Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení, které vektoru v R d přiřadí vektor D v f(a R n, tedy derivaci funkce f podle vektoru v v bodě a. Toto zobrazení označíme L. Připomeneme definici derivace funkce podle vektoru D v f(a = t 0 f(a t v f(a t Je to ita funkce z R do R n a o té víme, že se počítá po složkách. Příklady. 1. f(x, y = x 3 4xy, a = (1, 1 L : v D v f(a = (1 v 1 t 3 4(1 v 1 t(1 v t 3 = t 0 t = (3v 1 3v t 0 1t v1t 3 4v 1 4v 4v 1 v t = v 1 4v. g(x, y = x y x y rozšířená nulou do bodu a = (0, 0 (0 v 1 t (0 v t 1 L : v D v g(a = t 0 ((0 v 1 t (0 v t t = = v 1v v1 v. Slabá derivace. Podívejme se na grafy výše zkoumaných funkcí Obrázky jsou vygenerovány na wolframalpha.com Derivace podle vektoru souvisí s tečnou řezu grafu ve směru vektoru. U funkce f tyto tečny leží ve společné rovině (viz obrázek vlevo, u funkce g nikoliv (viz obrázek vpravo. To, zda tečny tvoří rovinu, souvisí s tím, zda je zobrazení L lineární (TODO: UKÁZAT 1
SOUVISLOST ADITIVITY A SPOLEČNÉ ROVINY TEČEN. A to nás vede k definici derivace, kterou nazýváme slabou derivací. Definice slabé derivace. Lineární zobrazení, které vektoru v R d přiřadí derivaci funkce f v bodě a R d podle vektoru v nazýváme slabou derivací funkce f v bodě a. Poznamenejme, že pro funkci f : R d R n je slabá derivace také zobrazením R d do R n. Příklady. Ve výše uvedeném příkladu má funkce f v bodě (1, 1 slabou derivaci L : (v 1, v v 1 4v. Funkce g v bodě (0, 0 slabou derivaci nemá. Poznámky. 1. Parciální derivace je speciálním případem derivace podle vektoru. Pro funkci dvou proměnných x, y je parciální derivace podle x derivací podle vektoru (1, 0 a parciální derivace podle y derivací podle vektoru (0, 1.. Má-li funkce dvou proměnných slabou derivaci, pak je tato derivace tvaru L : (v 1, v L 1 v 1 L v. Vektoru v = (1, 0 přiřadí L číslo L 1. Proto je L 1 rovno hodnotě parciální derivace podle x. Podobně je L rovno hodnotě parciální derivace podle y. Slabá derivace tedy, pokud existuje, má tvar L : (v 1, v v 1 x (a v y (a Pomocí gradientu a skalárního součinu můžeme slabou derivaci zapsat L : (v 1, v (v 1, v grad f(a (1 3. Vztah (1 platí jen v případě existence slabé derivace. Funkce g zkoumaná výše má v bodě a = (0, 0 gradient grad g(a = (0, 0, ale nemá slabou derivaci. Příklad slabé derivace tedy geometricky tečen v jedné rovině kterou bychom se zdráhali nazvat tečnou rovinou. Na obrázku je graf funkce f : (x, y x4 y x 8 y 4 rozšířený nulou do bodu a = (0, 0. Vypočteme derivaci v bodě a podle vektoru v = (v 1, v. D v f(a = t 0 (v 1 t 4 (v t ((v 1 t 8 (v t 4 t = v4 1v t v 8 1t 4 v 4 = 0 Obrázek je vygenerován na wolframalpha.com Odtud plyne grad f(a = (0, 0 a také existence slabé derivace L : v 0 Z grafu a z f(x, 0 = 0, f(x, x = 1/ plyne, že funkce není v bodě a = (0, 0 spojitá. To nás vede k definici silné derivace. Uvidíme, že spojitost je důsledek existence silné derivace. Výše uvedený příklad ukazuje, že slabá derivace spojitost nezaručuje.
