Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální derivace a jejíž hodnota závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici Určete, jaká funkce tvaru F (x, y) = f y F x x F y = 0 ( x, y ) vyhovuje rovnici x x F x + y F y = F Nechť F (x, y) = f(ρ, ϕ), kde x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ jsou polární souřadnice v rovině a funkce f má spojité parciální derivace. Vyjádřete v polárních souřadnicích ( ) 2 ( ) 2 grad F 2 F F = + x y Nechť F (x, y) = f(ρ, ϕ), kde x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ jsou polární souřadnice v rovině a funkce f má spojité parciální derivace. Vyjádřete v polárních souřadnicích x F y y F x. Dokažte, že všechny normály ke grafu funkce F (x, y) = f spojitě diferencovatelná funkce, protínají osu z. ( x2 + y 2 ), kde f je Ukažte, že funkce F (x, y) = yf(x 2 y 2 ), kde f má spojitou derivaci, vyhovuje rovnici 1 F x x + 1 F y y = F y 2 Ukažte, že každá funkce F (x, y) = spojitou derivaci, vyhovuje vztahu y 2 F x y f (x 2 y 2, kde f je nenulová funkce mající ) + xy F y xf = 0 Typeset by MS-TEX
Do rovnice (x + y) F x (x y) F y = 0 zaveďte nové proměnné u = ln x 2 + y 2, v = arctg y x. Ukažte, že funkce ( F (x, y) = e y f ye x ) 2 2y 2, kde f je libovolná diferencovatelná funkce, vyhovuje rovnici (x 2 y 2 ) F x Ukažte, že funkce F (x, y, z) = x n f funkce, vyhovuje rovnici + xy F y = xyf. ( y ax, z ), kde f je spojitě diferencovatelná by x F x + y F y + z F z = nf. Ukažte, že funkce F (x, y, z) = xy ( y z ln x+xf x, z ), kde f je spojitě diferencovatelná x funkce, vyhovuje vztahu x F x + y F y + z F z = F + xy z Napište Taylorův rozvoj funkce v bodě (0, 0). f(x, y) = e x ln(1 + y) Nechť funkce f a g mají spojité derivace druhého řádu. Dokažte, že funkce F (x, y) = xf(x + y) + yg(x + y) vyhovuje rovnici 2 F x 2 2 2 F x y + 2 F y 2 = 0.
Laplaceův operátor f = 2 f x 2 1 + 2 f x 2 2 +... + 2 f x 2 n v R n vyjádřete pro funkci, která závisí pouze na vzdálenosti bodu x = (x 1,..., x n ) od počátku souřadnicové soustavy, tj. f (x 1,... x n ) = F (r), r = x 2 1 + x2 2,... + x2 n. Výraz x 2 f x 2 + y 2 f x y přetransformujte pro funkci F (u, v) = f(x, y), kde u = y, v = y x. Ukažte, že je-li funkce f(x, y) řešením rovnice pak funkce F (u, v) = f(x, y), kde je řešením rovnice u = 2 f x 2 + 2 f y 2 = 0, x x 2 + y 2, v = y x 2 + y 2 2 F u 2 + 2 F v 2 = 0, Výraz x 2 2 f x 2 y2 2 f y 2 vyjádřete pro funkci F (u, v) = f(x, y), kde u = xy, v = x y. Dokažte, že funkce f(x, y) = ln ( x 2 + y 2) vyhovuje rovnici 2 f x 2 + 2 f y 2 = 0.
