M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Analytická geometrie Analytická geometrie Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 7. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky. Základní pojmy Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému. Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po cm. Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[; 3]. Vzdálenost dvou bodů v rovině Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; ya ] a B[xB ; yb]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, postupujeme následovně: Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec: Příklad : Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[; ]. KL = ( - 5) + ( - 7 ) =5 Příklad : Jsou dány body A[; 3], B[-; x]. Určete číslo x tak, aby AB = Ö5. Má platit:..0 :59:08 z 84
(- ) + (x - 3) = 5 4 + (x - 3) = 5 Dostaneme dvě řešení x = 4, x = Střed úsečky v rovině Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; ya ] a B[xB ; yb]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně: Souřadnice středu S[xS; ys] pak zapíšeme: Příklad 3: Jsou dány body A[; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB. + (- 5) 3 = (- 3) + 4 = ys = xs = Závěr: S[-3/; /] ± Vektory Vektory Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový. Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně. Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD,... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem..0 :59:08 z 84
Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u. Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u = AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB = CD. Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A = B, pak AB = o. Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD. Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou. Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné. Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed. () Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD. () Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB = CD. Podle věty () mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a; a], B[b; b], C[c; c], D[d; d]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec S= A+ D a jednak vzorec S= B+C Je tedy A+ D B +C = (3) A + D = B + C, čili D - C = B - A (4) Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice: d - c = b - a d - c = b - a (5) Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty () je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru. Závěr: Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C = B - A. Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a; a], B[b; b], C[c; c], D[d; d]. Pak platí u = b - a = d - c u = b - a = d - c (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u, u nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u = B - A. Závěr: Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a; a], B[b; b] a vektoru u = (u; u) platí rovnice u = b - a u = b - a..0 :59:08 3 z 84
které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u = B - A. Příklad : Zjistěte souřadnice vektoru u = AB, je-li A[-3; 4], B[-4; ]. u = -4 - (-3) = -4 + 3 = - u = - 4 = - u = (-; -) Příklad : Umístěte vektor u = (; -7) do bodu A[-4; ]. Hledáme bod B[x; y] takový, aby bylo u = AB. x = -4 + = - y = + (-7) = -6 Bod B má souřadnice [-; -6]. Velikost vektoru Definice: Velikostí vektoru u = (u; u) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění. Věta: Velikost vektoru u = (u; u) vypočteme podle vzorce u = u + u Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem. Příklad : Určete velikost vektoru u = (3; ). u = Ö(3 + ) = Ö3 Vektor u má velikost Ö3. Příklad : Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-; 3], B[-; -]. u = - + = 0 u = - - 3 = -4 u =Ö(0 + (-4) ) = Ö6 = 4 Vektor u má velikost 4. Příklad 3:..0 :59:08 4 z 84
Vektor a = (a; a) je jednotkový. Zjistěte a, je-li a = 0,5. 0,5 + a = a = 3/4 (a) = Ö3/ (a) = -Ö3/ Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a = (0,5; Ö3/) a a = (0,5; -Ö3/). Součin čísla a vektoru Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna k násobku velikosti vektoru původního. Věta : Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u; u). Vektor k.u má souřadnice (k.u; k.u). Věta : Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v = k. u. Příklad : Je dán vektor a = (-; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b = k.a pro k = 3/. b = (3/). (-) = -3 b = (3/). 3 = 9/ Vektor b má souřadnice (-3; 9/). Příklad : Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; -4]. Vektor OS = (/). OA, proto s = (/). 3 = 3/ s = (/). (-4) = - Střed úsečky OA má souřadnice [3/; -]. Sčítání vektorů Věta : Má-li vektor u souřadnice (u; u) a vektor v souřadnice (v; v), pak vektor u + v má souřadnice (u + v; u + v). Věta : Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní. Věta 3: Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní. Věta 4: Má-li vektor u souřadnice (u; u) a vektor v souřadnice (v; v), pak vektor u - v má souřadnice (u - v; u - v)...0 :59:08 5 z 84
Příklad : Zjistěte souřadnice vektoru c = a + b, jestliže a = (-; ), b = (-; -). c = - + (-) = - - = -4 c = + (-) = - = - Vektor c má souřadnice (-4; -). Příklad : Zjistěte souřadnice vektoru d = a + b + c, je-li a = (; ), b = (0; ), c = (; ). d = + 0 + = 3 d = + + = 4 Vektor d má souřadnice (3; 4). Příklad 3: Je dán vektor a = (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a. Vektor -a má souřadnice (4; -3). Příklad 4: Vypočtěte souřadnice vektoru z = u - v, jestliže u = (-3; 5), v = (-; -4). z = -3 - (-) = - z = 5 - (-4) = 9 Vektor z má souřadnice (-; 9). Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice. Lineární kombinace vektorů Věta : Má-li vektor u souřadnice (u; u) a vektor v souřadnice (v; v), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v. Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w = k.u + l.v leží také v rovině r. Lineární závislost a nezávislost vektorů Věta : Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u = k.v, kde k je libovolné reálné číslo. Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku. Věta :..0 :59:08 6 z 84
Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé. Věta 3: Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový. Věta 4: Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku. Věta 5: Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w = k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla. Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny. Věta 6: Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny. Příklad : Zjistěte, zda jsou vektory u = (; -), v = (-; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u = k.v. = -k - = 6k k = - k = - Vzhledem k tomu, že k = k, pak platí, že u = k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné). Příklad : Zjistěte, zda jsou vektory u = (; ; 4), v = (; 3; 0), w = (; ; ) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u = k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla. = k + l = 3k + l 4 = l ------------------Ze třetí rovnice je l = 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k = -. Platí u = -v + 7w. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé. Příklad 3: Určete a tak, aby vektory a = (; a; 5), b = (; ; ), c = (5; ; ) byly lineárně závislé. Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a = k.b + l.c = k + 5l a = k + l 5 = k + l -----------------Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l = -. Dosadíme-li l = - do první rovnice, dostaneme k = 7. Dosadíme-li l = -, k = 7 do druhé rovnice, dostaneme a =...0 :59:08 7 z 84
Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a = ; potom je a = 7b - c. Příklad 4: Zjistěte, zda vektory u = (; 3; 5), v = (; 3; -), w = (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. = k - 3l 3 = 3k - 9l 5 = -k + 6l ----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. = m - 3n 3 = 3m - 9n - = 5m + 6n ----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m = 0, n = -/3. Platí tedy v = 0.u - (/3).w, tj. v = (-/3).w. Vektory u, v, w jsou lineárně závislé. Příklad 5: Zjistěte, zda vektory u = (0; 0; ), v = (; ; ), w = (; ; ) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 0 = k + l 0=k+l =k+l ----------------Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. =n =n =m+n ----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w = p.v + q.u. = q =q =p+q -----------------Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé. Úhel dvou vektorů Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací:. Vektory jsou rovnoběžné souhlasně rovnoběžné nesouhlasně rovnoběžné..0 :59:08 8 z 84
. Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel) Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 80. Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů: Nechť vektory u = (u; u), v = (v; v) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u = AB, v = AC. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v. Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran: AB = u, AC = v, BC = u - v Podle kosinové věty pak platí: u - v = u + v -. u. v. cos j Po dosazení dostaneme: (u - v) + (u - v) = u + u+ v + v -. u. v. cos j Po odstranění závorek a sloučení dostaneme -uv - uv = -. u. v. cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát: cos f = uv + u v u.v Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů. Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo uv + uv + u3v3 Příklad : Vypočtěte úhel vektorů u = (-; ) a v = (; 3) u = + 4 = 5 v = + 9 = 0 cos f = (- ). +.3 = 5. 0 f = 45 Oba vektory spolu svírají úhel 45...0 :59:08 9 z 84
Příklad : Vypočtěte úhel vektorů a = (-; ; ), b = (-; -; ) a= (- ) + + b= (- ) + (- ) + cos f = =3 =3 (- )(. - ) +.(- ) +. = 4 = 0,4444 3.3 9 f = 63 40 Úhel obou vektorů je 63 40. Skalární součin dvou vektorů Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor! Platí: u. v. cos f = uv + uv Neboli u. v = u. v. cos f Závěr: u. v = uv + uv Pozn.: V prostoru by platilo: u. v = uv + uv + u3v3 Příklad : Vypočtěte skalární součin a. b, je-li a =, b = a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 0. a. b =.. cos 0 =. (-0,5). = - Skalární součin obou vektorů je tedy roven -. Příklad : Vypočtěte skalární součin vektorů a = (; -3), b = (3; ) a úhel vektorů a, b. a. b =. 3 + (-3). = 6-6 = 0 Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule. Podle vzorce cos f = a.b a.b Protože ale a. b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f = 90. Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé...0 :59:08 0 z 84
Příklad 3: Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a. a. a. a = a. a. cos 0 a. a = a Kolmost vektorů Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b a. b = a. b. cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f = 90. Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé. Příklad : Ověřte, že vektory a = (3; ; ), b = (; -3; 0) jsou navzájem kolmé. Platí, že vektory jsou na sebe kolmé, jestliže platí: uv + uv + u3v3 = 0 Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme 3. +. (-3) +. 0 = 0 Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé. Příklad : Určete souřadnici n vektoru n tak, aby vektory n = (3; n; ) a v = (; -; 4) byly navzájem kolmé. Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit: 3. + n. (-) +. 4 = 0 Odtud dostaneme: n = 5,5 Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n = 5,5. ± Vektory - procvičovací příklady. 858. řešení:,. řešení:,..0 :59:08 z 84
