10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány lgebrické operce. Hodnoty tkové funkce můžeme povžovt z podmnožinu komplexní roviny C, kde jsou její body závislé n prmetru t (, b), podobně jko je prmetricky určen úsečk v rovině. Uvedeme nejprve definice pojmů, které jsme si zvedli u reálných funkcí reálné proměnné. Definice: Jestliže je f : (, b) C komplexní funkce reálné proměnné, kde f(t) = u(t) + jv(t), pk definujeme: ) lim f(t) = lim u(t) + j lim v(t); t t0 t t0 t t0 b) f (t) = u (t) + jv (t); c) f(t) dt = u(t) dt + j v(t) dt; d) β α f(t) dt = β α u(t) dt + j β α v(t) dt. Poznámk: U těchto funkcí nezvádíme pojmy, jko je rostoucí, klesjící, konkávní konvexní funkce, či lokální nebo bsolutní extrém. Definice: Hldký oblouk Množinu C C nzýváme hldkým (regulárním) obloukem, jestliže pltí: ) C = {z; z = ϕ(t), t b}; b) funkce ϕ je spojitá v intervlu, b prostá v intervlu (, b); c) funkce ϕ má spojitou derivci v intervlu, b ϕ (t) 0 pro t (, b). Funkci ϕ nzýváme prmetrizcí oblouku C rovnici C : z = ϕ(t), t, b nzýváme prmetrickou rovnicí oblouku C. Bod ϕ() nzýváme počátečním bodem bod ϕ(b) nzýváme koncovým bodem oblouku C. Definice: Orientce oblouku Je-li C oblouk, pk smysl, ve kterém proběhneme body oblouku ve směru od počátečního bodu ke koncovému bodu nzýváme jeho orientcí. Oblouk se zvolenou orientcí nzýváme orientovný znčíme jej. Poznámk: Kždý oblouk C má dvě nvzájem opčné orientce. Tkto orientovné oblouky budeme oznčovt ( C ). Pro oblouk C, který je dán prmetrickou rovnicí C : z = ϕ(t), t b, je jedn z orientcí určen jeho prmetrizcí. Je to t, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(). p.b. Im Im k.b. C ( C ) Re Re Obr. 3.4. Obr. 3.5. 47
Definice: Orientovná cest, křivk C je sjednocení oblouků C i, 1 i m tkové, že: ) C = m i=1c i ; b) oblouky lze orientovt tk, že koncový bod oblouku (C i ) je počátečním bodem oblouku (C i+1 ), 1 i m 1. Poznámk: Orientce oblouků (C i ) určují orientci cesty. Jejím počátečním bodem je počáteční bod oblouku (C 1 ) jejím koncovým bodem je koncový bod oblouku (C m ). Cest, u které počáteční koncový bod splynou se nzývá uzvřená. 11. Křivkový integrál Nechť je orientovný oblouk v oblsti G C f : G C je spojitá funkce. N oblouku vybereme po řdě body z 0, z 1,..., z n. Je-li prmetrizce oblouku C, pk : z = ϕ(t), t b z k = ϕ(t k ), 0 k n, = t 0 < t 1 <... < t n = b. Body z k tvoří dělení D oblouku body t k tvoří dělení D intervlu, b. N oblouku zvolme body z k tk, že z k = ϕ(t k), t k 1 t k t k, 1 k n. Oznčme D = mx{ z k z k 1 ; 1 k n} normu dělení D. Potom definujeme S(f; D) = n k=1 f(z k)(z k z k 1 ) integrální součet funkce f příslušný dělení D. Z uvedených podmínek existuje limit ( ) lim S(f; D), D 0 která nezávisí n volbě dělících bodů z k bodů z k. Je jednoznčně určen hodnotmi funkce f obloukem. Definice: Limitu ze vzthu ( ) nzýváme křivkovým integrálem funkce f po orientovném oblouku oznčujeme jej ( ) f(z) dz. Vět. Je-li : z = ϕ(t), t b prmetrizce oblouku C, pk ( ) f(z) dz = b f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Vět. Vlstnosti integrálu f(z) dz = f(z) dz; ( C ) (αf(z) + βg(z)) dz = α f(z) dz + β g(z) dz; 48
