Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09
Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich limitou lim a, tedy hodotou, ke které se čley poslouposti s eomezeou přesostí blíží. Hovoříme-li o ekoečé řadě čísel, zajímáme se o hodotu (a existeci) součtu všech čísel a. Jaký přesý výzam však dát součtu ekoečě moha čísel? Mám-li pouze N čísel a, a,..., a N, má součet N a = a + a + a 3 +... + a N + a N všech těchto čísel jediou možou iterpretaci: Součet dostau tak, že k a přičtu a, k výsledku dále přičtu a 3 a tak dále, až po koečě moha krocích dojdu k a N a jeho přičteím dostau celkový výsledek. (Díky komutativitě a asociativitě sčítáí při tom ezáleží, v jakém pořadí jedotlivá čísla přičítám, stejě jako v samoobsluze ezáleží a tom, v jakém pořadí vám prodavač amarkuje zboží.) To ám dává ápovědu, jak iterpretovat symbol a = a + a + a 3 +... : Budu prostě přičítat další a další čley poslouposti {a } a doufat, že mezivýsledky (částečé součty), které budu tímto způsobem dostávat, kovergují k ějaké limitě; tuto limitu existuje-li pak azvu součtem ekoečě řady. Takto opravdu součet řady budeme defiovat: Defiice. Je-li dáa posloupost {a } R, ekoečou řadou azýváme formálí symbol místo ěhož zavádíme též symbol a + a + a 3 +..., (.) a ebo k= a k a podobě;
jakým písmeem ozačujeme idex podle ěhož se sčítá, a tom ezáleží. Čísla a, a,... jsou čley řady (.). Je-li dáa ekoečá řada (.), defiujeme její posloupost částečých součtů takto: Existuje-li limita s = a, s = a + a, s 3 = a + a + a 3 ; obecě s N = azýváme toto číslo s součtem řady (.); píšeme pak N a. s = lim N s N, (.) a + a + a 3 +... = a = s a symbolem (.) pak rozumíme eje řadu samotou (podobě jako symbolem {a } rozumíme posloupost), ýbrž i její součet s. Pokud s R, říkáme že řada (.) je kovergetí (má vlastí součet); pokud limita (.) eexistuje ebo je ekoečá, říkáme, že řada je divergetí. Pozámka. Všiměte si, že defiice počítá eje s možostmi koečého i ekoečého součtu (jak bychom asi očekávali), ale i s možostí eexistece jakéhokoliv součtu. Například pro řadu ( ) + + ( ) + + ( ) +... = + + +... = jsou částečé součty ásledující: ( ) s =, s = + = 0, s 3 = + =, s 4 = + + = 0 atd., tvoří tedy posloupost 0,, 0,,..., která emá limitu, a součet řady proto eexistuje. Defiice součtu ekoečé řady je dosti ázorá; ještě ázorější je však ásledující zápis, který platí v případě, že řada má (koečý ebo ekoečý) součet: ( def. a = lim s N def. N = lim a ). N N V limitě a pravé straě si lze představit, že horí mez sumy běží do, takže sčítáme více a více čleů řady a sledujeme, k čemu se součty blíží. Příklad. Pro ěkterého začátečíka může být obtížě představitelé, že součet ekoečě moha čísel je koečý. Následující ázorý příklad ukazuje, že skutečě existují kovergetí ekoečé řady. ( ) = + 4 + 8 + 6 +... =.
Součet této řady je skutečě rove jedé, což lze sado pochopit, když si člověk uvědomí, že přičteím každého dalšího čleu se s hodotou částečého součtu přiblížíme k hodotě o poloviu zbývající vzdáleosti: Začíáme s s = ; vzdáleost od je a hodota dalšího čleu řady je 4, tedy polovia této vzdáleosti. Ve druhém kroku máme s = + 4 = 3 4, takže vzdáleost od je 4 a hodota dalšího čleu řady je 8, tj. jeda polovia této vzdáleosti. A tak dále. Odtud je jasě vidět, že limita částečých součtů (tj. hodota součtu řady) je přesě, a je to tedy koečé číslo. Nyí si teto výsledek dokážeme ve větší obecosti a přesě (tedy bez zbytečých odkazů a ituici). Příklad (Geometrická řada). Necht N N a q (, ) \ {0}. Pak platí rovost =0 q = q. (.3) Tuto řadu azýváme geometrickou řadou s kvocietem q. Defiujeme-li a okamžik 0 0 =, pak tato rovost platí pro q (, ). Pozameejme, že v tomto případě běží od 0 a ikoliv od. Samozřejmě jde pouze o kosmetickou změu; díky í máme o ěco elegatější vzoreček. Důkaz. Platí (dokoce pro libovolé q) ásledující rovost (jak si každý může sado ověřit rozásobeím vzike teleskopická řada, tj. součet, kde většia čleů se odečte): q N+ = ( q)( + q + q +... + q N ). Odtud + q + q +... + q N = qn+, tj. q N =0 q = qn+. q Máme tedy vzorec pro N-tý částečý součet řady =0 q a dostáváme =0 q q N+ = lim N q = q lim ( q N+ ) = ( 0) = N q q. Příklad. 0, 9 = 0, 999... =. Skutečě, použitím vzorce odvozeého výše dostáváme 0, 999... = 9 0 = 9 ( 0) = 9 ( =0 ( ) ) ( = 9 0 0 ) =. Je ovšem jasé, že e všechy ekoečé řady mají koečý součet. Třeba řada má součet ekoečý (k určeí N-tého částečého součtu zde používáme zámý Gaussův vzoreček, ale ebylo by to ai uté): N(N + ) = lim ( + +... + N) = lim =. N N Následující příklad ukazuje, že ai řada, jejíž čley kovergují k ule, emusí být kovergetí (tj. mít koečý součet). 3
Příklad 3. Řad pro které jsme (podobě jako pro geometrickou řadu) schopi zjistit kokrétí hodotu součtu eí moho obvykle se spokojíme se zjištěím, že součet je apříklad koečý jeda další taková řada je ale ásledující; rovou uvádíme i (trikový) výpočet hodoty jejího součtu: def. = lim ( + ) N = lim N = lim N N ( + ) = lim ( ( ) + ( N + N N ( 3) + ) =. ( ) + ( 3 4) +... + ( N ) ) N + Příklad 4 (Kovergetí řady). Dále platí (v druhé řadě sčítáme od = 0; připomeňme, že 0! defiujeme jako ): =0 = π 6 ;! = e. Speciálě tedy platí, že obě řady jsou kovergetí (zde máme avíc iformaci o přesé hodotě jejich součtu). Důkazy odložíme a později (druhou rovost dokážeme hed v ásledující sekci, tu prví si však dokážeme až v dalším semestru). Příklad 5 (Divergetí řady). = + + +... =. Skutečě, N-tý částečý součet s N této řady je totiž rove součtu N jediček, tj. číslu N. Platí tedy lim N s N = lim N N =. = + + 3 +... =. Tato řada diverguje do ekoeča ještě rychleji ; chceme-li, můžeme pro důkaz její divergece použít srovávací kritérium (viz dále) tato řada je totiž zjevě větší ež divergetí řada z předchozího bodu. Alterativě můžeme použít zámý vzorec pro N-tý částečý součet této řady: s N = + +... + N = N(N+). (Důkaz tohoto vzorce je v prvím semestru oblíbeé cvičeí a matematickou idukci.) Je vidět, že s N, tj. řada diverguje. ( ) = + +... diverguje. Podíváme-li se totiž a posloupost částečých součtů této řady, vidíme, že je to, 0,, 0,..., což je (jak víme z prvího semestru) posloupost, která emá limitu. (Kdyby totiž měla limitu A R, musely by podle věty o limitě vybraé poslouposti kovergovat k A jak liché čley, tak i sudé čley. My ale vidíme, že liché čley kovergují k a sudé čley k 0.) si rověž diverguje, a to z podobého důvodu jako v předchozím bodě: její součet eexistuje. Důkaz tohoto faktu je však poěkud méě triviálí a zde ho vyecháme. Věta 6 (Nutá podmíka kovergece). Necht a koverguje. Pak lim a = 0. 4
