Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Karel Findejs. Kombinovaná metoda konečných objemů a konečných

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Karel Findejs Kombinovaná metoda konečných objemů a konečných prvků pro řešení 3D proudění Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. Studijní program: Matematika, Výpočtová matematika, Software

Na tomto místě bych chtěl poděkovat především Doc. RNDr. Jiřímu Felcmanovi, CSc. za cenné rady, připomínky, trpělivost a čas, který mi věnoval při psaní této práce. Děkuji také Doc. RNDr. Vítu Dolejšímu, PhD. za pomoc se softwarem a konzultace některých problémů. Práce je částí výzkumného projektu MSM 6839 financovaného MŠMT a částečně podporovaného Grantovou agenturou Univerzity Karlovy, projekt číslo 33/5/B- MAT/MF. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne 9. dubna 5 Karel Findejs

Obsah Rovnice popisující proudění 8. Navierovy Stokesovy rovnice.......................... 8. Eulerovy rovnice.................................3 Vlastnosti Eulerových rovnic.......................... Metoda konečných objemů 3. Síť konečných objemů.............................. 3. Odvození obecného schématu metody konečných objemů...........3 Okrajové podmínky............................... 7. CFL podmínka stability............................ 7.5 Kombinovaná metoda konečných objemů a konečných prvků........ 8 3 Numerické toky HLL a HLLC 9 3. Riemannův problém.............................. 9 3. Godunovova metoda.............................. 3.3 Riemannův problém a integrální vztahy.................... 3. Přibližný Riemannův řešič HLL........................ 3.5 Přibližný Riemannův řešič HLLC....................... 5 3.6 Odhady rychlostí vln.............................. 7 Schéma typu ADER 9. Odvození schématu typu ADER........................ 9. Zobecněná Godunovova metoda........................ 3.3 Řešení zobecněného Riemannova problému.................. 3. Konstrukce zobecněného Godunovova toku.................. 33.5 CFL podmínka stability............................ 3.6 Algoritmus ADER............................... 35 5 Numerické experimenty 36 5. Lineární rekonstrukce na kartézské síti.................... 37 5. Lineární rekonstrukce na trojúhelníkové síti................. 38 5.3 Odhad chyby a řádu přesnosti......................... 5. Sodova trubice................................. 5.5 Vortex evolution problém............................ 3 3

6 Numerické výsledky 6. Srovnání Riemannových řešičů HLL a HLLC................. 6. Srovnání schémat typu ADER........................ 6.3 Tabulky..................................... 5 A Obrázky 5

Abstracts Název práce: Kombinovaná metoda konečných objemů a konečných prvků pro řešení 3D proudění Autor: Karel Findejs Katedra (ústav): Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. E-mail vedoucího: felcman@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Kombinovaná metoda konečných objemů a konečných prvků je velice efektivní a robustní schéma používané pro řešení Navierových Stokesových rovnic popisujících vazké stlačitelné proudění. Využívá výhod metody konečných objemů (FVM), která dává dobré výsledky při řešení Eulerových rovnic popisujících nevazké proudění a metody konečných prvků (FEM), která se používá pro diskretizaci vazkých členů systému. V práci se zabýváme metodou konečných objemů, která pro řešení využívá tzv. numerický tok. V první části odvodíme numerické toky HLL a HLLC, které navrhli Harten, Lax a Van Leer a provedeme jejich srovnání s dalšími toky. Hlavní náplní práce je zvýšení řádu přesnosti FVM. Jednou z možností je tzv. schéma typu ADER, které odvodili Toro a Titarev v [7,, 8] pro kartézské sítě. Toto schéma je v práci rozšířeno na obecnou síť konečných objemů. V závěru práce jsou porovnány výsledky při použití schématu typu ADER druhého řádu z hlediska použitých sítí a z hlediska použité polynomiální rekonstrukce. Klíčová slova: metoda konečných objemů, přibližný Riemannův řešič, schéma typu ADER, vyšší řád Title: Combined finite volume finite element method for solving of 3D flux Author: Karel Findejs Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. Supervisor s e-mail address: felcman@karlin.mff.cuni.cz Abstract: Combined finite volume finite element method is very efficient and robust scheme used for the solution of Navier Stokes equations describing viscous compressible flow. It makes use of advantages of finite volume method (FVM), which gives good results for the Euler equations describing inviscid flow and finite element method (FEM) used for discretization of viscous terms of the complete system. In this work we are engaged in the finite volume method. The special attention is paid to the so-called numerical flux. In the first part we derive numerical fluxes HLL and HLLC proposed by Harten, Lax and Van Leer and present a comparison with other fluxes. The main task of this work is to increase the order of accuracy of FVM. One possibility is the so-called ADER scheme, which was proposed by Toro and Titarev in [7,, 8] for Cartesian meshes. In this work this scheme is extended to general finite volume mesh. In the end of the work we compare results of ADER scheme of second order from the point of used meshes and from the point of used polynomial recontruction. Keywords: finite volume method, approximate Riemann solver, ADER scheme, higher order 5

Úvod V současné době je na KNM MFF UK vyvíjen numerický software pro výpočet vazkého stlačitelného proudění, který je založen na kombinované metodě konečných objemů a konečných prvků. Cílem této práce je tento software rozšířit o další moduly, naprogramovat a odladit numerické toky HLL a HLLC a dále se zaměřit na schémata vyššího řádu přesnosti. Fyzikální model vazkého stlačitelného proudění je popsán systémem tzv. Navierových Stokesových rovnic. Některé problémy však dostatečně přesně popisuje zjednodušený systém popisující nevazké stlačitelné proudění, tzv. Eulerovy rovnice. Moderní schémata pro řešení Eulerových rovnic jsou založena na metodě konečných objemů (FVM) jejíž podstatnou součástí je definice tzv. numerického toku. Existuje řada možností, jak tento tok definovat, jedna z nich vede na tzv. Godunovovu metodu. Ta je založena na řešení tzv. Riemannova problému a konstrukci tzv. přibližného Riemannova řešiče. V práci formulujeme Riemannův problém a definujeme pojem Riemannův řešič. Dále popíšeme odvození dvou přibližných Riemannových řešičů HLL a HLLC s cílem algoritmizovat jej tak, aby podle něj bylo možné napsat počítačový program. Konstrukce a příklady numerických výpočtů jsou uvedeny v kapitole 5, zároveň je provedeno numerické srovnání s dalšími metodami Godunovova typu, které byly implementovány v softwarovém systému KNM v předchozích letech. V praxi se však vyskytují problémy, pro které popis pomocí Eulerových rovnic nestačí a je potřeba řešit celý systém Navierových Stokesových rovnic. Jedná se o problémy, ve kterých se při proudění tekutiny vyskytují mezní vrstvy, úplavy, nespojitosti (rázové vlny). Z tohoto důvodu byla v práci [] navržena kombinovaná metoda konečných objemů a konečných prvků, kde se řeší zvlášť nevazký systém Eulerových rovnic pomocí metody konečných objemů a zvlášť čistě vazký systém, který se diskretizuje pomocí metody konečných prvků (FEM). V této práci se detailněji zaměříme na metodu konečných objemů. Metoda konečných objemů reprezentuje efektivní a robustní schéma pro řešení Eulerových rovnic popisujících nevazké stlačitelné proudění, dosahuje však pouze prvního řádu přesnosti. Proto byla v posledním desetiletí snaha tento nedostatek řešit. Vynaložené úsilí přineslo metody typu TVD (Total Variation Diminishing), ENO (Essentially Non-Oscillatory), WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) apod., které dosahovaly vyššího řádu přesnosti. V posledních letech získala na popularitě tzv. nespojitá Galerkinova metoda, která v jistém smyslu zobecňuje FVM. V této práci se budeme zabývat jinou možností, jak zvýšit řád přesnosti FVM. Jedná se o zobecnění klasické Godunovovy metody na libovolný řád, které popisují Toro a Titarev v [7,, 9] a nazývají jej schématem typu ADER (zkratku ADER vysvětluje Käser slovy Arbitrary high order, with using high order DERivatives of polynomials ). Toto schéma je založeno na diskretizaci pomocí FVM kombinované s polynomiální rekonstrukcí vyššího řádu. V článcích [7,, 9] odvozuje Toro 6

zobecněný Godunovův tok pro metodu konečných diferencí, která je speciálním případem FVM na kartézské síti. Na tuto práci navázal Käser v [, 5], který aplikoval schéma typu ADER na skalární hyperbolické rovnice na nestrukturovaných triangulárních sítích. Jeho výsledky ukazují, že schéma typu ADER dosahuje požadovaného řádu přesnosti i v tomto případě. V této práci navážeme na Käsera a zformulujeme schéma typu ADER pro Eulerovy rovnice na obecné síti konečných objemů. Na závěr se aplikujeme schéma typu ADER druhého řádu na dvourozměrné problémy a porovnáme výsledky na kartézských sítích a nestrukturovaných trojúhelníkových sítích. 7