3. Silná derivace. Definice. Lineární zobrazení L nazveme silnou derivací funkce f v bodě a, pokud platí f(a v f(a L(v v o v = o ( Silnou derivaci funkce f v bodě a značíme f (a nebo df(a, případně Df(a. O kolizi značení pro funkci jedné proměnné jednou je f (a číslo, podruhé lineární zobrazení viz následující poznámky a [], definice.6, poznámka.7, [1], příklad 5..10 a poznámka 5..11. Poznámky. 1. Místo silná derivace se často říká derivace. Další často používaný termín je totální diferenciál nebo jen diferenciál.. Je-li f funkce z R d do R n, pak je i silná derivace zobrazením z R d do R n. 3. Pro funkci f : R R, tedy funkci jedné proměnné je v definici silné derivace a R, budeme ho tedy značit netučně a. Podobně budeme v R značit v a místo o napíšeme 0. Místo L(v budeme psát součin Lv, kde L není zobrazení, ale reálné číslo. Místo normy napíšeme absolutní hodnotu. Dostaneme f(a v f(a Lv v 0 v Odstraněním absolutní hodnoty se nezmění ita zprava a ita zleva změní znaménko. Můžeme tedy vztah nahoře ekvivalentně přepsat na a to je ekvivalentní s f(a v f(a Lv v 0 v f(a v f(a v 0 v Závěr. V případě funkce jedné proměnné je existence silné derivace ekvivalentní existenci derivace a silná derivace v bodě a je zobrazení L : v f (av. Věta o tvaru silné derivace. Má-li funkce f : R d R v bodě a R d silnou derivaci, pak má tato tvar L : v v grad f(a Důkaz. Důkaz provedeme pro funkci z R do R a do ( dosadíme a = (a 1, a, v = (v 1, v a vyjádříme L(v = L 1 v 1 L v. Naším cílem je tedy ukázat L 1 = x (a = L L = y (a Ze vztahu ( v definici silné derivace plyne, že i ity po přímkách jsou rovny nule. Po dosazení v = 0 dostaneme = 0 = 0 f(a 1 v 1, a f(a 1, a L 1 v 1 v 1 0 v 1 3 = 0
Odtud stejnou úvahou jako v poznámce 3 dostaneme a tedy Podobně bychom dostali f(a 1 v 1, a f(a 1, a = L 1 v 1 0 v 1 L 1 = x (a L = y (a Věta o silné a slabé derivaci. Má-li funkce f : R d R n v bodě a R d silnou derivaci, pak má v tomto bodě i slabou derivaci a jsou si rovny. Důkaz. Zvolíme u R d, u o a do ( dosadíme v = t u. Dostaneme po úpravě a po vynásobení u f(a t u f(a L(t u t 0 t u f(a t u f(a tl(u t 0 t u f(a t u f(a tl(u t 0 t Nyní stejnou úvahou jako v poznámce 3 odstraníme absolutní hodnotu a upravíme na f(a t u f(a t 0 t = L(u Dostáváme tedy pro u o rovnost L(u = D u f(a, tedy rovnost silné a slabé derivace. Pro u = o výsledek plyne z linearity obou derivací. Věta o existenci silné derivace. Má-li funkce f : R d R v bodě a R d spojité parciální derivace prvního řádu, pak má v bodě a silnou derivaci L : v v grad f(a Důkaz provedeme pro d =. Přírůstek funkce napíšeme jako součet přírůstků ve směru souřadných os nakreslete obrázek obsahující body a = (a x, a y, a v = (a x v x, a y v y, (a x v x, a y. f(a x v x, a y v y f(a x, a y = f(a x v x, a y v y f(a x v x, a y f(a x v x, a y f(a x, a y Na rozdíly na pravé straně použijeme Lagrangeovu větu o střední hodnotě. Dostaneme = o = o = o f(a x v x, a y v y f(a x, a y = v y y (c v x x (d 4