Příklad 7 (Harmoická řada). Takzvaá harmoická řada = + + 3 + 4 +... =. diverguje. Přesěji, platí Protože však zároveň víme, že lim = 0, vidíme, že v předchozí větě platí pouze jeda implikace. Jiými slovy, eí pravda, že když se čley řady blíží k ule, musí mít řada koečý součet. Důkaz divergece harmoické řady. Máme dokázat, že + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 +... =. Všiměme si, že prví dva čley jsou ejméě tak velké jako, to jest a. Všechy další čley jsou sice meší ež jeda polovia, ale ásledující dva čley jsou oba aspoň tak velké jako 4, to jest 3 4 a 4 4, a tedy součtem těchto dvou čleů dostaeme 3 + 4 4 =. Podívejme se yí a čley od 5 dále; ty už jsou sice meší ež 4, ale ásledující 4 čley jsou větší ež 8, a jejich součet proto splňuje 5 + 6 + 7 + 8 4 8 =. Obrázkem: }{{} + + }{{} 3 + + }{{ 4 } 5 + 6 + 7 + + }{{ 8 } 9 +... + +... }{{ 6 } Vidíme tedy, že N -tý částečý součet je (N + ) (třeba o řádek výše vidíme, že s 4 = s 6 (4 + ) ). Odtud plye (vezměme ještě v úvahu to, že posloupost částečých součtů je rostoucí, ebot všechy čley aší řady jsou kladé) pomocí Lemmatu o jedom policajtovi pro poslouposti, že lim N s N =. Věta 8 (Základí vlastosti součtu řady). Necht jsou dáy řady a a b a čísla c R a 0 N. Pak platí: (i) a = (a + a +... + a 0 ) + a, má-li jeda straa součet. (ii) (iii) (a + b ) = c a = c = 0 + a + b, má-li pravá straa součet. a, má-li pravá straa součet. Pozámka 9. Z bodu (i) je jasě vidět, že kovergece řady (tedy otázka, zdá má, či emá koečý součet) ezávisí a hodotách koečě moha čleů. Tohoto faktu budeme hojě využívat bez dalších kometářů. Jedím z důsledků je, že když ějaké tvrzeí (třeba kritérium kovergece) platí pro řady tvaru a, platí i pro řady tvaru = a apod. Zároveň je jasé, že prvích koečě moho (v ašem případě přesě 0 ) čleů mohu libovolým způsobem uzávorkovat a mohu také libovolým způsobem měit jejich pořadí. To je zcela jasé, ebot součet koečě moha čísel, a tedy také součet (a + a +... + a 0 ), tuto vlastost má. 5
Body (ii) a (iii) předchozí věty říkají, že součet řady fuguje lieárím způsobem: suma součtů je součet sum a suma ásobků kostatou je ásobek kostatou sumy. Všiměte si, že v předchozí větě místo má-li jeda straa smysl (případě má-li pravá straa smysl ) píšu má-li jeda straa součet. Jedá se pouze o formálí a epříliš podstatý rozdíl. Důvodem pro ěj je, že řada a emusí mít součet, ale symbol a v každém případě smysl má: kromě součtu oé řady (který ovšem emusí existovat), totiž ozačuje i řadu samu. Teto rozdíl je málokdy podstatý a v ásledujícím tedy už a ěj ebudeme upozorňovat. Všiměme si ale aspoň jedou, že třeba v prvím bodě Věty 8 by předpoklad má-li jeda straa smysl byl prázdý (tj. k ičemu), protože levá straa uvedeé rovosti má smysl v každém případě, a to miimálě jako symbol ozačující ou řadu. Příklad 0. Porovejme ásledující tři uzávorkováí téže řady +( )++( )++( )+...: + ( ) + + ( ) +... emá součet (viz též Příklad 5); ( + ( )) + ( + ( )) +... = 0 + 0 +... = 0; + (( ) + ) + (( ) + ) +... = + 0 + 0 +... =. Pokud se tedy při závorkováí eomezíme a koečě moho čleů, součet se může změit. Změa pořadí sčítáí, která se eomezí a pouhých koečě moho čleů také může mít vliv a a existeci a hodotu součtu: + ( ) + + + ( ) + + + + ( ) +... = ; + ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) + +... =.. Řady s ezáporými čley V této části se zaměříme a řady s ezáporými čley, tj. a řady a splňující N: a 0. Všiměme se hed, že takovéto řady vždy mají dobře defiovaý součet; posloupost částečých součtů je totiž evidetě eklesající (každý další částečý součet je o ezáporé číslo větší), a tedy její limita (tj. součet řady) existuje. Otázka ovšem je, jestli je tato limita koečá či ekoečá. Věta (Srovávací kritérium). Bud te a a b dvě řady s ezáporými čley, které splňují N: a b. Pak platí: (i) b koverguje = a koverguje. (Říkáme, že b je kovergetí majorata.) (ii) a diverguje = b diverguje. (Říkáme, že a je divergetí miorata.) Příklad. Řada je kovergetí. Skutečě, pro libovolé totiž platí erovost ( ). 6
Podle Příkladu 3 koverguje řada ( + ) = ( ). Podle Srovávacího kritéria tedy platí, že = koverguje, a tedy koverguje i (a má podle Věty 8 právě o větší, ovšem stále koečý, součet). Věta L (Limití srovávací kritérium). Bud te a a b řady s ezáporými čley a echt existuje limita a lim = A R. b Pak platí: ( (i) A (0, ) = b koverguje ) a koverguje ; ( (ii) A = 0 = b koverguje ) a koverguje ; ( (iii) A = = b diverguje ) a diverguje. Pozámka 3. Podle Věty 8 (i) kovergece ezáleží a koečě moha čleech. Je tedy zřejmé, že ve Větě stačí předpokládat, že rovost a b je splěa pro všecha od jistého 0 počíaje. Tj. věta platí i za slabšího předpokladu, že 0 N 0 : a b. Pozámka o ideji předchozího důkazu. Příklad 4. = si srovej s, která koverguje (Příkladu ); si srovej s Další jedoduché příklady a Větu L: +cos 3 +3 +8 log, si(π/). =, která diverguje (Příklad 7). +3 (srovej s harmoickou řadou), Následující kritéria kovergece (odmociové a podílové) jsou založea a srováí (pomocí srovávacího kritéria) s geometrickou řadou. Z toho vyplývá, že tato kritéria lze s úspěchem použít pouze a řady, které kovergují velmi rychle, a sice aspoň tak rychle jako ěkterá kovergetí geometrická řada. Jak uvidíme, tato kritéria eumí apříklad rozhodout o (ám zámé) kovergeci řady. Věta 5 (Cauchyovo odmociové kritérium). Bud dáa řada s ezáporými čley a. Necht existuje pevé číslo q < takové, že N: a q. Pak řada a koverguje. Důkaz. Jsou-li splěy předpoklady věty, pak N: a q. Je jasé, že q [0, ), a tedy q koverguje (umíme dokoce spočítat hodotu součtu Příklad ; pozor ale a počátečí idex). Podle Věty tedy koverguje i a. Pozámka 6 (Důležitá pozámka o důležité roli q < ). Na tomto místě je dobré si uvědomit, že z předpokladů Cauchyova kritéria elze je tak vypustit oo q <. Uvažujme dvě variaty tohoto předpokladu, které zde přichází v úvahu: 7
