ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY POČÍTAČOVÁ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Oldřich Kříž Učitelství pro. stupeň ZŠ, obor Ma-Fy Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 08 5

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatě s použitím uvedeé literatury a zdrojů iformací. Plzeň, 9. červa 08... vlastoručí podpis 6

Chtěl bych poděkovat svému vedoucímu diplomové práce doc. RNDr. Jaroslavu Horovi, CSc. za odboré vedeí, pomoc a rady při zpracováí této práce. 7

Zadáí práce - bude vložeo 8

Obsah Úvod... 6 Lidské metody řešeí itegrálů racioálě lomeých fukcí... 7. Úvodí vhled do problematiky... 7. Algoritmus řešeí:... 8.. Převod eryze lomeé racioálí fukce a ryze lomeou... 8.. Rozložeí jmeovatele a souči kořeových čiitelů... 9..3 Rozklad racioálí lomeé fukce a parciálí zlomky... 0..4 Itegrace parciálích zlomků... Ostrogradského metoda řešeí itegrálů racioálě lomeých fukcí... 9. Mikhail Vasilevich Ostrogradski... 9. Ostrogradského metoda... 3 Faktorizace polyomů... 7 3. Úvodí vhled do problematiky... 7 3. O rozložitelosti polyomů... 8 3.3 Kroeckerův algoritmus... 9 3.4 Square- free decompositio... 3 4 Řešeí trascedetí části itegrálů racioálě lomeých fukcí... 39 5 Ukázky výpočtů programem Wolfram Mathematica... 48 Závěr... 5 Resumé... 5 Bibliografie... 53 5

Úvod Sad každý studet vysoké školy s techickým zaměřeím se a začátku svého studia setkává s pojmem itegrál a s jejich výpočty. A sad každý studet si při výpočtu pomáhá počítačovou techikou ebo programy k tomu určeými. Tyto ástroje mohou studetovi pomoci při samotém výpočtu ebo při kotrole výsledků. Při studiu teorie itegrálů se objevuje velká skupia fukcí, které jsou azýváy racioálě lomeými, a je jim věováa velká část semiáře. Studet brzy zjistí, že tyto itegrály mohou být velice áročé, zejméa časově, a výpočet a sahá pro pomoc v podobě počítače. Cílem této práce je ukázat, jak i ad těmi pro člověka časově ejáročějšími dokáže počítač zvítězit během pár okamžiků. Hed v úvodu si dovolím vyzradit tajemství, že počítače vlastě vůbec eitegrují, ale vystačí si pouze s lieárí algebrou. Celá práce je rozčleěa do pěti kapitol, ve kterých je představea problematika výpočtu itegrálů racioálích lomeých fukcí ejprve lidskými metodami posléze metodou Ostrogradského. Právě druhá, třetí a čtvrtá kapitola se věují podroběji Ostrogradského metodě a postupému alézáí odpovědí a problémy, které při této metodě vyvstávají. Posledí kapitola je věováa samotému výpočtu itegrálů racioálích lomeých fukcí pomocí softwaru Wolfram Mathematica. Příklady jsou zde řešey postupě podle ávodu, který je představe v prvích čtyřech kapitolách. 6

Lidské metody řešeí itegrálů racioálě lomeých fukcí. Úvodí vhled do problematiky DEFINICE: RACIONÁLNÍ LOMENÁ FUNKCE (RLF) Fukci jedé reálé proměé x ve tvaru Pm ( x) f( x), kde Pm ( x) a Q ( x ) jsou Q ( x) polyomy stupě m, respektive, azveme racioálí lomeou fukcí. Je-li m <, řekeme, že fukce f ( x ) je ryze lomeá. Je-li m >, řekeme, že fukce f ( x ) je eryze lomeá. Před samotým algoritmem pro řešeí racioálě lomeé fukce ukažme ejjedodušší případy a možosti výsledků, které se mohou objevit při itegraci racioálě lomeé fukce. Příklad : 3 3 x x x x dx dx dx dx x x x x x l x c x Příklad : dx arctg( x) c x Jedoduchou úpravou a využitím základích vzorců pro itegraci jsme dospěli k výsledku. Je zajímavé, že při itegraci racioálě lomeé fukce je výsledek součtem ásledujících: polyom lomeá fukce přirozeý logaritmus fukce arkustages Polyomy jsou ve tvaru P ( x) a x a x... a x a 0 7

Pozámka: Itegrály racioálě lomeých fukcí, které mají v čitateli derivaci jmeovatele, jsou rovy přirozeému logaritmu absolutí hodoty jmeovatele (možé řešit lieárí substitucí). Pro výpočet itegrálů racioálě lomeé fukce budeme mohdy potřebovat zadaou fukci přepsat jako součet parciálích zlomků, které jsou pro itegraci výhodé.. Algoritmus řešeí: ) Převedeme fukci a ryze lomeou, pokud již tato eí zadáa ) Rozložíme jmeovatele a souči kořeových čiitelů 3) Rozložíme RLF a součet parciálích zlomků 4) Parciálí zlomky itegrujeme V ásledující části budou rozebráy jedotlivé kroky algoritmu... Převod eryze lomeé racioálí fukce a ryze lomeou Je-li stupeň polyomu v čitateli vyšší ež stupeň polyomu ve jmeovateli, pak tyto polyomy vydělíme. Tím dostaeme součet polyomu a ryze lomeou fukci, která je P( x) S( x) vhodá pro ásledou itegraci. Tedy Rx ( ), kde deg S deg Q. Q( x) Q( x) Příklad 3: Neryze lomeou fukci 3 4x 8x 7 f (x) upravte a ryze lomeou. x 3 (4x 8x 7) / ( x ) x 4 3 (4 x ) 8x 7 (8 x ) 7 7 x Po vyděleí tedy můžeme psát 3 4x 8x 7 7 R( x) x 4. x x 8

.. Rozložeí jmeovatele a souči kořeových čiitelů Pokud všechy části řešeého itegrálu mají podobu ryze lomeé racioálí fukce, přesouváme se k úkolu zapsat jmeovatel jako souči jeho kořeových čiitelů. DEFINICE: KOŘEN POLYNOMU Koře polyomu p je takové číslo α C, pro které je p(α) = 0. DEFINICE: KOŘENOVÝ ČINITEL POLYNOMU Kořeový čiitel polyomu p je polyom tvaru x α, kde α je koře polyomu p. VĚTA: DŮSLEDEK ZÁKLADNÍ VĚTY ALGEBRY Každý polyom Qx ( ) stupě má právě komplexích kořeů. Pokud vezmeme do úvahy existeci kořeů a utou podmíku, že každý kořeový čiitel dělí původí polyom beze zbytku, dojdeme k důsledku základí věty algebry. Můžeme totiž psát, že každý polyom Qxlze ( ) zapsat ásledově: Q x k x x0 x x x x ( ) ( ) ( ) ( ), kde x, x,..., x jsou komplexí kořey polyomu Qx. ( ) Je ovšem možé, že polyom ebude mít pouze reálé kořey. V takovém případě by do hry vstupovala komplexí čísla. Pokud si ovšem uvědomíme, že když komplexí číslo u a bi je kořeem daého polyomu, pak je kořeem i komplexí číslo u a bi. Součiem kořeových čiitelů ( x u) a ( x u) dostáváme déle erozložitelý (v oboru reálých čísel) polyom druhého stupě ve tvaru x px q. Z této úvahy vyplývá, že každý polyom Qx, ( ) lze v možiě reálých fukcí zapsat jako: Q( x) ( x x ) ( x x )...(x x ) ( x p x q )...(x p x q ). 0 j j 9

..3 Rozklad racioálí lomeé fukce a parciálí zlomky V předchozím kroku algoritmu jsme zjistili, že jediými možými kořeovými čiiteli při rozkladu jmeovatele jsou ( x a) pro reálé -ásobé kořey a ( x px q) pro - ásobé komplexě sdružeé kořey. Algoritmus rozkladu a parciálí zlomky:. Za každý čle ( x a) přidáme parciálích zlomků do rozkladu A B... C x a ( x a) ( x a). Za každý čle ( x px q) přidáme parciálích zlomků do rozkladu Ax B Cx D Ex F... x p x q ( x p x q ) ( x p x q ) 5 Příklad: Rozložte fukci f( x) x 9x4 a parciálí zlomky. Kořey jmeovatele můžeme alézt přes vzorec pro kvadratický trojčle ebo přes 5 5 Horerovo schéma a dostáváme. Podle prvího kroku x 9x 4 ( x ) ( x 7) 5 A B algoritmu můžeme psát. Tuto rovost přeásobíme ( x )( x 7) ( x ) ( x 7) společým jmeovatelem všech čleů a upravíme do tvaru součtu příslušých moci. 5 A( x 7) B ( x ) 5 Ax 7A Bx B 0 x 5 ( A B) x 7A B Porovejme koeficiety u příslušých moci. Výsledkem bude soustava dvou rovic o dvou ezámých. 0 AB 5 7A B 0

