22 Základní vlastnosti distribucí

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající (v nekonečnu), pokud pro libovolný multiindex α a libovolné q N 0 := N {0} platí sup x R m (1 + x 2 ) q D α ϕ(x) <. (1) Prostoru těchto funkcí říkáme Schwarzův prostor (nebo prostor rychle klesajících funkcí) značíme S (R m ), resp. pouze S, není-li hodnota m podstatná. Poznámka. e x 2 S (R m ); S (R m ) L 1 (R m ). Definice. Řekneme, že posloupnost ϕ n S (R m ) konverguje v prostoru S (R m ) k funkci ϕ S (R m ), pokud (1 + x 2 ) q D α (ϕ n (x) ϕ(x)) 0 (2) pro libovolný multiindex α a libovolné q N 0. V této situaci píšeme ϕ n S ϕ. Poznámka. Pro q N 0 lze na S (R m ) definovat normu řádu q předpisem ϕ q := Tedy např. ϕ 0 = sup x R m ϕ(x). Platí: ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2 Platí: ϕ n S ϕ ϕn ϕ q 0 q N 0. sup (1 + x 2 ) q D α ϕ(x). x R m, α q Definice. Temperovanou (Schwarzovskou) distribucí na R m nazveme libovolný spojitý lineární funkcionál na S (R m ), tedy zobrazení T : S (R m ) C, které je lineární a navíc pro libovolnou posloupnost ϕ n S (R m ) splňuje Prostor temperovaných distribucí na na R m značíme S (R m ). ϕ n S ϕ = T(ϕn ) T(ϕ). (3) Poznámka. Díky linearitě T je podmínka (3) ekvivalentní podmínce ϕ n S 0 = T(ϕn ) 0. Definice. Bud te T 1, T 2 S (R m ). Řekneme, že T 1 = T 2 v S (R m ), pokud T 1 (ϕ) = T 2 (ϕ) pro všechna ϕ S (R m ). Poznámka. Zvažte tuto analogii: Funkce f je zobrazení; informaci o něm získáváme např. tak, že funkci vyčíslíme v bodech x (hodnoty f(x) jsou čísla). Distribuce T je zobrazení; informaci o něm získáváme např. tak, že distribuci vyčíslíme v "bodech" ϕ (hodnoty T(ϕ) jsou čísla). Definice. Řekneme, že funkce f : R m C je pomalu rostoucí (v nekonečnu), pokud: K f dx < pro každý kompakt K Rm ; existuje R > 0 a polynom p(x) takový, že f(x) p(x) pro všechna x R m, x > R.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 6 Tedy jde o tzv. lokálně integrovatelné funkce s nejvýše polynomiálním růstem (v nekonečnu). Příklad 1 (Důležitý!). Je-li f pomalu rostoucí v nekonečnu a ϕ S (R m ), potom T f (ϕ) := f(x)ϕ(x) dx (4) R m je (temperovaná) distribuce. Říkáme jí distribuce generovaná funkcí f. Každou takovou distribuci nazýváme regulární distribuce. Poznámka. Vztah (4) ukazuje způsob, jakým je možné na každou funkci (pomalu rostoucí v nekonečnu) pohlížet jako na (regulární) temperovanou distribuci. Pro regulární distribuce často ztotožňujeme T f f. Další příklady (temperovaných) distribucí Diracova (resp. posunutá Diracova) distribuce: δ(ϕ) := ϕ(0), resp. δ a (ϕ) := ϕ(a), a R m. Distribuce "v.p. 1 x " S (R): v.p. 1 ϕ(x) x (ϕ) := lim ε 0+ x ε x dx. Plošná distribuce ν r S (R m ), r > 0: ν r (ϕ) := ϕ(x) ds, S r(0) kde S r (0) = {x R m ; x = r}. Uvedené tři distribuce jsou neregulární. 