(A) q < N: a q; (B) N: a. Už víme, že a koverguje za předpokladu (A) (přesě to je obsahem právě dokázaé Věty 5); je také jasé, že (A) (B); předpoklad (B) je tedy slabší. Ukážeme, že ahradíme-li předpoklad (A) slabším předpokladem (B), věta přestae platit. Jiými slovy, zatímco (A) kovergeci implikuje, (B) ji eimplikuje. Skutečě, uvažujme a = +, tedy a = sčítacem začíáme sčítat od je posuutá harmoická řada: místo a dál už je to stejé. Jak víme, koečě moho čleů emá a kovergeci/divergeci vliv, a tedy a diverguje, stejě jako harmoická řada. Je ale jasé, že pro všecha platí a = + <. Řada + tedy splňuje (B), ale eí kovergetí. To zameá, že (B) eimplikuje kovergeci, jak jsme chtěli ukázat. Tím je vlastě všecho jasé: (A) kovergeci zaručuje, zatímco (B) e; role ooho q < je tedy opravdu důležitá. Zároveň jasě vidíme, že předpoklady (A) a (B) ejsou ekvivaletí, a opačá implikace mezi imi, tedy (A) (B) emůže platit. To jiými slovy zameá, že (B) je ostře slabší předpoklad ež (A). Nicméě bych se edivil, kdyby takovéto vysvětleí ěkoho euspokojilo. V čem se (A) a (B) tak liší, že teto zdálivě drobý rozdíl rozhoduje o platosti matematické věty? Abychom si teto rozdíl lépe uvědomili, ozačme d = a a podívejme se a tuto posloupost přímo, bez přemýšleí o kovergeci řad. Při tomto začeí vypadají předpoklady (A) a (B) ásledově: (A) q < N: d q; (B) N: d. Jak se může stát, že ějaká posloupost ezáporých čísel splňuje (B), ale ikoliv silější předpoklad (A)? Docela sado, stačí k tomu libovolá ezáporá rostoucí posloupost s limitou, třeba d = +. Opravdu je jasé, že tato posloupost splňuje (B). Že esplňuje (A), je také jasé, a to každému, kdo pochopil defiici limity. Vezmu-li si libovolé číslo q <, třeba q = 9 999 0 ebo q = 000 atd., od jistého idexu dále už posloupost d bude ad touto hraicí. Takže d esplňuje (A). Abychom v běžé řeči sado odlišili situace podobé předpokladu (A) od (B), hovoříme v případě (A), že čísla d jsou odražeá od jedičky. To zameá, že existuje jisté etriviálí okolí čísla, v ěmž se evyskytuje žádé číslo d. Pozameejme ještě, že esplěí podmíky (A) eimplikuje divergeci řady. Podívejte se a kovergetí řadu ; zjistíte, že kritérium (předpoklad (A)) esplňuje, ale přesto koverguje. Podroběji o tom íže. Věta 5L (Limití Cauchyovo odmociové kritérium). Bud dáa řada s ezáporými čley a. Pak platí: (i) Jestliže lim (ii) Jestliže lim Pozámka 7. a <, pak a koverguje. a >, pak a diverguje. + (a) Pokud lim a =, evíme ic, tj. můžou astat obě možosti. Skutečě: 8
Necht a = ; pak lim a = a (jak dávo víme) řada diverguje; Necht a = ; pak lim a = a (jak dávo víme) řada koverguje; (b) Uvedeá limita vůbec emusí existovat. V tom případě se můžeme pokusit použít přímo Větu 5 (tedy elimití verzi ), případě její sadou úpravu s počátečím idexem 0 : Jestliže q < 0 N 0 : a q, pak a koverguje. Příklad 8. Příklad o kruhové argumetaci argumetem kruhem ( zvěrstvo ). Uvažujme q (0, ); pak q je ějaká kovergetí geometrická řada (Příklad ). Můžeme zkusit použít Větu 5L: q = lim q = q <, lim takže řada q skutečě podle Věty 5L koverguje. Když už máme limití Cauchyovo kritérium, je obtížé teto argumet popírat, jedá se ale o argumet kruhem: Abychom totiž mohli oo kritérium dokázat, ejdřív potřebujeme vědět, že geometrická řada koverguje; edává tedy smysl použitím tohoto výsledku zpětě dokazovat kovergeci geometrické řady. Z cvičých důvodů si můžete zkusit rozmyslet, proč je tato situace velmi podobá výpočtu si x limity lim x 0 x = pomocí L Hospitalova pravidla. Doplit další příklady. Věta 9 (D Alembertovo podílové kritérium). Bud dáa řada s ezáporými čley a. Necht existuje pevé číslo q < takové, že N: a + a q. Pak řada a koverguje. Věta 9L (Limití D Alembertovo podílové kritérium). Bud dáa řada s ezáporými čley a. Pak platí: a + (i) Jestliže lim a a + (ii) Jestliže lim a Příklad 0. Doplit příklady použití. <, pak a koverguje. >, pak a diverguje. Pozámka. Pro (právě uvedeé) podílové kritérium platí aalogická pozámka jako pro kritérium odmociové viz Pozámku 6. Je dobré mít a paměti, že obě kritéria, tedy Věta 5 i Věta 9 (resp. jejich limití verze) fugují pouze a řady, ve kterých se vyskytují velmi rychle rostoucí ebo klesající čley, protože jejich důkaz využívá srováí s ějakou kovergetí geometrickou řadou. Tím pádem žádá kovergetí řada, která se edá s úspěchem srovat s ějakou geometrickou, emůže být vyšetřea použitím žádého z těchto kritérií. Vzhledem k iheretímu omezeí odmociového a podílového kritéria byla vyalezea další, silější kritéria kovergece. Jejich formulace je však také poěkud složitější a aplikace obtížější. Pro zajímavost uved me tak zvaé Raabeovo kritérium kovergece: Bud dáa řada s ezáporými čley a. (i) Pokud lim ( a a + (ii) Pokud lim ( a a + ) ) >, pak řada a koverguje. <, pak řada a diverguje. 9
Opakováí k itegrálímu kritériu Doplit. Věta (Itegrálí kritérium kovergece). Bud f : [, ) R spojitá, ezáporá a erostoucí fukce. Potom f() koverguje (ZR) f(x) dx koverguje. Důsledek 3. Necht α R. Pak α koverguje, právě když α >. Pozámka 4. Proč chceme, aby f byla erostoucí? Doplit..3 Řady s obecými čley absolutí a eabsolutí kovergece Defiice 5. Řekeme, že řada a je absolutě kovergetí, koverguje-li řada a. Řekeme, že řada je relativě kovergetí (též: eabsolutě kovergetí), jestliže je kovergetí, ale eí absolutě kovergetí. Věta 6. Každá absolutě kovergetí řada je kovergetí. Příklad 7. Rozhoděme o kovergeci řad ( ) a si. Použijeme předchozí větu: Prví z obou řad je absolutě kovergetí, ebot ( ) = a řada je kovergetí. Podle Věty 6 je tedy i kovergetí (v obyčejém slova smyslu). Obdobě postupujeme i pro druhou řadu, ejprve ale použijeme srovávací kritérium: si si, kovergetí; tj. řada si takže podle Věty je řada je absolutě kovergetí, a tedy i kovergetí (opět podle Věty 6). Všiměte si, že jsme použili obyčejé (e limití) srovávací kritérium; s limitím bychom epořídili, ebot příslušá limita eexistuje (jak se můžete sado přesvědčit). Pozámka 8. Věta 6 říká, že absolutí kovergece implikuje kovergeci; jde tedy o silější vlastost. Od tohoto okamžiku se tedy domluvme, že emusíme pokaždé explicitě kostatovat, že řada je kovergetí, víme-li už, že je absolutě kovergetí. Budeme to považovat za samozřejmé; ostatě i termiologie, kterou používáme, je pro toto chápáí vhodá. Věta 9 (Leibizovo kritérium). Budiž {µ } erostoucí posloupost reálých čísel splňující lim µ = 0. Potom řada ( ) µ koverguje. Příklad 30. Řada ( ) je relativě kovergetí. Každý se sado přesvědčí, že řada eí absolutě kovergetí. Řada ale je kovergetí. Skutečě, položíme-li µ =, pak posloupost {µ } splňuje předpoklady Leibizova kritéria (je klesající a má limitu 0). Tím pádem koverguje řada ( ) µ = ( ), což je přesě vyšetřovaá řada. 0