Kapitola Rovnice popisující proudění. Navierovy Stokesovy rovnice Nechť Ω IR N, N =,, 3 je oblast s lipschitzovskou hranicí vyplněná tekutinou, (, T ), T > je časový interval, ve kterém hledáme řešení. Pak v tzv. časoprostorovém válci Q T = Ω (, T ) je vazké stlačitelné proudění popsáno následujícími rovnicemi, které představují fyzikální zákony zachování: rovnice kontinuity ρ t pohybové (Navierovy Stokesovy rovnice) rovnice pro energii (ρv i ) t E t + div (ρv) =, (.) + div (ρv i v) = ρf i + div (T ) i, i =,..., N, (.) + div (Ev) = ρf v + div (T v) + ρq div q, (.3) kde používáme následující značení: x = (x,..., x N ) = prostorové souřadnice, t = čas, ρ = hustota, v = (v,..., v N ) = rychlost, f = (f,..., f N ) = hustota vnějších objemových sil, E = celková energie, q = hustota tepelných zdrojů, q = tepelný tok, T = (τ ij ) N i,j= = tenzor napětí: Vztah mezi tepelným tokem q a absolutní teplotou θ je vyjádřen pomocí Fourierova zákona: q = k θ, (.) 8

kde k je konstanta tepelné vodivosti. Dále uvažujeme, že se jedná o proudění tzv. newtonovské tekutiny. Tedy můžeme vyjádřit závislost tenzoru napětí na na tzv. tenzoru rychlosti deformace D následujícím způsobem: T = ( p + λdiv v)i + µd, kde D = (d ij ) N i,j=, d ij = ( v i x j + v i v j ), p značí tlak a µ, λ jsou konstanty nebo skalární funkce termodynamických veličin ρ, θ, p. Dále tenzor napětí rozdělíme na vazkou část T a nevazkou část pi máme tedy: T = T pi, kde T = λdiv vi + µd. (.5) Pro řešení proudění tedy dostáváme pro N = 3 systém pěti rovnic (.) (.3) pro sedm neznámých ρ, v, v, v 3, p, E, θ. Úplný systém popisující proudění tepelně vodivého plynu proto obsahuje ještě rovnice p = p(e, ρ), (.6) θ = θ(e, ρ), (.7) kde e je specifická vnitřní energie plynu. Velmi často uvažujeme tzv. dokonalý plyn, jehož stavová rovnice má tvar p = Rθρ, (.8) kde R > je plynová konstanta, kterou lze vyjádřit následovně R = c p c v, (.9) kde c p a c v značí měrné teplo při konstantním tlaku resp. měrné teplo při konstantním objemu. Z experimentů víme, že c p > c v, proto R >. Navíc pro ideální plyn můžeme předpokládat, že c p a c v jsou konstanty. Veličina γ = c p c v > (.) se nazývá Poissonova adiabatická konstanta. Například pro vzduch, γ =.. Vnitřní energie dokonalého plynu je dána vztahem e = c v θ. (.) Uvedené vztahy vedou na následující vyjádření tlaku a teploty pro dokonalý plyn p = (γ )(E ρ v /), (.) θ = (E/ρ v /)/c v, (.3) Rovnice (.) (.3) nahradíme vztahy (.6) (.7). Nyní za pomoci vztahů (.) a (.5) přepíšeme rovnice (.) (.3) pro N = 3 do následujícího tvaru: w t + N s= f s (w) x s = F (w) + N s= R s (w, w) x s, (.) 9

kde pro N = 3 je w ρ w w = w 3 w = ρv ρv ρv 3, F (w) = ρf ρf ρf 3, w 5 E ρf v + pq ρv s ρv v s + δ s p f s (w) = ρv v s + δ s p ρv 3 v s + δ 3s p, R τ s s(w, w) = τ s τ s3 (E + p)v s (T v) s + k θ x s Zde w se nazývá stavový vektor, f s jsou nevazké (Eulerovy) toky a R s vazké toky. Systém (.) nazýváme stlačitelné Navierovy Stokesovy rovnice pro dokonalý plyn.. Eulerovy rovnice Předpokládejme, že proudění je adiabatické, tj. zanedbáváme tepelnou vodivost. Navíc, protože je plyn lehký, můžeme zanedbat i vnější objemovou sílu. Budeme se zabývat prouděním dokonalého plynu, pro který platí stavová rovnice (.8). Systém rovnic (.) (.3) popisujících proudění za těchto předpokladů v časoprostorovém válci Q T = Ω (, T ) může být zjednodušen do následujícího tvaru ρv i t ρ t + div (ρv) =, (.5) + div (ρv i v) = p x i i =,..., 3, (.6) E + div (Ev) = div ( pv), t (.7) p = (γ )(E ρ v /). (.8) Systém rovnic (.5) (.8) můžeme podobně jako (.) přepsat takto: w t + N s= f s (w) x s =, N = 3, (.9) kde stejně jako v (.) w ρ ρv s w w = w 3 w = ρv ρv ρv 3, f ρv v s + δ s p s(w) = ρv v s + δ s p ρv 3 v s + δ 3s p. w 5 E (E + p)v s w je stavový vektor a f s (w) je tok veličiny w ve směru x s. Obvykle je soustava (.9) nazývána systém Eulerových rovnic, nebo jednoduše Eulerovy rovnice. Funkce ρ, v,... v N,

p se nazývají primitivní proměnné, kdežto funkce w = ρ, w = ρv,..., w m = ρv N, w m = E, m = N + jsou konzervativní proměnné. Definiční obor vektorových funkcí f s je otevřená množina D IR m vektorů w = (w,..., w m ) T takových, že odpovídající hustota a tlak jsou kladné: { D = w IR m ; w = ρ >, w s = ρv s IR pro s =,..., m, Zřejmě platí, že f s C (D) m. w m m.3 Vlastnosti Eulerových rovnic i= } wi /(w ) = p/(γ ) >. (.) V této sekci připomeneme několik důležitých vlastností Eulerových rovnic. Derivováním rovnice (.9) a pomocí věty o derivaci složené funkce obdržíme kvazilineární systém parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu N w t + kde A s jsou matice typu m m definované pro w D jako s= A s (w) = Df s(w) Dw = A s (w) w x s =, (.) ( ) m fsi w j, i,j= = Jacobiho matice zobrazení f s. Vektorové funkce f s definované v (.9) je homogenní zobrazení řádu tj. Navíc platí kde Matice A s (w) mají reálná vlastní čísla (.) f s (αw) = αf s (w), α >. (.3) f s (w) = A s (w)w. (.) λ = v s a, λ =... λ m = v s, λm = v s + a, (.5) a = γp/ρ (.6) je rychlost zvuku odpovídající stavu w. Odpovídající vlastní vektory r,..., r m jsou lineárně nezávislé. Navíc, označíme-li T regulární matici s vlastními vektory ve sloupcích, potom platí A s (w) = T(w) Λ\(w) T (w), (.7) kde Λ\(w) = diag ( λ (w),..., λ ) m (w). (.8)