. 867 3. 87,, 4. 875-5. 860 6. 868 7. 87 8. 864 9. 86 Ano 0. 865. 859. řešení:. řešení:..0 :59:08 z 84
. 873 3. 874,5 4. 869 5. 863 6. 856 7. 86 8. 866 9. 857 0. 870 ± Parametrické vyjádření přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou rovnoběžné...0 :59:08 3 z 84
Pro vektory u a X - A tedy platí: X-A=t.u neboli X=A+t.u Pokud zavedeme souřadnice: bod X[x; y], bod A[x; y] a vektor u = (u; u), lze tuto rovnici rozepsat: x = x + t. u y = y + t. u () Poslední dvě uvedené rovnice nazýváme parametrickým vyjádřením přímky v rovině. Příklad : Napište parametrické vyjádření přímky rovnoběžný. p dané bodem A[; ] a vektorem v = (-; 3), který je s ní Podle vztahů () lze rovnou psát: x = - t y = + 3t Příklad : Napište parametrické vyjádření přímky procházející body A[5; ] a B[9; 4]. Vypočteme souřadnice směrového vektoru: u = 9-5 = 4 u = 4 - = Nyní opět použijeme vztahy () a získáme výsledek: x = 5 + 4t y = + t Příklad 3: Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x = 7 + 3t, y = - 4t. Určete body této přímky pro t = 0,,, -, (/) Dosazením do vztahů () dostaneme: pro t = 0: x = 7, y =... pro t = : x = 0, y = -... pro t = -: x =, y = 0... pro t = /: x = 8,5, y = 0... bod bod bod bod má má má má tedy tedy tedy tedy souřadnice souřadnice souřadnice souřadnice [7; ] [0; -] [; 0] [8,5; 0] Příklad 4: Napište parametrické vyjádření přímky p, která prochází bodem A[; 5] a je rovnoběžná s přímkou BC, kde B[3;7], C[-4;9]...0 :59:08 4 z 84
Vektor u = BC rovnoběžný s přímkou p má souřadnice: u = -4-3 = -7 u = 9-7 = Přímka p je určena bodem A a vektorem u; podle vztahu () můžeme psát parametrické vyjádření přímky p takto: x = - 7t y = 5 + t Příklad 5: Rozhodněte, zda body M[5; 3], N[-3/; 0] leží na přímce p dané bodem A[-5; 7] a vektorem u = (3; ). Parametrické rovnice přímky p jsou: x = -5 + 3t y = 7 + t () Bod M[5; 3] bude ležet na přímce p právě tehdy, bude-li existovat reálné číslo t takové, že bude platit: 5 = -5 + 3t 3 = 7 + t Z první rovnice je t = 0/3, z druhé t = -. Tedy neexistuje takové číslo t, které by splňovalo obě rovnice. Bod M na přímce p neleží. Dosadíme-li do rovnic () souřadnice bodu N, dostaneme: -3/ = -5 + 3t 0 = 7 + t Z obou rovnic dostáváme t = -3,5. Existuje tedy číslo t = -3,5, které vyhovuje oběma rovnicím. Bod N na přímce p leží. ± Parametrická rovnice přímky - procvičovací příklady. 879. 876 3. 878 4. 88 5. 880..0 :59:08 5 z 84
6. 877 ± Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka p a vektor n = (a; b), který je k přímce p kolmý. Je-li bod A[x0; y0] libovolným bodem přímky p a bod X[x; y] libovolným bodem roviny, potom bod X leží na přímce p právě tehdy, když vektor AX je kolmý k vektoru n. AX. n = 0 () Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule. n = (a; b) AX = (x - x0; y - y0)...... souřadnice vektoru n souřadnice vektoru AX Skalární součin () můžeme rozepsat po složkách: (x - x0). a + (y - y0). b = 0 Po roznásobení závorek a úpravě dostaneme: ax + by - ax0 - by0 = 0 Poslední dva členy jsou konstanta a označíme ji jako c. Pak dostaneme: ax + by + c = 0 a to je hledaná obecná rovnice přímky Pozn.: Obecnou rovnici přímky můžeme odvodit i tak, že z parametrických rovnic přímky vyloučíme parametr. Pamatuj! Normálový vektor přímky ax + by + c = 0 má vždy souřadnice n = (a; b) a směrový vektor této přímky má vždy souřadnice s = (-b; a), (případně k němu opačný pak s = (b; -a)). Příklad : Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[; ] a je kolmá k vektoru n = (; 7). ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = ; b = 7. Dostaneme: x + 7y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme..0 :59:08 6 z 84
jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky:.+7.+c=0 Odtud c = - Hledaná rovnice přímky je tedy x + 7y - = 0 Příklad : Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A[5; 3] a je rovnoběžná s osou x. Přímka rovnoběžná s osou x je kolmá k vektoru n = (0; ). Nyní už je postup analogický k předcházejícímu příkladu: ax + by + c = 0 Z normálového vektoru dosadíme a = 0; b =. Dostaneme: 0x + y + c = 0 Vzhledem k tomu, že přímka prochází bodem A, musí jeho souřadnice rovnici přímky vyhovovat, proto dosadíme jeho souřadnice do vzniklé rovnice přímky: 0.5+.3+c=0 Odtud c = -3 Hledaná rovnice přímky je tedy y - 3 = 0 Příklad 3: Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x = 3 + 5t, y = - t. Napište její obecnou rovnici. Obě rovnice vezmeme jako soustavu a vyloučíme z ní parametr t: Např. první rovnici vynásobíme dvěma a druhou pěti. Dostaneme: x = 6 + 0t 5y = 0-0t -----------------Obě rovnice sečteme: x + 5y = 6 Hledaná obecná rovnice přímky je pak x + 5y - 6 = 0 Příklad 4: Napište obecnou rovnici přímky, je-li přímka dána body A[3; 7], B[-; ]. Směrový vektor hledané přímky je u = B - A = (-5; -6). Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0 a víme, že směrový vektor má souřadnice (-b; a). Porovnáním zjistíme, že a = -6; b = 5. Dosadíme do obecné rovnice přímky: -6x + 5y + c = 0 Kterýkoliv z bodů A, B leží na přímce, proto dosadíme např. souřadnice bodu A: -6. 3 + 5. 7 + c = 0 Dostaneme c = -7 Odtud: -6x + 5y - 7 = 0 a po úpravě: 6x - 5y + 7 = 0 Hledaná obecná rovnice přímky je pak 6x - 5y + 7 = 0..0 :59:08 7 z 84
± Obecná rovnice přímky - procvičovací příklady. 897. 89 3. 883 4. 885 5. 90 6. 896 7. 900 ; S = 6,5 8. 894 9. 890 0. 903. 887..0 :59:08 p: 5x-6y+3 = 0 8 z 84
. 90 3. 886 4. 884 5. 895 6. 898 7. 899 8. 88 9. 889 0. 904. 893. 888 3. 905..0 :59:08 9 z 84
4. 89 5. 906 ± Směrnicový tvar rovnice přímky Směrnicový tvar rovnice přímky Do směrnicového tvaru můžeme převést jakoukoliv obecnou rovnici přímky, která není rovnoběžná s osou y, tedy pokud b ¹ 0. Převedení provedeme velmi jednoduše tak, že z obecné rovnice přímky vyjádříme y. Vzniklou rovnici dále upravíme do jejího obvyklejšího tvaru:..0 :59:08 0 z 84
