3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí. 0. Posloupost = ( ) 22 + 3 + 4 3 2 + 2 Řada esplňuje utou podmíu overgece 2 2 + 3 + 4 3 2 + 2 tedy řada diverguje. = 2 3 0, 2. (a) ( ) cos 2π + Řada diverguje, eb esplňuje utou podmíu overgece: ( ) cos π = ( ) + + ( ) =.
(b) (c) ( ) 2 2 + =0 Podle Leibizova ritéria overguje řada Abela overguje taé ( ) 2 + 0 ( ) 3 + =0 ( ) =0 2, ebot posloupost 2 2 + 2 + ( ). Následě podle je mootóí. Řada overguje absolutě podle odmociového ritéria, ebot 2 + 0 a = 3 + = 2 3 <. (d) ( ) si 2 + Ozačme a obecý -tý čle řady. Nejprve vyloučíme absolutí overgeci porováím s řadou si /. To je divergetí řada podle fatu uvedeého a začátu oddílu o overgeci obecých řad. Přitom a si / = 2 + =. Tudíž vyšetřovaá řada emůže overgovat absolutě. Upravíme yí čle řady a tvar ( ) si 2 + = ( ) si 2 2 +. Doážeme-li yí overgeci řady si ( ), pa, vzhledem tomu, že posloupost { 2 } je evidetě omezeá (má itu) a mootóí, z Abelova 2 + ritéria bude vyplývat taé eabsolutí overgece vyšetřovaé řady. Nyí použijeme triu rozděleí řady a dvě, a řadu sudých a lichých čleů. ( ) si? =,3,5,... ( ) si + =2,4,6,... ( ) si což po úpravě dává ( ) si? =,3,5,... si + =2,4,6,... si 2
Z ásledující pozámy plye, že poud doážeme overgeci řad a pravé straě, pa overguje taé řada a straě levé a rovost s otazíem platí. Avša overgece obou řad a pravé straě plye z Dirichletova ritéria. Protože 0 mootóě, stačí ověřit stejou omezeost částečých součtů řad si sčítaých přes sudé a liché čley. Řada si x má totiž omezeé částečé součty pro všecha x R. Položeím x = 2 tedy zjišt ujeme, že řada si(2) = =2,4,... si má omezeé částečé součty. A protože si = si si si + si,3,5,... =2,4,6,... =2,4,6,... a obě řady apravo mají stejě omezeé částečé součty, plye odtud stejá omezeost částečých součtů i pro řadu lichých čleů. Tím je eabsolutí overgece vyšetřovaé řady doázáa. (e) Užijte fatu 2 si 2 = cos 2 Pomocí fatu výše píšeme =0 si 2 =0 si 2 = 2 =0 2 =0 cos 2. (f) Prví řada diverguje, druhá overguje z Dirichleta (a fatů). vpravo je dobře defiová a řada diverguje. ( ) si2 2 + Tedy součet Uážeme, že řada eoverguje absolutě. K tomu stačí doázat divergeci řady si 2 a použít ití srovávací ritérium. Nyí platí, že si 2 cos 2x x = a tudíž 2 si 2 = cos 2 = cos 2, přičemž posledí řada apravo cos 2 overguje podle Dirichletova ritéria, ebot 0 mootóě a cos x má omezeé částečé součty pro aždé 3
(g) (h) x R, tedy speciálě taé pro x = 2. Tudíž součet řady cos 2 číslo, a protože harmoicá řada diverguje do +, platí si 2 = cos 2 = cos 2 = S je reálé = + S = +. Uážeme, že řada overguje eabsolutě. Za tímto účelem řadu roztrhěme a dvě: ( ) si2 2 + = ( cos 2)/2 ( ) = 2 + ( ) 2 2 + cos 2 ( ) 2 +. Prví z řad apravo overguje podle Leibizova ritéria. Pro druhou lze použít aalogicý postup jao v miulém příladě. Absolutě řada eoverguje eb =0 cos 2 cos 2 cos 2, terážto diverguje (fata o goiometricých řadách). Neabsolutě řada overguje z Dirichleta, eb cos 2 má omezeé částečé součty a / 0. Řada eoverguje absolutě, ebot cos 2 = + cos 2 2 ( ) cos2 = + cos 2 = +, 2 2 }{{}}{{} =+ overg. řada ebot druhá z řad je overgetí podle Dirichletova ritéria díy omezeosti částečých součtů řady cos 2 (plye z prvího fatu o goiometricých řadách v úvodu oddílu o overgeci obecých řad). 4