Vidíme tedy, že e každá kovergetí řada je absolutě kovergetí, a tedy absolutí kovergece je ostře silější vlastost ež kovergece. Ve Větě 6 tedy eplatí opačá implikace. Doplit přehledovou tabulku kovergece a schéma. může být mo- Příklad 3. Doplit další příklady a Leibizovo kritérium. Posloupost {µ } otóí až od jistého idexu dál. Pozámka 3. Doplit. Příklad 33. Vyšetřete kovergeci řady ( ) + ( ). Ozačme a = ( ) +( ). Podívejme se ejprve a absolutí kovergeci (ěkde se začít musí a často eí jasé, které pořadí je výhodější): a = ( ) + ( ) = + ( ). Našli jsme tedy divergetí mioratu, a to harmoickou řadu. Naše řada tedy ekoverguje absolutě. Vyšetřeme yí (relativí) kovergeci řady a. Počítejme: a = ( ) + ( ) = ( ) + = + ( ). Podívejme se a řadu odpovídající druhému sčítaci a pravé straě posledí rovice. Sado zjistíme, že řada ( ) koverguje podle Leibizova kritéria, protože je klesající a má limitu 0. Dostáváme yí ásledující výpočet, v ěmž druhá rovost ozačeá ( ) platí podle Věty 8 vzhledem k tomu, že její pravá straa má součet; posledí rovost pak plye z toho, že se jedá o součet koečého čísla ( ) (jak jsme zjistili výše) a ekoeča (součet harmoické řady): ( ) + ( ) = + ( ) = + ( ) =. Řada tedy diverguje. Vidíme, že prví část, tedy vyšetřováí absolutí kovergece, jsme si mohli odpustit, ebot (obměou implikace) Věta 6 říká, že divergetí řada eí absolutě kovergetí závěr prví části (totiž fakt, že a eí absolutě kovergetí) tedy automaticky plye ze závěru části druhé (tj. z toho, že a eí kovergetí). Odhadout, zda se více vyplatí začít absolutí kovergecí ebo kovergecí, vyžaduje jisté zkušeosti a často a tom avíc ezáleží, ebot k úplému řešeí jsou potřeba obě části (to astae právě pro každou relativě kovergetí řadu). Věta 34 (Dirichletovo kritérium). Necht má řada a omezeou posloupost částečých součtů a echt µ 0 (tj. µ µ µ 3... a platí lim µ = 0). Potom µ a koverguje. Věta 35 (Abelovo kritérium). Necht je posloupost {ω } omezeá a mootóí. Jestliže a koverguje, potom koverguje i řada ω a. Pokud avíc lim ω koverguje, právě když koverguje řada a. 0, pak platí i opačá implikace, tj. přesěji: řada ω a
Důkazy těchto dvou kritérií jsou poěkud techicky áročější (i když rozhodě e těžké), takže je vyecháme. Povšiměme si icméě toho, co mají obě kritéria společé. V obou případech předpokládáme (poprvé implicitě, podruhé explicitě), že posloupost {µ } (resp. {ω } ) je omezeá a mootóí. Stejě tak v obou případech předpkládáme (poprvé explicitě, podruhé implicitě), že posloupost částečých součtů řady a je omezeá. Tyto dva předpoklady však samy o sobě a kovergeci řady součiů, která se v kritériích tvrdí, estačí. V obou kritériích tedy do předpokladů přidáváme ještě kousek avíc: V případě Dirichletova kritéria to je požadavek, aby posloupost {µ } byla eje omezeá a mootóí, ale dokoce aby měla limitu 0; v případě Abelova kritéria zase předpokldádáme, že řada a eje že má omezeé částečé součty, ale dokoce koverguje. Obě tato zesíleí předpokladů už a kovergeci stačí (jak ám říkají Věty 34 a 35). Příklad 36. Vyšetřete kovergeci řady Vyšetříme ejprve absolutí kovergeci: ( ) arctg. (.4) ( ) arctg = arctg ; ašli jsme tedy divergetí mioratu. (Uvedeá erovost platí pro všecha, protože fukce arctg je rostoucí a už pro = platí arctg = arctg = π 4 >.) Vyšetřovaá řada tedy ekoverguje absolutě podle srovávacího kritéria. Neabsolutí kovergece: Nejprve si všiměme, že koverguje řada ( ) (to plye z Leibizova kritéria). Protože fukce arctg je rostoucí, je posloupost {arctg } také rostoucí, a je tedy každopádě mootóí. Protože každá posloupost s vlastí limitou je omezeá, vidíme, že i tato aše posloupost je omezeá: jest totiž lim arctg = π R. Tím pádem jsou splěy předpoklady Abelova kritéria s a = ( ) a ω = arctg ; kritérium říká, že koverguje řada součiů, tedy aše vyšetřovaá řada. Závěr tedy je, že řada koverguje relativě. Všiměme si také, že Abelovo kritérium se dá používat opakovaě a dostávat tak kovergeci složitějších a složitějších řad. Například řada ( ) arctg ( + ) 666 (.5) je a vyšetřeí mohem jedodušší, ež se a prví pohled zdá. Už víme, že koverguje řada čísel ( ) arctg. Protože ale posloupost ( + ) je mootóí a má limitu e (takže je omezeá), koverguje podle Abelova kritéria i řada ( ) arctg ( + ). (.6) Nyí se podíváme a další čiitel 666: i posloupost těchto čísel je mootóí a omezeá (má limitu ). Použijeme-li tedy Abelovo kritérium a řadu (.6) a posloupost { 666 }, dostaeme kovergeci řady (.5).
Nakoec pozameejme, že kovergece řady (.4) (jakož i řady (.5)) se dá vyšetřit i bez použití Abelova kritéria, pouze se zalostí kritéria Leibizova. Takové řešeí by bylo o pozáí početě áročější a probíhalo by takto: Máme vyšetřit kovergeci řady tvaru ( ) µ, kde µ = arctg (tj. řady (.4)); podle Leibizova kritéria pro ověřeí kovergece této řady stačí vědět, že posloupost {µ } je erostoucí a lim µ = 0. Toho lze docílit apříklad použitím derivace. Uvažujme fukci f(x) = arctg x x a itervalu [, ) (případě a ějakém itervalu tvaru [K, ), kde K > tím bychom ověřovali mootoii od tohoto K dále, což by ám také postačilo). Jest f (x) = +x x arctg x x = x +x arctg x x. Protože jmeovatel je vždy kladý, stačí se podívat a zaméko čitatele: Zpozorujeme, že pro x platí x x arctg x + x + x arctg = x + x π 4 x x π 4 = x π 4 π 4 < 0. Derivace fukce f je tedy a itervalu [, ) záporá, fukce f sama je tedy a tomto itervalu klesající, takže je klesající i posloupost {f()} = = { arctg } = = {µ} =. Ověřili jsme tedy mootoii poslouposti {µ} =, a jsme hotovi: řada začíající idexem koverguje podle Leibizova kritéria a my víme, že koečě moho čleů ehraje z hlediska kovergece roli, takže koverguje i řada (.4). Pozámka 37. Obě právě probraé věty, tedy Dirichletovo a Abelovo kritérium, se používají typicky a vyšetřováí relativí kovergece: pro studium absolutí kovergece se hodí především kritéria probraá v sekci o řadách s ezáporými čley. Tj. srovávací, odmociové a podílové, resp. jejich limití verze, a případě též itegrálí kritérium, ba i Raabeovo. Dále si všiměte, že Dirichletovo kritérium triviálím způsobem implikuje kritérium Leibizovo. Jiými slovy, máme-li už dokázaé Dirichletovo kritérium, eí potřeba opakovat důkaz kritéria Leibizova tak, jak je uvede pod Větou 9, ýbrž stačí si uvědomit ásledující: Je-li dáa situace splňující předpoklady Věty 9, to jest, je dáa řada tvaru ( ) µ, kde {µ } je mootóí a má limitu 0, potom, ozačíme-li a = ( ), jsou splěy předpoklady Věty 34: je totiž sado vidět (a už jsme si toho ěkolikrát všimli), že řada a = ( ) má omezeou posloupost částečých součtů. Dirichletovo kritérium v této situaci kostatuje, že řada a µ = ( ) µ koverguje, což je obsahem tvrzeí Leibizova kritéria. Opravdu tedy Leibizovo kritérium sado plye z Dirichletova. Věta 38. Necht t R a t kπ pro všecha k N. Potom řady si(t) a cos(t) emají součet, ale každá z ich má omezeou posloupost částečých součtů. 3