Řešeím této soustavy je A, B. Můžeme tedy psát výsledý rozklad: 5 f( x) x 9x 4 ( x ) ( x 7) x Příklad: Rozložte fukci gx ( ) 3 x a parciálí zlomky. V tomto příkladu se dostáváme do situace s jedím reálým a jedím komplexě sdružeým kořeem. Pokud jmeovatel rozložíme podle vzorce, dostáváme: x x A Bx C ( )( ) ( ) (x ) 3 x x x x x x. Posledí dva čley rovosti vyásobíme společým jmeovatelem a upravíme do tvaru součtu příslušých moci. x A x x Bx C x ( ) ( )( ) x Ax Ax A Bx Bx Cx C 0 0 ( ) ( ) x x A B x A B C x A C Porováím koeficietů příslušých moci dostáváme soustavu tří rovic o třech ezámých. 0 AB A B C 0 AC Řešeím této soustavy je ásledově: A, 3 B, 3 C. Výsledý rozklad tedy vypadá 3 x x gx ( ) 3 x 3( x ) 3( x x ). x Příklad: Rozložte fukci jx ( ) ( x)( x ) a parciálí zlomky. V tomto příkladu už budeme pracovat s jedoásobým reálým kořeem a víceásobým komplexě sdružeým kořeem.

x A Bx C Dx E ( x )( x ) ( x ) ( x ) ( x ) Rovost vyásobme společým jmeovatelem a upravme do příslušého tvaru vhodého k porováváí koeficietů jedotlivých moci. x A( x ) ( Bx C)( x )( x ) ( Dx E)( x ) 0 AB 0 BC 0 A B C D B C D E 0 A C E Řešeím soustavy rovic jsou A, Výsledý rozklad vypadá ásledově: B, C, D, E. x x x ( x )( x ) ( x ) ( x ) ( x )...4 Itegrace parciálích zlomků Pokud se podíváme a předchozí krok algoritmu, zjistíme, že po rozložeí jmeovatele a souči kořeových čiitelů se v příkladech může objevit pouze ěkolik typů parciálích zlomků. Tato část si klade za úkol všechy typy vyřešit v obecé roviě a poté ukázat jejich praktické využití a ěkolika příkladech...4. Parciálí zlomek příslušý jedoduchému reálému kořeu A dx, ( x B) Teto typ parciálích zlomků je ejjedodušší. Stačí si uvědomit, že kostatu můžeme vytkout před itegrál a zbyde ám tabulkový itegrál, který se rová logaritmu absolutí hodoty jmeovatele. Tedy:

A dx A l x B c x B..4. Parciálí zlomek příslušý ásobým reálým kořeům A dx, ( x B) Teto typ parciálích zlomků budeme řešit substitucí, která itegrál převede a tabulkový příklad. Poté zpět dosadíme za substituovaou ezámou. A y x B dy y ( x B) dx A A c A c ( x B) dy dx y..4.3 Parciálí zlomek příslušý ásobým komplexě sdružeým kořeům Bx C ( x cx d) dx V prvím kroku budeme před itegrál vytýkat výraz B, abychom v čitateli zlomku dostali derivaci jmeovatele (lišící se pouze o velikost kostaty). Bx C B x k B x c k dx dx dx ( x cx d) ( x cx d) ( x cx d) V posledí úpravě jsme si kostatu k vyjádřili jako součet kostaty lieárího čleu jmeovatele a zbytku k. Zavedeme substituci a itegrál rozdělíme a dva itegrály. B x c k y x cx d B dy k ( ) dx dx ( x cx d) dy ( x x) dx y ( x cx d) Prví itegrál jsme již spočítali a předchozí straě v podkapitole Parciálí zlomek příslušý ásobým reálým kořeům. Druhou část spočítáme samostatě, jelikož bude potřeba delší odvozeí. Pro > je také potřeba odvodit rekuretí vzorec, kterým daý itegrál dokočíme. Pro zjedodušeí zápisu vytkeme kostatu k před itegrál. 3

Prvím krokem postupu je doplěí závorky ve jmeovateli a čtverec. dx dx x cx d c ( x ) z ( ) c v x Dále zavedeme substituci dv dx, která celý výraz zjedoduší do podoby dv. ( v z) Pokud bychom prozkoumali tabulkové itegrály, zjistíme, že výraz ve jmeovateli se blíží primitiví fukci k fukci arctg( x) c, pouze potřebujeme ve jmeovateli výraz v. Toho docílíme substitucí v zt v zt dv zdt. Dostaeme tedy dv zdt zdt zdt z dt zt ( v z) ( zt z) z ( t ) z ( t ) Abychom se dopátrali částečého výsledku u itegrálu tohoto typu, uvažujme yí. Případ, kdy >, rozebereme v ásledující části a odvodíme rekuretí vzorec, kterým se dostaeme a požadovaý tvar itegrálu. Shrňme v tuto chvíli všecha částečá řešeí prozatím bez resubstitucí. Bx c B y Bk z dx arctg() t ( x cx d) z Pokud zpětě dosadíme za substituovaé proměé, dostáváme x c Bk z arctg( ) Bx c B x cx d z. ( ) dx ( x cx d) ( ) z Z odvozeí je patré, že i pro ejjedodušší případ dostáváme poměrě složitým výpočtem velmi komplikovaý vzorec. Pokud budeme mluvit o ručím řešeí itegrálů eí 4

výhodé pamatovat si celý výsledý vzorec, ale spíše postupy a substituce, které vedou k výsledku. Pokud bychom itegrály řešili výpočetí techikou, je jistě výhodé implemetovat výsledý vzorec, ež psát do kódu postupé itegrováí. Pojďme se yí podívat, jak vyřešit posledí část itegrálu, pokud je mocia vyšší ež jeda. Jedá se o posledí typ itegrálu racioálě lomeých fukcí...4.4 Rekuretí vzorec pro řešeí itegrálů typu, ( x ) dx Itegrál budeme řešit metodou per partes, kdy si jako druhý čle součiu přidáme chytrou jedičku. u v = dx ( x ) x x x u v x ( x ) ( ) ( ) Po úpravách dostáváme dx x x ( x ) ( x ) ( x ) dx V čitateli itegrálu přičteme a odečteme jedičku. dx x x dx ( x ) ( x ) ( x ) Itegrál roztrheme a dva a upravíme. dx x dx dx ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) Pokud si původí itegrál ozačíme jako I, všimeme si, že te samý itegrál se (až a kostatu) objevuje i v řešeí. Následuje schématický přepis itegrace: x I I I ( x ) Z toho po úpravách dostáváme 5

I x I ( x ), což je fiálí podoba rekuretího vzorce. x Příklad: Racioálí lomeou fukci f( x) x 3x itegrujte podle proměé x. Nejprve rozložme jmeovatele a souči kořeových čiitelů podle vzorce pro kvadratickou rovici ebo metodou odhadováí kořeů. Poté ukažme, jak bude vypadat rozklad a parciálí zlomky, a metodou eurčitých koeficietů tyto parciálí zlomky určeme. x x A B x 3x ( x )(x ) x (x ) Posledí dva čley rovosti vyásobíme společým jmeovatelem a porováím koeficietů příslušých moci získáme soustavu lieárích rovic: x A(x ) B( x ) x : A B 0 x : 0 A B A, B 5 5 Vraťme se k zadáí úlohy a itegrujme yí fukci již rozložeou a parciálí zlomky. 5 dx dx x 5 x Po využití pravidla z odstavce.. 4. dostáváme výsledek l x l x c 5 0 x Příklad: Racioálí lomeou fukci f( x) 3 x itegrujte podle proměé x. Bystrý čteář si povšime, že teto příklad se již objevil v předchozím odstavci a je ám tedy již zám rozklad a parciálí zlomky. Pojďme tedy rovou přejít k vyjádřeí itegrálu. 6