To znamená, že matice A s je diagonalizovatelná. Uvažujme soustavu algebraických rovnic ( ) N det λi n j A j (w) =, (.9) j= kde A j (w) jsou matice koeficientů kvazilineárního systému (.). Řešení λ j = λ j (w, n), j =,..., m soustavy (.9) nazveme zobecněná vlastní čísla systému (.). Lze ukázat viz. [] str. 8, že všechna vlastní čísla tohoto systému jsou reálná a navíc že matice P := N j= n ja j (w) je diagonalizovatelná. Tedy Eulerovy rovnice (.9) tvoří diagonálně hyperbolický systém. Každé n = (n, n, n 3 ) T IR 3 lze vyjádřit ve sférických souřadnicích tvaru n = r(cos α cos β, sin α cos β, sin β) T, (.3) kde r = n, α [, π) a β [ π/, π/]. Potom můžeme definovat regulární matici cos α cos β sin α cos β sin β Q(n) = sin α cos α cos α sin β sin α sin β cos β. (.3) Pokud definujeme nový kartézský systém souřadnic x, x, x 3 jako x x x = Q (n) x + σ, (.3) x 3 x 3 kde σ IR 3 a cos α cos β sin α cos β sin β Q (n) = sin α cos α, (.33) cos α sin β sin α sin β cos β potom transformace stavového vektoru w dává stavový vektor q = Q(n)w. (.3) Uvažujme transformovaný stavový vektor q jako funkci x = ( x, x, x 3 ) a času t: q = q( x, t) = Q(n)w(Q (n)( x σ), t). (.35) Potom vektorová funkce w C (Q T ) m splňuje Eulerovy rovnice právě tehdy, když funkce q = q( x, t) daná vztahem (.35) splňuje transformovaný systém Eulerových rovnic N q t + s= f s (q) x s =. (.36) Tedy po transformaci kartézských souřadnic zůstává systém Eulerových rovnic formálně nezměněn. Tato vlastnost se nazývá rotační invariantnost Eulerových rovnic a zcela analogicky platí i pro N =.

Kapitola Metoda konečných objemů Předpokládejme proudění nevazkého dokonalého plynu v ohraničené oblasti Ω IR N a časový interval (, T ) s T >, N =, nebo 3 pro D resp. 3D proudění. Naším cílem je numericky řešit Eulerovy rovnice (.9) tj. s počáteční podmínkou w t + N s= s danou vektorovou funkcí w a okrajovými podmínkami kde B je vhodný hraniční operátor.. Síť konečných objemů f s (w) x s v Q T = Ω (, T ) (.) w(x, ) = w (x), x Ω (.) B(w(x, t) = pro (x, t) Ω (, T ), (.3) Nechť Ω IR N je oblast vyplněná tekutinou. Jestliže N =, pak Ω h značí polygonální aproximaci Ω. To znamená, že hranice Ω h sestává z konečně mnoha uzavřených po částech lineárních křivek. Pro N = 3, Ω h bude značit polyhedrální aproximaci Ω. Systém D h = {D i } i J, kde J Z + = {,,...} je indexová množina a h >, budeme nazývat sítí konečných objemů v Ω h, jestliže D i, i J, jsou uzavřené mnohoúhelníky resp. mnohostěny, se vzájemně disjunktními vnitřky takové, že Ω h = i J D i. (.) Prvky D i D h jsou nazývány konečné objemy. Dva konečné objemy D i, D j D h jsou buď disjunktní, nebo jejich průnik je tvořen částí jejich hranic D i a D j. Jestliže D i D j obsahuje aspoň jednu úsečku (pro N = ), nebo část roviny (pro N = 3), pak nazýváme D i a D j sousedními konečnými objemy (nebo jednoduše sousedy). Pro dva sousedy D i, D j D h položme Γ ij = D i D j = Γ ji. (.5) 3

Zřejmě Γ ij je tvořen konečně mnoha úsečkami resp. částmi rovin Γ α ij = Γ α ji: Γ ij = β ij Γ α ij budeme nazývat stěny D i. V dalším budeme používat následující značení: D i = N-rozměrná míra D i = plocha D i jestliže N =, nebo objem D i je-li N = 3, Γ α ij = (N )-rozměrná míra Γ α ij = délka Γ α ij jestlže N =, nebo plocha Γ α ij je-li N = 3, n α ij α= Γ α ij. (.6) = ((n α ij),..., (n α ij) N ) T = jednotková vnější normála k D i na Γ α ij, h i = diam(d i ), h = sup i J h i, D i = (N )-rozměrná míra D i, s(i) = {j J; j i, D j je soused D i }. Zřejmě platí, že n α ij = n α ji. Úsečky resp. části roviny, které tvoří průniky Ω h s konečnými objemy D i přilehlými k Ω h budou značeny S j a číslovány zápornými indexy j tvořícími indexovou množinu J B Z = {,,...}. Proto J J B = a Ω h = j J B S j. Pro konečný objem D i přilehlý k hranici Ω h tj. je-li S j Ω h D i pro některá j J B klademe γ(i) = {j J B ; S j D i Ω h }, (.7) Γ ij = Γ ij = S j, β ij = pro j γ(i). Jestliže D i není přilehlý k Ω h pak pokládáme γ(i) =. Pomocí n α ij opět značíme jednotkovou vnější normálu k D i na Γ α ij. Potom položíme máme S(i) = s(i) γ(i), (.8) D i = D i Ω h = D i = β ij j S(i) α= β ij j γ(i) α= β ij j S(i) α= Γ α ij, Γ α ij, Γ α ij. (.9). Odvození obecného schématu metody konečných objemů Předpokládejme, že w : Ω [, T ] IR m je klasické (tj. C -) řešení systému (.9), D h = {D i } i J je síť konečných objemů v polyhedrální aproximaci Ω h. Sestrojme dělení

= t < t <... časového intervalu [, T ] a označme τ k = t k+ t k časový krok mezi t k a t k+. Integrováním rovnice (.9) přes množinu D i (t k, t k+ ) a použitím Greenovy věty na D i dostaneme identitu t k+ ( tk+ ) N w(x, t) dx f s (w)n s ds dt =. (.) D i t=t k + t k D i s= Navíc, vzhledem k (.9) můžeme psát (w(x, t k+ ) w(x, t k )) dx + D i tk+ β ij t k j S(i) α= Γ α ij N f s (w)n s ds dt =. (.) s= Nyní aproximujeme integrální průměry D i w(x, t k )dx/ D i veličiny w přes konečný objem D i v časovém okamžiku t k pomocí w k i : w k i w(x, t k ) dx, (.) D i D i nazývaného hodnota přibližného řešení na objemu D i v čase t k. Dále aproximujeme tok N s= f s(w)(n α ij) s veličiny w přes stěnu Γ α ij ve směru n α ij pomocí tzv. numerického toku H(w l i, w l j, n α ij), závisejícím na hodnotě přibližného řešení w l i na konečném objemu D i, hodnotě w l j na D j a normále n α ij ve vhodných časových okamžicích t l : N f s (w)(n α ij) s H(w l i, w l j, n α ij), (.3) s= volíme například l = k, nebo l = k +. O numerickém toku H předpokládáme, že má následující vlastnosti:. H(u, v, n) je definovaný a spojitý na D D S, kde D je definiční obor toků f s a S je jednotková sféra v IR N : S = {n IR N ; n = }.. H je konzistentní: H(u, u, n) = N f s (u)n s, u D, n S. (.) s= 3. H je konzervativní: H(u, v, n) = H(v, u, n), u, v D, n S. (.5) Pokud H splňuje podmínky (.) a (.5), pak se metoda nazývá konzistentní resp. konzervativní. 5

