Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007
Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita poslouposti 47 Mootoí poslouposti 69 4 Částečé limity posloupostí 8
Kapitola Základí matematické pojmy Logika Před soudem stojí tři obviěí A, B, C A říká: jsem evie, pachatelem je C B říká: C je evie, pachatelem je A C říká: jsem evie, B eí pachatel Soud zjistil, že jede z obviěých krát lhal, jede říkal krát pravdu, jede jedou lhal a jedou mluvil pravdu Kdo je pachatel? Řešeí: Z výpovědi C plye, že emohl krát lhát, poěvadž by byl pachatelem o a zároveň B Uvažme yí ásledující případy: a) Necht C krát mluvil pravdu, pak je A pachatel i Jestliže A krát lhal, je A pachatel Jestliže B jedou lhal, je pachatelem B ebo C Teto případ emůže astat ii Jestliže B krát lhal, pak C je pachatel, což je opět spor b) Necht C jedou lhal a jedou mluvil pravdu Pak pachatelem může být C ebo B i Jestliže A krát lhal, je A pachatel, což je spor ii A tedy krát mluvil pravdu a B krát lhal Odtud plye, že pachatelem je C Do polárí expedice je třeba z osmi zájemců A, B, CD, E, F, G, H vybrat šest odboríků: biologa, hydrologa, syoptika, radistu, mechaika a lékaře Kvalifikaci mají: a biologa E a G, a hydrologa B a F, a syoptika F a G, a radistu C a D, a mechaika C a H, a lékaře A a D Každý bude vykoávat právě jedu fukci Kdo pojede, když F emůže jet bez B, D bez H a bez C, C emůže jet s G a A emůže jet s B? Řešeí: Vypíšeme si jedotlivé profese a příslužé zájemce do tabulky Biolog E, G Hydrolog B, F Syoptik F, G Radista C, D Mechaik C, H Lékař A, D a) Kdyby A jel s expedicí, pak ejede B a emůže jet ai F, tedy eí možé obsadit fukci hydrologa Zájemce A tedy jet emůže b) Poěvadž A ejede, musí jet D ve fukci lékaře, tedy C ve fukci radisty a H ve fukci mechaika Ale C emůře jet s G, tedy G epojede Odtud plye, že E jede ve fukci biologa, F ve fukci syoptika a B ve fukci hydrologa
Rozhoděte o pravdivosti ásledujících implikací a) Kočí-li celé číslo cifrou 5, je dělitelé 5 pravdivá b) Je-li 6 prvočíslo, pak je číslo složeé pravdivá c) Jestliže pro dvě čísla a, b platí ab 0, pak a b 0 epravdivá d) Je-li 6 prvočíslo, pak je také prvoříslo pravdivá 4 Rozhoděte o pravdivosti ásledujících ekvivalecí a) b) c) Číslo je dělitelé právě tehdy, je-li jeho ciferý součet dělitelý pravdivá Číslo 9 je sudé právě když je dělitelé pravdivá Úhlopžíčky rovoběžíka jsou a sebe kolmé tehdy a je tehdy, jeli daý rovoběžík čtverec epravdivá 5 Dvě defiice sadosti písemky jsou: a) Písemka je sadá, jestliže každý příklad vyřešil alespoň jede studet b) Písemka je sadá, jestliže alespoň jede studet vyřešil všechy příklady Může existovat písemka, která je α) lehká ve smyslu a), ale e ve smyslu b)? β) lehká ve smyslu b), ale e ve smyslu a)? b) a) 6 Jsou dáy výroky, týkající se výšky žáků tříd A a B a) Každý žák z B je vyšší ež všichi žáci z A b) Nejvyšší žák z B je vyšší ež ejvyšší žák za c) Ke každému žáku z B existuje žák z A, který je meší d) Každý žák z A je meší ež alespoň jede žák z B e) průměrá výška žáků z B je větší ež průměrá výška žáků z A Jsou ěkteré z těchto výroků ekvivaletí? Které? c) d) 7 Formulujte předpoklad a tvrzeí v ásledujících větách a) Souči dvou po sobě jdoucích sudých čísel je dělitelý osmi Předpoklad: Souči dvou po sobě jdoucích čísel Tvrzeí: Je dělitelý osmi b) Součet a rozdíl čtverců dvou po sobě jdoucích přirozeých čísel je vždy lichý, jejich souči vždy sudý a dělitelý čtyřmi Předpoklad: Součet a rozdíl čtverců dvou po sobě jdoucích přirozeých čísel Tvrzeí: Je vždy lichý, jejich souči je vždy sudý a dělitelý čtyřmi 8 Vyslovte egaci ásledujících výroků a) Všechy koeficiety jsou rovy ule Alespoň jede koeficiet ke eulový b) Všechy kořey rovice jsou reálé Alespoň jede koře rovice eí reálý c) 4 < 4
9 K daým větám vyslovte věty obráceé a) Úhlopříčky kosočtverce půlí jeho úhly Čtyřúhelík, jehož úhlopříčky půlí jeho úhly, je kosočtverec b) Je-li číslo dělitelé devíti, je jeho ciferý součet dělitelý devíti Je-li ciferý součet čísla dělitelý devíti, je číslo dělitelé devíti 0 Vyslovte ásledující věty ve tvaru uté a postačující podmíky a) Rovostraý trojúhelík má vitří úhly stejé Trojúhelík je rovostraý právě tehdy, má-li vitří úhly stejé Nebo: Rovost stra trojúhelíka je utou a postačující podmíkou pro to, aby jeho vitří úhly byly stejé b) Jede z kořeů kvadratické rovice ax + bx + c 0, a 0, je ulový Rovice ax + bx + c 0, a 0 má alespoň jede kože ulový právě když c 0 c) V rovoběžíku se úhlopříčky avzájem půlí Ve čtyřúhelíku se úhlopříčky půlí právě tehdy, jde-li o rovoběžík V ásledujících větách doplňte vyechaý text slovy je uté, stačí, je uté a stačí tak, aby byly pravdivé a) Aby součet dvou přirozeých čísel byl dělitelý dvěma,, aby každý sčítaec byl dělitelý dvěma stačí b) Aby mohočle ax + bx + c, a 0 byl dělitelý dvojčleem x α),, aby číslo α bylo ulovým bodem tohoto mohočleu je uté a stačí c) Aby celé číslo bylo dělitelé stem,, aby bylo dělitelé deseti je uté d) Aby celé číslo bylo dělitelé stem,, aby bylo dělitelé tisícem stačí Určete všecha N, pro ěž z výroků A : je dělitelé 7, B : je dělitelé 7, C : 4 60 + 8099 < 0 jsou právě dva pravdivé 45 ; ukažte, že je-li dělitelé 7, pak eí dělitelé 7 Určete všecha x R, aby právě jede z výroků A : x je celé, B : x x je celé záporé, C : x + je celé kladé, x { } byl epravdivý x ; + 5 ; 5 4 Napište ásledující výroky pomocí kvatifikátorů a určete, zda jsou pravdivé a) K libovolému reálému číslu y existuje reálé číslo x tak, že platí x + y < y R x R : x + y < ; pravdivý b) Pro libovolé reálé číslo y platí y )y + ) < y y R : y )y + ) < y ; pravdivý c) Pro jakékoliv reálé číslo x platí x 6x + 5 > 0 x R : x 6x + 5 > 0 ; pravdivý d) Existují reálá čísla x taková, že platí x 4 x R : x 4 ; pravdivý 4