Příklad 39. Řady si Dokážeme, že řada Doplit. a si cos kovergují podle vět 34 a 38. koverguje pouze relativě, to jest, řada si diverguje..4 Vsuvka o komplexích číslech Doplit. Lemma 40. Necht z, z C, z = r(cos α + i si α), z = s(cos β + i si β). Pak z z = rs ( cos(α + β) + i si(α + β) ). Důsledek 4 (Moivreova věta). Necht α R a N. Pak platí vzorec ( cos α + i si α ) = cos(α) + i si(α). Defiice 4 (Poslouposti a řady v C). (a) Posloupostí komplexích čísel rozumíme libovolou fukci f : N C (srovej s defiicí poslouposti reálých čísel). Hodoty f v růzých bodech začíme z = f() a obvykle posloupost ozačujeme prostě symbolem {z } a píšeme {z } C. (b) Bud {z } C. Řekeme, že číslo z C je její limitou (píšeme lim z = z, jestliže lim Re(z ) = Re(z) a zároveň lim Im(z ) = Im(z) (zde jde o limity posloupostí reálých čísel). Jedá se tedy o tzv. kovergeci po složkách : posloupost komplexích čísel koverguje právě tehdy, když kovergují reálé i imagiárí složky. (c) Řadu komplexích čísel (a její součet) defiujeme aalogicky jako řadu reálých čísel (a její součet), tj. defiujeme N z = lim s N = lim z, N N má-li pravá straa smysl. (d) Posloupost {z } C se azývá omezeá, pokud jsou omezeé poslouposti reálých čísel {Re(z )} a {Im(z )}. Lemma 43. Necht {z } C je ějaká posloupost. Platí: (i) {z } je omezeá { z } je omezeá; (ii) lim z = z lim z z = 0. Důkaz. Doplit. Důkaz Věty 38. Doplit. Příklad 44. Vyšetřete kovergeci řady si(666). Doplit. 4
.5 Přerováí řady Defiice 45. Budiž {k } N posloupost přirozeých čísel, ve které se každé přirozeé číslo vyskytuje právě jedou (tj. jde o bijekci N, a tj. jde o permutaci a N). Potom řadu a k azveme přerováím řady a. Věta 46. Necht je řada a absolutě kovergetí. Pak i každé její přerováí a k je absolutě kovergetí a platí rovost součtů, tj. a k = a. Věta 47 (Riemaova). Necht a je relativě kovergetí. Pak pro libovolé s R existuje přerováí a k takové, že a k = s. 5
Kapitola Obyčejé difereciálí rovice. Úvod Difereciálí rovice je taková rovice, ve které ezámou je fukce a ve které se vyskytuje kromě fukce samoté také její derivace (třeba i vyššího řádu). Nezámou (hledaou) fukci budeme obvykle začit písmekem y a za proměou této fukce obvykle zvolíme x. Proměou x můžeme, ale emusíme, explicitě azačit z toho vyplývají dva růzé zápisy pro každou rovici (viz sezam příkladů íže). Podívejme se a ěkolik příkladů difereciálích rovic: () y = + y, resp. y (x) = + (y(x)) ; () y + y = 0, resp. y (x) + y(x) = 0; (3) y y = + (y ), resp. y (x)y(x) = + (y (x)) ; (4) y = y +x, resp. y (x) = (y(x)) +x ; (5) y + y x = x, resp. y (x) + y(x) x = x. Tyto rovice jsou poměrě růzorodé, miimálě jedo však mají všechy společé, a sice fakt, že hledaou fukcí je fukce jedié proměé takové rovice azýváme obyčejé difereciálí rovice. Lze si ovšem představit i rovice, ve kterých vystupují fukce více proměých; pokud v ějaké takové rovici vystupuje kromě fukce samoté také ějaká její parciálí derivace (viz dále), pak hovoříme o parciálí difereciálí rovici (PDR). Neí asi překvapující, že PDR jsou v ějakém smyslu komplikovaější ež ODR, a dává tedy smysl začít studium difereciálích rovic právě těmi obyčejými. V této kapitole se obyčejé difereciálí rovice aučíme klasifikovat a ěkteré typy se aučíme řešit. Hed a začátku této kapitoly tedy dává smysl se ptát, co to zameá difereciálí rovici vyřešit; zjedodušeá odpověd je, že to zameá ajít (všecha) řešeí. A co je to řešeí difereciálí rovice? Jak už jsem předeslal, půjde vždy o ějakou fukci, a to kokrétě takovou, která splňuje daou rovici po dosazeí libovolého x z jistého itervalu I; hovoříme pak o řešeí rovice a tomto itervalu I. K pojmu řešeí se ještě vrátíme, ečekejte ovšem, že by vás podrobější výklad o tomto pojmu ějak zvlášt překvapil. Příkladem řešeí rovice () ašeho sezamu je třeba fukce y(x) = si x a R. Skutečě, dosadíme-li do rovice si x za y a (jak je to uté) (si x) = si x za y, dostaeme si x + si x = 0, 6
což skutečě platí pro libovolé x R jde tedy opravdu o řešeí a R. Podobě ovšem můžete ověřit, že řešeím téže rovice je také y(x) = cos x ebo třeba y(x) = si x + 7 cos x. Příklad 48. Jeda z ejjedodušších rovic, jejíž jedo etriviálí řešeí každý zá, je y = y. (.) Rovice ám říká, že fukce y je rova svojí derivaci. Dobře víme, že jeda fukce splňující tuto podmíku je kostatí ulová fukce: Dosazeím kostatí uly dostáváme (0) = 0, což skutečě platí, ebot derivace kostatí fukce je ula. Toto řešeí však je obtížě prodáme jako etriviálí. Jié řešeí je fukce y(x) = e x a R. Opravdu, dosadíme-li za y expoeciálu, dostaeme (e x ) = e x, což skutečě platí pro všecha x R. Jié řešeí je třeba y(x) = 3e x. Je vlastě vidět, že pro libovolou kostatu C R (třeba pro 0, ebo 3) je fukce y(x) = Ce x (.) řešeím aší rovice. Později uvidíme, že jiá řešeí už eexistují. Vidíme, že řešeí existuje ekoečě moho (pro každé C R jedo řešeí defiovaé a R). Zadáí úlohy je tedy možé upřesit udáím dalších požadavků a hledaé řešeí. Stadardí způsob je zadat tak zvaou počátečí podmíku, tj. požadavek typu y(x 0 ) = y 0. Hledáme pak takové řešeí rovice (.), které má hodotu v bodě x 0 rovou y 0. Toho lze obvykle dosáhout dosazeím počátečí podmíky do obecého tvaru řešeí, v ašem případě tedy do (.) dosadíme x 0 za x a y 0 za y; obdržíme rovost čísel (ebot zúčastěé fukce byly vyhodocey v bodě x 0 ) ve které ovšem adále figuruje parametr C. Toto C tedy iterpretujeme jako ezámou v obyčejé číselé rovici a vypočítáme ho. Tím dostaeme už kokrétí řešeí aší rovice, a to takové, které splňuje počátečí podmíku y(x 0 ) = y 0. Aby to bylo jasější, podívejme se a příklad s kokrétími čísly: Uvažujme třeba počátečí podmíku y() = ; (.3) hledáme tedy takovou kostatu C, že jí příslušé řešeí y(x) = Ce x má v bodě x = hodotu y =. To jest, řešíme číselou rovici s ezámou C: y() = C e, to jest, podle (.3), = C e. Vidíme tedy, že C = e, a řešeí splňující počátečí podmíku (.3) je tedy y(x) = e ex. Pozámka. Co tedy můžeme popsat pomocí difereciálích rovic? Velmi často se jedá o vývoj hodoty ějaké veličiy (třeba velikosti populace ebo cey ějakého zboží) v závislosti a čase. Zde samozřejmě ou veličiu iterpretujeme jako závisle proměou, zatímco ezávisle proměá 7
