O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019) Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 1 / 17
Ryze kovexí fukce Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 2 / 17
Ryze kokáví fukce Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 3 / 17
Věta (Jeseova erovost) Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I a libovolá λ 1, λ 2,..., λ > 0 taková, že λ 1 + λ 2 + + λ = 1, platí resp. f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ), f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 4 / 17
Věta (Jeseova erovost) Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I a libovolá λ 1, λ 2,..., λ > 0 taková, že λ 1 + λ 2 + + λ = 1, platí f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ), resp. f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 4 / 17
Věta (Jeseova erovost) Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I a libovolá λ 1, λ 2,..., λ > 0 taková, že λ 1 + λ 2 + + λ = 1, platí resp. f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ), f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Důkaz. Lze provést apř. idukcí vzhledem k. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 4 / 17
f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ) Důkaz. My si ukážeme jiý (pěkější) důkaz. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 5 / 17
f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ x ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + + λ f (x ) Důkaz. My si ukážeme jiý (pěkější) důkaz. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 5 / 17
Důsledek Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I platí resp. ( ) x1 + x 2 + + x f ( ) x1 + x 2 + + x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 6 / 17
Důsledek Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I platí resp. ( ) x1 + x 2 + + x f ( ) x1 + x 2 + + x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 6 / 17
Důsledek Jestliže je fukce f ryze kovexí, resp. ryze kokáví, a itervalu I, pak pro libovolá x 1, x 2,..., x I platí resp. ( ) x1 + x 2 + + x f ( ) x1 + x 2 + + x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ). Rovost přitom astae, právě když platí x 1 = x 2 = = x. Důkaz. Tvrzeí plye přímo z Jeseovy erovosti. Stačí zvolit λ 1 = λ 2 = = λ = 1. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 6 / 17
Věta (AG erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x 2 + + x x 1 x 2... x. (AG) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 7 / 17
Věta (AG erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x 2 + + x x 1 x 2... x. (AG) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Důkaz. Použijeme důsledek Jeseovy erovosti a ryzí kokávosti fukce f (x) = log x a itervalu (0, + ). Pro libovolá kladá x 1, x 2,..., x tedy platí ( ) x1 + x 2 + + x log log x 1 + log x 2 + + log x, což po úpravě dává AG erovost (pro kladá x 1, x 2,..., x ). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 7 / 17
Věta (AK erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x 2 + + x x 2 1 + x2 2 + + x 2. (AK) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 8 / 17
Věta (AK erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x 2 + + x x 2 1 + x2 2 + + x 2. (AK) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Důkaz. V prví řadě si uvědomme, že fukce f (x) = x 2 je ryze kovexí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 8 / 17
Věta (AK erovost) Pro libovolá ezáporá reálá čísla x 1, x 2,..., x platí x 1 + x 2 + + x x 2 1 + x2 2 + + x 2. (AK) Rovost v posledí erovosti astae, právě když x 1 = x 2 = = x. Důkaz. V prví řadě si uvědomme, že fukce f (x) = x 2 je ryze kovexí. Poté použijeme erovost ( ) x1 + x 2 + + x f f (x 1) + f (x 2 ) + + f (x ), ze které plye (x1 + x 2 + + x ) 2 x 1 2 + x 2 2 + + x 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 8 / 17
Uvažujme (velmi důležitou) posloupost a = ( 1 + 1 ). Dokažte, že tato posloupost je rostoucí, tz. pro každé N platí a +1 > a. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 9 / 17
Uvažujme (velmi důležitou) posloupost a = ( 1 + 1 ). Dokažte, že tato posloupost je rostoucí, tz. pro každé N platí a +1 > a. Důkaz. ( a = 1 + 1 ) ( = 1 1 + 1 ) AG < ( 1 + ( 1 + 1 ( ) ( 1 + 1 1 + 1 }{{} krát ) ( + 1 + 1 + 1 = ) + + ( 1 + 1 ) AG < )) +1 = ( ) + 2 +1 ( = 1 + 1 ) +1 = a +1. + 1 + 1 Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 9 / 17
Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 10 / 17
Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Řešeí. Použijeme AG erovost a poté důsledek Jeseovy erovosti pro fukci si x, která je ryze kokáví a itervalu 0, π. Máme tedy AG 3 si α + si β + si γ si α si β si γ 3 Jese Jese ( ) α + β + γ si 3 = si π 3 = 3 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 10 / 17
Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Řešeí. Použijeme AG erovost a poté důsledek Jeseovy erovosti pro fukci si x, která je ryze kokáví a itervalu 0, π. Máme tedy AG 3 si α + si β + si γ si α si β si γ 3 Jese Jese ( ) α + β + γ si 3 = si π 3 = 3 2. Odtud si α si β si γ 3 3 8. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 10 / 17