e) Existují reálá čísla x taková, že platí logx ) logx ) logx + ) x R : logx ) logx ) logx + ) ; epravdivý 5 Dokažte sporem ásledující věty a) Rovice ax b, a 0 má jedié řešeí b) Rovice a + x b má jedié řešeí c) 7 je číslo iracioálí d) Rovice x + 0 emá reálé kořey 6 Dokažte, že pro každé N a x > platí + x) + x, Beroulliova erovost ) Důkaz: K důkazu použijeme matematickou idukci Pro tvrzeí zřejmě platí Předpokládejme, že + x) + x Jestliže tuto erovost vyásobíme výrazem + x > 0, dostaeme + x) + + x) + x) + + )x + x + + )x a důkaz je dokoče 7 Necht jsou x, x, x N) jsou kladá čísla taková, že x x x Potom je x + x + + x Důkaz: Tvrzeí budeme dokazovat opět matematickou idukcí Je-li, je x, tedy x a tvrzeí platí Předpokládejme, že tvrzeí platí pro a uvažme možiu čísel {x, x,, x, x + } Jestliže jsou všecha čísla rova, je x + x + + x + x + + a tvrzeí platí Jestliže existuje jedo z těchto čísel, které je meší ež, musí existovat jié číslo, které je větší ež Je totiž x x x x + Necht apř x <, x + > Uvážíme-li skupiu čísel x, x,, x, x x +, je jejich souči rove a podle idukčího předpokladu platí x + x + + x + x x + Přičteme-li k oběma straám této erovosti x +x + a souči x x + převedem a pravou strau, dostaeme x + x + + x + x + + x + x + x x + + + x + x ) + x + + x )x + ) + 5
8 Jsou-li x, x,, x libovolá kladá čísla, N, potom platí x + x + + x x x x Aritmetický průměr je vždy větší ebo rove geometrickému průměru Důkaz: Uvažme čísel x x x x, x x x x,, x x x x Všecha tato čísla jsou kladá a jejich souči je rove Podle předchozího příkladu je tedy x x x x + x x x x + + x x x x a odtud plye, že x + x + + x x x x 9 Metodou matematické idukce dokažte, že pro libovolé přirozeé platí a) + + + +)+) 6 ; b) + + + + + + ) + ) ; c) + + 4 + + + ) + ) + ) ; d) + 5 + 5 7 + + )+) e) + + + + ; + ; f) + + + ) 4 ) ; g) ) ) 4) 9 +) + + ; h) + + + + + > 4, > ; i) < + + + <, > ; j) a + b) ) 0 a b 0 + ) a b + + ) a 0 b ; využijte vlastosti kombiačích čísel k ) + k+ ) + ) k) + + + + + + > ; ukažte, že + + + + +4 + > 0 l) 7 je dělitelé 7 ; ukažte, že kombiačí čísla 7 ), 7 ), 7 ), 7 ) 4, 7 ) 5, 7 6) jsou všecha dělitelá 7 m) Pro > dekadický zápis + kočí číslicí 7 ; dokažte, že číslo 6 je dělitelé 0 ) 4 < +, > ; + ukažte, že platí + < k+ + +4 o) < + + + <, > ; ukažte, že platí + < + < + ) 6
p) Bud te x i 0 pro i,,,, x + x + + x Potom je 0 Dokažte, že pro x kπ, k Z a N platí a) x ) x ) x ) ; + si x + cos x + cos x + + cos x si ; x b) si x + si x + + si x c) si x + si x + + si x využijte vztahu x x + x ) x + ) +) si x si+)x 4 si x + si x si si x x Možiy a jejich zobrazeí Bud te Y, X λ, λ Λ) možiy Ukažte, že platí Y λ Λ X λ Y X λ ) ; Y λ Λ λ Λ ; X λ λ ΛY X λ ) De Morgaova pravidla Důkaz: a) Necht x Y X λ Potom je x Y, x / X λ, tedy x / X λ pro λ Λ Odtud λ Λ λ Λ plye, že x Y X λ pro λ Λ, tedy x λ Λ Y X λ ) Tím jsme dokázali, že Y X λ X λ ) λ Λ λ ΛY b) Obráceě, bud x Y X λ ) Potom je x Y X λ pro λ Λ, tedy x / X λ pro λ Λ λ Λ a také x / X λ Neboli x Y X λ a platí, že λ Λ λ Λ X λ ) Y λ ΛY X λ λ Λ c) Aalogicky echt x Y X λ Potom x Y, x / X λ, tedy λ 0 Λ, tak, že λ Λ λ Λ x / X λ0, eboli x Y X λ0 a x Y X λ ) Dostáváme, že λ Λ Y X λ X λ ) λ Λ λ ΛY d) Obráceě pro x Y X λ ) λ 0 Λ tak, že x Y X λ0, eboli x Y, x / X λ0 λ Λ a tedy x / X λ Následě x Y X λ a platí ikluse λ Λ λ Λ X λ ) Y λ ΛY X λ λ Λ 7
Pozámky: i) Důkaz de Morgaových pravidel je založe a vlastosti moži A B A B B A Tohoto postupu budeme využívat v dalším velmi často, pokud se budeme chtít přesvědčit, že dvě možiy jsou si rovy ii) Možia Λ, které budeme říkat často idexová možia, může být libovolá, apř iterval 0, ) Většiou však bude bud Λ N ebo Λ N Ukažte, že platí λ Λ A λ λ Λ B λ λ ΛA λ B λ ) λ Λ A λ λ Λ Najděte možiy A λ a B λ tak, že ikde eplatí rovost Důkaz: Bud x λ Λ A λ λ Λ B λ Potom je x λ Λ A λ, x / λ Λ B λ B λ, tedy evistuje idex λ 0 tak, že x A λ0, x / B λ0 Je dokoce x / B λ λ Λ ) Odtud plye, že x A λ0 B λ0, tedy x A λ B λ ) a prvá ikluse je dokázáa λ Λ Bud x A λ B λ ) Potom existuje λ 0 tak že x A λ0 B λ0, tedy x A λ0, x / B λ0 λ Λ Tudíž x A λ, x / B λ a druhá ikluse platí Bud Potom je k λ Λ λ Λ A k B k, k A 0,, A,, A k pro k, B 0,, B,, B k pro k A k B k ) k,, A k B k 0, k k Ověřte rovost moži A {, 5} ; B {x R ; x + 4x 5 0} 4 Určete, zda M N, jestliže a) M je možia všech rovostraých trojúhejíků, N je možia všech rovorameých trojúhelíků Ao b) M je možia všech celých čísel, N je možia všech lichých čísel Ne 5 Bud A {x N ; x } Najděte všechy vlastí a evlastí podmožiy A Vlastí podmožiy : {}, {}, {}, {, }, {, }, {, } ; evlastí podmožiy :, {,, } A 6 Najděte možiu B všech podmoži možiy A {, } B {,,, {, }} 7 Najděte sjedoceí, průik a rozdíl ásledujících moži a) A {,, 4, 6, 9}, B {, 4, 5, 8, 0} ; A B {,,, 4, 5, 6, 8, 9, 0}, A B {4}, A B {,, 6, 9}, B A {, 5, 8, 0} 8
b) A 4, 8), B, 4 ;, 8),, 4, 8),, 4 c) A, 7, B 5, 6 ;, 7, 5, 6,, 5) 6, 7), d) A je možia všech sudých čísel, B je možia všech lichých čísel Z,, A, B 8 A je možia všech sudých čísel, B je možia všech lichých čísel, které ejsou dělitelé třemi, C je možia všech čísel, dělitelých třemi Najděte možiy A B, A C, A B C, A C A B; možia celých čísel, kromě lichých ásobků tří A C; možia všech celých čísel, kromě lichých, edělitelých třemi, A B C; možia všech celých čísel A C; možia všech čísel dělitelých šesti 9 A je možia všech čtyřúhelíků, B možia všech pravidelých úhelíků Najděte možiy A B a B A A B: možia všech čtyřúhelíků, které ejsou čtverce, B A: možia všech pravidelých úhelíků, které ejsou čtverce 0 Najděte možiy, které tvoří všecha řešeí ásledujících rovic a) cos πx Určete průik a sjedoceí těchto moži 0 ; b) si πx 0 a) možia všech lichých čísel ; b) možia všech celých čísel průik je možia všech lichých čísel, sjedoceí možia všech celých čísel Bud te X a Y dvě možiy Možiu X, Y ) X Y X Y ) Y X) azýváme symetrickou diferecí moži X a Y Ukažte, že platí a) X Y X Y Y X Y X ; b) X Z Y Z X Y Z ; c) Z X Z Y Z X Y ; d) X Y Z) X Y ) Z ; e) X Y Z) X Y ) Z ; f) X Y Z) X Y ) X Z) ; g) Je-li M X, pak X X M) M ; h) X X Y ) X Y ) ; i) X Y X Y X) ; j) X Y X Y ) Y X) X Y ) ; k) X Y ) Z X Z) Y Y Z ; l) X Y X Y X Y ; m) X Y X Y ; ) X Y X Y ; o) X Y Z) X Y ) Z ; p) X X Y ) X Y ; 9
q) X Y ) Z X Z) Y Z) Návod: Při důkazech využijte vlastosti X Y X Y Y X Ukažte příklady moži, pro ěž platí a) A B A B) Kdy platí rovost? A 0,, B, ) ; B A b) A B D, ale A B D Kdy platí rovost? B 0, ), D, ) ; B D c) D A B E), D A B) E Kdy platí rovost? A 0, ), B, ), E, ) ; A E d) A A ) B B ) A B ) A B ) Jaký vztah platí? A 0, ), A 4, 6), B, ), B 0, 4) ; A A ) B B ) A B ) A B ) Určete vzájemý vztah moži X a Y tj X Y, X Y, Y X) je-li a) X A B C), Y A B) A C) ; X Y b) X A B) C, Y A C) B C) ; X Y c) X A B C), Y A B) A C) X Y 4 Najděte možiy k A k, k B k, k C k, k D k, je-li A k 0,, B k 0, ), C k 0,, D k 0, ) k k k k A k 0, ), B k 0, ), C k {0}, D k k k k k ) 5 Ukažte, že A k, B k A k, B k ) Využijte příkladu k k k 6 Necht A, A, A, jsou možiy Ukažte, že A A k Je-li A A A, pak Je-li A A A, pak Návod: Ukažte, že k počet moži, zatímco Pozámka: Možiu lim A, možiu platí lim k k k k k A k A k k k k A k A A k A A k A A k je možia takových x, která leží ve všech A až a koečý k A k jsou takové prvky, které leží v ekoečě moha A A k azýváme dolí limitou poslouposti moži a začíme A k horí limitou poslouposti moži a začíme lim A Jestliže A lim A, řekeme, že posloupost moži má limitu a ozačíme ji lim A 0