Příklad : Převeďte rovnici x + 3y - = 0 přímky p na směrnicový tvar. Po úpravě rovnice x + 3y - = 0 dostaneme: 3y = -x + y =- x+4 3 Příklad : Napište směrnicový tvar rovnice přímky, jejíž směrový úhel je 60 a která prochází bodem B[0; ]. Směrový úhel je j = 60. Směrnice přímky je k = tg 60 = Ö3. Bod B leží na ose y, proto q =. Přímka má tedy rovnici y = Ö3. x +. Příklad 3: Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází bodem A[-; 3] a má směrový úhel p/4. Směrnice je k = tg 45 =. Platí tedy: y=x+q Konstantu q vypočítáme dosazením souřadnic bodu A[-; 3] do rovnice y = x + q. 3 = - + q q=5 Přímka má rovnici y = x + 5. Pozn.: Pokud máme zadány dva body, jimiž přímka prochází, určíme její směrnici podle vzorce k= y - y x - x Příklad 4:..0 :59:08 z 84
Určete směrnici přímky AB, je-li dáno: A[; -3], B[-4; ]. Dosazením do výše uvedené rovnice platí: k= - (- 3) 4 =- =-4-6 3 Směrnice přímky AB je -/3. Příklad 5: Určete směrnicovou rovnici přímky AB, je-li dáno: A[; -3], B[-4; ]. Směrnice je k = -/3 (viz řešení minulého příkladu), proto je: y =- x+q 3 Konstantu q vypočítáme např. dosazením souřadnic bodu A[; -3] do této rovnice: -3 = (-/3). + q q = -5/3 Rovnice přímky pak je y = (-/3). x - (5/3). ± Směrnicová rovnice přímky - procvičovací příklady. 90. 907 30 3. 9 4. 909 5. 9..0 :59:08 z 84
6. 908 ± Vzájemná poloha dvou přímek Vzájemná poloha dvou přímek v rovině V rovině mohou být přímky buď rovnoběžné nebo různoběžné. Přímky jsou v rovině rovnoběžné, jestliže vektory k nim kolmé (tj. vektory normálové) jsou navzájem rovnoběžné. Rovnoběžné přímky mohou být buď rovnoběžné různé nebo mohou splývat. A. Přímky jsou v rovině rovnoběžné různé - normálové vektory jsou navzájem rovnoběžné a obecné rovnice přímek nejsou svým násobkem B. Přímky jsou v rovině rovnoběžné splývající - normálové vektory jsou navzájem rovnoběžné a obecné rovnice přímek jsou svým násobkem C. Přímky jsou v rovině různoběžné - normálové vektory nejsou rovnoběžné; souřadnice společného bodu (průsečíku) musí vyhovovat oběma rovnicím přímek a získají se řešením soustavy těchto dvou rovnic o dvou neznámých. Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru..0 :59:08 3 z 84
Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích 3x + y - 6 = 0, 6x + 4y - = 0. Přímky dané zadanými rovnicemi jsou totožné, protože druhá rovnice je dvojnásobkem rovnice první. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích x - 7y + = 0, x - 3,5y + 9 = 0. Dané přímky jsou rovnoběžné různé, protože vektory (; -7) a (; -3,5) jsou rovnoběžné ( =.k, -7 = -3,5.k; tedy k = a přitom ¹.9). Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu přímek o rovnicích 3x - 4y + = 0, 6x - 8y + 5 = 0. Zadané přímky jsou dvě různé rovnoběžky, protože je: 3 = k.6-4 = k.(-8) k = / k = / Přitom ¹ k.5 pro k = /. Příklad 4: Napište rovnici přímky procházející bodem A[-/4; /3] a rovnoběžné s přímkou o rovnici x - 3y + 7 = 0 Pro hledanou přímku napíšeme obecnou rovnici: x - 3y + c = 0 Konstantu c zjistíme dosazením souřadnic bodu A do této rovnice:.(-/4) - 3.(/3) + c = 0 c = 5/ Získanou rovnici hledané přímky x - 3y + (5/) = 0 můžeme vynásobit dvěma. Rovnice 4x - 6y + 5 = 0 je tedy rovnicí přímky, která prochází bodem A a je rovnoběžná s danou přímkou. Příklad 5: Zjistěte průsečík přímek p: x - y - 3 = 0, q: 3x + y - = 0. Řešíme soustavu rovnic:..0 :59:08 4 z 84
x - y - 3 = 0 3x + y - = 0 ------------------Sečtením rovnic vyloučíme proměnnou y a dostaneme x =. Dosadíme-li x = např. do první rovnice soustavy, dostaneme y = -. Přímky jsou tedy rovnoběžky se společným bodem P[; -]. Příklad 6: Rozhodněte o vzájemné poloze přímek a, b; a: x = + 3t, y = + 4t; b: x = + 6s, y = 4 + 8s. Přímka a prochází bodem A[; ] a je rovnoběžná s vektorem a = (3; 4). Přímka b prochází bodem B[; 4] a je rovnoběžná s vektorem b = (6; 8). Vektory a, b jsou rovnoběžné, protože b = a. Proto jsou přímky a, b buď různé rovnoběžky nebo splývají. Kdyby přímky splývaly, pak by např. bod A[; ], který leží na přímce a, ležel i na přímce b. Dosadíme souřadnice bodu A do parametrického vyjádření přímky b: = + 6s = 4 + 8s ---------------Z první rovnice vyjde s = -/6, ze druhé rovnice s = -/4. Bod A neleží na přímce b, a proto jsou přímky a, b rovnoběžné různé. Odchylka dvou přímek. Kolmost dvou přímek. Odchylka a dvou přímek je velikost nulového, ostrého nebo pravého úhlu, který spolu přímky svírají. Odchylka a (0 a 90 ) dvou přímek s normálovými, resp. směrovými, vektory u, v se vypočítá pomocí jejich skalárního součinu a platí pro ni vztah:..0 :59:08 5 z 84
() Je-li skalární součin normálových, resp. směrových, vektorů roven nule, jsou tyto přímky na sebe kolmé. Platí totiž: a to je možné jen v případě, že a = 0 nebo a = 70. Příklad 7: Vypočtěte odchylku přímek p: x - 3y + 6 = 0, q: x + y - 8 = 0. Normálové vektory k daným přímkám jsou u = (; -3), v =(; ). Dosadíme do vzorce (): cos a =. +.(- 3) + 9. + 4 = 5 5 = = 50 5 a = 45 Odchylka daných přímek je 45. Příklad 8: Určete odchylku přímek p: x = + t, y = - t; q: x = - + s, y = -s Směrové vektory přímek p, q jsou: u = (; -), v = (; -). Dosadíme do vzorce (): cos a =. + (-).(- ) + 4. + = 0,9487 a = 8 6 Odchylka přímek p, q je asi 8 6. Příklad 9: Napište rovnici přímky, která prochází bodem A[4; 3] a má od přímky p: x - y + 7 = 0 odchylku 45. Normálový vektor přímky p je vektor u = (; -). Normálový vektor hledané přímky označíme v = (v; v). Dosadíme do vzorce ():..0 :59:08 6 z 84