x x dx dx dx 3 3 3 x x x x Prví itegrál je triviálí a podobý typ byl řeše v předchozím příkladu. Řešme yí druhý itegrál, který již vyžaduje využití ěkolika fit. Nejprve itegrál vyásobíme chytrou jedičkou a poté jiou chytrou jedičku přičteme. Touto úpravou získáme v čitateli zlomku derivaci jmeovatele. ( x) x l x dx l x dx 3 3 ( x x ) 3 6 x x x x x dx l l 3 6 x x Poechme yí straou logaritmické čley a podívejme se a výpočet itegrálu, který zbývá. Jmeovatele doplíme a čtverec a zavedeme substituce z.. 4. 3 3 u v 3 u x. dx 3 du 3 3 dv 3 ( x ) du dx u ( v ) 4 4 du dv 4 Po vytkutí kostat před itegrál dostáváme tabulkový itegrál, který vede a arctg. Nesmíme ale zapomeout a resubstitucí. Po zpěté úpravě můžeme tedy psát výsledek celého příkladu. x 3 x 3 x 3 6 3 3 dx l x l x x arctg( ) c Příklad: Racioálí lomeou fukci f( x) 3 ( x ) itegrujte podle proměé x. Všimeme si, že teto příklad je již připrave a aplikaci rekuretího vzorce odvozeého v.. 4. 4. Nemusíme tedy řešit složité substituce, ale rovou dosadíme: x 3 I 3 dx I 3 ( x ) 4 ( x ), kde I 4 ( x ) dx Zovu aplikujeme rekuretí vzorec a ově vziklý itegrál je již tabulkový Lze tedy uvést. 7

x 4 x dx ( arctg( x)) 3 ( x ) 4 ( x ) 3 x Upravme výsledek do přijatelějšího tvaru a dostaeme x 5 3x dx ( x ) 8 x 3 3 arctgx ( ) Tato kapitola byla ápomocá při zopakováí techik pro itegraci racioálě lomeých fukcí. Jak je ovšem patré z předposledího příkladu, výpočet se může poěkud zamotat. Pokud při rozkladu a parciálí zlomky vyjde více čleů příslušejících komplexím (ásobým) kořeům, je ručí itegrace pomocí substitucí velice zdlouhavá. Pokud si ovšem uvědomíme, jak se při itegraci postupuje, je patré, že algoritmy jsou pořád stejé a že by bylo možé přeechat stroji, který je eje rychlejší, ale i bezchybý. Pojďme se yí podívat a metody, které jsou využíváy v softwarech. Postupě si ukážeme jedotlivé kroky, podle kterých by mohl počítač postupovat. Zjistíme, že počítače se sice tváří, že itegrují, ale ve skutečosti chytře využívají algebru, aby samoté itegrováí mohly obejít. 8

Ostrogradského metoda řešeí itegrálů racioálě lomeých fukcí Obsahem předchozí kapitoly byly možosti řešeí racioálě lomeých fukcí pomocí lidských metod. V současé době se ovšem lze spolehout a výpočetí techiku typu Wolfram Alpha, Wolfram Mathematica, Maple, Derive a moho dalších. Sad každému, kdo se s těmito programy potýkal, vyvstala a mysli otázka, jak to oy programy dělají. Některé z programů ebo aplikací jdou uživateli a ruku a abízí možosti řešeí lidskými metodami. Uživatel si může apříklad vybrat, kterou z lidských metod (per partes, substituce ) má stroj využít. Výsledkem je postup, tak jak by jej řešil samotý uživatel a papíře v podobě step-by-step. Teto postup je v moha případech pro počítače složitější ež algoritmy, které by primárě využily. V této kapitole se budeme ejvíce věovat přístupu, který přiesl Mikhail Vasilevich Ostrogradski. Je jistě zajímavé podívat se a tuto výzamou osobost historie matematiky podrobější optikou.. Mikhail Vasilevich Ostrogradski Naroze: 4. září 80, Ukrajia Zamřel:. leda 86, Ukrajia Hed a úvod uveďme pozámku, že Ostrogradského příjmeí se v literatuře v prvím pádě objevuje ve třech formách: Ostrogradski, Ostrogradskii, Ostrogradsky. Ostrogradski se arodil do rodiy statkáře Vasili Ivaovitche, který měl ve městě blízké rodié vztahy s předími občay obce Pašeaja. Navzdory tomu byla jeho rodia velmi chudá. Tato skutečost se projeví v pozdějších letech Ostrogradského života. Ostrogradski avštěvoval gymázium v Poltavě, kde jeho studijí výsledky ebyly ikterak oslivé. Po ukočeí studia a gymáziu se chtěl věovat kariéře ve vojeství. Jeho rodia ovšem teto ápad zamítla, jelikož epovažovala vojeský plat za dostatečě vysoký. Useseí rodiy bylo takové, že Ostrogradski by se měl věovat práci ve veřejých službách. K tomu bylo ovšem ejprve potřeba dosáhout vysokoškolského vzděláí. 9

Do přípravého ročíku uiverzity v Charkově astoupil v roce 86, aby v roce 87 mohl začít studovat matematiku a fyziku. Počátky jeho studia byly ovlivěy echutí studovat a jistou Ostrogradského zdráhavostí. Naštěstí v ěm jeho učitel Adrei Fedorovich Pavlovsky objevil adáí pro matematiku a v jistém syslu v Ostrogradském probudil zájem o vědu. Dalším učitelem, který se velmi výrazě podílel a vývoji Ostrogradského života byl Timofei Fedorovic Osipovsky. Teto profesor matematiky, který v době Ostrogradského studia zastával i fukci rektora Uiverzity v Charkově, se stal obětí změy smýšleí carského režimu. Od roku 86 se měla veškerá věda vyučovat a základě křesťaských pricipů. Kvůli prohřeškům proti tomuto ařízeí, byl Osipovsky roku 80 odvolá ze své fukce. Tato historická odbočka měla obrovské ásledky eje pro život Osipovského, ale také Ostrogradského, který byl jeho studetem. V roce 80 měl Ostrogradsky ukočit své vysokoškolské vzděláí. Složil všechy zkoušky, které byly potřeba k získáí doktorátu. Problém ovšem byl, že jeho zkoušejícím byl hříšík Osipovsky. Ostrogradskému ebyl doktorát uzá. Oficiálím důvodem byla absece a předáškách z filosofie a teologie. Ostrogradski, který zal skutečý důvod euzáí titulu, odmítl možost přezkoušeí a doktorát z Charkovské uiverzity ikdy ezískal a uiverzitu opustil. Cetrem matematického děí v této době byla Fracie a proto se Ostrogradski rozhodl studovat zde. Pokud uvážíme fiačí situaci jeho rodiy, která jeho odchod eschvalovala i z jiých důvodů, dojdeme k závěru, že studium ve Fracii muselo být pro Ostrogradského velmi áročé. Na druhou strau studoval u takových matematiků, jakými byli Laplace, Biet ebo Cauchy. Ostrogradski v této době učiil veliký pokrok a začal publikovat v Paris Academy of Scieces. Tématem jeho čláků byla zejméa fyzika a itegrálí počet. V roce 88 se Ostrogradski vrací do Ruska, kokrétě do Petrohradu, kde představuje tři zásadí eseje o teorii tepla, dvojých itegrálech a mociých řadách. Zajímavostí jeho života může být publikováí čláku o balistice v roce 80. Tímto člákem totiž otevřel téma v Rusku eprobraé. Díky tomu byl od roku 847 vrchím ispektorem pro výuku matematiky a vojeských školách. Napsal spoustu vyikajících učebic a zasadil se velkou měrou o rozvoj Čebyševovy školy v Petrohradě. 0