7 Necht A C, B D Ukažte, že A B A D) C B) Důkaz: a) Poěvadž platí A B A D, A B C B, je i A B A D) C B) b) Necht obráceě a, b) A D) C B) Potom je a, b) A D a zároveň a, b) C B Tedy a A, b B, eboli a, b) A B a platí A D) C B) A B 8 Najděte možiy A B a B A, jestliže a) A {x N ; < x < 4}, B {x N ; x 4 0} ; A B {, ),, )} ; B A {, ),, )} b) A {, 4, 5}, B {a, b} A B {, a),, b), 4, a), 4, b), 5, a), 5, b)} ; B A {a, ), a, 4), a, 5)b, ), b, 4), b, 5)} c) A N, B A B B A 9 Ukažte, že platí a) A B A B ; b) A B X Y A X B Y ; c) A Y ) B Y ) A B) Y ; d) X Y ) A B) X A) Y B) Návod: Využijte postupu z příkladu 7 0 Bud f : X Y, A, B X Ukažte, že fa B) fa) fb) Je-li f prosté zobrazeí, je dokoce fa B) fa) fb) Důkaz: a) Necht y fa B) Potom existuje x A B tak, že y fx) Je tedy y fa) a zároveň y fb), eboli y fa) fb) b) Obráceě předpokládejme, že f je prosté a bud y fa) fb) Potom existují x A, x B tak, že y fx ) fx ) Poěvadž je f prosté, musí platit x x A B eboli y fa B) Bud f : X Y, A, B X Ukažte, že fa) fb) fa B) Na příkladu ukažte, že fa) fb) fa B) Důkaz: Bud y fa) fb) Potom je y fa), y / fb) Existuje tedy x A tak, že y fx), ale x / B Odtud plye, že x A B, eboli y fa B) Stačí zvolit apř f : x x, A,, B, 0 Potom je fa B) 0,, fa) fb)
Bud f : X Y zobrazeí Ukažte, že platí a) A B X fa) fb) ; b) A, B X fa B) fa) fb) ; c) A, B Y f A B) f A) f B) ; d) A, B Y f A B) f A) f B) ; e) A, B Y f A B) f A) f B) Návod: Vyjděte z defiice příslušých moži a užijte metody příkladu 0 Bud f : X Y zobrazeí, A X, B Y podmožiy Najděte fa) a f B), je-li a) X Y R, f : x x, A {, 0,,, }, B {, 4} ; fa) {0,, 4, 9}, f B) {,,, } b) X N, Y R, f : x x, A {,, 0}, B {, 7, 9} ; fa) {, 9, 00}, f B) {} c) X Y R, f : x si x, A 0, π, B { } ; fa) 0,, f B) { π 6 + kπ, k Z} { 5π 6 + kπ, k Z} d) X Y R, f : x +x, A 0, + ), B, 0) 0, ; 4 Bud f : X Y zobrazeí Potom je f prosté právě když fa B) fa) fb) pro všechy podmožiy B A X Důkaz: Podle příkladu je fa B) fa) fb) Necht je yí f prosté zobrazeí a y fa B) Potom existuje x A B tak, že y fx) Poěvadž x A, x / B, musí být y fa), y / fb), f je prosté) Tedy y fa) fb), eboli fa B) fa) fb) Jestliže f eí prosté, existují x, x X, x x tak, že fx ) fx ) y Y Položme A {x, x }, B {x } Potom fa B) {y }, fa) fb), B A X 5 Ukažte, že ásledující tvrzeí jsou ekvivaletí a) f : X Y je prosté zobrazeí ; b) f fa)) A pro A X ; c) fa B) fa) fb) pro A, B X ; d) Je-li A B, potom fa) fb) pro A, B X ; e) Pro libovolou dvojici B A X je fa B) fa) fb) Návod: Dokažte řadu implikací a) b) c) d) e) a) Užijte metody z příkladů 0,, 4 6 Najděte příklady zobrazeí f : X Y a podmožiy A X, pro ěž a) fx A) Y fa) ; fx) x, X 0,, Y R, A X libovolá možia
b) fx A) Y fa) ; fx) x, X,, Y 0,, A X libovolá podmožia c) ai jeda z moži fx A) a Y fa) eí podmožiou druhé fx) x, X,, Y R, A 0, ; potom fx A) 0,, fa) 0,, Y fa), 0), + ) Pozámka: Platí dokoce ásledující tvrzeí Je-li f : X Y zobrazeí, pak je f prosté právě když pro libovolou možiu A X je fx A) Y fa) f je zobrazeí X a Y právě když pro libovolou možiu A X je fx A) Y fa) 7 Bud te X, Y, Z možiy, f : X Y, g : Y Z, h : Z X zobrazeí Jsou-li mezi zobrazeími h g f, g f h, f h g dvě zobrazeí a a třetí prosté ebo dvě prostá a třetí a, pak jsou všecha tři zobrazeí prostá zobrazeí a Dokažte Důkaz: Ozačme F h g f, G f h g, H g f h Zřejmě platí ásledující implikace α) Je-li F prosté, je f prosté β) Je-li F a, je h a γ) Je-li F a a h bijekce, je h F a δ) Je-li H prosté a h bijekce, pak H h je prosté a) Necht apř F a G jsou zobrazeí a a H je prosté Poěvadž F je zobrazeí a, je podle vlastosti β) zobrazeí h také a Dále H je prosté, tedy podle vlastosti α) je h také prosté Odtud plye, že h a tedy i h jsou bijekce Dále je F zobrazeí a a tedy také zobrazeí h F g f je a H je prosté zobrazeí a podle δ) je prosté i zobrazeí H h g f Tedy g f je bijekce Vzhledem k tomu, že G je zobrazeí a, je podle bodu β) zobrazeí f také a g f je prosté zobrazeí, tedy i f je prosté, eboli je to bijekce Koečě g g f) f je jako složeí dvou bijekcí také bijekce b) Necht F je zobrazeí a G a H jsou prostá Podle bodu a) je h bijekce a stejě tak i g f Poěvadž je G prosté zobrazeí, je také g prosté a poěvadž g f je bijekce, plye odtud, že g je zobrazeí a, eboli bijekce Vzhledem k tomu, že f g g f), je také f bijekce 8 Bud A {a, a,, a } koečá možia o prvcích 0 celé) Ozačme A systém všech podmoži možiy A Potom je m A) Důkaz: Systém A obsahuje prázdou možiu a podmožiy o jedom, dvou, až prvcích Počet všech podmoži o k prvcích 0 k ) je k), tedy m A) ) ) ) + + + + ) 0 Pozámka: Ozačeí A expa) pro systém všech podmoži možiy A se používá pro libovolou možiu A Číslice je vlastě zkratka pro dvouprvkovou možiu, apř {0, } Obecě B A ozačuje možiu všech zobrazeí f : A B Každé zobrazeí f : A {0, } charakterizuje libovolou podmožiu M A : x M fx) Takovou fukci f azýváme charakteristickou fukcí možiy M
9 Každá podmožia spočeté možiy je koečá ebo spočeté Důkaz: Bud A spočetá možia, B A podmožia Je-li B koečá, je tvrzeí zřejmé Necht je tedy B ekoečá Poěvadž A je spočetá, lze její prvky apsat ve tvaru ekoečé poslouposti A {a, a, a, } Postupujeme yí v této poslouposti tak daleko, až arazíme a prvý prvek možiy B, třeba a k B Stejým postupem získáme idex k > k tak, že a k B Tím dostaeme posloupost {a k, a k, }, která obsahuje všechy prvky možiy B a B je tedy spočetá 0 Každá ekoečá možia obsahuje ekoečou spočetou podmožiu Důkaz: Bud A ekoečá možia a zvolme prvek a A Poěvadž je možia A {a } opět ekoečá, lze zvolit prvek a A {a } Obecě prvek a zvolíme libovolě v možiě A {a, a,, a } která je opět ekoečá) Tím způsobem dostaeme posloupost {a, a, }, která tvoří spočetou podmožiu A Pozámka: Předchozí tvrzeí je zjedodušeá formulace tzv axiomu výběru Bud {A λ ; λ Λ} systém po dvou disjuktích eprázdých moži, A A λ Pak existuje zobrazeí f : Λ A tak, že fλ) A pro každé λ Λ Axiom výběru zaručuje možost výběru reprezetata možiy A λ Specielě v případech, kdy prvky možiy A jsou opět ějaké možiy, je třeba axiomaticky zaručit možost výběru reprezetata Jsou-li A, B spočeté možiy, pak A B je také spočetá λ Λ Důkaz: Je-li A {a, a, }, B {b, b, }, pak A B můžeme zapsat do schematu a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), Tyto prvky lze zapsat do poslouposti apř) a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a, b ), a 4, b ), a odtud plye, že A B je spočetá mořia Je-li A ekoečá možia, B spočetá ebo koečá možia, pak jsou možiy A B a A ekvivaletí tedy mají stejou mohutost) Důkaz: Platí A B A B A), kde sjedoceí vpravo je disjuktí a podle příkladu 9 je možia B A koečá ebo spočetá Podle příkladu 0 existuje spočetá možia C A a tedy A A C) C, A B A C) C B A) Možia C C A) je spočetá a tedy ekvivaletí s C Jestliže yí přiřadíme každý prvek A C sám sobě, dostáváme požadovaé bijektiví zobrazeí A a A B Bud Ω {a ; a : N {0, }} možia všech posloupostí ul a jediček Potom je Ω espočetá možia 4