Je-li Γ α ij Ω h (tj. konečný objem je přilehlý k Ω h, j γ(i), α = a Γ ij = Γ ij ), pak nemáme souseda D j objemu D i přilehlého ke stěně Γ ij z vnějšku Ω h a je nezbytné určit w l j na základě okrajových podmínek viz. sekce.3. Dostáváme aproximaci tk+ t k ( Γ α ij ) N f s (w)(n α ij) s ds dt s= τ k [ ϑh(w k+ i, w k+ j, n α ij) + ( ϑ)h(w k i, w k j, n α ij) ] Γ α ij, ϑ [, ]. (.6) Použitím (.), (.) a (.6) dostáváme následující schéma metody konečných objemů w k+ i = w k i τ k D i β ij j S(i) α= [ ϑh(w k+ i, w k+ j, n α ij) +( ϑ)h(w k i, w k j, n α ij) ] Γ α ij, D i D h, t k [, T ), ϑ [, ]. (.7) Jestliže ϑ (, ], pak schéma (.7) je implicitní a vyžaduje řešení komplikovaného systému vzhledem k neznámým hodnotám w k+ i, i J. To je důvod proč se obvykle dává přednost použití explicitního schématu s ϑ = : w k+ i = w k i τ k D i β ij j S(i) α= H(w k i, w k j, n α ij) Γ α ij, D i D h, t k [, T ). (.8) Metoda (.7) je doplněna počátečními podmínkami w i, i J, definovanými jako w i = w (x) dx, (.9) D i D i za předpokladu, že funkce w z (.) je lokálně integrovatelná: w L loc (Ω)m. Nyní definujeme přibližné řešení (.) jako po částech konstantní vektorovou funkci w k h, k =,,... definovanou s. v. v Ω h takovou, že w k h = w k i, kde Di je vnitřek objemu D i Di tj. Di= D i \ D i a w k i získáme formulí (.8). Funkce w k h je přibližné řešení v čase t k a vektor w k i je hodnota přibližného řešení na konečném objemu D i v čase t k. Nechť w k je přibližné řešení na k-té časové vrstvě získané schématem metody konečných objemů (.8). Označme w k normu aproximace w k. Řekneme, že schéma (.8) je stabilní, jestliže existuje konstanta c > nezávislá na τ, h, k taková, že w k c w, k =,,... (.) Obvykle je analogicky k L p -normám (p [, ]) používáno: w k = sup w k i, i J [ ] /p w k p = D i w k i p, p [, ) i J V sekci. se budeme zabývat stabilitou explicitního schématu (.8). (.) 6

typ hranice proudění nadzvukové vstup ( v n > a) (v n < ) podzvukové (v n a) nadzvukové výstup (v n a) (v n > ) podzvukové (v n < a) předepsané extrapolované veličiny veličiny ρ, v, v, v 3, p p ρ, v, v, v 3 ρ, v, v, v 3, p ρ, v, v, v 3 p Tabulka.: Okrajové podmínky pro 3D proudění.3 Okrajové podmínky Aby bylo odvození metody konečných objemů úplné, je třeba dodefinovat podmínky na hranici oblasti Ω h. Nechť D i D h je konečný objem přilehlý k hranici Ω h, tj. D i je tvořen stěnami Γ α ij Ω h, (j γ(i)) a nechť n α ij je vnější jednotková normála D i na Γ α ij. Budeme uvažovat dva typy okrajových podmínek:. Pevná nepropustná stěna V tomto speciálním případě musí řešení na hranici splňovat tzv. podmínku nepropustnosti (slip condition) v n =. Definujeme tedy numerický tok na hranici takto H(w i, w j, n α ij) = p k i (, (n α ij),..., (n α ij) N, ) T. (.). Vstup/výstup Zde je třeba pro výpočet numerického toku H(w k i, w k j, n α ij) určit stavový vektor w k j z vnější strany hranice. Ukážeme jednu z několika možností jak jej určit. Podle toho zda se jedná o podzvukové nebo nadzvukové proudění a vstup nebo výstup některé primitivní proměnné buď extrapolujeme anebo předepíšeme pomocí okrajových podmínek. Pro 3D proudění jsou všechny možnosti rozebrány v tabulce.3.. CFL podmínka stability Nechť D h = {D i } i J je síť konečných objemů, w k i, i J jsou hodnoty přibližného řešení problému (.) na časové hladině t k. Protože schéma (.8) je explicitní, musí být pro zachování stability (.) omezen časový krok τ k. Vyšetřování stability schématu (.8) (viz. [] str. ) vede na následující nerovnost, která heuristicky plyne z přesné podmínky stability odvozené pro lineární systémy hyperbolických rovnic. Tuto nerovnost nazveme CFL podmínkou stability (Courant Friedrichs Levy) τ k CF L D i λ i,max D i, (.3) 7

kde CF L (v praxi většinou klademe CF L =.85) a λ i,max = max r=,...,m, j S(i) λ r (w k ij, n α ij), m = N +, (.) α=,...,β ij kde konstanty λ r (w k ij, n α ij) jsou vlastní čísla matice P(w k ij, n α ij) = N s= (nα ij) s A s (w k ij), kde A s (w) = Df s (w)/dw a vektor w k ij závisí na w k i, w k j a definici konkrétního numerického toku H. Například pro numerické toky HLL a HLLC v praxi dosazujeme do (.) přímo za λ r (w k ij, n α ij) vlastní čísla matice A (q k ij) dané (.5), kde q k ij je přibližné řešení (3.8) resp. (3.36) tzv. Riemannova problému (3.) pro x /t = s počátečními podmínkami danými vektory Q(n α ij)w k i, Q(n α ij)w k j, kde Q(n α ij) je definovaná pro N = 3 v (.3) viz. kapitola 3. Tedy odpovídající vektor w k ij pro definici λ r (w k ij, n α ij) je v tomto případě w k ij = Q (n α ij)q k ij. Vlastní čísla matice P(w, n) jsou dány následovně λ (w, n) = v n a n, λ (w, n) =... = λ m (w, n) = v n, λ m (w, n) = v n + a n, (.5) kde v je vektor rychlosti odpovídající stavu w a a = γp/ρ je odpovídající rychlost zvuku. Podmínka stability (.3) byla odvozena pouze heuristicky, přesto však vede k uspokojivým výsledkům..5 Kombinovaná metoda konečných objemů a konečných prvků Jak již bylo zmíněno v úvodu, řeší se celý systém Navierových Stokesových rovnic kombinovanou metodou konečných objemů a konečných prvků. Proto v této sekci popíšeme základní myšlenku tzv. metody operátorového rozštěpení, což je jeden ze způsobů jak tuto metodu pro systém (.) diskretizovat. Celý systém Navierových Stokesových rovnic (.) se rozdělí na nevazké Eulerovy rovnice a čistě vazký systém, w t + N w t = N s= s= f s (w) x s =, (.6) R s (w, w) x s + F (w), (.7) a diskretizuje se odděleně. Eulerovy rovnice (.6) jsou diskretizovány metodou konečných objemů, kdežto vazký systém (.7) je diskretizován metodou konečných prvků odvozenou např. v [] str. 36. Cílem je vyvinout robustní numerickou metodu pro řešení stlačitelného proudění. Protože vazkost a tepelná vodivost plynů je malá, lze vazké členy považovat za perturbaci nevazkých Eulerových rovnic. To nás vede k závěru, že efektivní metoda pro řešení vazkého proudění by měla být založena na numerické metodě, která je efektivní pro nevazké proudění. V další části se tedy budeme zabývat dvěma aspekty pro řešení úlohy (.6) - konstrukce vhodného numerického toku (viz. kapitola 3) a zvýšení řádu přesnosti (viz. kapitola ). 8