v - v cos 45o = +. v + v = v - v. v + v Po úpravách dostaneme: v + v = v - v v + v = (v - v ) v.v = 0 Protože normálový vektor je nenulový, má rovnice řešení buď pro v = 0, v ¹ 0, nebo v ¹ 0, v = 0. Jako výsledek tedy dostáváme dva normálové vektory v = (0; v), v ¹ 0, v = (v; 0), v ¹ 0. Zvolíme např. v prvním případě v = a ve druhém případě v =. v = (0; ) v = (; 0) Řešením budou dvě přímky o rovnicích: y + c = 0 x + c = 0 Konstantu c, resp. c, vypočítáme dosazením souřadnic bodu A do těchto rovnic; dostaneme: y-3=0 x-4=0 Odchylku 45 od přímky p mají přímky r: y - 3 = 0 a s: x - 4 = 0 Příklad 0: Napište rovnici přímky p procházející bodem A[; 4] a kolmé k přímce q dané rovnicí 3x - y - = 0. Normálový vektor přímky q je vektor u = (3; -), normálový vektor kolmice p je např. vektor v = (; 3). Rovnice přímky p je: x + 3y + c = 0 Po dosazení souřadnic bodu A do této rovnice dostaneme c = -4. Přímka p má tedy rovnici x + 3y - 4 = 0. ± Vzájemná poloha přímek - procvičovací příklady. 98. 93..0 :59:08 7 z 84
3. 9 4. 95 5. 97 6. 9 7. 94 8. 95 9. 97 0. 933 6. 98. 94 3. 90..0 :59:08 8 z 84
4. 93 5. 930 45 6. 93 30 7. 99 45 8. 96 9. 99 0. 93. 96 ± Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost v bodu M od přímky p je rovna vzdálenosti bodu M od paty kolmice k vedené z bodu M k přímce p. Vzdálenost bodu M[x0; y0] od přímky dané obecnou rovnicí ax + by + c = 0 se vypočítá podle vzorce:..0 :59:08 9 z 84
Příklad : Určete vzdálenost v bodu A[-; ] od přímky q: 3x - 4y + 5 = 0. Dosadíme do výše uvedeného vzorce: v= 3.(- ) - 4. + 5 3 + (- 4 ) = 5 Vzdálenost bodu A od přímky q je /5. Příklad : Na přímce p: 4x - y - = 0 najděte bod, který má od přímky q: 5x + y + 5 = 0 vzdálenost 3. Hledaný bod označíme M[x; y]. Protože bod M leží na přímce p, můžeme psát: 4x - y - = 0 Z toho je y = 4 x - () Bod M má od přímky q vzdálenost 3, a proto platí: 3= 5 x + y + 5 5 + 39 = 5x + y + 5 3 = 3x + Za předpokladu, že 3x + > 0, tj. x > -/3, dostaneme 3 = 3x + x = 4 Po dosazení do rovnice () y = 7/6 Za předpokladu, že 3x + < 0, tj. x < -/3, dostaneme 3 = -3x - x = -4/3 Po dosazení do rovnice () y = -3/8..0 :59:08 30 z 84
Úloze tedy vyhovují dva body M[4; 7/6], N[-4/3; -3/8]. ± Vzdálenost bodu od přímky - procvičovací příklady. 935. 940 3. 94 4. 943 A [3; ], A [7; -] 5. 936 3 6. 934 7. 937 0,69 8. 944 5,8 9. 94 0. 938 5,08. 939..0 :59:08 3 z 84
± Kuželosečky Kuželosečky Kuželosečky jsou rovinné křivky, které vzniknou průnikem rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází jejím vrcholem. Vzájemnou polohou roviny a plochy vzniknou: A. Kuželosečky středové (mají střed souměrnosti) B. Kuželosečka nestředová (nemá střed souměrnosti)..0 :59:08 3 z 84
± Kružnice Kružnice Kružnice k se středem S[0; 0] (v počátku souřadné soustavy) a poloměrem r > 0 je množina všech bodů roviny, které mají od středu S stejnou vzdálenost r. Rovnice kružnice se středem v počátku souřadné soustavy je určena rovnicí x +y =r Tuto rovnici lze odvodit na základě určení vzdálenosti dvou bodů - konkrétně středu S a libovolného bodu X ležícího na kružnici: Středový tvar rovnice kružnice Nechť je dána kružnice k se středem S[m; n] a poloměrem r > 0 a libovolný bod X[x; y], který leží na kružnici k...0 :59:08 33 z 84
Obecný tvar rovnice kružnice Při odvozování obecného tvaru rovnice kružnice se vychází ze středového tvaru rovnice kružnice: Příklad : Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3; ]. Kružnice se středem S[0; 0] má rovnici x + y = r. Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A ležícího..0 :59:08 34 z 84
na kružnici do této rovnice: (-3) + = r r = 3 Daná kružnice má rovnici x + y = 3; její poloměr je r = Ö3. Příklad : Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A[4; 3], B[; ], C[; 0] a kružnice dané rovnicí x + y = 4. Zjistíme, zda hodnota výrazu x + y pro souřadnice bodů A, B, C je buď rovna 4 (bod leží na kružnici), nebo je menší než 4 (bod vnitřní oblasti kružnice), nebo je větší než 4 (bod vnější oblasti kružnice). Pro souřadnice bodu A platí: 4 + 3 = 5 Protože 5 > 4, je bod A bodem vnější oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu B platí: + = Protože < 4, je bod B bodem vnitřní oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu C platí: +0 =4 Protože 4 = 4, je bod C tedy leží na kružnici. Příklad 3: Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice se středem S[; -] a poloměrem r = 3. Dosadíme zadané hodnoty do rovnice (x - ) + (y + ) = 9... dostali jsme rovnici kružnice ve středovém tvaru. Provedeme-li naznačené úpravy, dostaneme obecný tvar rovnice kružnice: x - x + + y + 4y + 4 = 9 x + y - x + 4y - 4 = 0 Příklad 4: Napište rovnici kružnice, která má střed S[-3; 5] a prochází bodem A[-7; 8]. Kružnice, která má střed v bodě S[-3; 5], má rovnici: (x + 3) + (y - 5) = r Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A do této rovnice: (-7 + 3) + (8-5) = r r = 5 Daná kružnice má tedy rovnici (x + 3) + (y - 5) = 5. Příklad 5: Rovnice x + y + 8x -0y - 75 = 0 je rovnicí kružnice k. Upravte ji na středový tvar; zjistěte poloměr a souřadnice středu kružnice...0 :59:08 35 z 84