Měl by být považová za zakladatele ruské školy teoretické matematiky.. Ostrogradského metoda VĚTA: OSTROGRADSKÉHO HERMITOVA FORMULE i h i Buď P Q racioálě lomeá fukce. Buďte dále Q i i a i Q i a lieárí a dále erozložitelé kvadratické čley, Q h existují polyomy P a P, pro které platí: faktorizace polyomu Q i h. Potom i Px ( ) P( x) P( x) dx Q( x) Q ( x) Q ( x) dx Posledí idetitu azveme Ostrogradského formulí (Ostrogradského - Hermitovou formulí). Při ručím itegrováím racioálě lomeých fukcí máme zkušeost, že ve výsledku ašeho itegrováí, tedy v hledáí primitiví fukce k racioálě lomeé fukci se objevuje opět racioálě lomeá fukce. Tato část se objevuje při itegraci kokrétích parciálích zlomků a azveme ji racioálí částí itegrálu z racioálě lomeé fukce. P ( x) Pojďme yí azačit důkaz této věty a prokázat, že části Q ( x) a P ( x) jsou lomeé, Q ( x) dokoce ryze lomeé racioálí fukce. Parciálí zlomky, které mohou do této části přispívat, mají dvě podoby: I. parciálí zlomek ve tvaru A dx, kde k > ( x ) k A A Po itegraci této časti, dostáváme dx c k k ( x ) k ( x ) Ax B II. parciálí zlomky ve tvaru ( x px q) m erozložitelý kvadratický faktor. dx, kde m> a jmeovatel je dále

V prví kapitole této práce bylo ukázáo, jak postupovat při itegraci těchto racioálích p x u faktorů. Zavedeme substituci dx du a případou další substitucí převedeme jmeovatel do tvaru v předchozí kapitole. ( t ) m. Tím si zaručíme možost použít rekuretí vzorec odvozeý Ax B Cx D Po itegraci dostáváme dx dx m m m ( x px q) ( x px q) ( x px q) CD,, jsou reálé kostaty., kde Jak je patré, prví část výsledku je ryze lomeou racioálí fukcí. Pokud je v druhé části m rovo jedé, jde o tabulkový itegrál, jehož výsledkem je arkustages jistého výrazu. Pokud je ovšem m >, musíme a druhou část použít opět rekuretí vzorec. Což ovšem zaručí pouze další racioálí lomeou fukci. Můžeme psát: Ex F ( x px q) ( x px q) ( x px q) dx dx m m, kde,, m kostaty. EF jsou reálé Tímto způsobem pokračujme do té doby, ež je jmeovatel itegrovaé části rove jedé. Pokud se podíváme a čley, které jsou racioálími lomeými fukcemi, zjistíme, že je lze převést a společého jmeovatele. Dostáváme výsledek ve tvaru: Ax B R( x) dx dx m m ( x px q) ( x px q). Při převáděí a společého x px q jmeovatele jsme pracovali s ryze lomeými racioálími fukcemi, proto je i prví část výsledku racioálě lomeou fukcí. Platí tedy st R( x ) < st ( x px q) m. Pokud si uvědomíme, že do itegrace mohly zasáhout dva typy parciálích zlomků, můžeme psát Q x x x px q, kdy se jedá o faktorizaci k m ( ) ( )... ( )... polyomu Q ( ) x. Druhou část, kterou je ještě uté itegrovat, azveme logaritmickou (trascedetí) částí a faktorizace jejího jmeovatele bude jistě vypadat takto Q x x x px q. ( ) ( )... ( )...

Pro tuto chvíli se spokojíme s tím, že původí itegrál byl zjedoduše o racioálí část a ám zbývá itegrovat pouze část trascedetí, apříklad pomocí rozkladu a parciálí zlomky. Metody, jak itegrovat trascedetí část počítačově budou ukázáy v ásledujících kapitolách. V tuto chvíli máme k dispozici vzorec, který ám zjedoduší itegraci racioálě lomeých fukcí. Budeme předpokládat, že rozklad polyomu Q a souči lieárích a dále erozložitelých kvadratických faktorů je zám. Pojďme ukázat, jak může ejprve člověk určit polyomy P( x) a Q ( x ). Jestliže jsou stupě polyomů Q, Q, Qozačey po řadě jako,,, můžeme polyomy P( x ) a P ( ) x apsat jako polyomy s eurčitými koeficiety. Těch bude právě. Jestliže záme faktorizaci polyomu Q, potom jsou zřejmé i polyomy Q, Q. Naším cílem je dojít k rovici, ze které by se dala utvořit soustava lieárích rovic o ezámých. Derivujme proto Ostrogradského formuli: Px ( ) P( x) P( x) Q( x) Q( x) Q( x) Derivaci racioálí části proveďme podle zámého vzorce pro derivaci podílu. P Q = P Q P Q P Q Q Pomocí úprav, převeďme racioálí část do podoby, kdy bude v jejím jmeovateli polyom Q. P Q P P Q P Q Q P Q P S Q Q Q Q Q Q, kde S. Q Dosaďme zpět do Ostrogradského formule a celou rovost vyásobme polyomem Q. Poté obdržíme rovost P P Q P S P Q. 3

To už je ámi hledaá rovost, ze které vyplývá lieárích rovic o ezámých. Taková soustava má vždy právě jedié řešeí a my tak získáme hodoty eurčitých koeficietů polyomů P( x ) a Q ( x ). Pojďme yí uvedeé skutečosti aplikovat a kokrétí příklad. Příklad: Vypočítejte x ( x ) dx Víme, že polyom Q bude mít tvar x ( x ). Při tomto určeí sížíme mociu každého faktoru jmeovatele zadaé fukce. Po sadé úvaze dojdeme k tomu, že polyom Q Q. V ašem případě bude mít tvar Q x (x ). Stupě polyomů ve jmeovateli racioálí i trascedetí části jsou rovy třem. Bude tedy uté zjistit hodotu šesti eurčitých koeficietů. Itegrál můžeme přepsat jako dx x ( x ) x ( x ) x ( x ) Ax Bx C Dx Ex F dx Derivujme tuto rovost ( )( ) ( )( 3 ) x ( x ) x ( x ) x( x ) Ax B x x Ax Bx C x Dx Ex F Odstraíme zlomky a dostáváme rovost polyomů: 3 ( Ax Bx)( x ) ( Ax Bx C)( 3 x ) ( Dx Ex Fx)( x ) Úpravou získáváme rovici: ( ) ( ) ( 3 ) 5 4 3 Dx E A x D B F x A C E x Fx C Porováím koeficietů u odpovídajících si moci polyomů, získáme ásledující soustavu: 4

x 5 4 x E A 3 x D B F x A C E 5 : D 0 : 0 : 0 : 3 0 x : F 0 x : C Řešeím této soustavy je C = -, F = 0, D = 0, B = 0, E = -3/, A = -3/. Nyí můžeme dosadit do původího vzorce:,5 x,5 x dx x ( x ) x ( x ) x ( x ) dx Po vytkutí kostaty z posledího čleu a zkráceí x získáme tabulkový itegrál. Koečý výsledek je tedy:,5 x,5 ( ) dx arctg x c x ( x ) x( x ) Příklad: Vypočítejte 3 x x dx Ostrogradského metodou. 3 xx ( ) Nejprve určíme polyomy Q ( x) a Q ( ) x. Poté určíme počet eurčitých koeficietů, které budeme muset spočítat pomocí stupňů těchto polyomů. P ( x) P ( x) x( x ) ( x ) x( x ) 3 x x dx 3 dx Vidíme, že stupě obou polyomů ve jmeovatelích jsou rovy dvěma, takže aším úkolem bude ajít čtyři ezámé koeficiety. 3 x x Ax B Cx D dx 3 x( x ) ( x ) x( x ) dx Dalším krokem je derivace posledí idetity: 3 x x Ax B Cx D 3 3 x( x ) ( x ) x( x ) 5

Po vyásobeí společým jmeovatelem a po úpravě dostáváme x 3 3 x x Ax Bx x Cx Cx Cx Dx Dx D 0 x : 0 C D B x : A C D x 3 : D : C Řešeím této soustavy je A 3, B, C,. Můžeme tedy psát 3 x x 3x x dx 3 x( x ) ( x ) x( x ) dx Itegrál racioálí části je hotov a pro tuto chvíli poecháme trascedetí část počítači. Celkový výsledek je ve tvaru: 3 x x 3 3 x( x ) ( x ) x dx l x l x c Příklad: Vypočítejte x ( x x) dx Ostrogradského metodou. Jmeovatele uté k Ostrogradského metodě alezeme sado a sado ahlédeme, že jsou oba stupě dva. Můžeme proto psát idetitu, kterou posléze budeme derivovat. x Ax B Cx D dx ( x x ) x x x x dx Derivace vypadá takto: x A( x ) B( x ) Cx D ( x x ) ( x x ) x x Vyásobíme společým jmeovatelem a upravíme 0 x : 0 A B D x C B x : A C D D 3 x Cx A C D x C B D x A B x 3 : 0 D : 0 C 6