Důkaz: Důkaz provedeme sporem Předpokládejme, že prvky Ω lze uspořádat do poslouposti apř a ) {a ), a), a), } a ) {a ), a), a), } a ) {a ), a), a), } Bud b {b } defiováa vztahem b a ) Potom je b Ω, b a ) N, což je spor Pozámka: Metoda důkazu se azývá Catotova diagoalizačí metoda Dokázali jsme tedy, N expn) je espočetá Obecě je mohutost expa) větší ež mohutost A pro každou možiu A 4 Bud Ω 0 {a Ω : a) 0 pro všecha N s výjimkou koečě moha } Potom je Ω 0 spočetá možia Důkaz: Bud N a echt A {a Ω ; ak) 0 pro k > } Podle příkladu 8 je ma ) Protože možia Ω 0 A A A + A ) je sjedoceí disjuktích koečých moži, lze prvky Ω 0 uspořádat do poslouposti, tj Ω 0 je spočetá možia Pozámka: Aalogicky dostaeme, že Ω {a Ω ; a) až a koečý počet idexů} je spočetá možia Tedy Ω Ω 0 Ω Ω, kde pouze Ω {a Ω ; k N 0, N : 0 > k > k a 0 ) 0 a ) } je espočetá Možiově řečeo: systém všech koečých moži a moži s koečým doplňkem v expn) je spočetý Systém všech podmoži N, které jsou ekoečé a mají ekoečý doplěk, je espočetý 5 Ukažte, že jsou ásledující možiy X a Y ekvivaletí a ajděte příslušé bijektiví zobrazeí X a Y a) X N, Y je možia vřech sudých kladých čísel; f) b) X N, Y Z ; f) pro sudé, f) pro liché c) X 0, ), Y a, b), a < b) ; fx) a + b a)x d) X 0, ), Y R ; fx) tg x ) π e) X R, Y 0, + ) ; fx) e x f) X 0, + ), Y a, + ), a R ; fx) x + a g) X 0,, Y 0, ) ; f0) 0, fx) + + x, x +,, N ; akreslete si graf) ; ) + ; srovejte s důkazem cvičeí ebo fx) x, x 0, { ; N}, f 5
6 Ukažte, že všechy itervaly mají stejou mohutost omezeé i eomezeé) Tato mohutost se azývá mohutost kotiua Návod: Užijte výsledky předchozího cvičeí 7 Ukažte, že možia Q všech racioálích čísel je spočetá Návod: Ukažte, že Q M 0, kde M 0 Z N a použijte cvičeí 9 a 8 Necht pro všecha N je A ejvýše spočetá možia Potom je A ejvýše spočetá možia Dokažte Návod: Jsou-li A ekoečé, uspořádejte je do schématu jako v příkladu Reálá a komplexí čísla Ozačeí: Zavedeme zkráceé ozačeí součtů a součiů ásledujícími předpisy: a + a + + a a j, a a a j a defiujeme tzv prázdý součet a souči předpisem Ukažte, že platí 0 j a j 0, k a k 0 a k k A také j a ij a ij ; j i i ji j a ij a ij j i i ji Řešeí: Je j a ij a j + a j + + a jj ) a + a + a ) + a + a + a ) + + j i j +a + a + + a ) a + a + + a ) + a + a + + a ) + + +a, + a, ) + a a ii + a i,i+ + + a i ) a ij Aalogicky provedeme důkaz pro souči i i ji Pozámka: Uvedeý postup je poěkud dlouhý a těžkopádý Daou rovost je však možo ověřit okamžitě, jestliže situaci zázoríme graficky viz obrázek Jestliže zaměíme daé sumace, je okamžitě vidět, že i probíhá od do a j probíhá od i do Aalogicky provedeme tvrzeí pro součiy Tohoto postupu bude později běžě používáo v souvislosti s výpočtem dvojých itegrálů 6
Bud te r,,,, r přirozeá čísla Ukažte, že platí r j j i a j) i Zobecěí distributivího zákoa) i i r i r a ) i a ) i a r) i r Důkaz: Důkaz provedeme idukcí podle r Pro r vzorec platí Podle distributivího zákoa je c a i ca i Předpokládejme yí, že daý vzorec platí pro r a dokážeme i i jeho platost pro r + Položme potom i i i j r+ j i c i r i r a j) i c r i r a ) i a ) i r j j i a j) i c c r+ i a r+) i ; i i a ) i a ) i a r) i r a r) i r r+ i r+ i i a r+) i r+ r i r i i a ) i a ) i a r) i r r i r a ) i a ) i a r) i r c r+ i r+ a ) i a ) i a r+) i r+ 4 Ukažte, že platí a) a a ; j b) c a k c) k k k a k k0 c a k ; a k ; i0 a i + i a i+ ; m ) ) d) a i b j m a i b j m a i b j ; i j i j j i m e) a ij m a ij ; f) g) h) i) j) i j a a ; i j i r ) a i r a i ; i i r a k k kl+ i a a k r k k ; r kl+ r i +) ; a k+r ; užijte idetity i i + i + ) i i i 7
k) k0 l) a + b) m) a b) q k q+ q, q ; k0 k0 ) k a k b k ; ) k k) a k b k užijte idetity q ) k0 q k + k q k q k k0 5 Ukažte, že pro libovolou dvojici reálých čísel a, b a < b) existuje racioálí číslo c tak, že a < c < b Důkaz: Předpokládejme, že 0 < a < b a echt a a 0, a a a, b b 0, b b b Je-li ěkteré z těchto čísel racioálí s periodou 9, zapíšeme je ve tvaru rozvoje s periodou 0 Poěvadž je a < b, existuje celé ezáporé číslo tak, že a k b k pro k 0,,,, a a < b Poěvadž dále 9 eí periodou čísla a, existuje takové přirozeé číslo i >, že a i 9 Uvažme yí racioálí číslo c c 0, c c c i, kde c k a k pro k 0,,, i, c i a i + Je zřejmé, že c > a, je však také c < b, poěvadž c a < b 6 Ukažte, že pro libovolou dvojici reálých čísel a, b a < b) existuje iracioálí číslo α tak, že a < α < b Důkaz: Uvažujme racioálí číslo c z předchozího příkladu a sestrojme číslo α c 0, c c c i 000000000000000000000 Teto desetiý rozvoj je eperiodický a tedy α je iracioálí číslo Z předchozího příkladu je též zřejmé, že a < α < b 7 Komplexí číslo α se azývá algebraické, je-li kořeem eulového polyomu s celočíselými koeficiety, tj když existuje P Zx, P 0, tak, že P α) 0 Komplexí číslo, které eí algebraické, se azývá trascedetí Ukažte, že možia všech algebraických čísel je spočetá Důkaz: Bud N, P možia všech polyomů s celočíselými koeficiety stupě ejvýše tého Potom je P Z Z Z }{{} + + krát a podle příkladu je P spočetá Podle příkladu 8 je spočetá i možia Zx P Každý eulový polyom z P má v oboru komplexích čísel C ejvýše kořeů Tedy možia všech algebraických čísel jako spočeté sjedoceí koečých moži je zovu podle příkladu 8) ejvýše spočetá Protože eí koečá, je spočetá Pozámka: Algebraická jsou samozřejmě všecha racioálí čísla Je-li r p q racioálí, pak má příslušá algebraická rovice tvar qx p 0 Algebraická jsou však také všechy 8
