.3 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 7.3 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 7.3 Ritzovou metodou. 1. Odvod te podmínky, jaké musí splňovat funkce s i x, i = 0,1,...,4, aby bylo možné převést rovnici 7.1 do divergentního tvaru 7.2. 2. Zapište rovnici 7.3 v operátorovém tvaru, ukažte že příslušný operátor A je symetrický na svém definičním oboru DA a s využitím Friedrichsovy nerovnosti rovněž ukažte, že je na DA pozitivně definitní. 3. Nalezněte polynom Px čtvrtého řádu, který splňuje okrajové podmínky P0 = Pl = 0 a P 0 = P l = 0. 4. Odvod te tvar funkcionálu energie Fv a minimalizujte jej po řadě na množinách M 1,M 2,M 3 a M 4, kde M 1 = {α 11 Px, α 11 R}, M 2 = {α 21 Px+α 22 xpx, α 21,α 22 R}, M 3 = { α 31 Px+α 32 xpx+α 33 x 2 Px, α 31,α 32,α 33 R }, { M 4 = αsin 2 π } l x,α R. Funkce, v nichž se minima nabývají, označme u i = arg min v M i Fv, i = 1,2,3 a 4. 5. Pro funkci u 1 spočtěte odhad chyby u u 1 L 2 0,l 1 c q Au 1 L 2 0,l, kde c je konstanta pozitivní definitnosti Au,u c u 2 L 2 0,l. 6. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu u u 1 L2 0,l = l 0 ux u 1x 2 dx 1/2. 7.4 Výsledek porovnejte se spočteným odhadem chyby. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 7. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u i a u u i, i {1,4}. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u i L 0,l = max x [0,l] ux u ix, i {1,4}.

Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 8.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 8.1 můžeme interpretovat jako je na obou koncích prostě podepřený. dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 8.1 Ritzovou metodou. 1. Zapište rovnici 8.1 v operátorovém tvaru, ukažte že příslušný operátor A je symetrický na svém definičním oboru DA a s využitím Poincarého 1 a Friedrichsovy nerovnosti rovněž ukažte, že je operátor A na DA pozitivně definitní. 2. Nalezněte polynom Px čtvrtého řádu, který splňuje okrajové podmínky P0 = Pl = 0 a P 0 = P l = 0. 3. Odvod te tvar funkcionálu energie Fv a minimalizujte jej po řadě na množinách M 1,M 2,M 3 a M 4, kde M 1 = {α 11 Px, α 11 R}, M 2 = {α 21 Px+α 22 xpx, α 21,α 22 R}, M 3 = { α 31 Px+α 32 xpx+α 33 x 2 Px, α 31,α 32,α 33 R }, { π } M 4 = αsin l x,α R. Funkce, v nichž se minima nabývají, označme u i = arg min v M i Fv, i = 1,2,3 a 4. 4. Pro funkci u 1 spočtěte odhad chyby u u 1 L 2 0,l 1 c q Au 1 L 2 0,l, kde c je konstanta pozitivní definitnosti Au,u c u 2 L 2 0,l. 5. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu u u 1 L2 0,l = l 0 ux u 1x 2 dx 1/2. 8.2 Výsledek porovnejte se spočteným odhadem chyby. Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 6. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u i a u u i, i {1,4}. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u i L 0,l = max x [0,l] ux u ix, i {1,4}. 1 Poincarého nerovnost je nutné využít, nebot nelze na člen u 2 L 2 použít Friedrichsovu nerovnost. Není totiž splněna 0,l podmínka u 0 = 0 nebo u l = 0. Nejčastěji používaná verze Poincarého nerovnosti zní: Pro všechny funkce v C 1 [a,b] je v v 2 L 2 0,l 1 2 b a2 v 2 L 2 0,l, kde v = 1 b b a a vxdx. My ji tu použijeme na funkci v = u. Čemu se potom rovná v?