Dokažte, že funkce vyhovuje rovnici f(x, y) = y y 2 a 2 x 2 2 f x 2 a2 2 f y 2 = 0. Ukažte, že funkce vyhovuje rovnici f(x, y, z) = 1 x2 + y 2 + z 2 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 = 0. Ukažte, že funkce f(x, y, z) = ln x 2 + y 2 + z 2 vyhovuje rovnici 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2. Nechť f a g mají spojité derivace druhého řádu. Dokažte, že funkce ( y ( y F (x, y) = f + xg x) x) vyhovuje rovnici x 2 2 F x 2 + 2xy 2 F x y + y2 2 F y 2 = 0. Jsou-li f a g funkce, které mají spojitou derivaci druhého řádu, dokažte, že funkce F (x, y) = 1 [f(ax + y) + g(ax y)] y vyhovuje rovnici y 2 2 F x 2 = a2 y ( y 2 F ). y Spočtěte je-li 2 F x 2 + 2 F y 2 = F, F (x, y) = xy + yf ( ) x, y
kde f je funkce, která má spojité derivace druhého řádu. Výraz 2 f x 2 y 2 f y 2 1 2 f y vyjádřete pro funkci F (u, v) = f(x, y), kde u = x 2 y, v = x + 2 y. Jsou-li f a g funkce, které mají spojité derivace druhého řádu, ukažte, že funkce u(x, t) = f(x + at) + g(x at) vyhovuje rovnici 2 u t 2 = a2 2 u x 2. Spočtěte první dvě derivace funkce y(x), která je řešením rovnice v okolí bodu (0, 1). e y + xy e = 0 Určete dz a d 2 z funkce z(x, y) definované rovnicí v bodě (2; 1; 0). x + y + z 2 = e z Nechť f : R R má spojitou derivaci. Dokažte, že funkce z(x, y), která je řešením rovnice ax + by + cz = f(x 2 + y 2 + z 2 ) vyhovuje rovnici (cy bz) z z + (az cx) x y = bx ay. Určete y a y pro funkci y(x), která je definována implicitně rovnicí ln x 2 + y 2 arctg y x = 0 v okolí bodu (1; 0). Určete y a y pro funkci y(x), která je definována implicitně rovnicí x 3 + y 3 3xy = 0.
Určete dz a d 2 z funkce z(x, y), která je řešením rovnice v bodě (0; 1; 1). x z ln z y = 0 2 z Určete derivaci x y (0; 0) funkce z(x, y), která je řešením rovnice x2 + y 2 + z 2 2xyz 4 = 0 v okolí bodu (0; 0; 2). Zjistěte, zda soustava rovnic xe u+v + 2uv = 1, ye u v u 1 + v = 2x má v okolí bodu (1; 2; 0; 0) řešení ve tvaru u(x, y), v(x, y) a určete du(1, 2), dv(1, 2). Dokažte,že funkce z(x, y), která je implicitně definována rovnicí 2 sin(x + 2y 3z) x 2y + 3z = 0 vyhovuje vztahu z x + z y = 1. Dokažte, že funkce z(x, y), která je určena implicitně rovnicí ( x + z ) 2 ( + y + z 2 = 0, y x) vyhovuje rovnici x z x + y z y = z xy.
Příklad 2 Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku x + 2 2 = y + 2 = 1 z Nalezněte derivaci funkce f(x, y) = ln(x + y) v bodě = (1, 2) ve směru tečny k parabole y 2 = 4x v bodě. Nalezněte derivaci funkce f(x, y) = 3x 2 6xy + y 2 v bodě = ( 1 3, 1 2) ve směru libovolného vektoru. Rozhodněte, ve kterém směru je derivace největší, nejmenší a nulová. Určete, zda řešení rovnice e 2x cos y + e y cos 2x 2 = 0 je v okolí bodu (0, 0) funkcí y(x) a napište aproximaci tohoto řešení v okolí bodu (0, 0) pomocí polynomu druhého stupně. Napište rovnici tečných rovin k ploše určené rovnicí x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 21, které jsou rovnoběžné s rovinou určenou rovnicí x + 4y + 6z = 0. Určete derivaci funkcí y(x) a z(x), které jsou řešením soustavy 2xe 2x+3y z z cos y = 0 ln(z x) + sin y + 2x + y z = 0 v okolí bodu (1; 0; 2). Napište lineární aproximaci těchto řešení a rovnici tečny k této křivce v bodě (1; 0; 2). Nalezněte tečný vektor ke křivce, kterou dostaneme jako graf funkce získané řešením soustavy rovnic v okolí bodu (1; 1; 1). x 2 + y 2 + z 2 3 = 0, x 2 + y 2 2z = 0 Napište rovnici tečné roviny k ploše x 2 +y 2 +z = 4 rovnoběžné s rovinou 2x+2y+z = 0. Nalezněte lineární aproximaci funkce z(x, y), která je řešením rovnice ( z 2 x 2) xyz y 5 = 5
v okolí bodu (1; 1; 2). Funkce y(x) a z(x) jsou řešením soustavy rovnic x 2 y 2 + z 2 = 1, y 2 2x + z = 0 v okolí bodu (1; 1; 1). Určete y (1) a z (1). Určete derivace až do druhého řádu funkcí y(x) a z(x), které jsou řešením soustavy x + y + z = 0, x 3 + y 3 z 3 = 10 v okolí bodu (1; 1; 2) a napište aproximaci těchto řešení pomocí Taylorova polynomu stupně 2. Určete tečný vektor ke křivce, která je grafem funkce získané jako řešení soustavy v okolí bodu (3; 4; 12). Ukažte, že soustava x 2 + y 2 + z 2 = 169, 2x + y z + 2 = 0 x 2 u 2 v 2 = 0, u v y = 0 v okolí bodu ( 2; 1; 1; 1) má řešení u, v, které je funkcemi u(x, y), v(x, y) proměnných x a y a určete Jacobiho matici zobrazení (u, v) v bodě ( 2; 1). Určete rovnici tečné roviny k ploše definované rovnicí v bodě (1; 1; 1). Nalezněte lokální extrémy funkce ln(x + y + z 2) e x+y = 2x y z f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z2 2 3xz 2y + 2z.
