8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru, který se vejde do prvidelného trojbokého jehlnu, jehož jeden vrchol je společný s vrcholem kvádrů. Intuitivně lze očekávt, že mximální tkový objem bude odpovídt krychli. Hledáme sice jen kldná čísl, le pro využití věty o nbytí mxim minim) spojité funkce je potřeb prcovt s množinou, která je uzvřená omezená). Budeme tedy hledt body mxim funkce n množině fx, y, z) = xyz A = {x, y, z) R 3 x, y, z 0 & x + y + z = 100}, což je trojúhelník i s okrji), tj. hledáme nezáporná čísl. Množin A je zřejmě uzvřená omezená. Vyšetření rozdělíme n obvyklý vázný extrém v otevřené množině U = {x, y, z) R 3 x, y, z > 0}, tedy n A U = {x, y, z) U Φx, y, z) = 0} s vzbou Φx, y, z) = x + y + z 100 trojúhelník bez okrjů) n přípd A \ U okrje trojúhelník). N okrjích trojúhelník je funkce f nulová zřejmě tu nbývá svého minim protože n zbytku množiny A je f nenulová). Pro bod extrému = x, y, z) A U pk musí existovt λ R, že tkže = 100 3 1, 1, 1) f 100 n A. yz, xz, xy) = f = λφ = λ1, 1, 1) 3, 100 3, 100 3 x + y + z = 100, ) = 100 ) 3 3 tento bod je tk jediným bodem mxim funkce f 8.2 Určete největší nejmenší hodnoty funkce fx, y, z) = xyz n množině M dné podmínkmi x + y + z = xy + yz + zx = 8. Tentokrát máme vzby dvě budeme tedy potřebovt ověřit jejich nezávislost v bodech množiny M), tj. lineární nezávislost grdientů vzeb v příslušných bodech. Položme Φ 1 x, y, z) = x + y + z
Pk je M = { R 3 Φ 1 ) = 0 & Φ 2 ) = 0}. Φ 2 x, y, z) = xy + yz + zx 8. uzvřenost M: Množiny { R 3 Φ i ) = 0} je vzorem jednobodové tedy uzvřené) množiny {0} při spojitých zobrzeních Φ i jsou tudíž uzvřené. Množin M je jejich průnikem proto je tké uzvřená. omezenost M: Bud si vyjádříme jednu proměnnou z první rovnice npř. z = x y), dosdíme do druhé tu přepíšeme doplněním n čtverec: xy + x + y) x y) = 8 x 2 + y 2 + xy x y = 8 x + y 2 ) 2 + 3 y ) 2 = 1 2 4 3 3 nebo použijeme jednodušší elegntnější postup, který využije konkrétního tvru rovnic: 2 = x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + yz + zx) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 8 x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 8= ) V kždém přípdě vidíme, že proměnné jsou omezené tedy i množin M je omezená. nezávislost vzeb: Potřebujeme ukázt, že pro = x, y, z) pltí: Máme Φ 1 ) = 0 & Φ 2 ) = 0 = grdφ 1 ) grdφ 2 ) jsou lineárně nezávislé. grdφ 1 ) = 1, 1, 1) grdφ 2 ) = y + z, z + x, x + y). Tyto vektory jsou lineárně závislé právě když y + z = z + x = x + y neboli když x = y = z. Pokud by přitom mělo pltit Φ 1 ) = 0 Φ 2 ) = 0, pk dostáváme, že 3x = 3x 2 = 8, což nelze splnit. Pro body z M tk máme oprvdu nezávislost vzeb. Ted konečně můžeme korektně!) použít větu o Lgrngeových multiplikátorech: Pro bod = x, y, z) M bsolutního tedy i lokálního) extrému f n M ted existuji λ, µ R, že yz, zx, xy) = grdf) = λ grdφ 1 ) + µ grdφ 2 ) = λ1, 1, 1) + µy + z, z + x, x + y) x + y + z = xy + yz + zx = 8. Když ted od sebe npř. odečteme první dvě rovnice yz = λ µy + z) zx = λ µz + x) dostneme zy x) = µy x), což dává podmínku bud x = y nebo z = µ. Symetricky dostneme dlší podmínku y = z nebo x = µ. Odsud sndno plyne, že vždy je bud x = y nebo y = z nebo x = µ = z, tedy že dvě souřdnice jsou vždy stejné. Stčí tedy vyřešit jednu z verzí dlší už dostneme permutcemi souřdnic. Pge 2