Problém č.9: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Vetknutý nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 9.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 9.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešmediferenciální rovnici 9.1 Galerkinovou metodou konečných prvků. K aproximaci řešení použijeme hermitovské kubické konečné prvky, jejichž bázové funkce mají tvar: ϕ j x = 3 x h j +1 2 2 x h j +1 3 1 3 x h j 2 +2 x h j 3 pro x [j 1h,jh], pro x jh,j +1h], 0.2 0 jinak. j 1h jh j+1h 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 ψ j x = h x h j +1 3 x h j +1 2 pro x [j 1h,jh], h x h j 3 2 x h j 2 + x h j pro x jh,j +1h], 0.2 0 jinak. j 1h jh 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 j+1h Při výpočtech využijte vztahy: ϕ j,ϕ j = 24 h ϕ 3 j,ψ j+1 = 6 h ψ 2 j,ψ j+1 = 2 h ϕ j,ϕ j+1 = 12 h ϕ 3 j,ψ j 1 = 6 h x,ϕ 2 j = jh 2 ϕ j,ψ j = 0 ψ j,ψ j = 8 h x,ψ j = h3 15 1. Zapište rovnici 9.1 v operátorovém tvaru, ukažte že příslušný operátor A je symetrický na svém definičním oboru DA a s využitím Friedrichsovy nerovnosti rovněž ukažte, že je na DA pozitivně definitní. 2. Necht N = 2 a h = l N+1. Přibližné řešení rovnice 9.1 hledejte ve tvaru u hx = 2N j=1 α jv j x, kde v j x = ϕ j x a v N+j x = ψ j x, pro j = 1,2,...,N. Koeficienty α j, j = 1,2,...,2N, získáte řešením soustavy 2N rovnic o 2N neznámých Au h,v j = q,v j, pro j = 1,2,...,2N. 3. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu u u h L 2 0,l = l 0 ux u hx 2 dx 1/2. 9.2 Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 4. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u h a u u h. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u h L 0,l = max x [0,l] ux u hx.

Problém č.10: Průhyb nosníku - metoda konečných prvků Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 10.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 10.1 můžeme interpretovat jako je na obou koncích prostě podepřený. dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 10.1 Galerkinovou metodou konečných prvků. K aproximaci řešení použijeme hermitovské kubické konečné prvky, jejichž bázové funkce mají tvar: 1.2 ϕ j x = 3 x h j +1 2 2 x h j +1 3 1 3 x h j 2 +2 x h j 3 pro x [j 1h,jh], pro x jh,j +1h], 0 0.2 0 jinak. j 1h jh j+1h x h h j +1 3 1.2 x h j +1 1 2 0.8 pro x [j 1h,jh], 0.6 x ψ j x = h h j 3 2 x h j 2 + x h j 0.4 0.2 pro x jh,j +1h], 0 0.2 0 jinak. j 1h jh Při výpočtech využijte vztahy 1 j N: ϕ j,ϕ j = 24 h 3 ψ j,ψ j = 8 h x,ϕ N+1 = 10lh 3h2 20 x,ϕ 0 = 3h2 20 ϕ j,ϕ j+1 = 12 h 3 ψ j,ψ j+1 = 2 h x,ψ N+1 = 2h3 5lh 2 60 x,ψ 0 = h3 30 ϕ j,ψ j =0 ψ j,ψ j 1 = 2 h ϕ N+1,ϕ 12 N+1 = 0,ϕ 12 0 = h 3 ϕ ϕ j,ψ j+1 = 6 h 2 x,ϕ j =jh 2 ψ N+1,ψ N+1 = 4 h ψ 0,ψ 0 = 4 h ϕ j,ψ j 1 = 6 h 2 x,ψ j = h3 15 ϕ N+1,ψ N+1 = 6 h 2 ϕ 0,ψ 0 = 6 h 2 1. Zapište rovnici 10.1 v operátorovém tvaru. Předpokládejte, že u 0 = a 0, u l = b 0 a DA = {v C 4 0,l C[0,l], v0 = vl = 0} a formulujte úlohu slabě, tj. ve tvaru u,v A = Fv, kde, A je bilineární forma a Fv spojitý funkcionál na DA. Funkcionál Fv je tvořen nejenom členem q,v, ale i některými členy, které vznikly použitím metody per partes. S využitím Friedrichsovy a Poincarého 1 nerovnosti ukažte, že bilineární forma u,v A je skalárním součinem na prostoru V = {v C 2 0,l C[0,l], v0 = vl = 0}. 2 2. Necht a = b = 0, N = 1 a h = l N+1. Přibližné řešení rovnice 10.1 hledejte ve tvaru u hx = 2N+2 j=1 α j v j x, kde v j x = ϕ j x, pro j = 1,2,...,N, a v N+j+1 x = ψ j x, pro j = 0,1,...,N + 1. Koeficienty α j, j = 1,2,...,2N +2, získáte řešením soustavy 2N +2 rovnic o 2N +2 neznámých u h,v j A = Fv j, pro j = 1,2,...,2N +2. 10.2 3. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte přesnou chybu 1 0.8 0.6 0.4 0.2 j+1h h 3 u u h L2 0,l = l 0 ux u hx 2 dx 1/2. 10.3 Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 4. Pomocí matematického softwaru sestrojte grafy funkcí u, u h a u u h. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u u h L 0,l = max x [0,l] ux u hx. 1 Poincarého nerovnost je nutné využít, nebot nelze na člen u 2 L 2 použít Friedrichsovu nerovnost. Není totiž splněna 0,l podmínka u 0 = 0 nebo u l = 0. Nejčastěji používaná verze Poincarého nerovnosti zní: Pro všechny funkce v C 1 [a,b] je v v 2 L 2 0,l 1 2 b a2 v 2 L 2 0,l, kde v = 1 b b a a vxdx. My ji tu použijeme na funkci v = u. Čemu se potom rovná v? 2 Hermitovské konečné prvky sice neleží v prostoru V, ale pouze v {v C 1 [a,b], v0 = vl = 0}, lze však ukázat, že, A je rovněž skalárním součinem na H0 20,l = {v L2 0,l; v L 2 0,l, v0 = vl = 0}, ve kterém hermitovské konečné prvky leží.