je čas; hovoříme tedy o fukci. Jsme-li tedy postavei před otázku, jak se v budoucu bude vyvíjet jistá populace, dává smysl hledat fukci, která udává velikost populace v daém čase. V praxi pak řešeí takové úlohy vypadá tak, že ejprve ajdeme rovici, která podle ašeho ázoru odráží zákoy, kterými se velikost studovaé veličiy řídí, a pak tuto rovici řešíme. Obvykle tímto způsobem dostaeme ějakou difereciálí rovici. Například při studiu velikosti populace můžeme vycházet z celkem smysluplého předpokladu, že čím větší populace, tím rychlejší rozmožováí. To jest, rychlost změy (růstu) populace je přímo uměrá velikosti této populace. Ozačíme-li tuto velikost v čase t symbolem y(t), předchozí věta se dá přeložit takto: y = a y, resp. y (t) = a y(t), kde a R je parametr související s tím, jak rychle se studovaý druh rozmožuje (te musíme určit případ od případu). Teto model populačího růstu tedy v řeči matematiky vyjadřuje ám ituitivě zřejmý fakt, že čím větší populace, tím větší je poteciál pro rozmožováí, a tedy rychlost růstu této populace. Uvedeý populačí model (tzv. Malthusův populačí model) jistě má svá omezeí; jeho řešeím jsou fukce tvaru y(x) = Ce ax, kde C R je kostata (podobě jako v Příkladu 48), která v tomto případě souvisí s počátečí velikostí aší populace. Vidíme, že velikost populace s časem roste expoeciálě (pokud a > 0), což patrě emůže pokračovat do ekoeča, ebot ve všech zámých praktických situacích máme pro tuto populaci je omezeé možství zdrojů (eergie, prostor...). Toto omezeí bere v úvahu tak zvaý Logistický populačí model (viz Příklad 53). Lze tedy očekávat, že áš model bude reálou situaci popisovat relativě dobře v krátkodobém horizotu, ale v horizotu dlouhodobějším se bude více a více odchylovat od reality. Hledáí ejvhodějšího modelu však často eí otázka pro matematika; aším úkolem je řešit daou rovici (model). Do jaké míry tato rovice souvisí s realitou se řeší v příslušých vědích oborech. Pozámka 49. Můžeme se yí ptát, proč bychom měli řešit difereciálí rovici místo toho, abychom prostě rovou popsali daou veličiu fukcí. Odpověd je v samoté povaze přírodích zákoů. Ty totiž většiou fugují tak, že jsme schopi popisovat které veličiy a krátkodobé změy těchto veliči jsou si úměré, ale eumíme a priori popsat chováí těchto veliči v dlouhodobějším časovém rámci. (Toto platí i v jiých případech, kdy aší proměou eí čas, ýbrž apříklad prostor, a my popisujeme třeba silové pole.) Kdyby bylo jedoduché apsat rovou předpis pro fukci, kterou se daá veličia řídí, velká část matematiky by vůbec ebyla potřeba. Třeba v předchozím příkladě s růstem populace je ám ituitivě jasé, že čím větší populace, tím rychlejší její růst, a tedy rychlost růstu se bude zvětšovat. Už ovšem vůbec eí jasé, půjde-li o růst expoeciálí (jak tomu skutečě je), ebo apříklad kvadratický (kvadratická fukce přece také roste čím dál tím rychleji ). Obvykle se tedy acházíme v situaci, kdy jsme schopi relativě dobře popsat krátkodobé chováí ašich veliči a chceme si udělat představu o jejich chováí dlouhodobém. Dáme-li dohromady dostatečý počet krátkých časových itervalů (o ichž podle předpokladu víme dost), dostaeme iterval dlouhý. Tato představa připomíá ideu určitého itegrálu: jsme schopi sečíst (zitegrovat) spoustu uzoučkých sloupečků pod grafem fukce. Z důvodu této aalogie (a také z důvodu způsobu řešeí, který obvykle zahruje itegraci) se ěkdy místo řešit rovici říká itegrovat rovici. Iformaci o dlouhodobém chováí studovaé veličiy poskládáme (zitegrujeme) z ifiitesimálích kousků. 8
Příklad 50 (Radioaktiví rozpad a uhlíková metoda datováí; Turíské pláto). Doplit.. Růzé typy difereciálích rovic Následuje (eúplý) sezam růzých čleěí rovic: Obyčejé difereciálí rovice (ezámou je fukce jedé proměé) ebo parciálí difereciálí rovice (ezámou je fukce více proměých); Čleěí podle řádu rovice: řád rovice je řád ejvyšší derivace, která se v rovici vyskytuje. Rovice (), (4) a (5) v úvodu této kapitoly jsou prvího řádu, zbylé dvě jsou druhého řádu. Lieárí rovice ebo elieárí rovice: Lieárím rovicím, které jsou ovšem dosti speciálí, věujeme samostatý oddíl; v ěm je také podrobě vysvětleo, o co přesě se jedá. Nepřesě řečeo se jedá o rovice, které se chovají lieárě vzhledem k řešeím, takže řešeí tvoří ějaký lieárí (vektorový) prostor. Nelieárí rovice jsou pak všechy rovice, které ejsou lieárí. Existují další speciálí podkategorie obyčejých difereciálích rovic. My se zaměříme zejméa a tzv. autoomí difereciálí rovice a obecěji a rovice se separovaými proměými; existuje však řada dalších speciálích případů s příslušými metodami řešeí. Ještě jede typ rovic jsou rovice, které se ěkdy azývají triviálí; jejich řešeí eí ic jiého ež hledáí primitiví fukce (tj. eurčitý itegrál), a vlastě už je tedy záme z druhého semestru. Dříve ež podroběji vysvětlíme ěkteré základí pojmy a výsledky obecé teorie difereciálích rovic, podívejme se a ěkolik jedoduchých případů. Všechy případé ejasosti by se měly vyjasit při studiu Oddílu.4, ale výklad, který ásleduje, by měl být srozumitelý už yí. Triviálí DR jsou rovice tvaru y = h(x), resp. y (x) = h(x). (.4) Pravá straa této rovice tedy závisí pouze a x, explicitě ezávisí a y. Hledat fukci y takovou, že platí y (x) = h(x) ezameá ic jiého ež hledat primitiví fukci k h. Skutečě, echt h(x) dx c = H(x). To je ovšem je jiý zápis pro H (x) = h(x), tj. jde je o jiý způsob jak zapsat, že H je řešeí rovice (.4). Libovolá primitiví fukce k h je tedy řešeím. Jsme přitom zvyklí, že primitiví fukci hledáme (tj. počítáme eurčitý itegrál) vždy a ějakém itervalu; to je v souladu s tím, co se dozvíme o řešeí difereciálí rovice: vždy totiž musíme udat, a jakém itervalu se o řešeí jedá, a teto iterval bude vždy otevřeý. Vylučujeme tedy případy, kdy by v defiičím oboru řešeí byla díra. Připomeňme si yí důsledek Základí věty kalkulu, ám již zámý z druhého semestru. Je-li f spojitá a (a, b), pak f má a (a, b) primitiví fukci. Je-li x 0 (a, b) libovolý bod, pak příkladem primitiví fukce k f a (a, b) je F (x) = x x 0 f ( x ) d x. 9