Npř. z podmínky x = y dostveme doszením do vzeb řešení x, y, z) = 2, 2, 1) nebo x, y, z) = 4 3, 4 3, ) 7 3. Hodnoty prmetru λ ni µ už zjišt ovt nemusíme, podezřelé body ted mohou být už jen tyto: = = 2, 2, 1), 1, 2, 2), 2, 1, 2) kde f) = 4 4 3, 4 3, 7 ) 4, 3 3, 7 3, 4 ) 7, 3 3, 4 3, 4 ) 3 kde f) = 112 27. Protože funkce f je spojitá množin M je omezená uzvřená, nbývá f v prvních bodech minimum v druhých mximum protože 112 27 > 4). x 8.3 N elipse M : 2 = 1 nlezněte body, které mjí největší nejmenší vzdálenost od přímky p : 3x + y = 0. Příkld můžeme řešit několik způsoby: 1) Použijeme explicitní tvr funkce vyjdřující vzdálenost bodu x, y) R 2 od přímky dné rovnicí αx + βy + γ = 0, sice fx, y) = αx+βy+γ α 2 +β 2. Odvození vzorce: Uděláme to rovnou pro vzdálenost bodů od roviny v R 3 pro R 2 je nlogické odvození úplně stejné). Necht rovin ρ v R 3 má rovnici αx + βy + γz + δ = 0. Její normálový vektor je tedy n = α, β, γ) rovnici pro bod = x, y, z ) R 3 pk můžeme npst pomocí sklárního součinu jko n = δ. Zvolme si nyní nějký bod b R 3 v rovine ρ. Vzdálenost bodu = x, y, z) R 3 od roviny ρ je nyní dán jko velikost kolmého průmětu vektoru b do směru normálového vektoru n, tedy pomocí vzthu n b) n. Protože bod b je v rovině ρ, pltí n b = δ. Můžeme tedy psát n b) n b n n + δ n = = = n n Budeme tedy hledt mximum minimum funkce fx, y) = 3x + y 32 + 1 2 αx + βy + γz + δ α 2 + β 2 + γ 2. z podmínky x2 = 1. Protože f není všude diferencovtelná, můžeme si pomoci bud tk, že si vezmeme místo toho ekvivlentní zdání, kde hledáme minimum mximum funkce ) 2 gx, y) = 10 fx, y) = 3x + y ) 2 snžíme se o co nejjednodušší tvr, bez zbytečných konstnt) nebo si všimneme, že M nemá průnik s přímkou p, což znmená, že leží v jedné z otevřených polorovin určených přímkou p protože M je souvislá množin - je totiž obloukově souvislá). V tom přípdě je výrz 3x + y n všech bodech z M vždy bud jen kldný nebo jen záporný. Hledání extrému funkce f pk ekvivlentně odpovídá hledání extrému funkce hx, y) = 3x + y. Pge 3
Zvolíme si druhou vrintu i když ni první není o nic těžší). Pro body n elipse M dné vzbou Φx, y) := x2 1= 0) je zřejmě grdφ) = x 2, 2y ) 0. Pro bod = x, y) M bsolutního extrému h n elipse M existuje λ R, že x 3, 1) = grdh) = λ grdφ) = λ Z prvních dvou rovnic dostneme x 2 = 1. λ x 2 = 3 λ2y, tedy λ = 0 nebo y = 3 4 x. Pokud λ = 0, pk pltí 3x + y = 0 tudíž hledáme průnik elipsy s přímkou p, ktery je le prázdný. Tkže zbývá přípd y = 3 4x, který po doszení do rovnice elipsy dává rovnici: 1 = x2 4 + 3 4 x)2 = 16 x2 tedy body x, y) = ± 4 3, ). V těch funkce f vzdálenosti od přímky nbývá hodnot 3 10 +3 10. 2) Použijeme intuitivní náhled, který je le vlstně pouze jinou verzí prvního postupu díky němuž je tké korektnost druhého postupu zručen): Tvrzení: Pokud je množin M dná vzbou) uzvřená, omezená má tečny ve všech svých bodech, pk body z M, které jsou od přímky p nejdál nebo nejblíže, musí mít svou tečnu rovnoběžnou s touto přímkou. Pro náš konkrétní přípd je elips M vrstevnicí vzbové) funkce Φx, y) := x2 1, tkže normál kolmá n tečnu v bodě = x, y) M je grdientem funkce Φ. Hledáme tedy body = x, y) M, ve kterých je normál k M násobkem normály přímky p. Pk tedy existuje λ R, že x = grdφ) = λ 3, 1) x 2 = 1. Není překvpením, že z první podmínky opět dostáváme rovnici y = 3 4x tedy i stejné řešení jko v prvním postupu. Poznámk: Předstvme si, co by mohlo stát, pokud bychom neměli zručeny všechny výše zmíněné předpokldy množiny M, pro kterou zjišt ujeme vzdálenosti bodu od přímky p metodou tečen: M má tečny ve všech svých bodech je omezená, le NENÍ uzvřená: z M stčí vzít npř. nší elipsu, ze které jsme odstrnili právě tyto extrémní body extrémy prostě v množině obsžené nejsou, přestože bychom je formálně z postupu získli). Pge 4