Problém č.11: Průhyb nosníku - kvartický spline Vetknutý nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 11.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 11.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 11.1 konstrukcí kvartického splinu čti splajnu. Rozdělme výpočetní oblast na N = 4 intrvaly I j = [x j 1,x j ], kde x j = jh, j = 0,1,...,N a h = l/n. Na každém intervalu I j aproximujme funkci ux polynomem čtvrtého stupně p j x = a j x 4 +b j x 3 +c j x 2 +d j x+c j. Funkci p C 3 [0,l] takovou, že p Ij = p j pak nazveme kvartickým splinem aproximujícím řešení diferenciální rovnice11.1. Pozn.: Kvartický spline p je tedy spojitá funkce, která má spojitou první, druhou a třetí derivaci a na každém z intervalů I j je rovna polynomu p j. Z uvedených podmínek na funkci p tak zíkáme následující sadu rovnic Spojitost ve vnitřních bodech p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 11.2 Diferenciální rovnice x j 1 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 11.3 p jx j = p j+1x j, j = 1,2,...,N 1, 11.4 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 11.5 dx ExIxp jx = qxdx, j = 1,2,...,N. 11.6 x j 1 Na každém z N intervalů potřebujeme nalézt 5 neznámých koeficientů, celkem tedy 5N neznámých. Rovnice 11.2 11.6 však poskytují pouze 5N 4 rovnic. Zbylé 4 rovnice získáme z okrajových podmínek, konkrétně: p 1 0 = u0, p 1 0 = u 0, p N l = ul a p N l = u l. Ačkoli by se mohlo zdát, že řešit soustavu 5N rovnic o 5N neznámých může být náročné, lze k řešení soustavy poměrně jednoduše dospět následujícím algoritmem. 1. Nejprve uvažujte nekonstantní funkce Ex a Ix a zjednodušte levou stranu rovností 11.6 obsahují integrál z derivace. Následně dosad te konkrétní data a spočtěte tak koeficienty a j, j = 1,2,...,N. 2. Využijte znalosti koeficientů a j a z rovnic 11.5 odvod te závislost mezi koeficienty b j a b j+1. Obdobně postupujte u rovnic 11.4, 11.3 a 11.2. Vždy využijte znalosti již spočtených koeficientů, či vztahu mezi nimi a odvod te závislost mezi koeficienty c j a c j+1, d j a d j+1 a nakonec e j a e j+1. 3. Z okrajových podmínek v bodě x = 0 spočtěte koeficienty d 1 = p 1 0 a e 1 = p 1 0. Využijte odvozených vztahů mezi koeficienty d j,d j+1 a e j,e j+1 a spočtěte koeficienty d j,e j, j = 2,3,...,N. Následně vyřešte soustavu dvou rovnic p N l = ul a p N l = u l o dvou neznámých b N a c N. Nakonec využijte odvozených vztahů mezi koeficienty b j,b j+1 a c j,c j+1 a spočtěte koeficienty b j,c j, j = 1,2,...,N 1. 4. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte jedná se jen o integrály z polynomů u p 2 L 2 0,l = N j=1 u p j 2 L 2 I j = N j=1 x j 1 ux p j x 2 dx. 11.7 Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 5. Pomocímatematického softwaru sestrojte grafy funkcí p,p,p,p a u p. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u p L 0,l = max x [0,l] ux px.