Řešeím soustavy rovic určíme koeficiety A 0, B, C 0, D. Nyí můžeme psát částečý výsledek x dx dx. ( x x ) x x x x Racioálí část je určea, vyřešme yí část trascedetí. Jmeovatel doplíme a čtverec a zavedeme substituci xu dx dx x x ( x ) dx du u du arctg( u) c. Po zpěté substituci můžeme psát kompletí výsledek příkladu jako x dx arctg( x ) c ( x x ) x x 3 Faktorizace polyomů 3. Úvodí vhled do problematiky Pojďme yí shrout, co všecho jsme již dokázali a jak je yí problematika itegrace racioálě lomeých fukcí zjedodušea. V předchozí kapitole byl představe vzorec, kterým lze itegrál racioálě lomeé fukce přepsat jako součet racioálí části a itegrálu trascedetí části, který je pro lidskou itegraci mohem jedodušší. Může ám vadit dosavadí předpoklad, že jmeovatel při itegraci racioálě lomeé fukce je již rozložeý a souči dále erozložitelých faktorů. V praxi se ovšem častěji setkáme se situací, kdy teto rozklad eí provede. Jak potom postupovat? Lidské metody byly představey v prví části práce. Nicméě předpokládám a myslím si, že právem, že rozklad polyomu apříklad stupě 50 eí pro člověka příjemou záležitostí, pokud si musí vystačit pouze s papírem a tužkou. Pojďme se yí podívat, jak polyomy faktorizovat efektivěji pomocí algoritmů a jak při faktorizaci postupuje počítač. 7

3. O rozložitelosti polyomů Pokud se budeme bavit o faktorizaci polyomů, bylo by jistě dobré v prví řadě říci, které polyomy jsou rozložitelé a u kterých rozklad provést ejde. Připomeňme také, že obor itegrity polyomů Zx s celočíselými koeficiety je oborem itegrity s jedozačým rozkladem. To zameá, že každý eulový prvek tohoto oboru itegrity, který eí jedotkou ve smyslu dělitelosti, může být zapsá jako souči koečě moha ireducibilích prvků. Tito čiitelé jsou přitom určei jedozačě až a pořadí a a asociovaé prvky. DEFINICE: IREDUCIBILNÍ POLYNOM Buď f x Z x f x f x [ ], 0, polyom, který elze zapsat ai jako souči dvou polyomů kladých stupňů s celočíselými koeficiety, ai ve tvaru, f x k g x, k, k N g x Z[ x] (tz., že z polyomu f (x) eí ai možé vytkout kostatu k ). Říkáme pak, že polyom f (x) je erozložitelý (ireducibilí) v x. VĚTA: EISENSTEINOVO KRITÉRIUM IREDUCIBILITY Nechť f ( x) a x a x... a x a je polyom - tého stupě 0 f x Z[ x]. Nechť existuje prvočíslo p takové, že (i) p edělí a, (ii) p dělí koeficiety a, a,..., a0 (iii) p edělí a 0., Potom polyom f (x) elze zapsat jako souči dvou polyomů kladých stupňů s celočíselými koeficiety. 8

Polyom může být rozložitelý ze dvou důvodů. Prvím je možost vytkout kostatu, která dělí všechy koeficiety příslušých moci. Takové vytýkáí bychom zvládli bez pomoci počítače, pokud by se jedalo o rozumou kostatu. Druhý důvod, který mluví pro rozložitelost polyomu f ( x) a x a x... a x a x je možost vytkout ejvětší společý dělitel jeho 0 0 koeficietů ve tvaru D( a, a,..., a0). Poté se již můžeme soustředit pouze a rozklad tzv. primitivích polyomů, tedy takových pro které je ejvětší společý dělitel rove jedé. VĚTA: O ROZLOŽITELNOSTI POLYNOMŮ Nechť f ( x) Z x je primitiví polyom stupě ejméě jeda. Existují-li dva polyomy gx ( ), h(x) Q( x) kladých stupňů tak, že f ( x) g( x) h( x), pak existují též polyomy g ( x), h ( x) Z x takové, že f ( x) g( x) h( x). Přitom g( x) a g( x), h( x) b h( x), a, b Q a ab. Eisesteiovo kritérium ám dokáže odpovědět a otázku, zda je polyom vůbec rozložitelý. Neodpovídá ale, jak oe rozklad vypadá, což je pro účely výpočtu stěžejí. Pojďme yí rozpracovat prví algoritmus, který dokáže určit dvojici polyomů, které jsou faktory polyomu zadaého. 3.3 Kroeckerův algoritmus Celý algoritmus můžeme popsat v pěti krocích. Ukažme tedy teoreticky, jak algoritmus probíhá a poté a ilustračích příkladech vyhodoťme, zda je algoritmus vhodý pro počítačový rozklad polyomů. ) Hledáme polyom gx. ( ) stupě ejméě jeda, který dělí ámi zadaý polyom f ( x ), st f ( x) kde. Při tomto hledáí se můžeme omezit a polyomy stupě ejvýše s, začí celou část čísla. Tato skutečost vyplývá z vlastostí součiu polyomů st f ( x) st g( x) st h( x). 9

) Vypočítáme si s celočíselých fukčích hodot. Za proměou x volíme apříklad z možiy 0,,...,s. 3) Jestliže hledaý polyom gx ( ) dělí zadaý polyom f ( x ), pak utě fukčí hodoty polyomu gx ( ) dělí příslušé hodoty polyomu f ( x ). Můžeme tedy psát g(0) f (0), g() f (),..., g( s) f ( s ). Pokud by ěkterá z ámi vypočteých fukčích hodot polyomu byla rova ule, tedy f ( a) 0, a,,..., pak jsme ašli bez větší práce koře polyomu a mohli bychom ho zjedodušit do podoby f ( x) ( x i) h( x), kde i by byl ámi vypočteý koře polyomu. Pokud takovou fukčí hodotu ealezeme, utvoříme možiy dělitelů fukčích hodot polyomu Df (0), Df (),..., D f (s). Tyto možiy budou jistě koečé. 4) Za pomoci g 0 D, g D,..., g s D vypočteme s hodot f 0 f f s polyom, který je v bodech x,,..., s rove po řadě g(0), g(),..., g (s). Vhodou metodou, jak teto polyom určit je hledáí Newtoova iterpolačího polyomu. Teto polyom má tvar... g x 0 x x0 x x0 x x s x x0 x xs. Koeficiety i bychom poté ašli přes tabulku poměrých diferecí. 5) Otestujeme, zda vziklý polyom gx ( ) s celočíselými koeficiety, který má stupeň ejméě jeda a ejvýše s dělí v oboru itegrity Zx zadaý polyom f ( x ). Pokud ao, je příklad vyřeše a my můžeme psát f ( x) g( x) h( x). Pokud e, vracíme se do bodu 4) ašeho algoritmu a celý postup opakujeme s jiou s -ticí, dokud ejsou vyčerpáy všechy možosti. Příklad: Rozhoděte, zda polyom x. 4 3 f ( x) 6x x 4x x je reducibilí či ireducibilí v ) Zadaý polyom je stupě 4, tedy s =. ) Vypočítejme s+ fukčích hodot polyomu, kde za ezávisle proměou x budeme volit k= 0,,. Vychází ám tedy f (0), f () 6, f () 00. 30

3) Utvořme možiy všech dělitelů těchto fukčích hodot D D D f (0) f () f (),,,,,,, 3,3,,,, 4, 4, 5,5, 0,0, 0, 0, 5, 5, 50,50, 00,00 4) Náhodě zvolme hodoty hledaého polyomu, 3, 5 a vypočtěme koeficiety,, 0. Námi hledaý polyom je tedy ve tvaru g( x) x 0 3 5) Vyzkoušejme, zda ámi alezeý polyom gx ( ) dělí polyom f ( x ) beze zbytku. Pokud ao, je zadaý polyom reducibilí, pokud e, je uté vybrat jiou s+-tici hodot. I[]:= Simplify[(6*x^4-x^3+4x^-x-)/(*x+)] Out[]= -+3 x- x^+3 x^3 Zadaý polyom je tedy reducibilí v x. Mohlo by se zdát, že Kroeckerův algoritmus je příhodou metodou pro faktorizaci polyomů. Pokud se a problém podíváme úžeji a budeme chtít tímto algoritmem faktorizovat polyomy vyšších stupňů, arazíme a problém. Pojďme si jej ukázat a kokrétím příkladu. Příklad: Pomocí Kroeckerova algoritmu faktorizujte zadaý polyom f x x x x x 8 6 4 3 ( ) ) st f ( x) 8, s 4 ) f (0), f () 5, f () 345, f (3) 7399, f (4) 69953 3) Hledej všechy dělitele vypočteých fukčích hodot D, f (0), Df (),,5, 5, Df (),,3, 3,5, 5,5, 5, 3, 3, 69, 69,5, 5,345, 345, Df (3),, 7, 7, 49, 49,5, 5,057, 057, 7399, 7399, Df (4),-, 3,-3, 538,-538, 69953,-69953 3