Nalezněte lokální extrémy funkcí: f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2 z pro x > 0, y > 0, z > 0. Určete extrémy funkce z(x, y), která je řešením rovnice 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8xz z + 8 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f s vazební podmínkou g f(x, y) = x 2 + 2y 2, g(x, y) = x 2 2x + 2y 2 + 4y = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f s vazební podmínkou g f(x, y) = xy, g(x, y) = x + y 1 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 2y+2z za podmínky x 2 +y 2 +z 2 = 1. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = 3xy na množině M = { (x, y) ; x 2 + y 2 2 }. Stanovte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 +2xy 4x+8y na množině M = {(x, y) ; 0 x 1 ; 0 y 2}. Stanovte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 y 2 na množině M = { (x, y) ; x 2 + y 2 1 }. Nalezněte lokální extrémy funkce y(x), která je řešením rovnice x 2 + y 2 8x 4y + 19 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce y(x), která je řešením rovnice x 2 xy + y 2 2x + 4y = 0.
Nalezněte lokální extrémy funkce y(x), která je řešením rovnice x 3 + y 3 3xy = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + 5. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 xy + y 2 + 9x 6y + 20. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 3 + y 3 + z 2 3(xy + xz + yz). Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + 2z xy xz. Nalezněte lokální extrémy funkce z(x, y), která je řešením rovnice x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 10 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce z(x, y), která je řešením rovnice x 2 + y 2 + z 2 xz yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0. Je dáno n bodů 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ),..., n (x n ; y n ; z n ) R 3. V rovině z = 0 najděte bod, pro který je součet čtverců vzdáleností od bodů 1, 2,..., n minimální. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + y 2 za podmínky x + y = 1.
Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = xy za podmínky x 2 + y 2 = 2. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xyz za podmínky x + y + z = 3. Nalezněte lokální extrém funkce f(x, y, z) = xy + xz + yz za podmínky xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0. V rovině 3x 2z = 0 nalezněte bod, který má minimální součet čtverců vzdáleností od bodů (1; 1; 1) a B (2; 3; 4). Určete body elipsy x 2 + 4y 2 = 4, které mají minimální a maximální vzdálenost od přímky 2x + 3y 6 = 0. Bodem P (a; b; c) veďte rovinu tak, aby objem čtyřstěnu vymezeného touto rovinou a souřadnicovými rovinami byl minimální. Návod: Použíjte rovnici roviny ve tvaru x p + y q + z = 1, kde p, q, resp. r jsou úseky na osách r Ox, Oy, resp. Oz, které tato rovina vytíná. Do elipsy x 2 + 3y 2 = 12 vepište rovnoramenný trojúhelník takový, že má základnu rovnoběžnou s osou x a má maximální obsah. Určete rozměry obdélníku daného obvodu 2p, který rotací kolem jedné strany vytvoří těleso s maximálním objemem. Určete rozměry pravoúhlého odkrytého bazénu, který má při daném objemu V minimální povrch. V rovině z = 0 určete bod D tak, aby koule, která prochází body (0; 0; 12), B (0; 0; 4), (8; 0; 8) a D měla minimální objem. Do rotačního kužele o délce površky 1 a vrcholovém úhlu π/2 vepište kvádr maximálního objemu. Do koule o poloměru R vepište válec s maximálním povrchem. Nalezněte minimální vzdálenost bodu (1; 4) od paraboly dané rovnicí y 2 = 2x. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 +y 2 12x+16y na množině M = { (x, y) ; x 2 + y 2 25 }. Nalezněte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = 2x 3 + 4x 2 + y 2 2xy na množině M = { (x, y) ; x 2 y 4 }. Nalezněte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 y(4 x y) na množině M = {(x, y) ; x 0, y 0, x + y 6}.