Připomeňme si také roli proměé: v uvedeém vyjádřeí fukce F (x) proměá x evystupuje uvitř itegrálu, ýbrž jakožto horí mez tohoto itegrálu. Hlaví věc, ve které se uvedeé tvrzeí od samoté Základí věty kalkulu (tak, jak jsme si ji zformulovali v druhém semestru) spočívá v tom, že zde máme místo uzavřeého itervalu iterval otevřeý. Tvrzeí ovšem platí i pro polouzavřeé itervaly, to ás ovšem mometálě ezajímá, protože difereciálí rovice budeme řešit pouze a otevřeých itervalech. Z uvedeého tvrzeí sado dostaeme ásledující větu. Věta 5. Necht f je spojitá a itervalu (a, b) R (a, b R ), x 0 (a, b). Potom úloha s počátečí podmíkou y = f(x), y(x 0 ) = y 0 má a itervalu (a, b) řešeí Důkaz. Podle Základí věty kalkulu platí Ozačíme-li tedy x y(x) = y 0 + f ( x ) d x. x 0 d ( y 0 + dx x x 0 f ) = f. x F (x) = y 0 + f, x 0 pak F (x) = f(x) pro všecha x (a, b), tj. F splňuje daou rovici. Podle defiice (určitý itegrál přes degeerovaý iterval [x 0, x 0 ] je ulový) avíc platí, že x 0 x 0 f = 0, a tedy F (x 0 ) = y 0 + 0. Příklad 5. Najděte obecé řešeí rovice dy = x + 0 si x. dx Jaká je rovice křivky se skloem x + 0 si x, která prochází bodem (π, 0)? Řešeí. Úloha je aschvál vyjádřea poěkud eigmaticky. Ve skutečosti ejde o ic jiého ež o řešeí rovice y = x + 0 si x, v druhé části úlohy avíc s počátečí podmíkou y(π) = 0. (Graf řešeí y má procházet bodem (π, 0), což zameá přesě to samé, jako že hodota tohoto řešeí v bodě π je 0, tj. y(π) = 0.) Výpočet lze provést úplě jedoduše: protože se jedá o triviálí difereciálí rovici (tj. pravá straa ezávisí a y), stačí prostě ajít primitiví fukci k x+0 si x a ta bude hledaým řešeím. (Obecé řešeí se z í stae, když ji obohatíme o itegračí kostatu, která může abývat jakékoliv hodoty.) Vypočítáme tedy eurčitý itegrál: tj. obecé řešeí je tvaru (x + 0 si x) dx c = x 0 cos x, y(x) = x 0 cos x + C, kde C R. 0
Nyí můžeme zohledit počátečí podmíku; má platit: 0 = y(π) = π 0 cos π + C = π + 0 + C, takže C = π 0 a hledaé řešeí splňující počátečí podmíku y(π) = 0 je tedy y(x) = x 0 cos x π 0. Alterativí řešeí úlohy s počátečí podmíkou spočívá v přímé aplikaci Základí věty kalkulu, respektive Věty 5. Podle této věty platí, že hledaé řešeí je x y(x) = y 0 + f ( x ) d x = 0 + x 0 x π ( x + 0 si( x) ) d x = [ x ] x 0 cos( x) = x π 0 cos x π 0. Autoomí DR jsou rovice tvaru y = g(y), resp. y (x) = g(y(x)). (.5) Postup řešeí (doplit) je zjedodušeím postupu pro řešeí rovice se separovaými proměými (odpadají starosti s fukcí h(x) a pravé straě). Příklad 53. Následující rovice odpovídá takzvaému Logistickému populačímu modelu (viz též pozámky pod Příkladem 48): y = y y 0. Pro jedoduchost jsou zde zvoley kokrétí kostaty, obecá podoba Logistického populačího modelu je y = ay by (máme tedy a = a b = 0 ), ebo spíše p = ap bp (resp. p (t) = ap(t) b(p(t)) ), kde ezámá p je fukce popisující závislost velikosti populace a čase. Vidíme, že a rozdíl od Malthusova populačího modelu, který předpovídá eomezeý expoeciálí růst velikosti populace, v tomto případě máme dvě stacioárí řešeí: y = y y 0 = y ( 0 y ), takže vidíme, že stacioárí řešeí jsou y 0 (ulová populace tedy zůstae ulová avždy) a y 0 (stabilí eulová velikost populace). Všiměme si mimochodem, že vzhledem k aší iterpretaci zkoumaé fukce (jako velikosti jisté populace) ás ezajímají řešeí se záporými hodotami. Je zde ovšem ještě jeda drobost: V reálé situaci je velikost populace vždy celé číslo a zde připouštíme i ecelé hodoty fukce y. Je tedy zřejmé, že se jedá o pouhou aproximaci. Teto problém přestae být tak palčivý, iterpretujeme-li y apříklad jako velikost populace v milioech. To, že y 0 je (stacioárí) řešeí rovice, ám potom říká, že populace o 0 7 jedicích je stabilí. Doplit.
Kvalitativí řešeí autoomích DR Doplit. Věta 54. Každé řešeí autoomí difereciálí rovice je mootóí..3 Vsuvka o fukcích dvou a více proměých Úvod: Formálě vzato eí velký rozdíl mezi fukcí jedé a fukcí více proměých. V obou případech jde o to, že fukce přiřazuje jedozačou hodotu každému prvku svého defiičího oboru; v jedom případě je teto defiičí obor podmožiou R (máme-li fukci jedé proměé) a v druhém případě je podmožiou R (jde-li o fukci proměých). Například body v roviě jsou tvaru (x, y) R, jde tedy o uspořádaé dvojice čísel (souřadic) a každou souřadici chápeme jako jedu ezávisle proměou. Některé fukce více proměých jsou každému dobře zámy. Třeba plocha P obdélíka o straách délek x a y je dáa předpisem P (x, y) = x y. Je jasé, že tato plocha záleží a obou rozměrech, a ejedá se tedy o fukci jedé proměé, ýbrž dvou. Povrch S kvádru o straách x, y, z je S(x, y, z) = xy + yz + zx, jde tedy o fukci tří proměých. Jiým příkladem může být teplota v růzých bodech daého trojrozměrého tělesa ebo třeba místosti. Abychom jedozačě určili bod v místosti, potřebujeme tři souřadice x, y, z; teplota je jejich fukcí a můžeme ji zapisovat třeba T (x, y, z). Narozdíl od fukce jedé proměé, kterou jsme zvyklí ztotožňovat s jejím dobře představitelým grafem (který je podmožiou roviy, a odpovídá mu tedy dvojrozměrý obrázek), u fukce tří proměých (jako je teplota) si už graf představit eumíme, protože bychom k tomu potřebovali čtyřrozměrý obrázek. Jeda možost je představovat si barvu: čím teplejší je vzduch v daém bodě místosti, tím červeější si ho představujeme. Alespoň u fukcí dvou proměých je však tvorba jedoduché představy stále v možostech běžého smrtelíka: Zatímco graf fukce jedé proměé může vypadat jako obrázek horizotu s ějakým pohořím, graf fukce dvou proměých je toto celé pohoří. Tedy dvěma proměým zeměpisé délce a zeměpisé šířce umíme přiřadit admořskou výšku. Nadmořská výška je tedy fukcí těchto dvou proměých a samotý povrch krajiy je grafem této fukce. Přesěji: Řekeme-li, že f je fukce dvou proměých, máme ovšem a mysli fukci dvou reálých proměých, takže f je defiováa a ějaké podmožiě A R a má hodoty v R. Píšeme pak f : A R a hodotu v bodě (x, y) A začíme podle očekáváí symbolem f(x, y). Trochu složitějším příkladem fukce dvou proměých je třeba ásledující fukce: f(x, y) = log y si x + e y. (.6) Sado si uvědomíme, že maximálím defiičím oborem této fukce je R (0, ), tedy všechy body, které v R leží ostře ad osou x (je totiž potřeba, aby y > 0, jiak emá smysl log y). Parciálí derivace: I fukce více proměých lze derivovat, situace je však komplikovaější, a existuje více způsobů, jak pojem derivace zobecit. Chápeme-li apříklad ám zámou derivaci jako směrici tečy ke grafu fukce, pro fukce dvou proměých je potřeba tuto představu změit a brát v úvahu tečou roviu ke grafu fukce. (Graf sám, stejě jako tečá rovia v ějakém jeho bodě, je podmožiou R 3.) O sklou roviy v R 3 už ale elze dát jedoduchou výpověd jediým číslem; je potřeba čísel dvou, a tedy elze apříklad hovořit o směrici tečé roviy.