Kapitola 3 Numerické toky HLL a HLLC Jednou z možností jak definovat numerický tok pro schéma konečných objemů je tzv. Godunovův tok vycházející z řešení tzv. Riemannova problému. Aproximace Godunovova toku zvané přibližné Riemannovy řešiče vedou na metody Godunovova typu. V této kapitole se budeme zabývat odvozením přibližných Riemannových řešičů HLL a HLLC, které navrhli Harten Lax a Van Leer. 3. Riemannův problém Přibližné Riemannovy řešiče HLL a HLLC stejně jako ostatní metody Godunovova typu jsou založeny na řešení následujícího Riemannova problému pro jednorozměrné Eulerovy rovnice: w t + f (w) =, x IR, t >, (3.) x který spočívá v nalezení slabého řešení na množině Q = (, + ) (, + ) s počáteční podmínkou danou dvěma konstantními stavy w L, w R : { w L, x <, w(x, ) = (3.) w R, x >, kde x IR N. Tento problém má za jistých podmínek kladených na w L, w R (viz. [] str. 88) jednoznačné slabé řešení závisející na x /t a vektorech w L, w R : w(x, t) = w RS (x /t; w L, w R ). (3.3) (zkratka RS znamená Riemann solver). Bez zacházení do detailů může obsahovat po částech hladké řešení Riemannova problému kontaktní nespojitost, vlnu zředění nebo rázovou vlnu. Pomocí těchto vln rozdělíme oblast Q na oblasti zvané klíny, ve kterých je řešení w(x, t) Riemannova problému konstantní nebo hladké (viz. obr. 3.): 9

t t = s HL s TL = x x x t t = u t = s TR s HR = x t Q HTL Q L Q R Q HTR Q L Q R x x Obrázek 3.: Struktura přesného řešení w(x, t) = w RS (x /t; w L, w R ) Riemannova problému x Q L = {(x, t); t < s HL, t > }, Q HTL = {(x, t); s HL < x t < s TL, t > }, Q L = {(x, t); s TL < x t < u, t > }, Q R = {(x, t); u < x t < s TR, t > }, Q HTR = {(x, t); s TR < x t < s HR, t > }, x Q R = {(x, t); t > s HR, t > }. (3.) Množiny Q HTL, Q HTR nazýváme vlny zředění. Pro některá w L, w R může však množina Q HTL degenerovat na množinu {(x, t); x t = s, t > } a Q HTR může degenerovat na množinu {(x, t); x t = s 3, t > } v takovém případě tyto množiny nazveme rázovými vlnami. Množinu {(x, t); x t = u, t > } budeme nazývat kontaktní nespojitostí a konstanty s HL, s TL, s, u, s 3, s TR, s HR rychlostmi vln. Řešení w(x, t) Riemannova problému potom vypadá takto: w QL = w L, w QHTL, = hladká funkce w Q L = w L, w Q R = w R, w QHTR, = hladká funkce w QR = w R, Příklad řešení Riemannova problému, obsahující na levé straně vlnu zředění a napravo rázovou vlnu je znázorněn na obr. 5. a 5.. Navíc pro primitivní proměnné ρ K, u K, v K, w K, p K v klínech Q K, K = L, L, R, R platí pro N = 3: u L = u R = u p L = p R = p v L = v L, v R = v R, w L = w L, w R = w R. (3.5) kde požíváme označení v = u, v = v, v 3 = w pro složky rychlosti a p je tlak. Tedy složka rychlosti u ani tlak p se přechodem přes kontaktní nespojitost nemění a ostatní složky rychlosti se nemění přechodem přes vlnu zředění resp. rázovou vlnu viz. obr. 3.. Řešení Riemannova problému i postup jeho konstrukce jsou podrobně popsány v [] str..

t t = s HL s TL = x x x t t = u t = s TR s HR = x t ρ L ρ R u u ρ L v L v R ρ R u L w L w R u R v L p p w v R L w R p L p R x x Obrázek 3.: Struktura přesného řešení w(x, t) = w RS (x /t; w L, w R ) Riemannova problému pro N = 3 3. Godunovova metoda Nechť Γ α ij je stěna mezi konečnými objemy D i a D j s normálou n α ij směřující z D i do D j. V IR N zavedeme nový kartézský systém souřadnic x,..., x N s počátkem ve středu stěny Γ α ij, osou x orientovanou ve směru normály n α ij a x,..., x N tečnami k Γ α ij. Z rotační invariantnosti Eulerových rovnic plyne, že tyto rovnice transformované do nového systému souřadnic budou mít tvar viz. sekce.3, kde N q t + s= f s (q) x s =, (3.6) q = Qw (3.7) s maticí rotace Q = Q(n α ij) definovanou pro N = 3 v (.3). Na Γ α ij navíc platí N (n α ij) s f s (w(, t k )) Γ α ij = Q (n α ij)f (q(, t k )) Γ α ij (3.8) s= Klíčovým bodem pro konstrukci aproximace pravé strany (3.8) je aproximace kde q = q( x, t k ) je řešení Riemannova problému q(, t k ) Γ α ij q(, t k ), (3.9) které označíme q t + f (q) =, x (3.) q( x, ) = { q L := Qw k i, x <, q R := Qw k j, x <, (3.) q( x, t) = q RS ( x /t; q L, q R ) (3.)

Nyní můžeme psát N (n α ij) s f s (w(, t k )) Γ α ij Q f (q(, t k )) Γ α ij = Q f (q RS (, q L, q R )). (3.3) s= Odtud definujeme Godunovův numerický tok neboli přesný Riemannův řešič rovnice (3.) jako g G := f (q RS (; q L, q R )) (3.) a položíme H(w k i, w k j, n α ij) := Q g G (Qw k i, Qw k j ), (3.5) kde g G je definované pomocí (3.). Takto definovaný Godunovův tok vyžaduje konstrukci přesného řešení Riemannova problému což je obecně poměrně náročné. Tato nevýhoda může být odstraněna použitím přibližného Riemannova řešiče neboli Riemannova numerického toku, který označíme g R : g G (u, v) g R (u, v). (3.6) Výsledné metody se potom nazývají metody Godunovova typu. 3.3 Riemannův problém a integrální vztahy Protože řešení w(x, t) Riemannova problému (3.) nezávisí na složkách x,..., x N vektoru x IR N, budeme v dalším psát w(x, t) namísto w(x, t), kde pro jednoduchost označíme x = x. Uvažujme nyní přesné řešení Riemannova problému (3.) v kontrolním objemu [x L, x R ] [, T ] zobrazeném na obr. 3.3, kde x L T s L, x R T s R, (3.7) kde s L a s R jsou největší rychlosti vln definovaných v sekci 3., tedy s L = s, s R = s 3 jestliže se jedná o rázové vlny a s L = s HL, s R = s HR pro vlny zředění viz. obr. 3.. Přibližné Riemannovy řešiče HLL a HLLC nerozlišují mezi vlnou zředění a rázovou vlnou, proto množinu {(x, t); x t = s L, t > } jednoduše nazveme levou vlnou a {(x, t); x t = s R, t > } pravou vlnou a konstanty s L, s R nazveme rychlostmi levé resp. pravé vlny. Integrální tvar zákonů zachování v (3.) v kontrolním objemu [x L, x R ] [, T ] vypadá takto: xr x L w(x, T ) dx = xr x L w(x, ) dx + T Vyčíslení pravé strany tohoto výrazu dává xr f (w(x L, t)) dt T f (w(x R, t)) dt. (3.8) x L w(x, T ) dx = x R w R x L w L + T (f L f R ), (3.9) kde f L = f (w L ) a f R = f (w R ). Integrální vztah (3.9) nazýváme podmínkou konzistence. Nyní rozdělíme integrál na levé straně (3.8) na tři integrály následovně xr x L w(x, T ) dx = T sl x L w(x, T ) dx + T sr T s L w(x, T ) dx + xr T s R w(x, T ) dx (3.)