odmociy z přirozeého čísla, apř x 0), x 0) apod Další algebraická čísla můžeme získat sčítáím výše uvedeých Třeba je opět algebraické s odpovídající algebraickou rovicí x 4 0x + 0 Čísla π a e základ přirozeých logaritmů) jsou trascedetí Důkaz tohoto tvrzeí je však začě komplikovaý a přesahuje rámec tohoto textu Nicméě stojí za povšimutí, že právě možia všech trascedetích iracioálích čísel je espočetá, jak ukážeme v ásledujícím příkladu 9 8 Možia D {x R ; 0, a a a, kde a i {0, 9}, i N} tj možia reálých čísel z itervalu 0,, která mají desetiý rozvoj, složeý je z cifer 0 a 9) je espočetá Dokažte Důkaz: Uvědomte si, že každé x 0, má ejvýše jede dekadický zápis tvaru 0, a a a, kde a i {0, 9} Podle příkladu 8 je možia těchto zápisů espočetá a tedy je espočetá i možia D Cifru v příkladu 8 ahradíme cifrou 9) Pozámka: Bud x 0, a a a Potom a {0, 9} x 0, 9 0 0,, 9 a, a {0, 9} x 0, 00 00, 9 0 0, 9 99 00 00, Možiu D dostaeme tedy takto: z itervalu D 0 0, vypustíme prostředích osm deseti Tím dostaeme možiu D Možia D je sjedoceí disjuktích uzavřeých itervalů Možiu D + dostaeme tak, že vypustíme z každého itervalu možiy D prostředích osm deseti Potom je D D Možia D se azývá Catorovo diskotiuum Součet délek itervalů D je 5 Tedy D lze pokrýt koečým sjedoceím itervalů s libovolě malým součtem délek Říkáme, že možia D má míru 0 Necht D 0 vzike z D vypuštěím krajích bodů itervalů D Potom je možia D D 0 espočetá, poěvadž vyechaé možia bodů je spočetá 9 Možia všech reálých čísel je espočetá atd Důkaz: Důkaz provedeme sporem Kdyby R byla spočetá, pak je i možia D R z předchozího cvičeí podle příkladu 9 spočetá, což je spor 0 Rozhoděte, které z reálých čísel x, y je větší a) x, 45, y, 45 ; y b) x, 0, y, y Napište ásledující zlomky ve tvaru periodického desetiého rozvoje a) ; 0, 6 b) 0 ; 0, 55 c) 4 ; 0, 4857 d) ; 0, 8574 7 9
Zapište ásledující periodické desetié rozvoje ve tvaru zlomku a) 0, 5 ; b) 0, ; c), 4 ; + 47 8 990 Najděte pět prvých dolích a horích aproximací ásledujících čísel d) 0, 9 ; 0 a) 0 0; 0, ; 0, 4 0, 0; 0, 0, 00; 0, 0 0, 000; 0, 00 b) 0; 0, ; 0, 4 0, ; 0, 4 0, ; 0, 4 0, ; 04 c) 9 ;, ;,, ;,, ;,, ;, d) 5 8 ; 0 0, 7; 0, 6 0, 6; 0, 6 0, 66; 0, 65 0, 65; 0, 650 4 Najděte tři prvé dolí a horí aproximace ásledujících čísel a) ; ;, 4;, 5, 4;, 4 b) 5 ; ;, ;,, ;, 4 c) ; 0, ; 0, 4 0, ; 0, 0, 7; 0, 8 d) ; 0, 4; 0, 0, ; 0, 0, 8; 0, 7 e) 5 + 7 ; ;, ;,, 4;, 5 Návod: Hledejte desetiý rozvoj a 0, a a a tak, aby a 0, a a a < < a 0, a a a + ) Pro výpočet druhé odmociy je zámý algoritmus Pokud spočítáte dolí aproximaci sado ověříte všechy uvedeé výsledky 5 Ukažte, že a 0, a a a a 4 pro,, 5, 7, a) mezi dvěma růzými racioálími čísly existuje ekoečě moho racioálích čísel ; využijte toho, že pro a < b je a < a+b < b b) mezi dvěma růzými reálými čísly existuje ekoečě moho racoálích čísel ; podle příkladu 5 ajděte dvě racioálí čísla a < b s touto vlastostí a pak užijte bod a) c) mezi dvěma růzými reálými čísly existuje espočetě moho iracioálích čísel ; přesěji: možia všech takových čísel má stejou mohutost jako R ; podle je α, β) Q α, β) a podle 6 α, β) R 6 Bud te X, Y omezeé eprázdé podmožiy R a ozačme X + Y {z ; z x + y, x X, y Y } Potom je supx + Y ) sup X + sup Y ; ifx + Y ) if X + if Y Důkaz: Zvolme ε > 0 Podle defiice supréma existuje x 0 X tak, že sup X ε < x 0 a y 0 Y tak, že sup Y ε < y 0 Odtud sup X + sup Y ε < x 0 + y 0 X + Y, tedy sup X +sup Y je ejmeší horí odhad možiy X +Y, tj supx +Y ) sup X +sup Y Aalogicky dokážeme tvrzeí pro ifimum 0
7 Bud A { r Q ; r < } Najděte if A a sup A if A, sup A 8 Najděte if A a sup A ásledujících moži a) A 0, ) ; if A 0 ; sup A b) A {} ; if A mi A ; sup A + c) A { } ; if A 0 ; sup A max A } d) A { + ) ; if A mi A 0 ; sup A max A { } e) A if A mi A ; sup A k k0 0 9 Bud te A B R Ukažte, že sup A sup B, if A if B 0 Bud te X, Y R Ozačme Užijte defiice supréma a ifima X {x ; x X} ; XY {z ; z xy, x X, y Y } ; Ukažte, že platí X Y {z ; z x y,, x X, y Y } a) sup X) if X ; if X) sup X ; užijte defiice supréma a ifima b) supx Y ) sup X if Y ; ifx Y ) if X sup Y ; oba vzorce platí za předpokladu, že všechy čley a pravé straě jsou vlastí čísla ; užijte příkladu 6 Je X Y X + Y ) c) Bud te X, Y R + 0 omezeé podmožiy Potom supxy ) sup X sup Y ; ifxy ) if X if Y d) Bud te X, Y R omezeé podmožiy Ozačme užijte defiice supréma a ifima M { sup X sup Y ; sup X if Y ; if X sup Y ; if X if Y } Potom platí supxy ) max M, ifxy ) mi M ; uvažte jedotlivé možosti ; apř pro X Y, 0) je max M if X if Y, mi M sup X sup Y Bud te A, B R Ukažte, že platí a) supa B) max{sup A, sup B} ; užijte vlastosti A A B, B A B b) supa B) mi{sup A, sup B} ; a příkladu ukažte, že může platit i ostrá erovost ; užijte vztahu A B A, A B B ; uvažte apř A 0, ) {, 4}, B 0, ) {, 5} c) ifa B) mi{if A, if B} ; d) ifa B) max{if A, if B} ; a příkladu ukažte, že může platit i ostrá erovost ; uvažte apř A 0, ) {, 4}, B 0, ) {, 5}
Bud te f, g : A R zobrazeí, kde A je eprázdá možia a echt jsou možiy fa), fb) omezeé Ukažte, že if fa) + if ga) if{fa) + ga)} sup{fa) + ga)} sup fa) + sup fb) Využijte příkladu 6 Bud te a R, ε > 0 Potom erovost x a < ε platí právě když x a ε, a + ε) Důkaz: Necht x a ε, a + ε), tj a ε < x < a + ε ε < x a < ε x a < ε Pozámka: Uvedeou erovost a její ekvivaletí vyjádřeí budeme později v souvislosti s limitami posloupostí a fukcí používat velmi často 4 Ukažte, že platí a) a + b ab pro a, b R ; b) a + b ) + b + c ) + c + a ) 6abc pro a, b, c R ; c) a + b + c) 7abc pro a, b, c R ezáporá Důkaz: a) Poěvadž a b) 0 pro a, b R, dostaeme a +b ab 0, eboli a +b ab b) podle předchozího cvičeí a) platí a +b c abc, b +c a abc, c +a b abc Sečteím těchto erovostí dostaeme požadovaé tvrzeí c) Podle příkladu 8 platí a+b+c abc Jestliže tuto erovost umocíme a třetí a vyásobíme 7, dostaeme aše tvrzeí 5 Ukažte, že platí a) a b a + b a + b pro a, b R ; k důkazu erovosti využijte vztah a a, a a Pro důkaz erovosti použijte erovost a výraz a a + b b b) x + x k x x k, x, x k R ; k k použijte předchozí příklad a tvrzeí x k x k c) + x k ) + x k, x k 0, k,,, Rozepište daý souči k k 6 Řešte ásledující erovice a) x x > 0 ; x, ) < ; x, ), + ) ) c) x 4)x + ) + x) x)x x + ) > 0 ; x,, 4) d) x < ; x, ) b) x 5 x+ k k