22.2 Derivování distribucí, násobení distribuce funkcí Definice. Bud T S a α multiindex. Potom definujeme α-tou derivaci T ve smyslu distribucí jako distribuci D α T splňující D α T(ϕ) := ( 1) α T(D α ϕ). (5) Poznámka. Každá distribuce má všechny derivace všech řádů a všechny smíšené parciální derivace jsou si rovny (jsou záměnné). Je-li T f regulární distribuce a funkce f, která ji generuje, má ve všech bodech x R m vlastní klasickou derivaci f (x), platí (T f ) = T f, tedy je "derivace ve smyslu distribucí rovna klasické derivaci". Příklad 2. Funkce sgn má klasickou derivaci rovnou nule pro všechna x 0, a derivace v nule neexistuje vlastní. Ve smyslu distribucí platí (sgn) = 2δ 0. Poznámka. Je-li T f f regulární distribuce generovaná funkcí f a funkce f má vlastní klasickou derivaci f (x) ve skoro všech bodech x R m, označujeme tuto klasickou derivaci [f ], zatímco pro distributivní derivaci zůstane vyhrazen symbol f. V předchozím příkladu tedy lze psát (sgn) S = [(sgn) ] + 2δ 0 = [0] + 2δ 0 = 2δ 0.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 7 Věta 22.1. Bud a R, f C n( (, a) (a, ) ), přičemž všechny její derivace až do řádu n včetně jsou pomalu rostoucí na R. Necht dále existují vlastní Potom s k := [f (k) ](a+) [f (k) ](a ), k = 0, 1,...,n 1. f (n) S = [f (n) ] + s n 1 δ a + s n 2 δ a + s 0 δ (n 1) a. Definice. Bud te T, S S, bud te dále α, β C. Pak definujeme (αt + βs)(ϕ) := T(αϕ) + S(βϕ), ϕ S. (6) Definice. Bud T S, f C, jejíž všechny derivace jsou pomalu rostoucí funkce. Pak lze definovat součin funkce f a distribuce T předpisem Poznámka. Obecně nelze definovat násobení dvou distribucí. Cvičení. Ukažte, že platí: xδ S = 0 x v.p. 1 x xδ S = δ S = 1 e iax δ S = δ iaδ (Tf)(ϕ) = (ft)(ϕ) := T(fϕ), ϕ S. (7) Poznámka. Pokud by bylo definováno (asociativní a komutativní) násobení dvou distribucí, muselo by platit δ = δ 1 = δ (x v.p. 1 x ) = (x δ) v.p. 1 x = 0 v.p. 1 x = 0. Věta 22.2. Bud L obyčejný lineární diferenciální operátor n-tého řádu s konstatními koeficienty, tj. Ly := a n y (n) + + a 1 y + a 0 y, a j C, a n 0. (8) Bud y 0 C n( (, 0) (0, ) ), s pomalu rostoucími derivacemi. Necht y 0 = y R pro x > 0 a y 0 = y L pro x < 0, přičemž L(y R ) = 0 pro x > 0 a L(y L ) = 0 pro x < 0. Necht dále existují vlastní limity y (k) 0 (0+) = y(k) 0 (0 ) pro k = 0,...,n 2, a navíc necht y(n 1) 0 (0+) y (n 1) 0 (0 ) = s. Potom Ly 0 S = a n sδ. Definice. Bud L (jakýkoli, tj. i parciální) lineární diferenciální operátor n-tého řádu. Distribuci y 0 S (R m ) nazýváme fundamentálním řešením operátoru L, pokud platí Ly 0 S = δ. Poznámka. Předchozí věta umožňuje nalézt fundamentální řešení operátoru L z (8) nalezením funkce y 0, splňující podmínky skoků v nule pro s = 1/a n. S Později uvidíme, že pokud je Ly 0 = δ a y := y 0 f (pokud operace " ", tzv. konvoluce, má smysl), bude y splňovat rovnici Ly S = f. Poznámka. Postup hledání fundamentálního řešení operátoru L z (8):

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 8 nalezneme klasické řešení úlohy Ly = 0, separátně pro x > 0 a x < 0; na x > 0 resp. x < 0 vybereme obecná řešení y R resp. y L, která jsou pomalu rostoucí spolu se všemi svými derivacemi; tato řešení "slepíme" v nule tak, aby y (k) R (0+) = y(k) L (0 ) pro k = 0,...,n 2, a navíc aby y (n 1) R (0+) y (n 1) L (0 ) = 1/a n ; y 0 := y R pro x > 0 resp. y 0 := y L pro x < 0 je potom fundamentálním řešením operátoru L. Cvičení. Nalezněte y S (R) splňující rovnici y + k 2 y = δ, k > 0. Ukažte, že funkce y 0 := x n 1 (n 1)! x > 0 0 x < 0 je fundamentálním řešením operátoru Ly = y (n), n N. Lemma 22.3 (Laplaceův operátor pro sféricky symetrické funkce). Bud f(x) = R( x ) = R(r) sféricky symetrická funkce, f C 2 (R