x = s t L t x L T s L T s R s R = x t T x R x Obrázek 3.3: Kontrolní objem [x L, x R ] [, T ], s L a s R jsou největší rychlosti vln vycházejících z řešení Riemannova problému a vyčíslíme první a třetí člen na pravé straně. Dostaneme xr x L w(x, T ) dx = T sr Z výrazů (3.9) a (3.) plyne rovnost T sr T s L w(x, T ) dx + (T s L x L )w L + (x R T s R )w R. (3.) T s L w(x, T ) dx = T (s R w R s L w L + f L f R ) (3.) Vydělením T (s R s L ), získáme integrální průměr přesného řešení Riemannova problému mezi levou vlnou o rychlosti s L a pravou vlnou o rychlosti s R : T (s R s L ) T sr T s L w(x, T ) dx = s Rw R s L w L + f L f R s R s L (3.3) Předpokládejme, že rychlosti vln s L a s R jsou známy, potom je tento integrální průměr známá konstanta a označíme jej w HLL = s Rw R s L w L + f L f R s R s L (3.) Nyní zcela analogicky jako u (3.9) vyčíslíme integrální tvar zákonů zachování v levé části kontrolního objemu [x L, ] [, T ] a obdržíme T s L w(x, T ) dx = T s L w L + T (f L f L ), (3.5) kde f L je tok f (w) podél osy t daný vztahem f L = f L s L w L T T s L w(x, T ) dx. (3.6) Podobně vyčíslení integrálního tvaru zákonů zachování v kontrolním objemu [, x R ] [, T ] vede na jiné vyjádření toku f (w) podél osy t: f R = f R s R w R + T T sr w(x, T ) dx (3.7) 3

t x = s s R = x t L t w HLL w L w R x Obrázek 3.: Přibližné řešení Riemannova problému pro HLL řešič obsahuje v oblasti Q jeden stav w HLL oddělený od datových stavů w L a w R dvěma vlnami o rychlostech s L a s R a lze snadno ověřit, že rovnost f L = f R vede na podmínku konzistence (3.9). Tímto jsme získali přesná vyjádření (3.6), (3.7) pro tok podél osy t a tím pádem i pro Godunovův numerický tok viz. (3.). Přibližné Riemannovy řešiče HLL a HLLC jsou potom založeny na aproximaci integrálu ve vztahu (3.6) nebo (3.7). 3. Přibližný Riemannův řešič HLL Harten, Lax a van Leer navrhli následující aproximaci řešení Riemannova problému x w L pro < s t L, w(x, t) = w HLL pro s L < x < s t R, (3.8) x w R pro > s t R, kde w HLL je konstantní stavový vektor daný vztahem (3.8) a o rychlostech s L a s R předpokládáme, že je známe. Struktura tohoto přibližného řešení je znázorněna na obr. 3.. Poznamenejme, že tato aproximace sestává z pouze třech konstantních stavů oddělených levou a pravou vlnou. Oblast Q = {(x, t); s TL < x t < s TR, t > }, obsahuje pouze jeden konstantní stav. Odpovídající tok f HLL podél osy t je dán vztahem (3.6) nebo (3.7), kde integrand nahradíme přibližným řešením (3.), tedy nebo f HLL = f L + s L (w HLL w L ), (3.9) f HLL = f R + s R (w HLL w R ). (3.3) Poznamenejme, že nepokládáme f HLL = f (w HLL ). Dosazením vyjádření w HLL v (3.) do (3.6) nebo (3.7) získáme HLL tok ve tvaru f HLL = s Rf L s L f R + s L s R (w R w L ) s R s L. (3.3)

Odpovídající přibližný Riemannův řešič je potom dán f L je-li < s L, g HLL = f HLL je-li s L < < s R, f R je-li > s R, (3.3) kde f HLL je dán vztahem (3.3). Přidáme-li algoritmus pro výpočet rychlostí s L a s R, pak máme přibližný Riemannův řešič (3.3), který můžeme použít místo Godunovova toku g G v definici numerického toku (3.5) pro schéma konečných objemů. Rychlosti s L a s R budou odhadnuty v sekci 3.6. Nedostatek HLL schématu je v tom, že zanedbává kontaktní nespojitosti. To jsou vlny o rychlosti u, což je složka rychlosti ve směru osy x přesného řešení Riemannova problému v oblasti Q viz. vztahy (3.5) a obr. 3.. Poznamenejme, že v integrálu (3.3) vše závisí pouze na průměru přes vlnovou strukturu bez ohledu na prostorové změny v řešení Riemannova problému v oblasti Q. Tento nedostatek může být odstraněn obnovením chybějící vlny. Proto Toro, Spruce a Speares navrhli tzv. HLLC schéma, kde C znamená kontakt. V tomto schématu je chybějící střední vlna navrácena do struktury přibližného řešení Riemannova problému. 3.5 Přibližný Riemannův řešič HLLC HLLC schéma je modifikací HLL schématu popsaného v předchozí sekci, kde je obnovena chybějící vlna kontaktní nespojitosti. Budeme opět vycházet ze struktury přesného řešení Riemannova problému v dostatečně velkém kontrolním objemu [x L, x R ] [, T ] viz. obr. 3.3. Nyní k vlnám o rychlostech s L a s R přidáme střední vlnu o rychlosti s odpovídající rychlosti kontaktní nespojitosti u viz. sekce 3.. Vyčíslením integrálního tvaru zákonů zachování v kontrolním objemu dostaneme výsledek rovnice (3.3) a to i přesto, že se může integrand přes vlnu rychlosti s změnit. Poznamenejme, že podmínka konzistence (3.9) vede na vztah (3.3). Rozdělením levé strany integrálu (3.3) na dva členy dostaneme T (s R s L ) T sr Definujeme integrální průměry T s L w(x, t) dx = + T (s R s L ) T (s R s L ) T s T s L T sr T s w(x, t) dx w(x, t) dx. (3.33) w L = w R = T s T (s R s L ) T (s R s L ) T s L T sr T s w(x, T ) dx, w(x, T ) dx. (3.3) Po dosazení (3.3) do (3.33) s využitím vztahu (3.3) plyne z podmínky konzistence (3.9) podmínka ( ) ( ) s s L sr s w L + w R = w HLL, (3.35) s R s L s R s L 5

x = s t L w L w L t x t = s T T s w R w R s R = x t x Obrázek 3.5: Přibližné řešení Riemannova problému pro HLLC řešič. Řešení v oblasti Q sestává ze dvou konstantních stavů oddělených střední vlnou o rychlosti s kde w HLL je dán vztahem (3.8). Odpovídající aproximace řešení Riemannova problému je dána následovně x w L pro < s t L, w w(x, t) = L pro s L < x < s t, w R pro s < x < s (3.36) t R, x w R pro > s t R, viz. obr. 3.5. Integrací přes příslušné objemy dostaneme následující vztahy: f L = f L + s L (w L w L ), (3.37) f R = f L + s (w R w L ), (3.38) f R = f R + s R (w R w R ). (3.39) Porovnejme nyní vztahy (3.37) a (3.39) pro HLLC schéma s (3.9) a (3.3) pro HLL schéma. Dosazení f L ze vztahu (3.37) a f R z (3.39) do rovnice (3.38) nám dává podmínku konzistence (3.35). Z toho vyplývá, že podmínky (3.37) (3.39) jsou dostatečné pro to, aby podmínka konzistence byla splněna. Máme tři rovnice pro čtyři neznámé vektory w L, f L, w R a f R. Cílem je nalézt vektory w L a w R tak, aby toky f L a f R byly určeny z (3.37) resp. z (3.39). K přibližnému Riemannovu řešiči přidáme podmínky (3.5), které jsou splněny v přesném řešení Riemannova problému viz. obr. 3.: Navíc je přirozené položit u L = u R = u, p L = p R = p, v L = v L, v R = v R, w L = w L, w R = w R. (3.) s = u, (3.) neboť střední vlna rychlosti s odpovídá kontaktní nespojitosti. Nyní mohou být rovnice (3.37) a (3.39) přepsány jako s L w L f L = q L, (3.) s R w R f R = q R, (3.3) 6