e) x + 0 ; x, 8, + ) ) f) 4x + > 4x + x 7 ; x, 5, 5) 5 g) x x) < 0, 05 ; x ) 0 0, 5 5 5+ 0 ) 5 0, 5+ 0 0 7 Ukažte, že libovolá espočetá podmožia R obsahuje omezeou espočetou možiu Ukažte příklad spočeté možiy takové, že každá její omezeá podmožia je koečá Řešeí: Je-li A daá espočetá možia, pak A A, kde A A,,,, Každá možia A je omezeá Kdyby byly všechy možiy A spočeté, musí být i A spočetá, což je spor Ohledě druhého případu stačí vzít možiu N všech přirozeých čísel 8 Bud a, b,,, systém do sebe vořeých itervalů Ukažte, že a, b a je to bod ebo uzavřeý iterval Důkaz: Možia A {a ; N} je eprázdá a shora omezeá apř b ) Tedy podle věty o suprému existuje sup A a Možia B {b ; N} je eprázdá a zdola omezeá, tedy existuje if B b Bud te i, j N, i j Potom a i a j b j b i a tedy a i b j a a j b i Odtud plye, že pro všecha i, j N platí a i b j a tedy a i b i N a ásledě a b Bud x R takové, že a x b Potom N platí a a x b b, tj x a, b Je-li x < a, pak existuje k N tak, že a k > x ; je-li x > b, existuje l N tak, že b l < x Neboli, jeli x < a ebo x > b, pak x / a, b Platí tedy a, b {x R ; a x b}, což je jedoprvková možia pro a b, ebo iterval a, b, je-li a < b 9 Ukažte, že pro libovolá dvě čísla x, y R, x y existují jejich okolí, která jsou disjuktí Volte Ux; ε) a Uy; ε) tak, že ε < x y 0 Najděte systém do sebe vořeých itervalů tak, aby a) jejich průik byl prázdý ; b) jejich průik obsahoval právě jede bod ; c) jejich průik obsahoval iterval a, b ) 0, ) a, b ) 0, ) a, b, +
Bud te α, β libovolá komplexí čísla Ukažte, že platí a) α β α β ; b) α β α + β α + β Důkaz: Necht α a + a i, β b + b i a) Potom α β a b a b + ia b + a b ) a tedy α β a b a b ) + a b + a b ) a + a b + b α β b) Podle cvičeí 4a) platí a b + a b a a b b a tedy eboli a b + a b + a b + a b a b + a b + a b + a b a b + a b + a a b b, a + a )b + b ) a b + a b ) Po odmocěí dostaeme a + a )b + b ) a b + a b a b + a b Cauchyova erovost v R ) a odtud a + a + b + b + a + a )b + b ) a + a + b + b + a b + a b ) Po přepsáí dostáváme dále a + a + b + b ) a + b ) + a + b ), eboli α + β a + a + b + b a + b ) + a + b ) α + β Mikowského erovost v R ) Využitím této erovosti dostaeme α α + β β α + β + β α + β + β, tedy α β α + β Aalogicky β α + β + α, tedy platí též β α α + β Z těchto dvou erovostí plye prvá erovost v b) Bud te α, β libovolá komplexí čísla Ukažte, že platí a) α + β α + β, α β α β ; b) α β α β ; ) c) α pro β 0 β α β Návod: Užijte defiici komplexě sdružeého čísla 4
Řešte rovici + i)x + 5i)y i pro reálá x, y 4 Řešte v komplexím oboru ásledující kvadratické rovice x 4, y 5 a) x + i)x + + 7i) 0 ; x i, x + i b) x i)x + 5 5i) 0 x + i, x i Návod: Užijte vzorce pro výpočet kořeů kvadratické rovice 5 Ozačeí: Bud ϕ R Komplexí jedotku cos ϕ + i si ϕ začíme také e iϕ Vztah e iϕ cos ϕ + i si ϕ je tzv Eulerova idetita Později pomocí fukčích řad) dokážeme, že fukce e z je defiováa pro všecha z C a že platí tato idetita Pomocí Eulerovy idetity si sado zapamatujeme Moivreovu větu: cos ϕ + i si ϕ) e iϕ) e iϕ cos ϕ + i si ϕ 6 Ukažte, že cos ϕ eiϕ + e iϕ, si ϕ eiϕ e iϕ i Důkaz: Je e iϕ cos ϕ + i si ϕ a tedy e iϕ cos ϕ) + i si ϕ) cos ϕ i si ϕ Sečteím a odečteím těchto idetit dostáváme příslušé vzorce 7 Vypočtěte mociy ásledujících komplexích čísel a) + i) 5 ; + i) ) 0 b) ; 9 i ) +i i c) +i ) 5 d) i) 0 i + i ) 5 +i) ; 64 0 ) 0 ) 0 8 Řešte ásledující biomické rovice a) z i 0 ; i ; +i ; +i b) z 4 + 4 0 ; + i ; i ; + i ; i c) z 6 + 7 0 ; i ; i ; +i ; i ; +i ; +i 9 Vyjádřete cos x a si x pomocí moci cos x a si x Řešeí: Je cos x + i si x cos x + i si x) ) i k cos k x si k x k k0 5
Srováím reálých a imagiárích částí dostaeme ) ) cos x cos x cos x si x + cos 4 x si 4 x + + R, 4 si x ) cos x si x ) cos x si x + + S, kde posledí čley R a S závisí a tom, zda je sudé ebo liché Pro sudé je pro liché platí R ) si x, S ) cos x si x, R ) cos x si x, S ) si x Pozámka: Pro,,, 4, 5, 6, dostaeme cos x cos x si x, si x si x cos x ; cos x cos x cos x si x, si x cos x si x si x ; cos 4x cos 4 x 6 cos x si x+si 4 x, si 4x 4 cos x si x 4 cos x si x ; cos 5x cos 5 x 0 cos x si x + 5 cos x si 4 x, si 5x 5 cos 4 x si x 0 cos x si x + si 5 x ; cos 6x cos 6 x 5 cos 4 x si x + 5 cos x si 4 x si 6 x, si 6x 6 cos 5 x si x 0 cos x si x + 6 cos x si 5 x 40 Vypočítejte cos x, si x, cos 4 x, si 4 x pomocí cos kx a si kx Řešeí: cos x 4 cos x + cos x), si x 4 si x si x) cos 4 x 8 cos 4x + 4 cos x + ), si4 x 8 cos 4x 4 cos x + ) Užijte příkladu 6 6
Kapitola Poslouposti Základí vlastosti posloupostí Najděte předpis pro tý čle poslouposti {x }, je-li a) x a, x + + x +, N, a R je daé číslo ; b) x + ax + b, N, x, a, b R jsou daá čísla ; c) x A, x B, ax + + bx + + cx 0, N, a, b, c, A, B R, a 0 b jsou daá čísla Řešeí: a) Jestliže si apíšeme ěkolik prvých čleů poslouposti {x }, zjistíme, že x a + aα + β ) a + ), x aα + β ), aα + β a + aα + β 4a + ) 4aα + β ) 54a + 6) x 4, x 5 4a + 6 aα 4 + β 4 8a + 8 aα 4 + β 4 ), aα 5 + β 5 kde α 0, β, α, β Způsob výpočtu koeficietů α i, β i, i, 4, bude zřejmý z dalších výpočtů Je vidět, že platí Ze zadaého rekuretího vzorce plye x x + x aα + β ) aα + β )aα +β ) aα +β + aα + β ) aα + )α + β + )β Srováím těchto dvou vyjádřeí dostáváme, že α + α + α, α 0, α, ; β + β + β, β, β, Získaý předpis lze dokázat matematickou idukcí Pozámka: Z výsledku plye, že se ám sice epodařilo vyjádřit x pomocí a x, ale pro výpočet můžeme využít rekuretích vztahů pro α a β, což jsou přirozeá čísla 7
b) Poěvadž je dostaeme x k+ ax k + b, x k ax k + b, x k+ x k ax k x k ) a x k x k ) a k x x ) Jestliže tyto rovosti sečteme pro k,,,, dostaeme a tedy x x + x x ) a a x x x k+ x k ) x x ) k k x + a )x + b a a a k a x + b a a pro a Je-li a, je posloupost {x } aritmetická a x x + )b c) Je-li a 0 ebo c 0, dostaeme předchozí případ Hledejme yí řešeí ve tvaru x λ, kde λ je zatím ezámý parametr Dosazeím do daé rovice dostaeme λ aλ + bλ + c) 0 a pokud je A + B > 0, musí být λ 0 a tedy V dalším budeme rozlišovat tři případy i Rovice aλ + bλ + c 0 aλ + bλ + c 0 má dva reálé růzé kořey λ λ Je λ 0 λ, protože je c 0) Pokusme se yí hledat řešeí ve tvaru x c λ + c λ, kde c a c jsou ezámé kostaty Využitím počátečích podmíek x A, x B dostaeme soustavu dvou rovic pro dvě ezámé c, c tvaru která má jedié řešeí A c λ + c λ, B c λ + c λ, c Aλ B λ λ λ ), c B Aλ λ λ λ ) ii Necht λ λ Potom budeme hledat řešeí ve tvaru x c λ + c λ Využití počátečích podmíek dostaeme soustavu která má jedié řešeí A c λ + c λ, B c λ + c λ, c Aλ B λ, c B Aλ λ 8