1 dz = ϕ(b) ϕ() = z n z 0, kde z 0 je počáteční bod z n je koncový bod oblouku. 12. Cuchyov vět Vět. Jordnov Je-li C uzvřená cest, pk rozděluje komplexní rovinu C n dvě disjunktní oblsti, jejichž je společnou hrnici. Jedn z oblstí je omezená, nzýváme jí vnitřkem cesty C znčíme Int, druhá je neomezená, nzýváme ji vnějškem cesty C znčíme Ext. Orientci cesty C tkovou, že při pohybu po cestě ve směru určeném orientcí zůstává vnitřek Int vlevo nzýváme kldnou. Opčnou orientci nzýváme zápornou. Vět. Cuchyov Nechť C je uzvřená cest G C je oblst tková, že obshuje cestu C její vnitřek Int. Je-li funkce f holomorfní v oblsti G, pk f(z) dz = 0. Vět. Je-li G C oblst funkce f je holomorfní v oblsti G {z 0 }, z 0 G C 1 C 2 jsou tkové uzvřené cesty, že C 1 Int(C 2 ) G, pk f(z) dz = f(z) dz, (C 1 ) kde cesty (C 1 ) (C 2 ) jsou obě kldně nebo záporně orientovány. Příkld. Je-li kldně orientovná uzvřená cest, pk pro z 0 Int je 0, n 1, (z z 0 ) n dz =, n = 1. (C 2 ) 13. Cuchyův vzorec Vět. Cuchyův vzorec. Nechť je funkce f : G C holomorfní v oblsti G. Pk pro kždou uzvřenou cestu C, která leží spolu se svým vnitřkem Int v oblsti G pltí: f(z) ( ) dz = f(z 0 ), z 0 Int, z z 0 kde je kldně orientovná. Vět. Nechť je funkce f : G C holomorfní v oblsti G. Pk pro kždou uzvřenou cestu C, která leží spolu se svým vnitřkem Int v oblsti G pltí, že funkce Φ, která je definovná pro z Int vzthem Φ(z) = 1 dw Int, n kde je kldně orientovná, je holomorfní v oblsti Int Φ (z) = n dw, z Int. n+1 Důsledek. Pro n = 1 dostneme z Cuchyov vzorce vzth Φ(z) = f(z) = 1 49 dw, z Int. w z
Podle věty je tedy f (z) = 1 Odtud plyne z věty pro n = 2, že (f (z)) = f (z) = 2 dw, z Int. 2 dw, z Int. 3 Postupně dostneme opkovným použitím věty, že pro n N je ( ) f (n) (z) = n! dw, z Int. n+1 Protože může být cest C volen libovolně, znmená to, že funkce f má derivci libovolného řádu v kždém bodě oblsti G. Vět. Je-li funkce f holomorfní v oblsti G C, pk má derivce všech řádů v oblsti G jejich hodnoty jsou určeny pomocí hodnot funkce f vzorcem ( ). 14. Tylorov vět Vět. Nechť je funkce f : G C holomorfní v oblsti G z 0 G. Je-li K kružnice se středem v bodě z 0 tková, že leží spolu se svým vnitřkem Int(K ) v oblsti, pk pro všechny hodnoty z Int(K ) je f(z) = f (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k. Důsledek. Je-li f(z) = pk je funkce f(z) holomorfní v kruhu {z; z z 0 < r} k = f (k) (z 0 ) k! k (z z 0 ) k, z z 0 < r, = 1 f(z) dz, (z z 0 ) k+1 kde je kldně orientovná uzvřená cest, která leží v kruhu {z; z z 0 < r} z 0 Int. Vět. Je-li f(z) = k (z z 0 ) k, z z 0 < r, pk pro n N z z 0 < r je f (n) (z) = k=n k(k 1)... (k n + 1) k (z z 0 ) k n = Vět. Je-li = (m + n)(m + n 1)... (m + 1) m+n (z z 0 ) m. m=0 f(z) = k z k, z < r, 50
pk f(αz) = k α k z k, z < r α f(z m ) = pk kde k z km, z < m r. Vět. Je-li f(z) = k (z z 0 ) k, z z 0 < r 1, g(z) = b k (z z 0 ) k, z z 0 < r 2, f(z) + g(z) = ( k + b k )(z z 0 ) k, z z 0 < min{r 1 ; r 2 } f(z)g(z) = c k (z z 0 ) k, z z 0 < min{r 1 ; r 2 }, k c k = n b k n, n = 0, 1, 2,.... n=1 51