kde q L a q R jsou známé konstantní vektory. Použitím podmínek (3.), (3.) v (3.) a (3.3) dává vektory řešení s v K, (3.) w K = ρ K ( sk u K s K s ) E K ρk + (s u K ) w K [ s + p K ρ K (s K u K ) pro K = L a K = R. Tímto jsou toky f L a f R určeny. Podobně jako v (3.36) může být HLLC Riemannův řešič psán jako f L je-li < s L, f g HLLC = L = f L + s L (w L w L ) je-li s L < < s, (3.5) f R = f R + s R (w R w R ) je-li s < < s R, f R je-li > s R, kde w L a w R jsou určeny vztahem (3.). Pro oba odvozené Riemannovy řešiče zbývá vypočíst rychlosti vln s L, s, s R. Tímto úkolem se zabývá následující sekce. 3.6 Odhady rychlostí vln Aby bylo odvození přibližných Riemannových řešičů HLL a HLLC úplné, potřebujeme algoritmus pro výpočet rychlostí vln. Pro HLL řešič nás zajímají rychlosti s L a s R a pro HLLC požadujeme ještě odhad rychlosti střední vlny s. Existuje celá řada způsobů jak tyto rychlosti odhadnout, my však v této podkapitole ukážeme pouze některé. Většina odhadů je založena na tom, že požadované rychlosti vln odpovídají vlastním číslům matice A (w()) = Df (w())/dw, kde w() = w RS (; w L, w R ) je řešení Riemannova problému (3.) pro x/t =. Připomeňme, že vlastní čísla této matice jsou dány dle (.5): λ = u a, λ = λ 3 = λ = u, λ5 = u + a, (3.6) kde u je složka rychlosti ve směru x odpovídající stavu w() a a = γp/ρ je odpovídající rychlost zvuku. Pro rychlosti vln tedy máme ] s L = u a, s = u, s R = u + a. (3.7) Řešení w() Riemannova problému ovšem předem neznáme, proto Davis navrhl jednoduché odhady pro s L, s R : s L = u L a L, s R = u R + a R, (3.8) tedy s L je nejmenší vlastní číslo matice A (w L ) a s R největší vlastní číslo A (w R ). Další možnost je položit s L = min{u L a L, u R a R }, s R = min{u L + a L, u R + a R }. (3.9) O něco lepší odhady navrhl Davis společně s Eindfeldtem. Vycházejí z tzv. Roeho řešiče, ve kterém se Riemannův problém (3.) nejdříve převede na kvazilineární systém jako v (.) a 7

poté se vhodně linearizuje pomocí tzv. Roeho matice Ã(w L, w R ). Odhady rychlostí potom tvoří vlastní čísla této matice s L = û â, s R = û + â, (3.5) kde û a â jsou tzv. Roeho průměry složky rychlosti u resp. rychlosti zvuku a dané následovně û = ρl u L + [ ρ R u R ρl +, â = (γ )(Ĥ ρ ] û ) R (3.5) s entalpií H = (E + p)/ρ aproximovanou jako Ĥ = ρl H L + ρ R H R ρl + ρ R (3.5) Podrobný popis odvození Roeho průměrů lze nalézt např. v [] str. 6. Pro HLLC schéma nám ještě zbývá odhadnout rychlost s. Ukážeme jeden způsob. Mějme dány rychlosti s L a s R na základě předchozích odhadů. Použitím předpokladu (3.) v rovnicích (3.) a (3.3) obdržíme následující vztahy pro tlak v oblastech Q R, Q L : p L = p L + ρ L (s L u L )(s u L ), p R = p R + ρ R (s R u R )(s u R ). (3.53) Z podmínek (3.) víme, že p L = p R, což vede na vyjádření rychlosti s, která bude v tomto případě záviset na s L a s R : s = p R p L + ρ L u L (s L u L ) ρ R u R (s R u R ). (3.5) ρ L (s L u L ) ρ R (s R u R ) Další odhady rychlostí lze nalézt např. v []. Tímto máme rychlosti vln odhadnuty a můžeme je použít pro výpočet Riemannových toků HLL a HLLC. 8

Kapitola Schéma typu ADER V podkapitole 3. jsme popsali Godunovovu metodu, která dává poměrně dobré výsledky, ovšem dosahuje pouze prvního řádu. Proto v této kapitole navážeme na Tora, Käsera a další (viz. [, 5, 7,, 8]) a popíšeme tzv. schéma typu ADER zobecňující tuto metodu na libovolný řád přesnosti.. Odvození schématu typu ADER Uvažujme následující systém třírozměrných Eulerových rovnic w t + N s= f s (w) x s =, v Q T = Ω (, T ). (.) Budeme hledat metodu, která bude řešit rovnici (.) a dosahovat řádu p. Nechť Oblast Ω h je polyhedrální aproximací Ω diskretizovaná sítí konečných objemů D h = {D i } i J, = t < t <... je dělení časového intervalu [, T ] a τ k = t k+ t k je časový krok mezi t k a t k+. Obdobně jako u metody konečných objemů vyjdeme ze vztahu (.): tk+ (w(x, t k+ ) w(x, t k )) dx + β ij N f s (w)(n α ij) s ds dt = (.) D i t k j S(i) α= a označíme w k i integrální průměry w přes konečný objem D i v časovém okamžiku t k : w k i w(x, t k ) dx. (.3) D i D i Nyní definujeme zobecněný numerický tok Ĥ, který aproximuje integrální průměry toku N s= f s(w)(n α ij) s přes množinu Γ α ij (t k, t k+ ): τ k Γ α ij tk+ t k Γ α ij Γ α ij s= N f s (w)(n α ij) s ds dt Ĥ(ŵk i, ŵ k j, n α ij) (.) s= kde ŵ k i, ŵ k j jsou vektory polynomů proměnných x,..., x N stupně nejvýše p získané vhodnou polynomiální rekonstrukcí z integrálních průměrů w k i, i J. Po vektorech polynomů ŵ k i, ŵ k j požadujeme splnění následujících podmínek 9

.. ŵ k i (x) dx = w k i, (.5) D i D i ŵ k i (x) = w(x, t k ) Di + O(h p ), jestliže w C p (Ω), (.6) kde h = max i J diamd i je krok sítě. Samotnou polynomiální rekonstrukci nelze obecně popsat, neboť závisí na geometrii sítě a existuje celá řada různých způsobů konstrukce. Z tohoto důvodu pouze odkážeme na články [3,, 5, 6, 9], kde jsou popsány tzv. WENO rekonstrukce, které doporučuje používat pro schémata typu ADER Toro. V numerických experimentech používáme pro p = rekonstrukce popsané v kapitole 5. Definice numerického toku (.) vede na explicitní schéma ve tvaru w k+ i = w k i τ k D i β ij j S(i) α= Ĥ(ŵ k i, ŵ k j, n α ij) Γ α ij, D i D h, t k [, T ). (.7) Schéma typu ADER se tedy od metody konečných objemů liší pouze definicí numerického toku, který nyní nezávisí na konstantních vektorech, ale obecně na vektorech ŵ k i, ŵ k j složených z polynomů stupně nejvýše p. Pro pevné p budeme hovořit o schématu typu ADERp.. Zobecněná Godunovova metoda Jako u klasické Godunovovy metody odvozené v sekci 3. zavedeme nový kartézský systém souřadnic x,..., x N s počátkem ve středu x α ij stěny Γ α ij, osou x orientovanou ve směru normály n α ij a x,... x N tečnami k Γ α ij, tedy pro N = 3 máme x = Q (x x α ij), x, x, IR 3, x α ij Γ α ij (.8) a Q = Q (n α ij) je matice rotace definovaná v (.33). Podobně jako v (3.3) aproximujeme na základě rotační invariantnosti Eulerových rovnic N (n α ij) s f s (w(, t)) Γ α ij Q f (q(, t)) Γα ij = Q f (ˆq RS (, t; ˆq L, ˆq R )) Γα ij, (.9) s= kde Q = Q(n α ij) je matice definovaná pro N = 3 v (.3), Γ α ij vznikne transformací stěny Γ α ij do systému souřadnic x,..., x N ˆq L, ˆq R jsou vektory polynomů proměnných x,..., x N stupně nejvýše p definovaných následovně ˆq L ( x) = Qŵ k i (x) = Qŵ k i (Q x + xα ij) (.) ˆq R ( x) = Qŵ k j (x) = Qŵ k j (Q x + xα ij) (.) 3