Bud iii Daá kvadratická rovice má dvojici komplexě sdružeých kořeů vyjádřeých v goiometrickém tvaru) pro jejichž tou mociu platí Pokusme se tedy alézt řešeí ve tvaru λ cos ϕ ± i si ϕ), kde si ϕ 0, λ cos ϕ ± i si ϕ) x λ c cos ϕ + c si ϕ) Využitím počátečích podmíek dostaeme soustavu s jediým řešeím A λ c cos ϕ + c si ϕ), B λ c cos ϕ + c si ϕ) c A λ si ϕ B si ϕ λ si ϕ, c B cos ϕ A λ cos ϕ λ si ϕ Pozámka: Uvedeé příklady jsou ukázky tzv diferečích rovic, které hrají důležitou úlohu apř v umerických metodách S aalogickou metodou jako v příkladu c) se setkáme ve druhém semestru v souvislosti s řešeím difereciálích rovic s kostatími koeficiety a ) Najděte předpis pro a r), N, a r) k a r ) k pro r,, Řešeí: Idukcí podle r dokážeme, že Pro r a pro N je a ) r N a N platí a r) ) 0 a tvrzeí platí + r Bud r N, r a echt tvrzeí platí pro r, tj + r N je a r ) r Potřebujeme dokázat, že N platí a r) + r r r Tuto část důkazu provedeme opět idukcí, tetokrát podle r bude pevé) Pro je ) ) a r ) r r a r) r r Necht yí a r) ) +r r Potom + a r) + k a r ) k k a r ) k ) ) + a r ) + ) ) ) a r) + a r ) + r + r + r + + r r r podle zámé idetity pro kombiačí čísla ) 9
Najděte prvých pět čleů poslouposti {a }, je-li a) a + ) ) ; 0 ; ; 0 ; ; 0 b) a + ) ; 0 ; ; ; 5 ; 4 π si c) a + ; ; 0 ; ; 0 ; 5 d) a ) cos π + ; 0 ; ; ; cos π 5 ; e) a 0 ; ; ; ; ; f) a 0 9 ; 0 ; ; ; ; g) a! ; ; ; 9 ; ; 4 65 4 Ukažte, že posloupost, pro jejíž čley platí vztah a a+a, je aritmetická Řešeí: Je a a a a a a a a a d 5 Najděte předpis pro tý čle poslouposti {a }, je-li a) 8 ; 4 ; 0 ; 6 ; ; } ; a + 6 b) { ; ; 4 ; 5 4 ; 6 5 ; } ; a + c) { ; ; 8 ; 4 ; 5 ; } ; a d) { ; 5 ; ; 5 ; ; 5 ; } ; a + ) e) { 0, 5 ;, 5 ; 4, 5 ;, 5 ; 40, 5 ; } ; a ) 6 f) { ; 4 ; 4 5 ; 5 6 ; 6 7 ; } ; a + + g) { ; ; ; ; ; 4 ; } ; a, a + 6 Najděte předpis pro tý čle poslouposti {a }, je-li a) a + a + α, a, α jsou daá čísla ; a a + )α b) a + a q, a, q jsou daá čísla ; a a q c) a, a + a +)a ; + d) a, a + + )a ; a! e) a, a + a +) ; a! f) a, a + + a ; a + g) a b + b + + b, kde b + b + d, b, d jsou daá čísla ; a b + ) d ; užijte vlastosti aritmetické poslouposti h) a b + b + + b, kde b + b q ; b, q jsou daá čísla ; a b q q pro q, a b pro q ; i) a α, a + +)a, α R {0} je daé ; užijte vlastosti geometrické poslouposti a α) ) + j) a 0, a + a+ + ; a! k k! 0
k) a a, a + + )a + ), a R je daé ; a! a + k ) k! Návod: V příkladech a) - k) si apište ěkolik prvých čleů daé poslouposti l) a 0, a, a + a+ a a ; m) a, a, a + a + + a, tzv Fiboacciho čísla ; a + 5 5 ) 5 ) a α, a β, a + a + + a, α, β R jsou daá ; a β α ) + α+β o) a 0, a, a + a + a ; a p) a, a 0, a + a + a ; a ) cos π 4 Návod: V příkladech l) - p) použijte metody z příkladu c) 7 Vyjádřete ásledující součty a) d) g) k p pro p,,, 4, 5 ; b) k k cos kx, k k k si kx ; e) k kk + )k + ) k q k ; c) k ) k, k k r k cos kx, k0 k k k ) ; f) r k si kx ; k k0 ) ; k Řešeí: a) Pro p dostaeme zámý vzorec ++ + +) Bud yí p a uvažujme idetitu x + ) x x + x + Jestliže v této idetitě budeme postupě dosazovat za x,,, a všechy tyto erovosti sečteme, dostaeme Využitím rovosti a odtud k k + ) k k + k Pro p využijeme rovosti k k +) dostaeme dále + ) k k k k + k k + + ) + + ) + ) 6 x + ) 4 x 4 4x + 6x + 4x +
Stejým postupem dostaeme + ) 4 4 k + 6 k + 4 k + k k k a odtud k Aalogický způsobem ajdeme k + ) 4 k k k k 4 + ) + ) + ) 0 a k k 5 + ) + ) Pozámka: Je možé dokázat, že pro libovolé p N platí p p + p + + p p+ p + + p + ) p B k p k+, k k kde x je celá část čísla x R, tj celé číslo k takové, že k x < k + a B jsou tzv Beroulliho čísla, defiovaá rekuretě vztahy Platí B 0, B k0 ) k k B k k +, N B, B 6, B 4 0, B 6 4, B 8 0,, B + 0, N b) Je-li q, dostaeme předchozí případ p ) Necht je tedy q Podle vzorce pro tý částečý součet geometrické poslouposti platí Odtud q) c) Uvažme výraz kq k k k0 k kq k k kq k+ k k q k q + q q ) q k + kq k k )q k k q + kq k q q ) q) q+ q r k cos kx + i r k si kx k0 r k e ikx podle Eulerovy idetity 5) Toto je však součet + čleů geometrické poslouposti s kvocietem q re ix, tedy pro re ix platí k0 r k e ikx r+ e i+)x re ix r+ cos + )x ir + si + )x r cos x ir si x k0
r + cos + )x ir + si + )x r cos x + ir si x r cos x) + r si x r+ cos x r + cos + )x r cos x + + i r + si x r + si + )x + r si x r r cos x + po proásobeí a krátké úpravě Jestliže yí srováme reálé a imagiárí části obou stra, dostaeme k0 r k cos kx r+ cos x r + cos + )x r cos x + r r cos x + k0 r k si kx r+ si x r + si + )x + r si x r r cos x + Pozámka: S uvedeými vyjádřeími se setkáme ěkolikrát později, poprvé v souvislosti s ekoečými řadami d) Aalogicky jako v předchozím příkladu můžeme psát k cos kx + i k si kx k Podle příkladu b) q e ix ) platí k k ke ikx ke ikx eix e ix ) e ix ) ei+)x e ix eix e ix e ix e ix ) e ix ) eix + )e ix + e i+)x ) + )eix e i+)x 4e ix 4 si x, e i x e i x i jestliže využijeme vyjádřeí si x pomocí expoeciely 6) Srováím reálých a imagiárích částí dostaeme k cos kx k k + ) cos x cos + )x 4 si x,, e) Platí a tedy k k si kx k + ) si x si + )x 4 si x ) )! k k k k! k)! )! k )! k + )! k ) ) ) k + ) k k l k l0 Druhý součet rozepíšeme do tvaru ) k k k ) kk ) + k k k k k )
Pro k platí )! kk ) kk ) k k! k)! k ) )! k )! k)! ) )! ) ) k )! k + )! k Tudíž ) ) ) k ) + k k k k k k ) + + ) f) Uvažujme idetitu + x) + x) + x) Podle biomické věty tedy platí k0 ) x k k l0 ) x l l j0 ) x j j Jestliže v součiu a levé straě ajdeme koeficiet u x, dostaeme ) ) ) ) ) ) ) ) + + + + + 0 k k 0 Poěvadž však platí, že ) k k), je teto koeficiet rove ) k k0 k0 Odpovídající koeficiet a pravé straě je ), tedy ) ) k g) Jestliže zlomek kk+)k+) rozložíme a parciálí zlomky, dostaeme kk + )k + ) A k + a běžý výpočet dává soustavu lieárích rovic B k + + C k + A + B + C 0, A + B + C 0, A s řešeím A, B, C ; tedy k kk + )k + ) { k k + k + + k + Jestliže použijeme toto vyjádřeí, dostaeme kk + )k + ) + ) + + ) + + 4 + + + { + + + ) + } } + + + ) + { } + ) + ) 4
8 Vyjádřete ásledující součty a) b) c) d) e) f) g) k k k kk+) ; + k )k+) ; 4k )4k+) ; k ) ; k kk + ) ; k kk + )k + ) ; k si kx ; k h) + cos kx ; i) j) k) l) m) ) o) p) q) k sik )x ; k k0 + 4+ ; užijte vlastosti aritmetické poslouposti +)+) ; užijte příklad 7a) +)+)+) 4 ; užijte příklad 7a) ; užijte příklad 7c) si +)x si x si x si + x si ; užijte příklad 7c) x si x si x ; užijte metody řešeí příkladu 7c) cos si x cos+)x kx ; + si x ; užijte metody řešeí příkladu 7c) a vzorce k cos +cos α α ) k k) ; 0 ; užijte biomickou větu a výraz ) k0 k) k+ ; + + ) ; užijte postupu z příkladu 7e) k + ) ) ; + ) ; užijte postupu z příkladu 7e) k0 k k ) ) ; ) + ; užijte postupu z příkladu 7e) k k k k k k )k+)k+) ; +) +)+) ; užijte postupu z příkladu 7g) kk+)k+)k+) ; 8 +)+)+) ; užijte postupu z příkladu 7g) k k )k+) +) +) 9 Ukažte, že jsou ásledující poslouposti omezeé ; užijte postupu z příkladu 7g) a rozkladu ) k 4k 4 4k + 4k 4 + 4k a) { ) } + 0 ; b) + { d) + } { + + ) + ) ; e) } ; c) { 4 + + } { 4 + )} 4 ; { } ; f) a, a > ; 5