Nalezněte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) na množině { M = (x, y) ; 0 x π 2, 0 y π }. 2 Najděte derivaci funkce f(x, y) = vektoru u = (1, 1) v bodě [0; 0]. x2 y x 2 + y 2 pro [x; y] [0; 0] a f(0, 0) = 0 podle
Spočtěte kde = { (x, y) ; 4x 2 + y 2 4 }. Příklad 3 x 2 y dx dy, Spočtěte xy dx dy, kde = { (x, y) ; y 2 2x, y x 4 }. Spočtěte dx dy dz, kde = {(x, y, z) ; x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. Určete těžiště tělesa v R 3, kde = { (x, y, z) ; 0 z x 2 + y 2, x 2 y 1 }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; 0 z 2 x y, x 2 + y 2 1, x 0, y 0 }. Vypočtěte integrál xy 2 dx dy, kde = { (x, y) ; x 2 + (y 1) 2 1, x 2 + (y 2) 2 4 }. Určete souřadnice těžiště obrazce = { (x, y) ; (x 2 + y 2 ) 2 2y 3}. Vypočtěte obsah obrazce = { (x, y) ; (x 2 + y 2 ) 2 2(x 2 y 2 ), x 2 + y 2 1 }.
Vypočtěte obsah obrazce kde a, b > 0. Určete obsah obrazce = { (x, y) ; x 2 } a 2 + y2 b 2 x + y, = {(x, y) ; 1 x + y 2, x y 2x, x 0, y 0}. Určete polární moment obrazce, tj. (x2 + y 2 ) dx dy, = {(x, y) ; 1 xy 2, x y 2x, x 0}. Určete moment setrvačnosti J z () = (x2 + y 2 ) dx dy dz tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 2z + 2 0, x 2 + y 2 + z 4 }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 9, 1 z 2 }. Určete moment setrvačnosti J z () = ρ(x, y, z) (x2 + y 2 ) dx dy dz tělesa je-li hustota rovna jedné. = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 4, x + y + z 4, z 0 }, Určete souřadnice těžiště tělesa { = (x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Určete souřadnice těžiště tělesa { = (x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné x 2 } a 2 + y2 b 2 z 4, x 2 } a 2 + y2 b 2 z2 c 2, 0 z c,
Spočtěte kde (x + y + z) dx dy dz, = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 2y, z 0, z 2 x 2 + y 2}. Určete moment setrvačnosti J z () = = { (x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 ) dx dy dz pro těleso x 2 } a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1, z 0, Spočtěte x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 2z }. Spočtěte integrál kde = sin(x + y) dx dy, { (x, y) ; y > 0, x + y < π } 2, x y > π. 2 Spočtěte integrál kde dx dy, = { (x, y) ; (x y) 2 + x 2 a 2}. Spočtěte integrál dx dy, kde = {(x, y) ; xy 1, x + y 52 }, x > 0, y > 0.
Spočtěte integrál kde x x 2 dx dy, + y2 = { (x, y) ; x 2 2y, y x }. Spočtěte polární moment J 0 () = (x 2 + y 2 ) dx dy množiny = { (x, y) ; x 2 y, y 2 x }. Vypočtěte kde y 3 x 2 dx dy, + y2 = {(x, y) ; 0 x y, 2 y 4}. Vypočtěte kde x 2 y dx dy, = { (x, y) ; y 0, x 2 + y 2 2x }. Vypočtěte kde x x 2 dx dy, + y2 = {(x, y) ; y x 2y, x 2}. Vypočtěte kde (x 3 x 2 y) dx dy, = { (x, y) ; y x 2, x y 2}. Vypočtěte objem tělesa, kde = { (x, y, z) ; x 2 y 1, 0 z 4 x y }.