M má tečny ve všech svých bodech je uzvřená, le NENÍ omezená: z M stčí vzít npř. hyperbolu s symptotou p zde žádné extrémní body ni existovt nemohou). M je omezená uzvřená, le NEMÁ tečny ve všech svých bodech: z M stčí vzít npř. vhodné ntočený trojúhelník) extrémy sice budou existovt, le pouze pomocí tečen je nenjdeme). 3) Použijeme postup, který se dá plikovt pro vzdálenost obecných útvrů v rovině přípdně v prostoru). To, co je n něm obecně těžší, je njít nkonec řešení výsledných rovnic. V nšem přípdě le problémy nebudou. Uvžujme funkci kvdrát) vzdáleností dvou bodů x, y) u, v) jko hx, y, u, v) = x u) 2 + y v) 2 budeme hledt její extrémy z podmínek x2 = 1 3u + v = 0. Protože le jedn z podmínek dává neomezenou množinu konkrétně je to přímk p), tk mximum funkce nebude existovt postup je použitelný jen n hledání minim to ještě budeme muset správně odůvodnit). Máme tedy dve vzby s grdienty kde = x, y, u, v). Oznčme si Φ 1 x, y, u, v) = x2 1 Φ 2 x, y, u, v) = 3u + v grdφ 1 ) = x, 0, 0 grdφ 2 ) = 0, 0, 3, 1) K = { R 4 Φ 1 ) = 0 & Φ 2 ) = 0}. Pro body K jsou grdienty evidentně lineárně nezávislé pro body extrému funkce f n K pk existují λ, µ R, že ) x 2x u), 2y v), 2u x), 2v y) = grdh) = λ, 0, 0 + µ 0, 0, 3, 1) x 2 = 1 3u + v = 0 neboli máme 6 rovnic o 6-ti neznámých!). Nštěstí jsou rovnice poměrně jednoduché. Postupně dostneme λ x = 2x u) = 3µ 2 λ 2y = 2y v) = µ tedy opět rovnici λ x 2 2y ) 3 = 0, kde přípd λ = 0 opět nemá řešení. Zbytek pk opět dává ) 4 3 x 1, y 1 ) =, ) 4 3 x 2, y 2 ) =, Pge
pomocí rovnice x u = 3y v) dopočítáme odpovídjící body n přímce 27 u 1, v 1 ) = 10, ) + 27 10 27 + u 2, v 2 ) = 10, ) 27 10. Pro funkční hodnoty neboli hodnoty extrémních vzdálenosti) bodů i = x i, y i, u i, v i ) pltí h 1 ) < h 2 ). Množin dná vzbmi K je ted sice uzvřená, le NENÍ omezená. N druhou strnu pro K jdou hodnoty h) tké do nekonečn protože elips je omezená). Nyní si stčí vzít dosttečně velkou uzvřenou kouli B tk, by n množině K R 4 \B) byly hodnoty funkce h větší než npř. h 2 )+1. A dále: N uzvřené nyní už omezené množině K B bude spojitá funkce h nbývt svého mxim i minim. N množině K B budou hodnoty funkce h větší nebo rovny hodnotě h 2 ) + 1 díky spojitosti h díky jejím hodnotám n K R 4 \ B)). N množině K B díky otevřenosti množiny B ) pk můžeme vlstně jsme to už udělli) použít obvyklý způsob vyšetření vázných extrémů pomocí Lngrngeových multiplikátorů. Výsledkem jsou podezřelé body 1 2 které se evidentně musí ncházet v K B díky svým funkčním hodnotámh 1 ) < h 2 ) < h 2 ) + 1). Absolutní minimum funkce h n množině K B se tedy NEMŮŽE ncházet n okrji K B protože tm je funkce moc velká může to tedy být jedině bod 1. Součsně i n množině K R 4 \ B) je funkce moc velká, bod 1 je tk oprvdu bsolutní minimum funkce h n původní množině K. Tkto tedy vypdá korektní zdůvodnění, že námi nlezený bod je minimum v přípdě, že množin dná vzbou sice nebyl omezená, le n druhou strnu zse funkce v nekonečnu roste do nekonečn. A co bod 2? Abychom zjistili, jk to vypdá zde, bylo by potřeb dlšího rozboru pomocí vyšších derivcí. Intuitivně se zdá, že v něm nejspíš bude sedlo z hledisk nší volby množiny K funkce h). To už by le byl poměrně náročný postup, jk je vidět, třetí přístup se hodí oprvdu jen k určení vzdálenosti množin tj. minim funkce h). 8.4 Njděte vzdálenost prboly M : y = x 2 od přímky p : y = x 2. Můžeme použít některý z předchozích postupů, le musíme si uvědomit, že prbol není omezená množin i když je uzvřená má tečny ve všech svých bodech). Nštěstí le funkce vzdálenosti bodů prboly M od přímky p i zde v nekonečnu roste do nekonečn. Minimum vzdálenosti tedy musí být nbyto v nějkém bodě M v něm musí být tečn rovnoběžná s přímkou p. Směrnici α R tečny v bodě M, který je grfem funkce gx) = x 2, můžeme získt tké právě pomocí derivce této funkce jedné proměnné, tj. α = d dx x2 ) = 2x. Směrnice přímky p je zřejmě 1. Tkže z 2x = 1 plyne x = 1 2 tedy y = x2 = 1 4. Pge 6
Vzdálenost ρ bodu x, y) = 1 2, 1 4) M od přímky p : x y 2 = 0 je tedy podle obecného vzorce ρ = x y 2 12 + 1 2 = 1 2 1 4 2 2 = 7 2 8. Pge 7