Nejsáze pochopitelým souvisejícím koceptem je asi parciálí derivace. Je-li f fukce dvou proměých jako výše a vrátíme-li se k aší představě jejího grafu jako reliéfu ějaké krajiy, pak si můžeme představit, že ějakým bodem (a, b) a oom území vedeme řez v západo-východím směru (tedy ve směru osy x) a podíváme se a teto řez jako a fukci jedé proměé. Derivováím této takzvaé parciálí fukce dostaeme parciálí derivaci fukce f v bodě (a, b) ve směry osy x. Podobě dostaeme parciálí derivaci ve směru y, pokud oe řez povedeme severo-jižím směrem. Přesěji: Dosadíme-li do f(x, y) za y ějakou pevou hodotu y 0, obdržíme tak fukci jedié proměé x, a to g(x) = f(x, y 0 ), tzv. parciálí fukci. Tu můžeme derivovat v jakémkoliv bodě x 0 takovém, že bod (x 0, y 0 ) leží v defiičím oboru fukce f, a tím způsobem defiujeme parciálí derivaci fukce f podle x v bodě (x 0, y 0 ): f x (x 0, y 0 ) := g g(x) g(x 0 ) f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) (x 0 ) = lim = lim. x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Z výše uvedeé defiice f x (x 0, y 0 ) je vidět, že ve skutečosti můžeme vyechat úvahy o parciálí fukci g a použít pouze výraz za posledí rovostí. Aalogicky můžeme (už bez parciálí fukce) defiovat parciálí derivaci fukce f podle y v bodě (x 0, y 0 ) takto: Začíme též f y (x f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim. y y 0 y y 0 x f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) := f x x (x 0, y 0 ) a y f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) := f y y (x 0, y 0 ). Geometrický výzam parciálích derivací je ituitivě zřejmý: x (x 0, y 0 ) popisuje rychlost růstu fukce v bodě (x 0, y 0 ) ve směru osy x; f y (x 0, y 0 ) odpovídá růstu ve směru osu y. Je jasé, že tato dvě čísla už jedozačě určují kadidáta a tečou roviu ke grafu fukce f v bodě (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) R 3, a sice graf fukce R daé předpisem f R(x, y) = f(x 0, y 0 ) + a(x x 0 ) + b(y y 0 ), kde a = f x (x 0, y 0 ) a b = f y (x 0, y 0 ). Jedá se tedy o roviu s algebraickou rovicí (tvaru ax + by + cz = d): z f(x 0, y 0 ) x x f(x 0, y 0 ) y y = f(x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x x 0 f(x 0, y 0 ) y 0 y Praktické počítáí: V praxi se parciálí derivace vypočítá velmi sado, umíme-li už derivovat fukce jedé proměé (což umíme): stačí totiž ty proměé, podle kterých zrova ederivujeme (tedy všechy až a tu jedu, podle íž derivujeme), chápat jako kostaty tím se de facto omezujeme a práci s parciálí fukcí a derivovat podle obvyklých vzorců. Nejprve se podívejme a jedoduchou polyomiálí fukci, jako třeba f(x, y) = x + y a spočtěme ejprve parciálí derivaci podle x, pak podle y (v prvím výpočtu tedy jako kostatu 3
chápeme y, ve druhém x): f(x, y) x f(x, y) y = x (x + y ) = x + 0 = x; = y (x + y ) = 0 + y = y. O ěco složitější příklad ám poskyte fukce f(x, y) defiovaá předpisem (.6): f(x, y) x f(x, y) y = x (log y si x + ey ) = log y cos x + 0; = y (log y si x + ey ) = y si x + yey. Spojitost: Doplit..4 Základí pojmy a výsledky teorie ODR Až dosud jsme uvažovali pouze ejjedodušší difereciálí rovice, a sice rovice se separovaými proměými (speciálě pak rovice triviálí a rovice autoomí), tedy rovice tvaru y = h(x)g(y), kde g, h jsou ějaké fukce (jedé proměé). Všiměme si, že h(x)g(y) je příkladem fukce dvou proměých x, y; icméě i přes svobodu, kterou máme ve volbě fukcí g, h, ve tvaru součiu h(x)g(y) se dají vyjádřit je ěkteré fukce dvou proměých. Třeba už tak jedoduchá fukce jako f(x, y) = x + y eí v oom součiovém tvaru. Je tedy zřejmé, že rovice y = f(x, y), (.7) kde f je ějaká fukce dvou proměých, je ostře obecější úloha, ež rovice se separovaými proměými. Nejobecější forma obyčejé difereciálí rovice prvího řádu je ale ásledující, v íž F je ějaká fukce tří proměých: F (x, y, y ) = 0. (.8) Všiměme si, že teto tvar je opravdu obecější: skutečě, libovolou rovici tvaru (.7) můžeme vyjádřit také ve tvaru (.8), a to pomocí fukce F (x, y, y ) = y f(x, y). Ale je dobré si uvědomit, že e každá rovice tvaru (.8) se dá vyjádřit ve tvaru (.7). Třeba s rovicí si(y )yx = 0 (která je tvaru (.8)) bude velmi těžké pořízeí, do sáze uchopitelého tvaru (.7) se ám ji převést epodaří. Vidíme, že podstata rozdílu mezi oběma tvary je, že te méě obecý z ich je rozřešeý vzhledem k derivaci, což je ve skutečosti hlaví důvod, proč jsme schopi s rovicí rozumě pracovat. Úplě obecá obyčejá difereciálí rovice -tého řádu je potom tvaru (kde F je fukce + proměých) F (x, y, y, y (),..., y () ) = 0. (.9) 4
Příklad 55. Růzé volby F. Doplit. Pozámka 56 (Geometrická iterpretace rovice y = f(x, y)). Doplit. Nejobecější úloha, kterou se seriózě zabýváme v této kapitole, je (.7). Nyí jsme tedy koečě přesě specifikovali rozsah problémů, se kterými se zabýváme; kromě toho máme už určité zkušeosti s ěkterými kokrétími rovicemi a s ituitivím pojmem jejich řešeí. Přišla tedy ta správá chvíle řešeí difereciálí rovice defiovat přesě, aby bylo opravdu aprosto jasé, o čem se bavíme a co je aším cílem. (Pojem řešeí defiujeme pro ejobecější možou rovici, protože ás to estojí ic avíc.) Defiice 57 (Řešeí ODR). Řešeím difereciálí rovice (.9) rozumíme libovolou fukci y defiovaou a ějakém otevřeém itervalu I, pro kterou platí x I : F (x, y(x), y (x), y () (x),..., y () (x)) = 0. Speciálě: Řešeím difereciálí rovice (.7) je fukce y a I splňující x I : y (x) = f(x, y(x)). Pokud I Ĩ jsou růzé otevřeé itervaly, y je řešeí (.9) a I, ỹ je řešeí (.9) a Ĩ a tato řešeí se shodují a I (tedy a meším z obou itervalů, kde jsou defiováa obě), řekeme, že ỹ je prodloužeím řešeí y a Ĩ. Řešeí, které emá žádé prodloužeí, azýváme maximálím řešeím. Pozámka 58. Doplit. Věta 59 (Prodlužováí řešeí). Každé řešeí rovice (.9) se dá prodloužit (rozšířit) a maximálí řešeí. (Může existovat více způsobů.) Věta 60 (Peaova věta o existeci řešeí). Necht je fukce f(x, y) spojitá pro (x, y) (a, b) (c, d). Potom libovolým bodem (x 0, y 0 ) (a, b) (c, d) prochází ějaké řešeí rovice y = f(x, y). Pozameejme, že v této větě můžeme směle kostatovat existeci maximálího řešeí, protože (jak víme z Věty 59) každé řešeí se dá a maximálí prodloužit. Věta 6 (Picardova věta o existeci a jedozačosti řešeí). Necht je spojitá jak fukce f(x, y), tak i její parciálí derivace f(x,y) y ve všech bodech (x, y) (a, b) (c, d). Potom libovolým bodem (x 0, y 0 ) prochází maximálí řešeí rovice y = f(x, y), které je v obdélíku (a, b) (c, d) určeo jedozačě. Pozámka 6. Následující dvě formulace vyjdou astejo (viz též Příklad 5): 5