Řada overguje eabsolutě, ebot ( ) cos2 = + cos 2 ( ) 2 = ( ) 2 + cos 2 ( ) 2, (i) (j) přičemž prví z řad apravo overguje podle Leibizova ritéria a pro druhou lze užít aalogicý postup jao v příladu (??) rozděleí a sudé a liché čley (tím zmizí ( ) ) a použití Dirichletova ritéria. A si, A + de A > 0. Poud A >, potom řada diverguje, ebot esplňuje utou podmíu overgece; její oeficiety eovergují ule. Poud A =, platí totéž. Poud 0 < A <, potom A si A A + + A A = A, a protože A je absolutě overgetí (geometricá) řada, řada overguje absolutě podle srovávacího ritéria. de x R. Upravme sih x + cosh x e 2x sih x + cosh x ( ), e 2x = ex e x + e x + e x 2e 2x = ex e 2x = e x = e x. Odtud je zřejmé:. Pro x 0 řada diverguje, ebot esplňuje utou podmíu overgece; oeficiety řady eovergují do uly. 2. Pro x < 0 řada overguje absolutě, ebot ( ) e x = (e x ) je overgetí geometricá řada, protože 0 < e x <. 5
3. (a) ( ) + = z (b) Pro z < overguje absolutě podle itího podílového ritéria, ebot = z = z <. + ( ) +2 z + + ( ) + z Pro z > diverguje, ebot ita oeficietů bud eexistuje ebo eí ulová. Pro z = řada overguje podle Leibizova ritéria (eabsolutě), ebot posloupost { } je mootóí a overguje ule. Pro z = řada diverguje, ebot ( )+ ( ) = / a řada je harmoicá s miusem. x + x 2 Poud x = 0, řada overguje absolutě (triviálí). Odhad (zapomeutí čleu x 2 ve jmeovateli) x + x 2 x dává, že pro x < řada overguje absolutě srováím s geometricou řadou. Poud x = ±, řada overgovat emůže, ebot a = (±) = (±) 0. +(±) 2 2 Necht yí x >. Potom odhad (zapomeutí jedičy ve jmeovateli) x + x 2 x x 2 = x (c) dává, že řada overguje absolutě srováím s geometricou řadou. ( ) 22 + 3 + 4 2 4 + 3 Platí, že (pro 4) 22 + 3 + 4 ( ) 2 4 + 3 = 22 + 3 + 4 2 4 + 3 = 2 + 3/ + 4/ 2 2 + + = 2 2 2 + 3/ 4 2 2. 2 Teto odhad dává absolutí overgeci aší řady pomocí srovávacího ritéria. 6
(d) ( ) 22 + 3 + 4 2 3 Odhad 2 2 + 3 + 4 2 3 2 + 3/ + 4/ 2 2 2 = = dává, že řada emůže overgovat absolutě podle srovávacího ritéria (ebot harmoicá řada eí overgetí). Je ale jedoduché ověřit, že 2 2 + 3 + 4 2 3 0. Uážeme, že overgece je od jistého čleu mootóí. Tedy, že Úpravou dostaeme 2 2 + 3 + 4 2 3 2( + )2 + 3( + ) + 4 2( + ) 3. 2(2 2 + 3 + 4)( + ) 3 2 3 (2 2 + 4 + 2 + 3 + 3 + 4) (e) 2(2 2 + 3 + 4)( 3 + 3 2 + 3 + ) 4 5 + 4 4 + 8 3 ) 4 5 + 8 4 + 38 3 + 46 2 + 30 + 8 4 5 + 4 4 + 8 3 4 4 + 20 3 + 46 2 + 30 + 8 0 což je samozřejmě pravdivá erovost pro libovolé přirozeé. 4 x Pro x < overguje absolutě podle podílového ritéria, ebot ( + ) 4 x + 4 x = ( + ) 4 4 x = x <. Poud x, eoverguje, ebot 4 x = +, a proto eí možé, aby 4 x = 0. 7
(f) ( ) cos( 2 π) + 9 Platí, že 2 je liché, právě dyž je liché. Proto cos( 2 π) = cos(π) = ( ). Dále je + 9 = 9 + 9 + 9. (g) Z těchto výpočtů je zřejmé, že řada absolutě overgovat emůže (řada 9 eí overgetí), ale overguje eabsolutě podle Leibizova ritéria. =2 ( ) 2 + ( ) Absolutí overgece je vyloučea odhadem řada overguje eabsolutě. Leibizovo ritérium lze použít přímo, protože erovosti. 2+( ) 2 Uážeme, že 2+ 2(+), 2 2(+)+ = 2 + ( ) 2( + ) + ( ) + jsou pravdivé. 8