Pomocí "doplnění na čtverec" upravíme rovnici: x + 8x + 6-6 + y - 0y + 5-5 - 75 = 0 (x + 8x + 6) - 6 + (y - 0y + 5) - 5-75 = 0 (x + 4) + (y - 5) = 6 Kružnice k má středovou rovnici (x + 4) + (y - 5) = 6, poloměr r = Ö9; její střed S má souřadnice [-4; 5]. Příklad 6: Upravte rovnici x + y - x + 4y + 7 = 0 na středový tvar rovnice kružnice. x + y - x + 4y + 7 = 0 (x - x + ) - + (y + 4y + 4) - 4 + 7 = 0 (x - ) + (y + ) = - Množina bodů vyhovujících této rovnici je prázdná. Rovnice x + y - x + 4y + 7 = 0 není tedy rovnicí kružnice. Příklad 7: Napište rovnici kružnice k, která prochází body A[5; ], B[0; 6], C[4; -]. Nejprve zjistíme, zda body A, B, C neleží v jedné přímce. Směrový vektor přímky AB je B - A = (-5; 5), směrový vektor přímky BC je C - B = (4; -8). Vektory B - A, C - B jsou různoběžné; jsou tedy různoběžné i přímky AB a BC. Body A, B, C tedy neleží v jedné přímce; určují kružnici opsanou trojúhelníku ABC. Daná kružnice k má rovnici x + y + ax + by + c = 0 Bod A[5; ] leží na kružnici k; proto jeho souřadnice této rovnici vyhovují: 5 + + 5a + b + c = 0 Obdobně z toho, že bod B[0; 6] leží na kružnici k, dostaneme: 0 + 6 +0.a + 6.b + c = 0 A obdobně pro bod C[4; -] ležící na kružnici k platí: 6 + 4 + 4a - b + c = 0 Řešením soustavy tří rovnic o třech neznámých a, b, c 5a + b + c = -6 6b + c = -36 4a - b + c = -0 --------------------dostaneme a = 0, b = -, c = -4. Rovnice kružnice v obecném tvaru je x + y - y - 4 = 0 Upravíme-li tuto rovnici na středový tvar, dostaneme (x + 0) + (y - ) = 5 Ze středového tvaru zjistíme, že poloměr kružnice je r = 5 a souřadnice středu S jsou [0; ]...0 :59:08 36 z 84
± Kružnice - procvičovací příklady. 96. 957 3. 959 4. 958 5. 95 6. 96 Ne 7. 948 8. 953 x + y - 6y - 9 = 0 9. 95 0. 947..0 :59:08 37 z 84
. 946. 945 3. 954 4. 956 5. 949 6. 950 7. 960 8. 955 ± Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha bodu a kružnice a) Bod je vnitřním bodem kružnice (leží uvnitř kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je menší než poloměr)..0 :59:08 38 z 84
Všechny vnitřní body kružnice tvoří vnitřní oblast kružnice a platí pro ně vztah: b) Bod je vnějším bodem kružnice (leží vně kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je větší než poloměr) Všechny vnější body kružnice tvoří vnější oblast kružnice a platí pro ně vztah:..0 :59:08 39 z 84
c) Bod je bodem kružnice (leží na kružnici k a jeho vzdálenost od středu kružnice je rovna poloměru) Všechny body ležící na kružnici tvoří kružnici k a platí pro ně vztah: Vzájemná poloha přímky a kružnice..0 :59:08 40 z 84
Vzájemná poloha přímky a kružnice se početně určí tak, že do rovnice kružnice se dosadí rovnice přímky. Vznikne tak kvadratická rovnice o jedné neznámé. a) p je vnější přímkou kružnice k - kružnice a přímka nemají žádný společný bod - kvadratická rovnice nemá řešení b) p je tečnou ke kružnici k - kružnice a přímka mají právě jeden společný bod - kvadratická rovnice má právě jedno řešení c) p je sečna ke kružnici k - kružnice a přímka mají společné body A, B, jejichž vzdálenost určuje tzv. tětivu - kvadratická rovnice má dvě řešení Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 4x - 3y - 0 = 0 a kružnice dané rovnicí x + y = 5. Vzájemnou polohu přímky a kružnice zjistíme řešením soustavy rovnic:..0 :59:08 4 z 84
4x - 3y - 0 = 0 x + y = 5 -----------------------Z první rovnice vyjádříme např. y: y = (4/3)x - (0/3) Dosadíme do druhé rovnice: 0 ö æ4 x + ç x - = 5 3 3 ø è Dostaneme kvadratickou rovnici 5x - 3x + 35 = 0 Ta má diskriminant D = (-3) - 4. 5. 35 = 34 Protože D > 0, má kvadratická rovnice dva reálné různé kořeny: x = 5, x = 7/5. Dosazením za x do rovnice přímky dostaneme y = 0, dosazením za x do rovnice přímky dostaneme y = -4/5. Přímka je sečnou kružnice k. Průsečíky P, Q přímky s kružnicí mají souřadnice [5; 0], [7/5; -4/5]. Příklad : Stanovte číslo c tak, aby přímka p: x + y + c = 0 byla tečnou kružnice o rovnici x + y = 4. Z rovnice přímky dostaneme x = -y - c. Dosadíme do rovnice kružnice: (-y - c) + y = 4 5y + 4cy + c - 4 = 0 Aby přímka byla tečnou kružnice, musí být diskriminant D kvadratické rovnice roven nule. D = 6c - 4. 5. (c - 4) D=0 ---------------------------- 6c - 0. (c - 4) = 0 c = 0 c = Ö5 nebo c = -Ö5 Přímka je tedy tečnou dané kružnice, je-li buď c = Ö5 nebo c = -Ö5. Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu kružnice o rovnici (x - ) + (y - 3) = a přímky p: x = 4 + t, y = + t. Dosadíme za x, y z rovnice přímky do rovnice kružnice: (4 + t - ) + ( + t - 3) = (t + ) + (t - ) = 5t + 4t + 7 = 0 Diskriminant kvadratické rovnice D = -4 je záporný, rovnice tedy nemá řešení v oboru reálných čísel. Přímka p je tedy vnější přímkou dané kružnice. Příklad 4: Napište rovnici tečny kružnice o rovnici (x - ) + (y + ) = 5 v jejím bodě T[6; ]...0 :59:08 4 z 84
Tečna p kružnice je kolmá k poloměru ST, kde S[; -], T[6; ]. Vektor T - S = (4; 3) je tedy její normálový vektor. Směrový vektor přímky p je vektor (3; -4). Tečna p je dána bodem T[6; ] a směrovým vektorem (3; -4); její parametrické vyjádření je p: x = 6 + 3t, y = - 4t. Vyloučením parametru t dostaneme obecný tvar rovnice přímky: 4x + 3y - 30 = 0. Příklad 5: Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: x - 3y - = 0 a která se dotýká přímky q: 4x - 3y + 7 = 0 v bodě T[-; 3]. Střed S kružnice k leží na přímce p a na přímce t, která prochází bodem T a je kolmá k přímce q. Normálový vektor u přímky q má souřadnice (4; -3), normálový vektor přímky t má tedy souřadnice (3; 4). Konstantu c v rovnici přímky t: 3x + 4y + c = 0 zjistíme dosazením souřadnic bodu T, který leží na přímce t, do této rovnice. Přímka t má rovnici 3x + 4y - 6 = 0 Souřadnice středu S dostaneme řešením soustavy dvou rovnic: x - 3y - = 0 3x + 4y - 6 = 0 ------------------Řešením této soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dostaneme souřadnice [; 0]. x =, y = 0. Střed S kružnice má Zbývá ještě určit poloměr r kružnice. r = ST ST = (- - ) + (3-0) =5 Kružnice má rovnici (x - ) + y = 5, střed je S[; 0], poloměr je r = 5. ± Vzájemná poloha přímky a kružnice - procvičovací příklady. 969. 977 Sečna 3. 966..0 :59:08 43 z 84
4. 964 5. 970 6. 967 7. 98 8. 973 9. 974 0. 975. 97. 980 Tečna 3. 968 8,94 4. 963 5. 976..0 :59:08 44 z 84
6. 979 Sečna 7. 978 Přímka kružnici neprotíná. 8. 97 9. 965 ± Elipsa Elipsa Elipsa je určena středem S a dvěma ohnisky F a F...0 :59:08 45 z 84
Rovnice elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic..0 :59:08 46 z 84