kde bod c leží někde na úsečce mezi body (a x v x, a y v y, (a x v x, a y a bod d mezi body (a x v x, a y, (a x, a y, Od obou stran odečteme L(v ( ( f(a x v x, a y v y f(a x, a y (v x, v y grad f(a = v y (c y y (a v x (d x y (a dosadíme do definice silné derivace ( ( v y (c (a v y y x v x vy x (d y (a a upravíme v y v x vy ( (c y y (a ( v x (d v x vy x y (a Chceme ukázat, že tento výraz má pro (v x, v y (0, 0 itu rovnu nule. Ze spojitosti parciálních derivací víme, že rozdíly v závorkách mají nulovou itu. O podílech zase víme, že nabývají hodnot mezi nulou a jednou. Věta o itě součinu nulové a omezené funkce dá požadovaný výsledek. Poznámka. Víme, že ity funkce do vícerozměrného prostoru počítáme po složkách. Odtud plyne existence a výpočet silné derivace funkce f = (f 1,..., f n z R d do R n v bodě, ve kterém mají složky f 1,... f n spojité parciální derivace prvního řádu. Ukážeme na následujícím příkladu. Příklad. Funkce f z R do R daná předpisem f : (r, ϕ (r cos ϕ, r sin ϕ má na R spojité parciální derivace prvního řádu, má tedy silnou derivaci a ta je daná předpisem (v 1, v (v 1 cos ϕ v r sin ϕ, v 1 sin ϕ v r cos ϕ což můžeme zapsat maticově ( ( cos ϕ r sin ϕ v1 (v 1, v sin ϕ r cos ϕ Definice Jacobiho matice a Jacobiánu. Necht f = (f 1,..., f n je funkce z R d do R n. Matici parciálních derivací prvního řádu funkce f nazýváme Jacobiho maticí funkce f 1 x 1.... n x 1... V případě n = d, kdy je Jacobiho matice čtvercová, nazýváme její determinant Jacobiánem funkce f. Čteme: jakobiho matice, jakobián, spisovně je Jacobiova matice. Věta o spojitosti a derivaci. Má-li funkce f : R d R n silnou derivaci v bodě a, pak je v bodě a spojitá. 1 x d n x d Důkaz. Z ( plyne, že čitatel má nulovou itu, tedy v (f(a v f(a L(v = 0 v o Lineární zobrazení je spojité, tedy L(v o pro v o. Odtud plyne v o f(a v = f(a a tedy spojitost f v bodě a. 5
4. Taylorův polynom prvního stupně. Odvodíme z ( vztah pro Taylorův polynom prvního stupně pro funkci dvou proměnných. Čitatel v ( označíme R 1. Dostaneme po úpravě f(a v = f(a grad f(a v R 1 Označíme-li a = (a 1, a, a v = (x, y, odkud vyjádříme v = (x a 1, y a, přepíšeme vztah na f(x, y = f(a 1, a (x a 1 x (a (y a y (a R 1(x, y (3 R 1 interpretujeme jako zbytek Taylorova polynomu. Z ( plyne pro tento zbytek obdobná vlastnost jako v případě funkce jedné proměnné, tedy R 1 (x, y/ (x, y a 0 pro (x, y a. Připomeňme ještě, že pro funkci jedné proměnné plynula uvedená vlastnost zbytku z existence derivace. Pro funkci dvou proměnných plyne z existence silné derivace. Žádná ze slabších forem derivace, jako gradient nebo slabá derivace, vlastnost zbytku nezaručí. Příklad. Výše jsme určili silnou derivaci funkce (r, ϕ (r sin ϕ, r cos ϕ. Napíšeme Taylorovy polynomy jejích složek v bodě (r 0, ϕ 0 r cos ϕ = r 0 cos ϕ 0 (r r 0 cos ϕ 0 (ϕ ϕ 0 r R 1 (r, ϕ r sin ϕ = r (r r 0 sin ϕ 0 (ϕ ϕ 0 r 0 cos ϕ 0 R1 (r, ϕ a zopakujeme, co platí pro jejich zbytky (uvádíme jen pro R 1, pro R1 je vztah stejný R 1 (r, ϕ/ (r r 0 (ϕ ϕ 0 0 pro (r, ϕ (r 0, ϕ 0 Maticově napíšeme oba