VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů, kde rozlišujeme pořadí a vektory se mohou opakovat. S: v₁,v₂,, v k Prázdný soubor O soubor, který neobsahuje žádný vektor
LINEÁRNÍ KOMBINACE VEKTORŮ Ve vektorovém prostor V n je dán soubor vektorů S: v₁,v₂,, v k a reálná čísla c 1, c 2,, c k Vektor v = c 1 v₁ + c 2 v 2 + + c k v k nazveme lineární kombinací souboru S (vektorů v₁,v₂,, v k ) s koeficienty c 1, c 2,, c k Jsou-li všechny koeficienty rovny nule, nazýváme lineární kombinaci triviální dostaneme nulový vektor Je-li alespoň jeden koeficient nenulový, nazýváme lineární kombinaci netriviální
Př.1. Máme vektory v 1 = (1,-1,2,0), v 2 = (4,2,0,-2), v 3 = (0,3,2,1). Ukázka triviální lineární kombinace vektorů je: 0 (1,-1,2,0) + 0 (4,2,0,-2) + 0 (0,3,2,1) = (0,0,0,0) = o Ukázka netriviální lineární kombinace vektorů je: 2 (1,-1,2,0) + 0 (4,2,0,-2) + (-1) (0,3,2,1) = = (2,-2,4,0) + (0,0,0,0) + (0,-3,-2,-1) = (2,-5,2,-1) = v Vektor v = (2,-5,2,-1) vznikl netriviální lineární kombinací vektorů v 1 = (1,-1,2,0), v 2 = (4,2,0,-2), v 3 = (0,3,2,1) s koeficienty 2, 0 a -1.
LINEÁRNÍ OBAL SOUBORU Lineární obal souboru S je množina všech možných lineárních kombinací. Značíme S. Př.2. Máme vektory v 1 = (1,0), v 2 = (0,1) y 2 Budeme-li vytvářet všechny možné lineární kombinace, dostaneme celou rovinu 1 v 2 S = R 2 O 1 2 3 v 1 x
ZÁVISLÝ či NEZÁVISLÝ SOUBOR Soubor S nazýváme nezávislým, jestliže nulový vektor lze získat pouze triviální lineární kombinací. V nezávislém souboru není žádný vektor kombinací ostatních. Soubor S nazýváme závislým, jestliže nulový vektor lze získat nějakou netriviální lineární kombinací. V závislém souboru je některý vektor kombinací ostatních.
HODNOST SOUBORU Hodností souboru S nazýváme velikost maximálního nezávislého podsouboru, který lze ze souboru vybrat a značíme ji h(s). Jestliže je soubor S složen z k vektorů, pak 0 h(s) k. Hodností matice A nazýváme hodnost souboru všech jejích řádkových vektorů. Vektor v patří do lineárního obalu souboru S (je lineárně závislý), právě když nezvyšuje jeho hodnost. Hodnost matice se zjišťuje její úpravou do Gaussova tvaru.
GAUSSŮV TVAR Matice má Gaussův tvar, jestliže: Neobsahuje nulový řádek Každý další řádek má více levých nul Je-li matice A v Gaussově tvaru, pak h(a) je rovna počtu jejích řádků. Každou nenulovou matici lze ekvivalentními úpravami převést na Gaussův tvar. Platí: h(a) = h(a T )
Př.3. Rozhodněte, která z následujících matic je v Gaussově tvaru: A = 4 5-1 0 0 0 Matice A není v Gaussově tvaru obsahuje nulový řádek B = 4 5-1 0 3 2 Matice B je v Gaussově tvaru první řádek nemá levou nulu, druhý řádek má jednu levou nulu, tj. více C = D = 0 5-1 0 3 2 0 5-1 0 0 2 Matice C není v Gaussově tvaru první řádek má jednu levou nulu, druhý řádek také, tzn. nemá více Matice D je v Gaussově tvaru první řádek má jednu levou nulu, druhý řádek má dvě levé nuly, tj. více
EKVIVALENTNÍ ÚPRAVY MATICE Můžeme změnit pořadí řádků, násobit řádek libovolným nenulovým číslem (tedy i dělit), přičíst/odečíst k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků, vyškrtnout nulový řádek Ekvivalentní úpravy nemění hodnost souboru (matice). Vzniklý soubor je ekvivalentní s původním, zapisujeme: A ~ B
STRATEGIE PRO ÚPRAVU NENULOVÉ MATICE NA GAUSSŮV TVAR 1. Najdeme první nenulový sloupec a výměnou řádků dosáhneme toho, aby a 1j = 1 (klíčová jednička) 2. Pomocí ekvivalentních úprav dosáhneme toho, aby všechny prvky pod klíčovou jedničkou se změnily na nuly 3. Odstraníme nulové řádky 4. Kroky 1.- 3. aplikujeme opakovaně na zbytek matice
Př.4. Upravte zadanou matici na Gaussův tvar. A = 2 1-1 4 1 0 1 2-1 3 2 0 4 0-2 7 ~ 1 0 1 2 2 1-1 4-1 3 2 0 4 0-2 7 / (-2) / (-4) ~ ~ 1 0 1 2 0 1-3 0 0 3 3 2 0 0-6 -1 / (-3) 1 0 1 2 0 1-3 0 0 0 12 2 0 0-6 -1 ~ / 2 ~ 1 0 1 2 0 1-3 0 0 0 12 2 0 0 0 0 h(a) = 3