EEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité ozložení náboje Pete Doumashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah. SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE.1 ÚKOY. AGOITMY PO ŘEŠENÍ POBÉMU ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE ÚOHA : EEKTICKÉ POE NABITÉ ÚSEČKY NA OSE SYMETIE 4 ÚOHA : EEKTICKÉ POE NABITÉ ÚSEČKY NA OSE SYMETIE 4 ÚOHA : EEKTICKÉ VE SMĚU KOMÉM K NABITÉ ÚSEČCE 4 ÚOHA : EEKTICKÉ VE SMĚU KOMÉM K NABITÉ ÚSEČCE 4 ÚOHA 4: NABITÁ PŮKUŽNICE 5 ÚOHA 4: NABITÁ PŮKUŽNICE 5
. Spojité ozložení náboje.1 Úkoly 1. Seznámení se s pojmy lineání, plošné a objemové hustoty náboje.. Spočítání intenzity elektického pole náboje ozloženého na úsečce ze dvou ůzných směů.. Ověření, že pokud ozmě úsečky jde k nule, dostaneme předpokládaný výsledek.. Algoitmy po řešení poblému Abychom byli schopni spočítat elektické pole vytvořené v postou spojitě ozloženým nábojem, musíme tento náboj ozdělit na menší části dq, každá část vytvoří příspěvek elektického pole de. Pokud spojité ozložení ozdělíme na bodové náboje, můžeme psát E 1 dq = d E = ˆ, 4πε 0 kde je vzdálenost od náboje dq k bodu P (tam kde měříme elektické pole E ) a ˆ je odpovídající jednotkový vekto. Obecně poto můžeme použít následující koky: (1) ozdělte nábojové ozložení na malé části dq, od kteých znáte příspěvek de. () Napište odpovídající příspěvky de po dq. Například příspěvek bodového náboje je 1 dq 1 dq de= ˆ = (duhý zápis je většinou výhodnější). 4πε 0 4πε0 () Přepište element náboje dq jako dl dq = σ da ρdv (délka) (plocha) (objem) v závislosti na dimenzi objektu, na kteém je náboj ozložen. (4) Nahaďte substituci dq ve výazu de. (5) Zvolte si vhodný systém souřadnic (katézský, cylindický nebo sféický) a vyjádřete si element difeenciálu ( dl, da nebo dv ) a v těchto souřadnicích (viz Tab..1), pokud si potřebujete zopakovat souřadné systémy, využijte předchozích řešených úloh. Katézské ( x, y, z ) Cylindické ( ρ, φ, z ) Sféické (, θ, φ ) dl dx, dy, dz dρ, ρdφ, dz d, dθ, sinθdφ da dxdy, dxdz, dxdz dρ dz, ρdφ dz, ρdφdρ ddθ, sinθddφ, sinθdθdφ dv dxdydz ρdρdφ dz sinθddθdφ Tabulka.1: Difeenciální elementy v jednotlivých systémech souřadnic.
(6) Přepište de v integačních poměnných, ze symetií zjistěte, kteé příspěvky se vyuší a kteé je třeba zahnout do integace. (7) Integujte výaz, abyste získali E. Úloha 1: Spojité ozložení náboje (1) Na plášť válce délky a poloměu, kde, je ovnoměně ozložen náboj. Na podstavách válce není žádný náboj. a. Ze zadaných paametů vyjádřete povchovou hustotu náboje σ? Poveďte ozměovou analýzu. b. Předpokládejte, že jste ve vzdálenosti mnohem větší, než je polomě válce. Válec tak vypadá jako nabitá úsečka. Jaká je lineání hustota náboje zdánlivé nabité úsečky? Poveďte ozměovou analýzu. () Objem válce délky a poloměu ( ) je ovnoměně vyplněn nábojem. a. Jaká je objemová hustota náboje ρ? Poveďte ozměovou analýzu. b. Předpokládejte, že jste ve vzdálenosti mnohem větší, než j polomě válce. Válec tak vypadá jako nabitá úsečka. Jaká je lineání hustota náboje zdánlivé nabité úsečky? Poveďte ozměovou analýzu. Úloha 1: Spojité ozložení náboje (1) () a. σ = /( π), b. = /. a. ρ = π b. =., Následující úlohy se budou zabývat elektickým polem kolem nabité úsečky. Analyticky jsme schopni toto pole spočítat pouze po dvě přímky v postou. V ostatních bodech musíme použít numeické metody po výpočet elektického pole. Celkovou epezentaci pole můžete vidět v jedné z vizualizací na adese http://www.aldebaan.cz/elmg/vizualizace_elst.html, kde si vybete osmou vizualizaci. Obázek dole ukazuje globální pole nabité úsečky zobazené šumovou textuou
Úloha : Elektické pole nabité úsečky na ose symetie Dát délky l je homogenně nabit celkovým nábojem. Spočítejte elektické pole v bodě P, kteý je ve vzdálenosti a od podélné osy úsečky. a. Zapište integál vyjadřující elektické pole v bodě P. b. Spočítejte tento integál. c. Obdžíme očekávaný výsledek, pokud půjde v limitě délka úsečky k nule? Úloha : Elektické pole nabité úsečky na ose symetie a. a+ ˆ dx E= k i, e a ( x ) a+ 1 b. = ke = ke x a ˆ ˆ E i i, a( a + ) c. Pokud půjde v limitě k nule, dostaneme, jak jsme očekávali, pole bodového náboje E = k ˆ e a i. Úloha : Elektické ve směu kolmém k nabité úsečce Na tyči délky je ovnoměně ozpostřen náboj po celé její délce. Vyjádřete intenzitu elektického pole E na ose kolmé k tyči ve vzdálenosti y od středu (viz ob. nahoře). Úloha : Elektické ve směu kolmém k nabité úsečce Uvažme malý element náboje dq umístěný na segmentu dx ve vzdálenosti x od počátku souřadnic (viz ob.). Z délkové hustoty náboje vyjádříme, že dq = dx, elektické pole 4
dq způsobené elementem dq tak je de= ke. Z obázku je zřejmé, že = xˆi+ yˆj a = x + y, takže dostaneme ( x + y ) ( ) dq dx de= k ˆ ˆ e = k e xi+ yj. Ze symetie poblému zjistíme, že x-ová složka elektického pole vymizí, poto celkové pole v daném bodě můžeme integovat jako Úloha 4: Nabitá půlkužnice Úloha 4: Nabitá půlkužnice dx e / ( x + y ) E = k y ˆj. Polokuhová tyč o poloměu je homogenně nabitá celkovým nábojem. a. Vyjádřete hodnotu elektického pole ve středu polokužnice. b. Spočítejte elektický potenciál ve středu polokužnice. Stejně jako v předchozím případě si vyjádříme elektické pole elementu dq, v tomto případě však budeme integovat podél úhlu θ. Element náboje tak můžeme vyjádřit jako dq = dθ, nyní můžeme napsat intenzitu elektického pole elementu dq: ( θ ˆ θ ˆ) dq dθ de= ke = k e cos i sin j. Ze symetie úlohy x-ová složka intenzity se odečte, integovat tak musíme pouze y-ovou složku Z toho π Ey = de = ke sinθdθ = ke. y oblouk 0 k E= E j = ˆ e y. Výpočet potenciálu je mnohem jednodušší, neboť všechen náboj je ve stejné vzdálenosti od středu, potenciál v tomto bodě je tedy V = ke. 5