Taylorovy polynomy ve tvaru ( r cos ϕ r sin ϕ ( ( ( r0 cos ϕ = 0 cos ϕ0 r r r0 r ϕ ϕ 0 ( R1 (r, ϕ R 1 (r, ϕ (4 Poznámka. Srovnejte (4 se vztahem pro funkci jedné proměnné f(x = f(x 0 f (x 0 (x x 0 R 1 (x 5. Derivace složené funkce. Pravidlo pro derivaci složené funkce odvodíme a vysvětlíme na příkladě. Máme funkci f proměnných x, y a dosadíme do ní polární souřadnice. Dostaneme funkci g : (r, ϕ f(r cos ϕ, r sin ϕ Naším cílem je vyjádřit gradient funkce g v bodě (r 0, ϕ 0 pomocí gradientu funkce f v bodě (x 0, y 0 = (r 0 cos ϕ 0, r. K výpočtu použijeme Taylorův polynom. Budeme tedy předpokládat existenci silné derivace funkce f v bodě (x 0, y 0. f(x, y = f(x 0, y 0 x (x 0, y 0 (x x 0 y (x 0, y 0 (y y 0 R 1 (x, y (5 6
Taylorův polynom (5 zapíšeme v maticovém tvaru ( f(x, y = f(x 0, y 0 x (x 0, y 0, ( x y (x x0 0, y 0 y y 0 R 1 (x, y (6 Taylorův polynom vnitřní funkce jsme napsali v (4. Do (6 dosadíme ( x x0 a za y y 0 f(x, y = g(r, ϕ f(x 0, y 0 = g(r 0, ϕ 0 dosadíme z (4 ( ( ( x x0 r cos ϕ r cos ϕ0 cos ϕ0 r = = y y 0 r sin ϕ r sin ϕ r 0 cos ϕ 0 Dostaneme ( r r0 ϕ ϕ 0 ( R1 (r, ϕ R 1 (r, ϕ g(r, ϕ = g(r 0, ϕ 0 ( x (x 0, y 0, ( x (x 0, y 0, y (x 0, y 0 R 1 (r cos ϕ, r sin ϕ ( cos y (x ϕ0 r 0, y 0 ( cos ϕ0 r ( r r0 ϕ ϕ 0 ( R1 (r, ϕ R 1 (r, ϕ Dá se ukázat (my to vynecháme, že poslední dva řádky jsou součástí zbytku Taylorova polynomu ( R(r, ϕ = x (x 0, y 0, ( ( cos y (x ϕ0 r 0, y 0 R1 (r, ϕ R sin ϕ 0 r 0 cos ϕ 1 (r cos ϕ, r sin ϕ 0 R 1 (r, ϕ Taylorův polynom pak napíšeme ve tvaru g(r, ϕ = g(r 0, ϕ 0 ( x (x 0, y 0, ( cos y (x ϕ0 r 0, y 0 R(r, ϕ ( r r0 ϕ ϕ 0 a gradient funkce g ve tvaru ( g r (r 0, ϕ 0, g ( ϕ (r 0, ϕ 0 = x (x 0, y 0, ( cos y (x ϕ0 r 0, y 0 nebo stručněji ve tvaru ( cos ϕ0 r grad g(r 0, ϕ 0 = grad f(x 0, y 0 7
a pomocí gradientu zobrazení h : (r, ϕ (r cos ϕ, r sin ϕ ve tvaru Nakonec ještě napišme vztah po složkách grad g(r 0, ϕ 0 = grad f(x 0, y 0 grad h(r 0, ϕ 0 g r g ϕ = cos ϕ sin ϕ x y = r sin ϕ r cos ϕ x y (7 Výše uvedené odvození shrneme ve větě o derivaci složené funkce. Její důkaz neuvádíme, je zobecnění postupu ve výše uvedeném příkladě. Věta o silné derivaci složeného zobrazení. Má-li funkce f : R d R m v bodě a R d silnou derivaci a funkce g : R m R n v bodě f(a R m silnou derivaci, pak má složená funkce g f : x g(f(x v bodě a silnou derivaci rovnu složenému zobrazení obou derivací. Úlohy. 1. Vyjádřete z (7 derivace x, y.. Vyjádřete (za předpokladu spojitosti parciálních derivací druhého řádu druhou derivaci f. x Návod. Z předchozího cvičení jsme dostali x = cos ϕ g r sin ϕ g r ϕ Dvojím použitím tohoto pravidla dostaneme f x = ( = cos ϕ ( cos ϕ g x x r r sin ϕ g sin ϕ r ϕ r ϕ ( cos ϕ g r sin ϕ g r ϕ 3. Za předpokladů stejných jako v předchozím cvičení vyjádřete f x do tvaru f x f y = g r 1 g r r 1 g r ϕ f y a upravte Reference [1] Jiří Veselý. Základy matematické analýzy. www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma11-1/ma_i/ppma.pdf. [] Luděk Zajíček. Skripta. www.karlin.mff.cuni.cz/~zajicek/skriptamn.htm. 8