m ), m N. Potom pro všechna x R m, x 0, platí f(x) = R (r) + m 1 R (r). (9) r Chování v nule popisuje následující věta. Věta 22.4. Necht v situaci předchozího lemmatu platí navíc, že funkce R, R, R jsou pomalu rostoucí na R a necht dále existuje vlastní limita Potom kde klasický Laplaceův operátor [ f] je dán vztahem (9) pro x 0, a je povrch jednotkové sféry v prostoru R m. lim r 0+ rm 1 R (r) = A. (10) Poznámka. Mějme k N. Pro m = 2k je Γ( m 2 ) = Γ(k) = (k 1)!, a tedy f S = [ f] + Aκ m δ, (11) κ 2k = κ m = 2π m 2 Γ( m 2 ) (12) 2πk (k 1)!, k N. Pro m = 2k+1 je Γ( m 2 ) = Γ(k + 1 2 ) = (k 1 2 )(k 3 2 ) 1 2 Γ(1 2 ) = = (2k)! 2 2k k! π, a tedy κ 2k+1 = 22k+1 k!π k (2k)! Odtud κ 2 = 2π, κ 3 = 4π, κ 4 = 2π 2, κ 5 = 8 3 π2, κ 6 = π 3,..., k N.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 9 Příklad 3 (Důležitý!). Ukažte, že pro m N, m > 2 platí ( ) 1 S x m 2 = (2 m)κ m δ, zatímco pro m = 2 je (ln x ) S = 2πδ. Odvod te odtud tvar fundamentálních řešení Laplaceova oparátoru v dimenzích 2, 3, 4,... Definice (distribuce s kompaktním nosičem). Řekneme, že T S (R m ) má kompaktní nosič, pokud existuje kompakt K R m takový, že ϕ S (R m ), ϕ = 0 na K = T(ϕ) = 0. (13) Množinu distribucí s kompaktním nosičem značíme S K (Rm ). Nejmenší kompaktní množinu s vlastostí (13) nazveme nosičem distribuce T a značíme supp (T). Příklad 4. δ a S K (Rm ) pro všechna a R m, supp (δ a ) = {a}; T := δ 3 + δ 4 S K (R), supp (T) = { 4, 3}; je-li Y (x) Heavisideova funkce, je Y (x)y (1 x) (regulární) distribuce s kompaktním nosičem 0, 1. 22.3 Lineární transformace distribucí Motivace: Pro x R m uvažujme lineární transformaci y := A x, kde A M m m je regulární matice. Uvažujme regulární distribuci T, generovanou funkcí f = f(x), tj. T(ϕ) = R f(x)ϕ(x) dx, a dále m transformovanou regulární distribuci T, generovanou funkcí f(y) = f(a 1 y), tj. T f(ϕ) = T(ϕ) = f(y)ϕ(y) dy = f(a 1 y)ϕ(y) dy. R m R m Pomocí věty o substituci (y=a x, dy= det A dx) je T(ϕ) = f(a 1 y)ϕ(y) dy = f(x)ϕ(ax) deta dx. R m R m To nás motivuje k následující definici. Definice (lineární transformace distribucí). Bud T S (R m ) a A M m m bud regulární matice. Definujeme ÃT S (R m ), distribuci lineárně transformovanou maticí A, předpisem ÃT(ϕ) := deta T(ϕ(Ax)), ϕ S (R m ). (14) Poznámka. Ãδ = deta δ, nebot pro všechna ϕ S je: Ãδ(ϕ) = δ(ϕ(ax)) deta = ϕ(0) deta = deta δ(ϕ). Odtud plyne, že je-li A M m m regulární matice splňující deta = 1, pak Ãδ = δ. Protože taková matice reprezentuje otočení, plyne odtud, že Diracova distribuce je invariantní vůči otočení souřadné soustavy. Definice. Řekneme, že T S (R m ) je sféricky symetrická distribuce, pokud platí ÃT = T pro všechny regulární matice A M m m, splňující deta = 1.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 10 Cvičení. Nalezněte fundamentální řešení jednorozměného vlnového operátoru, tj. u S (R 2 ), u = u(x, t), splňující 1 c 2 u tt u xx = δ, c > 0. Návod: pomocí transformace souřadnic ξ = ct x, η = ct + x převed te rovnici na u ξη = c 2 δ; ukažte, že rovnici u ξη = c 2 δ řeší funkce, která je rovna c 2 pro {ξ 0 & η 0} a jinde je nulová; odvod te odtud, že fundamentálním řešením jednorozměného vlnového operátoru je funkce u, která je rovna c 2 pro { ct x ct} a jinde je nulová.