4) Hledej Newtoovy iterpolačí polyomy pro každou s -tici vytvořeou z dělitelů fukčích hodot. V ejhorším případě bychom museli prostudovat 88 uspořádaých s -tic, vytvářet z ich Newtoovy iterpolačí polyomy a zkoušet, zda tyto polyomy edělí beze zbytku zadaý polyom. Je zřejmé, že pro člověka by tato práce byla dosti vyčerpávající a raději by ji přeechal počítači. Pokud si ovšem uvědomíme, že počet zkoumaých možostí roste velmi rychle se stupěm zadaého polyomu, zjistíme, že i počítač by byl brzo zahlce prací. Musíme tedy kostatovat, že Kroeckerův algoritmus je vhodý pro faktorizaci polyomů ízkého stupě. Pojďme se yí podívat a další z algoritmů, který slouží k rozkladu polyomů a souči polyomů jedodušších. 3.4 Square- free decompositio Jak již ázev apovídá, teto algoritmus počítačové algebry rozkládá zadaý polyom a souči polyomů edělitelých čtvercem. Nejedá se ale o úplý rozklad, protože u tohoto vyžadujeme souči ireducibilích faktorů. Bohužel ai teto algoritmus eí vhodý pro všechy situace, ale jeho esporá výhoda spočívá ve využití formálích derivací a ejvětších společých dělitelů. Pro počítač jsou tyto dva požadavky hračkou. DEFINICE: DĚLITELNOST ČTVERCEM Primitiví mohočle v( x) I x, I x dělitelý čtvercem, pokud v platí u ( x) v( x ). je obor itegrity s jedozačým rozkladem, eí I x eexistuje takový polyom u( x), st( u ) >0, pro který DEFINICE: O ROZLOŽITELNOSTI POLYNOMŮ Nechť f ( x ) je primitiví polyom v Ix. Teto polyom je rozložitelý v souči faktorů edělitelých čtvercem, pokud jej lze zapsat ve tvaru kde mohočley vi k f ( x) v ( x) v ( x)... v ( x), I x ejsou dělitelé čtvercem a jsou po dvou esoudělé, D( v, v ), pro všecha i, j,,..., k, kde i j. i j k 3

Jak již bylo řečeo ke kostrukci square- free decompositio je uté zavést pojem formálí derivace. Tato defiice eí založea a pojmu limity, ale vlastosti obou typů derivací jsou stejé. DEFINICE: FORMÁLNÍ DERIVACE Formálí derivací polyomu rozumíme polyom, f ( x) I x f ( x) a x a x... a x a 0 f ( x) a x ( ) a x... a x a,, f ( x) Ix Pokud si uvědomíme, jaká pravidla platí při derivaci mohočleů, můžeme odvodit ásledující tvrzeí.. Pokud by polyom f ( x) I x byl dělitelý čtvercem polyomu v( x) I x stupě ejméě jeda, pak můžeme psát f ( x) u( x) v ( x). Derivujme teto souči a dostáváme rovost polyom ( ) f ( x) u ( x) v ( x) u( x) v( x) v ( x). Oba sčítace v derivaci obsahují vx, tak jej vytkěme a pišme f ( x) v( x) u ( x) v( x) u( x) v ( x). Víme, že při derivaci polyomů ám vzikají pouze další polyomy, proto výraz v hraaté závorce ozačme jako wx. ( ) Potom můžeme psát, že f ( x) v( x) w( x). Pokud prozkoumáme původí polyom f ( x ) a jeho formálí derivaci f ( x ), zjistíme, že se v obou objevuje polyom vx. ( ) To zameá, že tyto dva polyomy ejsou esoudělé, tj. D( f, f ). Obráceým postupem můžeme tvrdit, že pokud polyom f ( x) a jeho formálí derivace mají ejvětšího společého dělitele růzého od jedičky, pak je polyom f ( x ) dělitelý čtvercem ějakého polyomu. VĚTA: O DĚLITELNOSTI ČTVERCEM POLYNOMU Nechť Ix je obor itegrity s jedozačým rozkladem charakteristiky 0 a f ( x) I x je primitiví polyom. Potom f ( x ) je dělitelý čtvercem právě tehdy, když mohočley f ( x ) a f ( x ) ejsou esoudělé, tj. D( f ( x), f ( x)). 33

Příklad: Rozhoděte, zda polyom ějakého polyomu v oboru itegrity f ( x) x x x x x 3 4 5 6 3 4 3 x je dělitelý čtvercem x. Derivujme teto polyom a rozhoděme, zda ejvětší společý dělitel těchto polyomů je růzý od jedé. f ( x) 6xx x 0x 6x 3 4 5 D( f( x), f ( x)) x x x 3 Vidíme, že ejvětší společý dělitel těchto polyomů je růzý od jedé a mohočle f ( x ) 3 je dělitelý čtvercem polyomu gx ( ) x x x. Pokud bychom přepsali polyom f ( x ) do jiého tvaru dostáváme f( x) ( ) ( ) ( ) potvrze. 3 3 3 x x x x x x x x x, čímž je áš výpočet Shrňme yí, co všecho se podařilo prokázat a jakým způsobem jsme připravili půdu pro počítačovou itegraci racioálě lomeé fukce. Za použití Ostrogradského formule, můžeme původí itegrál racioálě lomeé fukce psát ve tvaru Px ( ) dx P( x) P ( x) dx Q( x) Q( x). Pokud je jmeovatel zadaé fukce již rozlože a souči Q( x) lieárích a dále erozložitelých kvadratických čleů, je práce usaděa, protože polyomy Q ( x ) a Q ( ) x jsou jedozačě dáy. Pokud eí provede rozklad, můžeme jmeovatele faktorizovat pomocí Kroeckerova algoritmu (je-li stupeň polyomu rozumě velký) ebo jej rozložit a souči polyomů edělitelých čtvercem. K tomu je zapotřebí pouze výpočet formálí derivace a ejvětšího společého dělitele. K itegraci racioálě lomeých fukcí metodou Ostrogradského je tedy vše připraveo. Px ( ) dx P( x) P ( x) dx Q( x) Q( x), kde Q( x) P ( x), P ( x ) určíme metodou eurčitých koeficietů. Q ( x ) D (Q( x ), Q ( x )), Qx ( ) Q ( x) a polyomy Q( x) Musíme se ale ptát, jakým způsobem určíme ejvětšího společého dělitele dvou polyomů, který je v algoritmu klíčový. Jedou z metod je zámý Euklidův algoritmus. 34

Ukažme yí schematicky, jak algoritmus implemetovat do ašeho problému a poté zhodoťme, jestli je vhodý pro strojové počítáí. EUKLIDŮV ALGORITMUS PRO POLYNOMY Nechť f ( x ), g( x) I x jsou dva ekostatí polyomy a st f ( x) st g( x). Největším společým dělitelem těchto polyomů azveme posledí eulový zbytek při poslouposti děleí mohočleů f g q r g r q r q r q3 r3... r r q m m m Teto algoritmus je dobře zám i žákům základích škol, kteří ovšem emají prvky z oboru itegrity polyomů, ale ejčastěji z tělesa přirozeých čísel. Pojďme yí ukázat a kokrétím příkladu, proč eí Euklidův algoritmus v základí podobě vhodý pro strojové počítáí. Příklad: Pomocí Euklidova algoritmu alezěte ejvětšího společého dělitele polyomů. 8 6 4 3 f ( x) x x 3x 3x 8x x 5, g x x x x x 6 4 ( ) 3 5 4 9 Samoté děleí polyomů eí ikterak zajímavé a může být čteáři přeecháo jako cvičeí. Uveďme ale podobu zbytků, které se při algoritmu objevují. 5 4 x x, 9 9 3 7 44 x 9 x, 5 5 3350 x 0500, 9773 659 887448. 5435895 35