a ˆq RS ( x, t, ˆq L, ˆq R ) je řešení zobecněného Riemannova problému, jehož počáteční data nejsou dána konstantními stavovými vektory, ale vektory polynomů ˆq L, ˆq R : q t + f (q) q( x, ) = x =, { ˆqL ( x), x <, ˆq R ( x), x >. (.) Řešení problému (.) je věnována sekce.3, jeho existencí se v této práci nezabýváme. Poznamenejme pouze, že řešení q( x, t) tohoto problému nyní nezávisí pouze na x a t jako tomu bylo u klasického Riemannova problému, ale i na ostatních složkách x. Pro problém (.) definujeme tzv. zobecněný Godunovův tok ĝ G (ˆq L, ˆq R ) := τ k Γ α ij tk+ t k Γ α ij f (ˆq RS ( x, t; ˆq L, ˆq R )) ds dt (.3) což vede vzhledem k (.) a (.9) na následující definici zobecněného numerického toku Ĥ(ŵ k i, ŵ k j, n α ij) = Q ĝ G (ˆq L, ˆq R ). (.) Všimněme si, že definice klasického Godunovova toku (3.) nijak nekoliduje s definicí zobecněného Godunovova toku (.3). Klasická Godunovova metoda je tedy v podstatě schéma typu ADER. V tomto smyslu je schéma typu ADER zobecněním Godunovovy metody..3 Řešení zobecněného Riemannova problému Pro vyčíslení zobecněného Godunovova toku (.3) nás bude zajímat řešení zobecněného Riemannova problému (.) pro libovolný fixovaný bod x na transformované hranici Γ α ij (( x ) = ). Hlavní myšlenkou konstrukce řešení tohoto problému je převedení na posloupnost klasických Riemannových problémů, které řešit umíme. Začneme tím, že napíšeme prvních p členů Taylorova rozvoje q( x, τ) v čase p [ ] q( x, τ) q + k τ k ( x, ) + t k q+ ( x, ) k!, (.5) kde q + ( x, ) = lim t q( x, t). Vedoucí člen (.5) odpovídá řešení klasického Riemannova problému s po částech konstantními daty pro x /t =, které zkonstruovat umíme: k= q t + f (q) q( x, ) = x =, { ˆqL ( x ), x <, ˆq R ( x ), x >. (.6) Členy vyššího řádu jsou potom určeny ve dvou krocích: 3

. Procedura Cauchyho Kowalewské Pomocí této pro procedury vyjádříme časové derivace v Taylorově rozvoji (.5) prostorovými. Spočívá v postupném derivování rovnice (.) transformované do kartézského systému souřadnic x,..., x N : N q t + s= f s (q) x s =, q = Qw (.7) podle x,..., x N až do řádu p. Z těchto derivací následně vyjádříme časové derivace q. Například pro p = 3 dostaneme následující výrazy N q t = q t x i = q t = N ( ) Dfs q, Dq x s= s N [( ) D f s q Dq s= [( ) D f s q Dq t s= x i q x s + q x s + ( ) Dfs q Dq x i x s ( ) ] Dfs q, Dq t x s ], i =... N, (.8) Poznamenejme, že v praxi je kvůli výpočetní složitosti lepší používat vyjádření po složkách než maticový tvar.. Výpočet prostorových derivací Nyní odvodíme evoluční rovnice pro prostorové derivace postupným derivováním rovnice (.) a vektorů ˆq L, ˆq R podle x,..., x N až do řádu p. Například pro p = 3, N = dostaneme rovnice ( ) ( ) q (,) Df (q) q (,) D f + = (q) (q ) (,), t Dq x Dq ( ) ( ) q (,) Df (q) q (,) D f + = (q) q (,) q (,), t Dq x Dq ( ) ( ) ( ) q (,) Df (q) q (,) D f + = (q) D q (,) q (,) 3 f (q) (q ) (,) 3 t Dq x Dq Dq ( ) 3 D f (q) q (,) q (,), Dq ( ) ( ) ( ) q (,) Df (q) q (,) D f + = (q) D q (,) q (,) 3 f (q) q ( (,) q (,)) t Dq x Dq Dq ( ) 3 D f (q) q (,) q (,), Dq ( ) ( ) ( ) q (,) Df (q) q (,) D f + = (q) D q (,) q (,) 3 f (q) (q ) (,) q (,) t Dq x Dq Dq ( ) 3 D f (q) (q (,) q (,) + q (,) q (,)), Dq (.9) 3

kde k +...+k N q q (k,...,k N ) =, k x k... x k N +... + k N p N Označíme-li A (q) = Df (q)/dq, potom lze všechny rovnice pro prostorové derivace q (k,...,k N ) obecně psát ve tvaru q (k,...,k N ) t + A (q) q(k,...,k N ) x = H(q, q (,,...,),..., q (k,...,k N ) ), (.) kde H je nelineární člen závisející na derivacích řádu l =,..., k +... + k N i na q( x, t). Pro Taylorův rozvoj (.5) nás ovšem zajímá pouze hodnota řešení pro fixovaný bod x Γ α ij a t. Proto Toro v [7, 8, ] nelineární člen H zanedbává s odůvodněním, že ovlivňuje řešení pouze pro t >. Navíc rovnici (.) linearizujeme okolo vedoucího členu q + ( x, ) časového rozvoje (.5) a nahradíme data daná vektory polynomů ˆq (k,...,k N ) L, ˆq (k,...,k N ) R jejich hodnotami v bodě x. Popsaná zjednodušení vedou na následující lineární Riemannův problém pro prostorové derivace q: q (k,...,k N ) q (k,...,k N ) + A =, A = A (q + ( x, )), t x { q (k,...,k N ) ˆq (k,...,k N ) L ( x ), x <, ( x, ) = ˆq (k,...,k N ) R ( x ), x >. (.) Poznamenejme, že matice koeficientů A je stejná pro všechny derivace a stačí ji vyčíslit pouze jednou. Prostorové derivace v bodě x = pro τ potom odpovídají řešení problému (.) pro x /t =. Máme-li všechny prostorové derivace, potom můžeme pomocí Cauchyho Kowalewské procedury vyčíslit časové derivace pro Taylorův rozvoj (.5). Řešení zobecněného Riemannova problému v bodě x tedy aproximujeme jako kde q( x, t) je dán rozvojem (.5). ˆq RS ( x, t, ˆq L, ˆq R ) q( x, t), (.). Konstrukce zobecněného Godunovova toku Budeme vycházet z definice zobecněného Godunovova toku (.3), kde pro vyčíslení integrálu přes Γ α ij použijeme vhodnou kvadraturní formuli (např. Toro používá pro N =, p = 3, dvoubodovou Gaussovu kvadraturu). Dostaneme ĝ G (ˆq L, ˆq R ) = τ k tk+ t k ( Kν ) f (ˆq RS ( x ν, t, ˆq L, ˆq R )) ω ν dt, (.3) ν= kde x ν, ω ν jsou uzly resp. váhy kvadraturní formule přes transformovanou stěnu Γ α ij a K ν je jejich počet. Uvedeme dva způsoby vyčíslení zobecněného Godunovova toku (.3): 33