Nechť pro body platí: X[x; y]; F[e; 0]; F[-e; 0] Středový tvar rovnice elipsy Odvození středového tvaru rovnice elipsy se středem S[m; n] lze provést např. pro případ elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x. Bod X[x; y] je libovolným bodem elipsy v soustavě souřadnic...0 :59:08 47 z 84
Posune-li se soustava souřadnic tak, aby počátek O soustavy souřadnic splynul se středem S elipsy a hlavní osa byla rovnoběžná s osou x, pak střed S bude mít v soustavě souřadnic souřadnice S[0; 0] a souřadnice libovolného bodu X[x ; y ]. Je-li hlavní osa elipsy rovnoběžná s osou y a střed elipsy neleží v počátku soustavy souřadné, pak středový tvar rovnice elipsy je dán rovnicí: Pozn.: Středový tvar rovnice elipsy se někdy také nazývá osová rovnice elipsy. Obecná rovnice elipsy..0 :59:08 48 z 84
Ukázkové příklady: Příklad : Napište rovnici elipsy se středem S[0; 0] a hlavní osou totožnou s osou x, je-li délka hlavní poloosy 3, vedlejší poloosy. Zjistěte souřadnice ohnisek elipsy...0 :59:08 49 z 84
a = 3, b =. Dosadíme do rovnice x y + = a b Elipsa má rovnici: x y + = 9 Ze vztahu a = e + b je e = a - b Po dosazení: e = 9 - e = Ö Elipsa má excentricitu Ö. Souřadnice ohnisek F, F jsou po řadě [Ö; 0], [-Ö; 0]. Příklad : Zjistěte délku hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu elipsy dané rovnicí x + 4y = 9. Rovnici elipsy upravíme na osový (středový) tvar x y + = 9 9 4 Odtud a = 3, b =,5 9 3 = 3 4 e = 9- Elipsa má střed S[0; 0]; hlavní osa elipsy je totožná s osou x (a > b); a = 3, b = 3/, e =,5.Ö3. Příklad 3: Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed S[; 3], ohnisko F[-4; 3], a délku vedlejší poloosy b = 4. Délku hlavní poloosy vypočítáme ze vztahu a = e + b, kde b = 4, e = FS = = (- 4 - ) + (3-3) =5 a = 5 + 4 = 4 Elipsa má rovnici: (x - ) + ( y - 3) = 4..0 :59:08 6 50 z 84
Vzájemná poloha bodu a elipsy Příklad 4: Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A[-; ], B[5/; ] a elipsy dané rovnicí 3x + 8y = 4...0 :59:08 5 z 84
Upravíme rovnici na osový tvar: x y + = 8 3 a zjistíme, zda hodnota výrazu na levé straně po dosazení souřadnic daného bodu je rovna buď (pak bod leží na elipse), nebo je menší než (pak bod leží ve vnitřní oblasti elipsy), nebo je větší než (pak bod leží vně elipsy). Pro souřadnice bodu A platí: (- ) + = 5 8 3 6 Protože 5/6 <, je bod A bodem vnitřní oblasti elipsy. Pro souřadnice bodu B platí: æ5ö ç è ø + = 07 8 3 96 Protože 07/96 >, je bod B bodem vnější oblasti elipsy. ± Elipsa - procvičovací příklady. 774. 777 3. 773 4. 77 5. 775 6. 778..0 :59:08 5 z 84
7. 77 8. 776 ± Vzájemná poloha přímky a elipsy Vzájemná poloha přímky a elipsy Pro vzájemnou polohu přímky a elipsy platí obdobná fakta jako pro vzájemnou polohu přímky a kružnice. Přímka tedy může být buď sečnou (tj. má s elipsou společné dva různé body), tečnou (tj. má s elipsou společný jediný bod), nebo vnější přímkou (tj. nemá s elipsou společný žádný bod). Vzájemnou polohu přímky a elipsy zjišťujeme stejně jako vzájemnou polohu přímky a kružnice, tzn. řešením soustavy jejich rovnic. Při dosazování vždy dosazujeme za neznámé z rovnice přímky do rovnice elipsy. Soustava má buď dvě řešení, nebo jedno řešení, nebo nemá řešení v oboru reálných čísel, podle toho, zda přímka a elipsa mají společné buď dva body, nebo jeden bod, nebo nemají společný žádný bod. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x + y - 5 = 0 a elipsy dané rovnicí 4x + 9y = 900. Vzájemnou polohu přímky a elipsy zjistíme řešením soustavy rovnic: x + y - 5 = 0 4x + 9y = 900 ---------------------Z první rovnice je: x = -y + 5 Dosadíme do druhé rovnice: 4(-y + 5) + 9y = 900 Dostáváme kvadratickou rovnici y - 6y + 64 = 0, její diskriminant je D = (-6) - 4.. 64 = 0 Kvadratická rovnice má řešení y = 8. Dosazením do první rovnice soustavy dostaneme x = 9. Přímka je tečnou elipsy. Dotykový bod T má souřadnice [9; 8]. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky dané parametrickým vyjádřením x = 5 + 3t, y = t a elipsy o rovnici x + 0,5y =. (5 + 3t) + 0,5(t) = 5t + 5t + = 0 Diskriminant kvadratické rovnice je D = 5-4.. 5 = -5, D < 0. Tato kvadratická rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel...0 :59:08 53 z 84
Přímka je tedy vnější přímkou elipsy. ± Vzájemná poloha přímky a elipsy - procvičovací příklady. 788. 78 6,93 3. 786 4. 784 5. 785 6. 78 (= vnější přímka) 7. 783 6,5 8. 779 9. 789 0. 780. 787..0 :59:08 54 z 84
± Hyperbola Hyperbola..0 :59:08 55 z 84
Rovnice hyperboly se středem v počátku souřadného systému Nechť je dána hyperbola se středem v bodě S[0; 0] a hlavní poloosou totožnou s osou x...0 :59:08 56 z 84
Středový tvar rovnice hyperboly Obecná rovnice hyperboly..0 :59:08 57 z 84
Asymptoty hyperboly..0 :59:08 58 z 84
Rovnoosá hyperbola..0 :59:08 59 z 84
..0 :59:08 60 z 84
Vzájemná poloha bodu a hyperboly Pro vnitřek hyperboly se středem S[m; n] platí nerovnice: Pro polohu bodů hyperboly se středem S[m; n] platí rovnice:..0 :59:08 6 z 84
Pro vnějšek hyperboly se středem S[m; n] platí nerovnice: Ukázkové příklady: Příklad : Napište rovnici hyperboly, která má délku hlavní poloosy 6, výstřednost 9 a ohniska F[e; 0], F[-e; 0]. Ohniska F, F leží na ose x, střed S má souřadnice [0; 0], osa hyperboly je totožná s osou x. Hyperbola má rovnici x y = a b Vypočítáme b ze vztahu b = e - a b = 9-6 = 45 Hyperbola má rovnici x y = 36 45 Příklad : Napište rovnici hyperboly se středem hyperboly 8 a vzdálenost ohnisek 0. S[0; 0] a hlavní osou totožnou s osou x, je-li vzdálenost vrcholů Vzdálenost vrcholů hyperboly je a = 8, z toho a = 4. Vzdálenost ohnisek je e = 0, z toho e = 5. Zbývá vypočítat b ze vztahu b = e - a..0 :59:08 6 z 84