Jak vidíme, zbytky po děleí polyomů se ám velmi rychle komplikují (v aglicky psaé literatuře ajdeme přízačý výraz flood, což bychom mohli do češtiy přeložit jako povodeň) a pro počítač tato velká čísla zameají využití mohem větší výpočetí síly. Uveďme pro úplost, že ěkteré programy s tímto algoritmem počítat mohou (apříklad Wolfram Mathematica), ale tyto programy bývají velmi často áročé pro uživatele spíše ekoomicky. Euklidův algoritmus se ovšem lze upravit a určovat takzvaé pseudo-zbytky, respektive primitiví pseudo- zbytky. My se ale podíváme a zajímavější metodu pro výpočet ejvětšího společého dělitele. Jak již bylo řečeo, Euklidův algoritmus si mohou dovolit využívat ěkteré lepší programy. Jak je ale možé, že obyčejé programy ebo kalkulačky dokáží počítat ejvětšího společého dělitele, případě i itegrovat racioálě lomeé fukce bez příkazu ejvětšího společého dělitele polyomů? Představíme si yí algoritmus, který využívá zákoitostí lieárí algebry a ejvětšího společého dělitele určuje maticově. Takový algoritmus je a výpočetí sílu mohem méě áročý a lze jej zařadit i a kapesí kalkulátory případě ěkteré programy. MATICOVÝ ALGORITMUS PRO URČOVÁNÍ NEJVĚTŠÍHO SPOLEČNÉHO DĚLITELE POLYNOMŮ Abychom mohli algoritmus popsat, a využít je ejprve uté připomeout ěkteré vlastosti ejvětšího společého dělitele polyomů. VĚTA: O VLASTNOSTECH NEJVĚTŠÍHO SPOLEČNÉHO DĚLITELE POLYNOMŮ Buďte dáy dva polyomy ve tvaru f x a a x a x a x ( ) 0... a g x b b x b x b x m ( ) 0... m s reálými koeficiety růzými od uly, pro které platí st f ( x) st g( x). Buď dále polyom d( x ) ejvětším společým dělitelem f ( x ) a gx. ( ) Potom platí: ) Polyom d( x ) je ejvětším společým dělitelem polyomů k f ( x) a k g( x), kde k, k jsou libovolá reálá čísla růzá od uly. ) Jestliže a0 0 ab 0 0, potom d( x ) je ejvětším společým dělitelem polyomu gx ( ) a polyomu f ( x) x. 36

3) Jestliže a0 0 ab 0 0, pak d( x ) obsahuje faktor x a dělitelem polyomů f ( x) x a gx ( ) x. d( x) x je ejvětším společým S využitím těchto tvrzeí se můžeme pustit do popisu samotého algoritmu. Pro lepší zápis se v počítačové algebře používá matice C, která pro polyomy f x a a x a x a x ( ) 0... a g x b b x b x b x m ( ) 0... m má tvar a a... a C 0 b0 b... b. m Celý algoritmus lze popsat v ěkolika krocích: ) Normalizuj řádky )Vyměň řádky tak, aby v prvím řádku byl polyom ejmešího stupě 3) Proveď řádkové redukce a odstraň ulové řádky, existují-li 4) Postup opakuj do té doby, ež zbyde pouze řádková matice 5) Prvky této matice odpovídají koeficietům příslušých moci ejvětšího společého dělitele Pozámka: Normalizace řádku Normalizací řádku azveme operaci, kdy posueme prvky řádku doleva o takový počet míst kolik je uté k elimiaci všech ul a vedoucích pozicích a poté řádek vydělíme ovým vedoucím čleem (již eulovým). Celý algoritmus si předvedeme a ásledujícím příkladu. Příklad: Maticovým algoritmem vypočtěte ejvětší společý dělitel polyomů 5 4 3 f ( x) x x x x x a f x x x x x 4 3 ( ) 5 4 6 4 37

Zapišme ejprve matici koeficietů C. 4 6 4 5 0 Vyměňme řádky, aby v prvím byl polyom ejmešího stupě a proveďme řádkovou redukci. 4 6 4 5 0 0 5 4 6 4 Normalizujme druhý řádek. 4 6 4 5 0 4 6 4 0 5 5 5 5 Proveďme řádkovou redukci 4 6 4 5 0 4 4 4 4 0 0 5 5 5 5 0 0 0 5 5 5 5 0 Normalizujme řádek, proveďme řádkovou redukci a vyškrtěme ulový řádek. 0 0 Pokud budeme chtít výsledou řádkovou matici iterpretovat, můžeme říci, že ejvětší společý dělitel polyomu f ( x ) a jeho derivace je velmi ápomocý při výpočtu racioálí části itegrálu. 3 x x x. Teto výsledek by byl 38

4 Řešeí trascedetí části itegrálů racioálě lomeých fukcí Předchozí kapitoly ám dávají do ruky mocou zbraň při řešeí itegrálů racioálě lomeých fukcí. V tuto chvíli dokážeme bez problémů určit racioálí část itegrálu a podobu trascedetí části. Je ovšem otázkou, jak teto itegrál vypočítat. Můžeme jistě použít metodu parciálích zlomků a eurčitých koeficietů. Pro počítač je tato cesta ale poměrě složitá. Ukažme si yí vzorec, který vyjádří itegrál trascedetí části. VĚTA: O INTEGRACI TRANSCENDENTNÍ ČÁSTI INTEGRÁLŮ RACIONÁLNĚ LOMENÝCH FUNKCÍ Pokud záme všechy kořey polyomu Qx, ( ) který se objevuje ve jmeovateli itegrovaé fukce, můžeme psát: P( x) P( ) dx Log( x a) Q( x) Q ( ) ; Q( ) 0 Pravá straa rovosti zahruje sumaci přes všechy kořey polyomu Qx. ( ) Zde je důležité říci, že tyto polyomy mohou být jak reálé, tak komplexí. Na prví pohled bychom řekli, že počítat s komplexí proměou v logaritmu eí jedodušší cesta, ale jak se později ukáže, tyto čley povedou a ámi zámý arctg( x ). Ukažme yí využití vzorce a jedoduchém příkladu. Příklad: Vypočtěte itegrál x 9 dx pomocí metody parciálích zlomků a pomocí vzorce pro trascedetí část. a b Řešeím pomocí parciálích zlomků dostáváme. Výpočtem sado x 9 x 3 x 3 zjistíme hodoty koeficietů a a 3 Celý výsledek tedy vypadá ásledově: b. 3 39

dx l x 3 l x 3 c x 9 6 6 Pokud budeme využívat výše zmíěý vzorec, uvědomíme si, že jmeovatel racioálí lomeé fukce má právě dva reálé kořey 3, 3. Výsledý součet bude tedy obsahovat dva sčítace. Ještě si musíme vypočítat derivaci jmeovatele Q ( x) x. Ve shodě se vzorcem můžeme psát výsledek itegrálu jako x 9 6 6 dx Log( x 3) Log( x 3). Pro tuto chvíli se vzorec tváří mírumilově a především dává stejý výsledek, jako ručí itegrováí. Je zajímavou skutečostí, že ai v tomto případě by počítač ic eitegroval, ale vystačil by si pouze s lieárí algebrou. Pokusme se yí vzorec dokázat a ukázat, jak budou vypadat čley i pro komplexí kořey. Důkaz bude vede ve shodě s vo zur Gathe, G. (999). Moder Computer Algebra. Cabridge: Cambridge U. Press. Pokud je itegrovaá racioálě lomeá fukce trascedetí částí itegrálu upraveého Ostrogradského formulí, potom můžeme předpokládat, že Qxemá ( ) víceásobé kořey a že st P( x) st Q( x), tedy fukce je ryze lomeá. Dále buď a kořeem polyomu Qx ( ). Teto polyom můžeme přepsat do tvaru Q( x) ( x a) P ( x). Ukažme yí, že platí i P A P ( x) zápis Q x a Q ( x) Pa ( ) A. Q ( a ), kde A je kostata a P ( ) x polyom. Zvolme kokrétě P Q( a) P( x) Dostaeme ásledující rovost Q P( a) ( x a) Q( x). Vyjádřeme yí P( x ). P( x) P( a) P( a) P( x) Q ( x) ( ) ( P( x) Q ( x)). Q( x) Q( a) x a x a Q( a) V tomto důkazu jsou idexy polyomů pouze rozlišovací a se začeím v předchozí kapitole emají ic společého. 40