Vypočtěte objem tělesa, kde = {(x, y, z) ; 0 z 4 x y, 0 x 3, 0 y 2}. Vypočtěte objem tělesa, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 1, x 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0 }. Vypočtěte objem tělesa, kde = { (x, y, z) ; 1 x 1, 1 y 1, 0 z x 2 + y 2}. Vypočtěte kde xy dx dy dz, = {(x, y, z) ; 0 z xy, x + y 1, x > 0}. Vypočtěte obsah obrazce = {(x, y) ; 1 xy 2, x y 2x, x 0}. Vypočtěte obsah obrazce = { (x, y) ; x y 2 4x, 2y x 2 4y }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; 2z x 2 + y 2 + 2, x 2 + y 2 + z 4 }, Určete těžiště tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 9, 1 z 2 }, je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Určete souřadnice těžiště tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 4, z 0, x + y + z 4 },
je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Spočtěte objem tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 2, x 2 + y 2 1 }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 4, y + z 2, y z 2 }. Určete souřadnice těžiště tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 2y, z 0, z 2 x 2 + y 2}. Spočtěte x2 + y 2 dx dy dz, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 z 2, 0 z 1 }. Spočtěte moment setrvačnosti J z () = (x2 + y 2 )ρ(x, y, z) dx dy dz pro těleso = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 R 2, z 0 }, je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Spočtěte x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 1, x 0 }. Spočtěte kde xyz dx dy dz, = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 R 2, x > 0, y > 0, z > 0 }. Spočtěte objem tělesa { = (x, y, z) ; Vypočtěte objem tělesa x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1, x 2 } a 2 + y2 b 2 z2 c 2, z 0. = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 R 2, x 2 + y 2 Rx }.
Určete Příklad 4 x 2 ds, kde = {(x, y) ; y = ln x, 1 x 3}. Určete (x + y) ds, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy 1 = [0; 0], 2 = [0; 2], 3 = [1; 0]. Určete hmotnost oblouku paraboly y 2 = 2x, y < 1, je-li hmota rozložena s hustotou f(x, y) = y. Určete x2 + y 2 ds, kde = { (x, y) ; x 2 + y 2 = x }. Určete y ds, kde je část křivky popsané rovnicí (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2, která leží v prvním kvadrantu, tj. x > 0, y > 0. Určete arctg y ds, kde je část rchimedovy spirály, která má v polárních x souřadnicích rovnici r = ϕ a leží uvnitř kruhu o poloměru R π/2. Určete x2 + y 2 ds, kde = { ((x, y), ; x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), 0 t 2π, a > 0 }. Určete těžiště homogenní křivky = { (x, y) ; x 2 + y 2 = R 2, y 0 }. Určete těžiště homogenního oblouku cykloidy dané parametrickou rovnicí = { (x, y) ; x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t 0, 2π, a > 0 }. Určete xy ds, kde je obvod obdélníku s vrcholy 1 = [0; 0], 2 = [0; 2], 3 = [4; 2], 4 = [4; 0]. ( Určete 5 x 2 y ) ds, kde = { (x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 4 }. 2 Určete y ds, kde je oblouk paraboly y = x2 mezi body = [0; 0], B = [4; 8]. 2 { x 2 } Určete xy ds, kde = (x, y) ; a 2 + y2 b 2 = 1, x > 0, y > 0. Určete 2y ds, kde je oblouk cykloidy dané rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t (0, 2π).
Určete těžiště oblouku homogenní asteroidy dané rovnicí x 2/3 + y 2/3 = a 2/3, x > 0, y > 0; a > 0. Určete momenty setrvačnosti jednoho závitu šroubovice = { (x, y, z) ; x = a cos t, y = a sin t, z = ht }, t (0, 2π), 2π je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Určete 2y2 + z 2 ds, kde je dána rovnicemi x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x = y. Určete y ds, kde je dáno parametrickou rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t (0, 2π). Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu a(t sin t), y = a(1 cos t); 0 t 2π. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu y 2 ds, kde je oblouk cykloidy x = (x 2 + y 2 ) ds, kde je křivka x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t); 0 t 2π. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu xy ds, kde je část hyperboly x = a cosh t, y = a sinh t; 0 t t 0. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu asteroidy x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu ( x 4/3 + y 4/3) ds, kde je oblouk ( ) exp x2 + y 2 ds, kde je hranice konvexní oblasti omezená křivkami r = a, ϕ = 0, ϕ = π ; r a ϕ jsou polární 4 souřadnice. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu x ds, kde je část logaritmické spirály r = ae kϕ, k > 0, která leží uvnitř kruhu r = a. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu x2 + y 2 ds, kde je kružnice x 2 + y 2 = ax. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu ds y 2, kde je řetězovka y = a cosh x a.