g) { )} a, a > 0 ; h) { ) k+ k k } ; i) { k } k k Důkaz: a) Platí b) Je tedy ) + 0 ) + 0 + 0 ; ) + 0 + + 0 + 0 +, + + +, tedy + + a odtud + 0 + ) + ) + + ) + ) + c) Provedeme ejdříve ásledující úpravu: 4 + ) 4 4 + 4 + ) 4 + + 4 4 + + 4 Nyí platí 4 + + 4 4 + 4, a tedy d) Využitím vzorce a b poslouposti do tvaru 4 + + 4 a b)a + ab + b ) můžeme přepsat tý čle daé + + ) + 6 + ) Protože jmeovatel tohoto zlomku je eustále větší ež, platí 4 + 4 e) Nejdříve odhademe prvou odmociu Platí 4 + + + ) + a odtud 0 4 + + + f) Podle Beroulliho erovosti cvičeí 6) platí a + a ) a ) a odtud a a ) a 6
g) Necht je ejdříve a > Potom je též a > a všechy čley daé poslouposti jsou kladé Jestliže využijeme vzorce můžeme psát α β α β)α + α β + + αβ + β ), a a a + a + + a + a ) a odtud a a Je-li a, jsou všechy čley daé poslouposti rovy 0 a tato posloupost je omezeá Pro 0 < a < jsou všechy čley poslouposti záporé je a { )} < ) a ukážeme, že posloupost a je shora omezeá Napišme a ve tvaru a b, kde b > Potom je ) a ) b ) b b b b podle prvé části důkazu h) Ozačme Je s, s Pro sudá j dostáváme s ) k+ k k a pro liché l platí s l+ s l l + l + s l s s j+ s j + j + j + s j s Jestliže tyto výsledky shreme, je vidět, že platí tedy i) Platí k k + k s s j+ s j + j + s j s, k k k k a pro k je k + ) k Tedy k 6 k k )k ) Pro součet k Odtud plye, že k j0 k )k ) 0 k l k ) k+ k ) k j ) k kk )k ) 6 k )k ) platí l + ) l k k + 6 ) 7 l l + Pozámka: Uvedeé postupy ejsou samozřejmě jedié a pravděpodobě také e ejlepší Kařdý si může zvolit jiý postup a popřípadě alézt vhodější odhady 7
0 Bud {x } posloupost kladých čísel Potom je posloupost s k x k, omezeá právě když je omezeá posloupost y ) + xk, N k Důkaz: Bud M sup{s ; N} Je-li M <, položme s 0 0 0 Pokud M, existuje 0 N tak, že s 0 M, M) Pak pro > 0 platí Pak pro > 0 je ỹ k 0+ tedy pro > 0 máme s s s 0 ) + xk + k 0+ i 0+ x k M s 0 q, q 0, ) x i + i,j 0+,i j + q + q + + q 0 q y q 0 k ) + xk Odtud plye, že {y } je omezeá posloupost Protože dále platí y ) + xk + k k x k + > + + x i x j x 0+ x k x k s, vidíme, že eí-li posloupost {s } omezeá, pak také posloupost {y } eí omezeá Ukažte, že jsou ásledující poslouposti omezeé { } 4 a) + + ; b) { užijte rozkladu 4 + + 4 5 +) + } ; proved te aalogicky jako v příkladu a) { } + ) c) ; užijte odhadu + ) + { } d) ; + použijte odhadu + { } +5 e) ; 4 užijte odhadu 4 4 4 + f) { + } ; užijte postupu z příkladu 9c) { } g) + ; využijte odhadů + +, { } l h) +0 l + ; vyjádřete l i) {log + 5) log + )} ; odhaděte +5 + { } j) ; ajděte součet k kk+) k kk+) 8
{ k), q < k kq k} užijte příklady 7b) a 9f) q a, a > ) Ukažte, že ásledující poslouposti jsou eomezeé { a) 4 + + { } 4 + } ; b) + ) ; { } { } c) ; d)! ; + { } )!! e), kde )!! 4 6 ), )!! 5 ) ; )!! { } a { } { + } f) k, a >, k R ; g) ; h) log + ) k ) k+ k Důkaz: Abychom ukázali, že je posloupost {a } eomezeá, musíme pro každé M R alézt idex M) tak, že a M) > M Poěvadž je posloupost přirozeých čísel {} eomezeá, stačí ke každému N alézt takový idex k, že a k > a) Je 4 + + 4 + 4 + + + 4 + a poěvadž 4 + + + 4 + 4 + + 4 4, dostaeme 4 + + 4 + 4 a stačí volit k b) Provedeme aalogickou úpravu jako v případě a) a poěvadž je můžeme použít odhadu Platí tedy + ) ) + ) + a + ), + + ) + a Posloupost b je eomezeá; je totiž b a odtud plye, že i posloupost {a } je eomezeá 9
c) Výraz ejdříve upravíme Je + a poěvadž ), můžeme psát, že ) ) + ), + a tudíž + 6 Posloupost { } ) je eomezeá Platí totiž ) + ) podle Beroulliovy erovosti cvičeí 6) d) Je-li sudé, platí je-li liché, je V každém případě je!! +, + )! ) a odtud! ) e) Je )!! )!! 4 6 ) 5 ) 4 + ) k + ) + 5 ) + ) Podle příkladu 0 je tato posloupost omezeá právě když je omezeá posloupost { } Ozačme s k k Potom s k k + + + }{{ 4 } čleů Protože posloupost { + + 4 + 8 + + k + 5 + + + + }{{ 8 } + + + }{{} čleů čleů ) + ) { )} + eí omezeá, eí omezeá ai k } k 40
f) Poěvadž platí a k a k, stačí ukázat, že daá posloupost je eomezeá pro a > Necht je ejdříve k 0 Potom platí a k a + a ) a ) a daá posloupost je eomezeá Je-li k 0, pak existuje celé číslo r k tak, že r k < r + Odtud plye, že r k r+ a tedy a r a k a r+ Z této erovosti plye, že posloupost { } a je eomezeá právě když je eomezeá k posloupost { } a Stačí tedy předpokládat, že k N Dále platí r a + a ) l0 ) ) a ) l a ) k+ l k + pro > k Tedy a k ) k a ) k+ ) k) k + k a ) k+ k + )! ) ) k ) k)a ) k+ k + )! Protože je j k pro j,,, k, platí k j j ) k j k ) k ) k a pro k je dokoce k ) k k Odtud plye, že pro k platí a daá posloupost je eomezeá g) Platí Nyí je x 0 a 0, k ) h) Ozačme Je zřejmé, že a poěvadž a k k k a )k+ k + )! { } { } + log + ) log 0 a ozačme x log a podle předchozího příkladu je tato posloupost eomezeá { } s ) k+ k k s < s < < s + s + s ) + + ) s + 4 + s + 4 + >, 4
plye odtud eomezeost daé poslouposti Aalogicky a vzhledem k tomu, že 0 s 0 > s > > s s s + ) s 4 + 4 +, eí posloupost {s } omezeá zdola ai shora Poěkud delší, ale také zábavější, je alezeí součtu příslušé sumy Dá se ukázat, že { } + + ) s ) + +, kde zameá opět celou část daého čísla Pozámka: Poslouposti z příkladů a), c), d), e), g) a f) pro a > jsou poslouposti ezáporých čísel, tedy omezeé zdola Poslouposti z příkladů b) a f) pro a < ejsou omezeé shora ai zdola Ukažte, že ásledující poslouposti ejsou omezeé Které z ich jsou omezey zdola resp shora? a) { ) } ; apište si a a a b) { } ; užijte úpravy ) ; zdola omezeá c) {5 4 } ; užijte metody příkladu c) ; zdola omezeá d) { ) } ; apište si ěkolik čleů daé poslouposti ; zdola omezeá 4 Ukažte, že ásledující poslouposti jsou mootoí, počíaje jistým idexem 0 { 4 + } { } + ) a) 4 + ; b) ; c) {q } {, 0 < q < ; d) ; e) { 6 log } ; { a } { )} f), a > 0, a ; g) a, a > 0, a ; { } { } h) k k! ; i) + )! kk + ) + ) k } k Důkaz: a) Jestliže vydělíme čitatele i jmeovatele výrazem 4, dostaeme 4 + 4 + + 4) 4 + ) + q 4 + q, Ukážeme, že tato posloupost je klesající, tj 4 + q 4 + q < + q 4 + q q ) 4 Po odstaěí zlomků a jedoduché úpravě dostaeme q < q, eboli q < Stačí tedy volit 0 4