Pa ( ) Je patré, že P( x) Q ( x) má koře rove a. Dále si uvědomíme, že Q( a) Q ( x) Q ( x) ( x a) Q ( x). Z toho plye idetita Q ( a) Q ( a). Po těchto úvahách P( x) P( a) P ( x) můžeme apsat Q( x) x a Q ( a) Q ( x). Pb () Pb () Nyí ukažme, že pro každý koře b polyomu Q platí. Q ( b) Q ( b) Vyjděme opět z derivace polyomů Qx, ( ) Px. ( ) Za proměou x dosaďme právě koře b. Potom Q ( b) ( b a) Q ( b) Q( b) a P ( b) ( b a) P ( b) P( b). Z těchto dvou Pb () Pb () skutečostí vyplývá vztah. Celý proces zopakujme a vyjádřeme si Q ( b) Q ( b) P ( x ) P ( b ) P ( x ) P () c Pc (), kde platí pro všechy kořey c polyomu Q ( x) x b Q ( b) Q ( x) Q ( c) Q ( c) Q (x). Pokud si ovšem uvědomíme, že stupě polyomů P( x), P ( x),..., P ( x ) tvoří ostře klesající posloupost, můžeme celý vzorec přepsat pomocí sumace P( x) P( a) Q( x) x a Q ( a) a;q(a) 0 Itegrací posledí rovosti již dostáváme dokazovaý vzorec, tedy platí, že P( x) P( ) dx Log( x a). Q( x) Q ( ) ; Q( ) 0 Vzorec je tedy platý a yí ukažme, jak budou vypadat čley příslušé reálých a komplexím kořeům, které se samozřejmě vyskytují v komplexě sdružeých dvojicích. Výsledkem ašeho sažeí by být prokázáí, že fukcí reálých proměých. 4 Px ( ) dx lze vyjádřit pouze pomocí Qx ( ) Buďte a, a dvojice komplexě sdružeých kořeů polyomu Qx. ( ) Dále buďte Pa ( ) c id Q ( a ) a Q a Pa ( ) c id. Potom můžeme psát ( )

P( a) P( a) c id Q ( a ) x a Q ( a) x a x a x a x a x a. Pokud si ozačíme reálou část proměé a a imagiárí část proměé a, zjedodušíme posledí rovost do tvaru x c d x a x a. P( a) P( a) Pokud budeme itegrovat součet z předchozí stray Q ( a ) x a Q ( a ) x a dojdeme k výsledku, kde se koečě objeví arkus tages, a který jsme zvyklí z ručí itegrace., P( a) P( a) Q ( a ) x a Q ( a ) x a ( x ) c l ( x ) d dx Po úpravách dostáváme x. c l ( x ) d arctg Pokud bychom se vrátili k původímu vzorci pro itegraci trascedetí části itegrálu racioálě lomeých fukcí, dostaeme součet sumací odpovídajících reálým a komplexím kořeům polyomu ve jmeovateli. P( x) P( a) dx l x a Q( x) Q ( a) P( a) P( a) x Re( a) x a a arctg Q ( a) Q ( a) Im( a) Re l ( Re( )) Im( ) Im V prví řadě sčítáme přes všechy reálé kořey polyomu a ve druhé sumaci probíhá součet přes všechy dvojice komplexích kořeů. Ukažme si yí a příkladu využití posledího kousku skládačky k itegraci racioálě lomeých fukcí počítačem. Příklad: 4

x Vypočítejte itegrál dx x Polyom ve jmeovateli je již rozlože. Dvojice komplexě sdružeých kořeů je tedy, i. Dále budeme postupovat podle vzorce odvozeého v této kapitole. Víme, že v prví sumaci se sčítá přes všechy reálé kořey polyomu Qx. ( ) Takové se ale v tomto kroku eobjevily, takže můžeme rovou přikročit k druhé součtové řadě pro dvojice komplexě sdružeých kořeů. K tomu je ještě potřeba dopočítat ěkteré ezámé. P( x) x P( ) i, pro i dostáváme, tedy reálá část je Q ( x) x x Q ( ) i rova a imagiárí část je rova. Pokud bychom dosadili do vzorce P( a) P( a) x Re( a) x a a arctg Q ( a) Q ( a) Im( a) Re l ( Re( )) Im( ) Im dostaeme x 0 l ( x 0) arctg. Po úpravě l x arctg( x). Můžeme tedy psát výsledek ve tvaru x x dx l x arctg( x) c Příklad: 4x Vypočítejte itegrál x 4x8 dx Kořey jmeovatele ajdeme sado pomocí vzorce pro kvadratickou rovici ebo již pomocí počítačové techiky. Solve[x*x+4*x+8==0,x] a, {{x->-- i},{x->-+ i}} Další ezámé potřebé pro výpočet itegrálu uveďme bez výpočtu. 43

P( x) 4x Q ( x) x 4 Pa ( ) 9i ( ) 4 Q a Po dosazeí do vzorce odvozeého v této kapitole již dostáváme výsledek ve tvaru 4x 9 x x 4x8 dx l x 4x 8 arctg c. V tuto chvíli již máme vše potřebé k itegraci racioálě lomeých fukcí. Ještě před aplikací počítačových programů, vyřešme ručě jede itegrál za použití všech metod uvedeých v této práci. Příklad: Ostrogradského metodou vypočítejte itegrál x x3 dx 3 4 3 6 5 4 3 x x x x x x Nejprve je uté rozložit jmeovatele a souči dále erozložitelých faktorů. Využijeme maticovou metodu hledáí ejvětšího společého dělitele jmeovatele polyomu a jeho formálí derivace. Q( x) x 3x 4x 3x x x 3 4 5 6 Q ( x) 6xx x 0x 6x 3 4 5. Matice koeficietů 3 4 3 6 0 6 0. Normalizuj řádky a proveď jejich výměu 3 6 6 5 3 0 3 4 3 3. Proveď řádkové redukce 44

3 6 6 5 3 0 0 3 4. Normalizuj řádky a proveď řádkové redukce 3 6 6 5 3 0 0 0 4 4 4 4 0 5. Normalizuj řádky a proveď jejich výměu 0 0 0 3 6 6 5 3 0 6. Proveď řádkovou redukci a ormalizuj řádky 0 0 0 5 5 5 3 0 0 7. Proveď řádkovou redukci a ormalizuj řádky 0 0 0 0 0 0 8. Proveď řádkové redukce a odstraň ulový řádek 0 0 0 Po dešifrováí výsledku můžeme psát ejvětšího společého dělitele zadaých polyomů. D Q Q x x x Q x. Je tedy zám jmeovatel racioálí části itegrálu 3 (, ) ( ) zadaé fukce. Jmeovatele trascedetí části určíme pomocí vzorce Q Q ( x) x x x Q 3. x x3 P ( x) P ( x) x x 3x 4x 3x x x x x x x x dx 6 5 4 3 3 3 dx Jelikož ám při aplikaci Ostrogradského formule vychází vždy ryze lomeé fukce, budou mít čitatelé racioálí i trascedetí části tvar 45

P x ax bx c (), P () x dx ex f Pro jejich určeí využijme vzorec z kapitoly. Ostrogradského metoda, tj. P P Q P S P Q S Q Q,. Po dosazeí dostáváme Q 3 x x 3 ( ax b) ( x x x ) ( ax bx c) ( x 3x ) 3 +( dx ex f ) ( x x x ) Po upraveí pravé stray dostaeme soustavu šesti lieálích rovic, ze kterých můžeme určit koeficiety jmeovatelů. 0 x :3b c f x : a c e f x : a b 3c d e f 3 x : 0 b d e f 4 x :0a d e x 5 :0 d Řešeím této soustavy rovic je a 0, b, c 0, d 0, e 0, f. Původí itegrál jsme si upravili do ásledujícího tvaru, kde je již zám výsledek racioálí části itegrálu a zbývá vyřešit část trascedetí. x x 3 x dx x x 3x 4x 3x x x x x x x x 6 5 4 3 3 3 dx Pojďme se yí podívat a trascedetí část a vyřešme ji pomocí vzorce, který využívá kořeů jmeovatele. Nalezeí kořeů přeechme počítači. I[3]:= Solve[-x+x^-x^3==0,x] Out[3]= {{x->-i},{x->i},{x->}} Vidíme tedy, že jmeovatel má jede reálý koře a dva komplexě sdružeé kořey imagiárí. Pokud budeme dosazovat do prví sumace pro reálé kořey, dostáváme 46