Najděte délku oblouku křivky x = 3t, y = 3t 2, z = 2t 3 od bodu [0; 0; 0] do bodu [3; 3; 2]. Najděte délku oblouku křivky x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, 0 < t <. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu (x 2 + y 2 + z 2 ) ds, kde je část šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = bt; 0 t 2π. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu z ds, kde je kónická šroubovice x = t cos t, y = t sin t, z = t; 0 t t 0. Najděte těžiště oblouku homogenní cykloidy x = a(t sin t), y = a(1 cos t); 0 t π. Najděte střední polární moment asteroidy x 2/3 + y 2/3 = a 2/3, tj. číslo r 0 dané vztahem I 0 = (x 2 + y 2 ) ds = sr 0, kde s je délka oblouku asteroidy. Vypočtěte (x 2 xy) dx + (y 2 2xy) dy kde = { (x, y) ; y = x 2, 1 x 1 }. Vypočtěte (x 2 + y 2 ) dx + (x 2 y 2 ) dy, kde je křivka y = 1 1 x, 0 < x < 2. Vypočtěte (x + y) dx + (x y) dy, kde = Určete Určete y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz, kde { (x, y) ; x 2 } a 2 + y2 b 2 = 1. = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 = x, z > 0 }. y dx + z dy + x dz po křivce = { x, y, z) ; x 2 + y 2 = 1, x + z = 1 }. x + y Určete x 2 + y 2 dx x y x 2 + y 2 dy, kde je kružnice x2 + y 2 = R 2 orientovaná ve směru od kladné poloosy x ke kladné poloose y. Určete y dx x dy, kde je určena parametrickou rovnicí x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, 0 < t < 2π. Určete y dx x dy, kde = { (x, y) ; x 2 } a 2 + y2 b 2 = 1, x > 0.
Určete (2a y) dx + x dy po křivce dané parametrickou rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), 0 < t < 2π. Určete y dx x dy + z dz po obvodu trojúhelníka, jehož vrcholy jsou průsečíky roviny 3x + 2y + 6z = 6 se souřadnicovými osami. { Určete (x y) dx + (z x) dy + (x y) dz, kde = (x, y, z) ; x 2 + y 2 = a 2 x, a + z } h = 1, a > 0, h > 0 je orientována tak, že tečna ke křivce v bodě [a; 0; 0] má kladnou druhou složku, tj. t(a, 0, 0) (0, 1, 0) > 0. Určete dx+y dy, kde je oblouk paraboly y = x 2 s počátečním bodem = [1; 1] a koncovým bodem B = [2; 4]. Určete (4 y) dx + x dy, kde je dáno parametrickou rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t (0, 2π). Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál, a pomocí toho určete [2;3] [0;1] (x + y) dx + (x y) dy. Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál, a pomocí toho určete [1;1] [1; 1] (x y)( dx dy). Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho spočítejte kde křivka neprotíná osu Oy. [1,2] [2;1] y dx x dy x 2, Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho spočítejte [6;8] [1;0] x dx + y dy x2 + y 2,
kde křivka neprochází počátkem. Dokažte, že je-li f(u) spojitá funkce a po částech hladká uzavřená křivka, je f(x 2 + y 2 )(x dx + y dy) = 0. Vypočtěte (y 2 z 2 ) dx + 2yz dy x 2 dz, kde je křivka x = t, y = t 2, z = t 3, 0 t 1, orientovaná ve směru rostoucího parametru. Vypočtěte y dx + z dy + x dz, kde je závit šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 2π, orientovaný ve směru rostoucího parametru. Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho integrál spočítejte [6;1;1] yz dx + xz dy + xy dz. [1;2;3] Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho integrál spočítejte [x 2 ;y 2 ;z 2 ] [x 1 ;y 1 ;z 1 ] x dx + y dy + z dz x2 + y 2 + z 2, kde x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 = a 2, x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 = b 2, a > 0, b > 0. Vypočtěte kde je kružnice x 2 + y 2 = a 2. xy 2 dx x 2 y dy, Vypočtěte (x + y) dx (x y) dy, kde je elipsa x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Jakou podmínku musí splňovat funkce F (x, y), aby křivkový integrál mb F (x, y)(y dx + x dy)
nezávisel na integrační cestě? Pomocí křivkového integrálu určete obsah obrazce omezeného asteroidou x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, 0 t 2π. Pomocí Stokesovy věty vypočtěte integrál (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, kde je elipsa x = a sin 2 t, y = 2a sin t cos t, z = cos 2 t, 0 t π, orientovaná ve směru rostoucího parametru t. Pomocí Stokesovy věty vypočtěte integrál (y z) dx + (z x) dy + (x y) dz, kde je elipsa x 2 + y 2 = a 2, x a + z h = 1, a > 0, h > 0. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = xi + yj + zk podél části šroubovice r = ia cos t + ja sin t + kbt, kde 0 t 2π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = i y + j z + k x podél úsečky, která spojuje body [1; 1; 1] a [2; 4; 8]. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = e y z i + e z x j + e x y k podél úsečky mezi body [0; 0; 0] a [1, 3, 5]. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k podél nejkratší kružnice na kulové ploše x 2 + y 2 + z 2 = 25, která spojuje body [3; 4; 0] a [0; 0; 5]. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = yi+xj+ck, kde c je konstanta, podél kružnice (x 2) 2 +y 2 = 1, z = 0 Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Ukažte, že vektorové pole f = yz(2x+y +z)i+xz(x+2y +z)j +xy(x+y +2z)k je potenciální a najděte jeho potenciál. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Ukažte, že vektorové pole 2i f = (y + z) xj 1/2 (y + z) xk 3/2 (y + z) 3/2 je potenciální a najděte jeho práci podél křivky, která leží v kladném oktantu a spojuje body [1; 1; 3] a [2; 4; 5].
Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte potenciál vektorového pole f = m r, kde m je konstanta, r = xi + yj + zk a r3 r = r. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Dokažte, že vektorové pole v = f(r)r, kde r = xi + yj + zk, r = r a f je spojitě diferencovatelná funkce, je potenciální a najděte jeho potenciál.
Diferenciání rovnice 1 _x = 2tx : _x = x sin t: _x = x : 1 t _x = 3t t 2 +1 x: Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 3 t x + 2 t 3 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 4t t 2 +1 x+ 1 t 2 +1 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = x tg t + 1 cos t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 2tx +2te t2 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = x cotg t +2tsin t: Typeset by MS-T E X
Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x x =e t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 2x t + t 1 t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = t(x +1): Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x t +1 = t2 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + t 2 x = t 2 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x = 1 e t (1 t) : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x t = 3 t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x +2x=3te t : _x + x =4te t :
_x +3x = 2 cos 2t : _x +4x=2e t sin 3t : _x +3x=(2t 1)e 3t _x +2x= 3 sin 2t 4 cos 2t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x = 3 sin 4t : _x +3x=e t (2 sin t cos t) : _x +2x=4e t cos 2t : _x +4x= 3 cos 2 t: _x +2x = 4 sin 2 t:
_x +3x= sin 2t cos 3t : _x + x = 2 cos t cos 2t : Hledejte øe¹ení auchyho úlohy _x = 3 t x + 2 t 3 ; x(2) = 3 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 4t t 2 +1 x+ 1 t 2 +1 ; x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x tg t + 1 ; x(0) = 1 : cos t Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2tx +2te t2 ; x()= : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x cotg t +2tsin t; x()= (; ) 2 RR: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x 2 t ; x(0) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2x +(1+t) 3 ; x(0) = 3 : 1+t
Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x =(1 x)tgt; x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x sin t + sin t cos t; x()= ; (; ) 2 RR: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2t 1+t 2 x+t2 +1; x()= ; (; ) 2 RR: Naleznìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2tx 1+t 2 + 3t 2 ; x()= ; (; ) 2 RR: 1+t 2 Naleznìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x t + t; x()=; (; ) 2 RR; 6=0: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x =(1 x) cos t; x()= ; (; ) 2 RR: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy sin t pro t 2h0;i _x +2x=f(t); kde f (t) = 0 pro t =2h0;i ; x(0)=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice p tx _x x 2 +1=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice (t 2 1) _x +2tx =0:
Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici p _x =4t x; x(1) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = x 2 ; a) x(0) = 0 ; b) x(1) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici 5 _x x 2 =1; x 4 =1: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici t _x + x = x ln x; x(1) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici (1 + e t )x _x =e t ; x(0) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x x 2 =0; x()= : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 2 cotg t x ; x 4 =2 3 p : 2 Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = t x +1 ; x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = x cos t; x(0) = 1 :
Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x =(x 1) tg t; x()=; 2 2 ; 2 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 2tx t 2 ; 4 a) x( 5) = 0 ; b) x(0) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 1+3x ; x(1) = 2 : t Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 1 tx t2 ; x(1) = 2 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 2tx2 t 2 1 ; x(0) = 1 :
Diferenciální rovnice 2 Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 00 = y0 x + x: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice x 4 y 000 +2x 3 y 00 1=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 00 1+x 2 +(y 0 ) 2 +1=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 00 + y 0 tg x = sin 2x : Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 000 =(y 00 ) 3 : Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice xy (5) = y (4) : Najdìte øe¹ení diferenciální rovnice (y 00 ) 2 = y 0 ; y( 1)=1; y 0 ( 1)=0: Najdìte øe¹ení diferenciální rovnice xy 00 y 0 = x 3 ; y(1) = 1 2 ; y0 (1)=1: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice t 2 (ln t 1)x 00 tx 0 + x =0; Typeset by MS-T E X
znáte-li jedno její øe¹ení x1(t) = t. Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice tx 00 (2t 1)x 0 +(t 1)x =0; znáte-li její jedno øe¹ení x1(t) =e t. Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice (1 + t 2 )x 00 +2tx 0 2x =0; Jestli¾e znáte její jedno øe¹ení x1(t) = t. Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice, znáte-li její jedno øe¹ení y1 x(1 x) 2 y 00 =2y; y1= x : 1 x Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice, znáte-li její jedno øe¹ení y1 xy 00 +2y 0 xy =0; y1= 1 e x : x Znáte-li jedno partikulární øe¹ení y1 diferenciální rovnice, najdìte její øe¹ení, které vyhovuje daným poèáteèním podmínkám x(2x +1)y 00 +2(x+1)y 0 2y=0; y1=1+x; y(1) = 3 ; y 0 (1)=0: Znáte-li jedno partikulární øe¹ení x1(t) =e t diferenciální rovnice tx 00 (2t +1)x 0 +(t+1)x=0; najdìte její øe¹ení, které vyhovuje poèáteèním podmínkám x(1) = 1 a x 0 (1)=3. Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +_x 2x=0; x(0) = 0 ; _x(0)=3: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +8_x+15x=0; x(0) = 2 ; _x(0)=2:
Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 5_x+6x=0; x(0) = 1 ; _x(0)=3: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +8_x+16x=0; x(0) = 4 ; _x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 6_x+9x=0; x(0) = 0 ; _x(0)=13: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x =0; x(0) = 3 ; _x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +4x=0; x(0) = 1 ; _x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +6_x+13x=0; x(0) = 0 ; _x(0) = 2 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 2_x+5x=0; x(=2) = 0 ; _x(=2) = 1 : Najdìte jedno øe¹ení diferenciální rovnice x 5_x+6x=3t 3 +8t: Najdìte jedno øe¹ení diferenciální rovnice x 3_x+2x=te 2t +e t : Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení rovnice ::: x +x=1 2t+te t :
Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení diferenciální rovnice ::: x +2x+_x=1+2t 2 e t : Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení rovnice ::: x 3x +3_x x=(1 t)e t +2: x 3_x+2x=2t 3 30 : x 4_x+4x=3e 2t +e t +1: x + x =2t 3 t+2 2e t : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x _x = 2(1 t) ; x(0) = 1 ; _x(0)=1: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 2_x=(t 2 +t 3)e t ; x(0) = _x(0)=2: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 4x =4e 2t ; x(0) = _x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = t 3 +6t+e t ; x(0) = _x(0) = 0 :
Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení diferenciální rovnice x +4_x+3x=e t cos t + 5 sin 3t : Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení diferenciální rovnice x +6_x+10x=e 3t +2e 3t cos t: x + x = 6 sin 2t : x +4x= sin 2t : x x = 2 sin t 4 cos t: x x = cos 2 t: x + x = cos t + cos 2t : x + x = 2 sin t +4tcos t: x 4x =(4 4t)e t cos t (2t + 6)e t sin t: x 2_x+2x=2e t cos t 4te t sin t:
Naleznìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = 6 sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +4x= 2 cos 2t ; x(0) = 0 ; _x(0)=4: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +4x= sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0)=0: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = cos t + sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0) = 0 : Najdìte obecný tvar øe¹ení diferenciální rovnice x + x = cotg t: x + x = sin 2 t: Najdìte fundamentální systém øe¹ení soustavy _x = x, kde je matice 0; 1 = : 12; 1 Najdìte fundamentální systém øe¹ení soustavy _x = x, kde je matice 0; 1 = : 2; 2