Problém č.12: Průhyb nosníku - kvartický spline Prostě podepřený nosník EIu = qx v intervalu 0,l, 12.1 s okrajovými podmínkami u0 = ul = 0 a u 0 = u l = 0. Rovnici 12.1 můžeme interpretovat jako dále uvažujme, že je EI = 1, l = 1 a qx = x. S těmito daty řešme diferenciální rovnici 12.1 konstrukcí kvartického splinu čti splajnu. Rozdělme výpočetní oblast na N = 4 intrvaly I j = [x j 1,x j ], kde x j = jh, j = 0,1,...,N a h = l/n. Na každém intervalu I j aproximujme funkci ux polynomem čtvrtého stupně p j x = a j x 4 +b j x 3 +c j x 2 +d j x+c j. Funkci p C 3 [0,l] takovou, že p Ij = p j pak nazveme kvartickým splinem aproximujícím řešení diferenciální rovnice12.1. Pozn.: Kvartický spline p je tedy spojitá funkce, která má spojitou první, druhou a třetí derivaci a na každém z intervalů I j je rovna polynomu p j. Z uvedených podmínek na funkci p tak zíkáme následující sadu rovnic Spojitost ve vnitřních bodech p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 12.2 Diferenciální rovnice x j 1 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 12.3 p jx j = p j+1x j, j = 1,2,...,N 1, 12.4 p j x j = p j+1 x j, j = 1,2,...,N 1, 12.5 dx ExIxp jx = qxdx, j = 1,2,...,N. 12.6 x j 1 Na každém z N intervalů potřebujeme nalézt 5 neznámých koeficientů, celkem tedy 5N neznámých. Rovnice 12.2 12.6 však poskytují pouze 5N 4 rovnic. Zbylé 4 rovnice získáme z okrajových podmínek, konkrétně: p 1 0 = u0, p 1 0 = u 0, p N l = ul a p N l = u l. Ačkoli by se mohlo zdát, že řešit soustavu 5N rovnic o 5N neznámých může být náročné, lze k řešení soustavy poměrně jednoduše dospět následujícím algoritmem. 1. Nejprve uvažujte nekonstantní funkce Ex a Ix a zjednodušte levou stranu rovností 12.6 obsahují integrál z derivace. Následně dosad te konkrétní data a spočtěte tak koeficienty a j, j = 1,2,...,N. 2. Využijte znalosti koeficientů a j a z rovnic 12.5 odvod te závislost mezi koeficienty b j a b j+1. Obdobně postupujte u rovnic 12.4, 12.3 a 12.2. Vždy využijte znalosti již spočtených koeficientů, či vztahu mezi nimi a odvod te závislost mezi koeficienty c j a c j+1, d j a d j+1 a nakonec e j a e j+1. 3. Z okrajových podmínek v bodě x = 0 spočtěte koeficienty c 1 = p 1 0 a e 1 = p 1 0. Využijte odvozených vztahů mezi koeficienty c j,c j+1 a e j,e j+1 a spočtěte koeficienty c j,e j, j = 2,3,...,N. Následně vyřešte soustavu dvou rovnic p N l = ul a p N l = u l o dvou neznámých b N a d N. Nakonec využijte odvozených vztahů mezi koeficienty b j,b j+1 a d j,d j+1 a spočtěte koeficienty b j,d j, j = 1,2,...,N 1. 4. Diferenciální rovnici vyřešte přesně a spočtěte jedná se jen o integrály z polynomů u p 2 L 2 0,l = N j=1 u p j 2 L 2 I j = N j=1 x j 1 ux p j x 2 dx. 12.7 Návod: Jelikož je qx = x, bude přesné řešení ux polynomem pátého stupně. Postupovat tedy můžete tak, že dosadíte funkci ux = µ 5 x 5 +µ 4 x 4 +µ 3 x 3 +µ 2 x 2 +µ 1 x+µ 0 do diferenciální rovnice a porovnáním z okrajových podmínek. Při výpočtu integrálů můžete použít software. 5. Pomocímatematického softwaru sestrojte grafy funkcí p,p,p,p a u p. Z grafu pak odečtěte přibližnou hodnotu u p L 0,l = max x [0,l] ux px.