Ze všech trojúhelíků s vitřími úhly α, β, γ ajděte te, pro který je hodota výrazu si α si β si γ maximálí. Řešeí. Použijeme AG erovost a poté důsledek Jeseovy erovosti pro fukci si x, která je ryze kokáví a itervalu 0, π. Máme tedy AG 3 si α + si β + si γ si α si β si γ 3 Odtud Jese Jese ( ) α + β + γ si 3 = si π 3 = 3 2. si α si β si γ 3 3 8. Rovost přitom astae, právě když α = β = γ, tj. právě když se jedá o rovostraý trojúhelík. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 10 / 17
Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 11 / 17
Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Nápověda. u = a 2 + b 2 AK ( ) a + b 2 2 = o 2 4. Rovost astae, právě když a = b, tj. když se jedá o čtverec. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 11 / 17
Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Nápověda. u = a 2 + b 2 AK ( ) a + b 2 2 = o 2 4. Rovost astae, právě když a = b, tj. když se jedá o čtverec. Najděte trojúhelík daého obvodu o = 2s, který má ejvětší obsah. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 11 / 17
Najděte obdélík daého obvodu o, jehož úhlopříčka má miimálí velikost. Nápověda. u = a 2 + b 2 AK ( ) a + b 2 2 = o 2 4. Rovost astae, právě když a = b, tj. když se jedá o čtverec. Najděte trojúhelík daého obvodu o = 2s, který má ejvětší obsah. Nápověda. ( ) S 2 = s (s a)(s b)(s c) AG (s a) + (s b) + (s c) 3 s = s4 3 27. Rovost astae, právě když a = b = c, tj. když se jedá o rovostraý trojúhelík. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 11 / 17
Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 12 / 17
Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 12 / 17
Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Nyí použijeme AG erovost ásledujícím způsobem: 4V = (a 2x) (a 2x) (4x) AG ( (a 2x) + (a 2x) + 4x 3 ) 3 = 8 27 a3. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 12 / 17
Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Nyí použijeme AG erovost ásledujícím způsobem: 4V = (a 2x) (a 2x) (4x) AG ( (a 2x) + (a 2x) + 4x 3 ) 3 = 8 27 a3. Rovost v posledí erovosti astae, právě když a 2x = 4x, tj. x = a 6. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 12 / 17
Z plechu tvaru čtverce vyřízěte v rozích čtyři stejé čtverce tak, aby ohutím a spájeím vzikla krabička maximálího objemu. Důkaz. Strau čtvercového plechu ozačme a a strau vyřízutých čtverců ozačme x. Pak pro objem krabičky platí V = (a 2x) 2 x. Nyí použijeme AG erovost ásledujícím způsobem: 4V = (a 2x) (a 2x) (4x) AG ( (a 2x) + (a 2x) + 4x 3 ) 3 = 8 27 a3. Rovost v posledí erovosti astae, právě když a 2x = 4x, tj. x = a 6. Pozámka Můžete se zkusit zamyslet ad tím, jak by se řešil případ, kdyby původí plech ebyl čtvercový, ale obdélíkový (apř. 7 15). Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 12 / 17
Do daého kruhu vepište úhelík ( 3 je daé) tak, aby jeho obvod byl maximálí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 13 / 17
Do daého kruhu vepište úhelík ( 3 je daé) tak, aby jeho obvod byl maximálí. Důkaz. ( o = 2R si α 1 2 + si α 2 2 + + si α ) Jese 2 Jese ( α1 2R si 2 + α ) 2 2 + + α 2 = 2R si π. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 13 / 17
Do daého kruhu vepište úhelík ( 3 je daé) tak, aby jeho obvod byl maximálí. Důkaz. ( o = 2R si α 1 2 + si α 2 2 + + si α ) Jese 2 Jese ( α1 2R si 2 + α ) 2 2 + + α 2 = 2R si π. Rovost astae, právě když α 1 = α 2 = = α, tj. když je úhelík pravidelý. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 13 / 17
Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 14 / 17
Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Důkaz. Platí V = πr 2 v = v = V πr 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 14 / 17
Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Důkaz. Platí V = πr 2 v = v = V πr 2. Odtud máme S = 2πr 2 + 2πrv = 2πr 2 + 2πr V πr 2 = 2πr 2 + 2V r = 2πr 2 + V r + V r = AG 3 3 2πr 2 V r V r = 3 3 2πV 2. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 14 / 17
Ze všech válců o daém objemu V ajděte te, který má ejmeší povrch. Důkaz. Platí V = πr 2 v = v = V πr 2. Odtud máme S = 2πr 2 + 2πrv = 2πr 2 + 2πr V πr 2 = 2πr 2 + 2V r = 2πr 2 + V r + V r = AG 3 3 2πr 2 V r V r Rovost astae, právě když 2πr 2 = V r, tj. r = 3 V 2π, v = 3 (tzv. rovostraý válec). = 3 3 2πV 2. 4V π = 2r Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 14 / 17
Do rotačího kužele o poloměru podstavy r a výšce v je vepsá rotačí válec s maximálím objemem. Určete poloměr podstavy a výšku tohoto válce. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 15 / 17
Do rotačího kužele o poloměru podstavy r a výšce v je vepsá rotačí válec s maximálím objemem. Určete poloměr podstavy a výšku tohoto válce. Do elipsy o poloosách a, b vepište obdélík tak, aby jeho stray byly rovoběžé s osami elipsy a přitom jeho obsah byl maximálí. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 15 / 17
ŠKOMAM CUP Najděte ejvětší hodotu výrazu a b b a, kde a a b jsou kladá reálá čísla splňující a + b = 3. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 16 / 17
Děkuji za pozorost. Petr Vodstrčil (VŠB TUO) O Jeseově erovosti 28.1. 2019 17 / 17