b =5-4 =9 Hyperbola má rovnici x y = 6 9 Příklad 3: Hyperbola je daná rovnicí 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576. Zjistěte souřadnice jejího středu, její výstřednost a délky jejích poloos. Rovnici 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576 upravíme na tvar: (x - 5) - ( y + 3) = 64 36 Hyperbola má střed S[5; -3], hlavní osu rovnoběžnou s osou x, délky poloos a = 8, b = 6. Výstřednost hyperboly zjistíme ze vztahu e = a + b e = 64 + 36 = 00 e = 0 Hyperbola má výstřednost 0. Příklad 4: Hyperbola je daná rovnicí 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576. Zjistěte souřadnice ohnisek hyperboly. Příklad budeme řešit posunutím soustavy souřadnic Oxy, v níž má střed S hyperboly souřadnice [5; -3]. Soustavu souřadnic Oxy posuneme tak, aby střed S byl totožný s počátkem soustavy souřadnic O x y. Mezi souřadnicemi bodu X[x; y] hyperboly v soustavě souřadnic Oxy a souřadnicemi [x ; y ] tohoto bodu v soustavě souřadnic O x y platí vztahy: x = x - m y = y - n Čísla m, n jsou souřadnice středu S hyperboly v soustavě souřadnic Oxy. Hyperbola má střed S[5; -3], hlavní osu rovnoběžnou s osou x, délky poloos a = 8, b = 6. Výstřednost hyperboly zjistíme ze vztahu e = a + b e = 64 + 36 = 00 e = 0 Známe tedy souřadnice ohnisek v soustavě souřadnic O x y : F[0; 0], F[-0; 0]. Zbývá vypočítat souřadnice ohnisek v soustavě Oxy. Ze vztahů x = x - m y = y - n dostaneme: x = x + m y = y + n Vypočítáme souřadnice ohnisek F, F v soustavě souřadnic Oxy s využitím vztahů x = x + m y = y + n F: [0 + 5; 0 + (-3)] = [5; -3]..0 :59:08 63 z 84
F: [-0 + 5; 0 + (-3)] = [-5; -3] Ohniska hyperboly 9(x - 5) - 6(y + 3) = 576 mají souřadnice [5; -3], [-5; -3]. ± Hyperbola - procvičovací příklady. 796. 795 3. 797 4. 790 5. 800 6. 793 7. 794 8. 798 9. 79 0. 80 ± Vzájemná poloha přímky a hyperboly Vzájemná poloha přímky a hyperboly..0 :59:08 64 z 84
..0 :59:08 65 z 84
..0 :59:08 66 z 84
Ukázkové příklady: Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 0x - 3y - 3 = 0 a hyperboly o rovnici 4x - y = 64. Řešíme soustavu rovnic: 0x - 3y - 3 = 0 4x - y = 64 Z první rovnice vypočítáme y y = (/3). (0x - 3) a dosadíme do druhé rovnice: 4x - [(/3). (0x - 3)] = 64 x - 0x + 5 = 0 Daná přímka tedy není ani asymptotou hyperboly, ani přímkou s asymptotou hyperboly rovnoběžnou; daná přímka může být sečnou, tečnou nebo vnější přímkou hyperboly. Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = (-0) - 4. 5 = 0 Kvadratická rovnice má tedy jediné řešení x = 5. Dosazením do rovnice y = (/3). (0x - 3) dostaneme y = 6. Přímka a hyperbola mají společný jediný bod T[5; 6]. Přímka je tečnou hyperboly. Příklad : Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x - y - = 0 a hyperboly o rovnici x - 4y = 7. Řešíme soustavu rovnic x-y-=0 x - 4y = 7 Z první rovnice vypočítáme y:..0 :59:08 67 z 84
y=x- a dosadíme do druhé rovnice: x - 4. (x - ) = 7 3x - 6x + 3 = 0 Rovnice je kvadratická, přímka tedy není ani asymptota hyperboly, ani není s asymptotou rovnoběžná; může být tečna, sečna nebo vnější přímka hyperboly. Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = (-6) - 4. 3. 3 = 56-76 = -0 D < 0, kvadratická rovnice, a tedy ani daná soustava rovnic nemají řešení. Přímka p je tedy vnější přímkou hyperboly. Příklad 3: Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x - y + = 0 a hyperboly o rovnici x - 4y = 8. Řešíme soustavu rovnic: x - y + = 0 x - 4y = 8 Z první rovnice vypočítáme např. x: x = y - a dosadíme do druhé rovnice: (y - ) - 4y = 8 Po úpravách dostaneme: y + = 0 Vzniklá rovnice je lineární a má jediné řešení y = -0,5; dosazením do rovnice x = y - dostaneme x = -3. Přímka je rovnoběžná s asymptotou hyperboly a má s hyperbolou jediný společný bod A[-3; -0.5]. Ověřne ještě naše tvrzení, že daná přímka je rovnoběžná s asymptotou hyperboly o rovnici x - 4y = 8. Napišme rovnici této přímky ve směrnicovém tvaru: y = 0,5x + K napsání rovnice asymptoty dané hyperboly potřebujeme znát délky jejích poloos. Upravíme rovnici hyperboly na tvar: x y = 8 Odtud vidíme, že: a = Ö8 = Ö, b = Ö Rovnice asymptot této hyperboly jsou y = 0,5x, y = -0,5x Přímka daná rovnicí y = 0,5x + a asymptota hyperboly o rovnici y = 0,5x mají stejnou směrnici; jsou tedy rovnoběžné. Příklad 4: Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x = 3 - t, y = - + t a hyperboly o rovnici 9x - 4y = 36...0 :59:08 68 z 84
Z parametrického vyjádření přímky x = 3 - t, y = - + t dosadíme za x a y do rovnice hyperboly: 9.(3 - t) - 4(- + t) = 36 5t - 46t + 4 = 0 Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: D = (-46) - 4. 5. 4 = 96 D > 0, kvadratická rovnice má tedy dva různé reálné kořeny: t = 4/5, t =. Dosazením t = 4/5 do parametrického vyjádření přímky dostaneme x = -6/5, y = 36/5; dosazením t = do parametrického vyjádření přímky dostaneme x =, y = 0. Přímka má tedy s hyperbolou společné dva různé body A[-6/5; 36/5], B[; 0]. Přímka je sečnou hyperboly. ± Vzájemná poloha přímky a hyperboly - procvičovací příklady. 799. 79 3. 80 4. 803 ± Parabola Parabola..0 :59:08 69 z 84
Vrcholová rovnice paraboly s vrcholem v počátku souřadného systému..0 :59:08 70 z 84
Vrcholová rovnice paraboly s vrcholem v libovolném bodě..0 :59:08 7 z 84
Zobecnění (pro různé polohy vrcholu vzhledem k ohnisku):..0 :59:08 7 z 84
Obecná rovnice paraboly..0 :59:08 73 z 84
Vzájemná poloha bodu a paraboly..0 :59:08 74 z 84
Ukázkové příklady: Příklad : Parabola má rovnici y = 6x. Zjistěte souřadnice ohniska F paraboly, parametr p paraboly a napište rovnici řídící přímky d paraboly. Parabola y = 6x má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko F na kladné poloose x; porovnáme-li její rovnici s rovnicí y = px, dostaneme: p = 6 p=3 Parabola má parametr 3. Ohnisko má souřadnice [0,5p; 0], to znamená F[,5; 0]. Řídící přímka d má rovnici x = -0,5p, dosadíme p = 3 a dostaneme d: x = -,5...0 :59:08 75 z 84