strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek a, b, c. Vypočítejte jejich průsečíky s oběma průmětnami (stopníky přímek). Řešení: a: x = -2 + 7/2t, y = 5-3t, z = 1 + 4t, tr, P a[-23/8, 23/4, 0], N a[23/6, 0, 23/3], b: x = 3 + 2s, y = 7-5s, z = 4, sr, Pb neexistuje, N b[29/5, 0, 4] c: x = -5, y = 3, z = 3 + 3r, r R, P [-5, 3, 0], N neexistuje c c 3.2a 3.2b 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. Sestrojte stopy roviny určené body A [-2, 2, 1], B [4, 6, 2], C [2, 1/2, 6]. Určete různá analytická vyjádření roviny (obecná rovnice, parametrické vyjádření, úsekový tvar...) a určete průsečnice této roviny s průmětnami. Řešení: : 43x - 52y - 50z + 240 = 0, : x = -2 + 6u + 8v, y = 2 + 4u - 3v, z = 1 + u + 10v, u,vr p : x = -240/43 + 52/43t, y = t, z = 0, tr, n : x = -240/43 + 50/43s, y = 0, z = s, sr 0 0
stran0 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. 3.3 Bodem A veďte obě hlavní přímky roviny. =(A,b) =(a,b) =(a,b) C n =(A,B,C) 2 =(A,B,C,D) 2 B 2 =(A,B,C) C 2 C 2 B 2 B 2 D 2 D 1 C 1 C 1 C 1
stran1 3.4 Zobrazte sdružené průměty přímky p, která leží v rovině. 3.5 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. Zobrazte sdružené průměty bodu A, který leží v rovině. =(a,b) =(a,b) =(a,b) =(a,b) p 2 f 2 f 2 p 2 h 2 h 2 f 1 f 1 =(h,f) h 1 =(h,f) h 1
stran2 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. 3.6a Sestrojte průsečík přímky p s rovinou Určete viditelnost přímky p. =(A,B,C) =(A,B,C,D) =(a,b) =(a,b) C 2 p 2 p 2 B 2 p 2 p 2 B 2 C 2 D 2 D 1 C 1 C 1 p 2 p 2 p 2 p 2
stran3 3.6b Sestrojte průsečík přímky p s rovinou Určete viditelnost přímky p. 3.6c Vypočítejte průsečík přímky p s rovinou p: x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + t, t R, : x + 2y - z + 1 = 0. Řešení:P [7, -1, 6] 3.7 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. Zobrazte průnik trojúhelníků ABC a KLM. Určete viditelnost. M 2 =(A,b) =(h,f) f 2 C 2 p 2 p 2 h 2 f 1 K 2 L 2 B 2 h 1 M 1 p 2 =(A,B,C) C 2 p 2 B 2 K 1 L 1 C 1 C 1
stran4 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. 3.8a Bodem M veďte příčku mimoběžek a, b. 3.9a Bodem M veďte příčku mimoběžek a, b. 3.8b Určete parametrické vyjádření příčky mimoběžek a, b, která prochází 3.9b Určete parametrické vyjádření příčky mimoběžek a, b, která prochází bodem M [3, 0, 0], nevlastním bodem M (0, 1, 1), a: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 2t, tr, b: x = 2 - s, y = 4-2s, z = 1 + 2s, t,sr. a: x = -1 + t, y = -2 - t, z = 2t, tr, b: x = 2 - s, y = 4-2s, z = 1 + 2s, t,sr. Řešení: p: x = 3-2r, y = 2r, z = 3r, rr Řešení: p: x = 0, y = r, z = 5 + r, rr M 2 M 2 M 1 M 1
stran5 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. 3.10b 3.10a Sestrojte průsečnici rovin a Vypočítejte průsečnici rovin : 2x - y - 8z + 10 = 0 a : x = 1 - u + v, y = 1 + 2u + v, z = 3 - u, u,vr. Řešení: p: x = -1 + 5t, y = 8 + 2t, z = t, tr C 2 2 B 2 C 1 =(a,b) =(a,b) =(A,B,C), =(a,b)
stran6 3. Mongeovo promítání - polohové úlohy. 3.11a Sestrojte průsečík tří rovin 3.12a Bodem M veďte rovinu, která je rovnoběžná s rovinou. 3.11b Určete vzájemnou polohu tří rovin 3.12b Určete obecnou rovnici roviny, která je prochází bodem M [-5, 3, 2] : x + 2y - z + 3 = 0, : 2x + 2y + z - 4 = 0, : x - 2y - 2z + 4 = 0. a je rovnoběžná s rovinou : A [3, 1, -1], B [2, 2, 0], C [1, 5, 1]. Řešení: P [1, -1/2, 3] Řešení: : x + z + 3 = 0 =(A,B,C) C 2 M 2 M 2 B 2 M 1 M 1 C 1 =( A, a) =(a,b) M 2 M 2 M 1 M 1
stran7 4.1a Určete velikost úsečky AB. Stanovte odchylky přímky AB od obou průměten. 4.1b Vypočítejte velikost úsečky AB a odchylky přímky AB od obou průměten, A [3, 2, 3], B [-5, 5, 4]. Řešení: AB = 74, sin = 1/ 74, sin = 3/ 74 4.2 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. Sestrojte bod V tak, aby ležel na přímce p a SV = 8 cm. B 2 p 2 S 2 S 1
stran8 4.3a K bodu A sestrojte bod symetrický vzhledem k rovině = (h, f). 4.3b Určete souřadnice bodu A, který je symetrický k bodu A [5, 13, 2] podle roviny : h: x = 2 + 3t, y = -2 - t, z = -12, f: x = 2 - s, y = -2, z = -12-2s, t,sr. Řešení:A [-3, -11, 6] 4.4a 4.4b 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. Bodem M veďte přímku kolmou k rovině = (a, b). Napište parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem M [3, 1, -2] a je kolmá k rovině a: x = 1 - t, y = 2 - t, z = t, b: x = 2 - s, y = -2 - s, z = 3 + s, t,sr. Řešení: p: x = 3 + r, y = 1 + 4r, z = -2 + 5r, rr f 2 M 2 h 2 f 1 M 1 h 1
stran9 4.5a Určete vzdálenost bodu M od roviny. 4.5b Určete vzdálenost bodu M od roviny = (A, B, C). 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. M 2 M 2 C 2 B 2 M 1 M 1 C 1
stran0 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.5c Určete vzdálenost bodu M od roviny = (A, B, C, D). 4.5d Určete vzdálenost bodu M od roviny = (a, b). D 2 M 2 M 2 C 2 B 2 D 1 M 1 C 1 M 1
stran1 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.5e Určete vzdálenost bodu M od roviny = (A, b). 4.6a 4.5f Vypočítejete vzdálenost bodu M [-2, 3, 1] od roviny : A [1, 2, 1], b: x = 2 + 3t, y = -5-16t, z = -2t, tr. Řešení:v = 5/ 30 4.6b Ověřte, že přímka p je rovnoběžná s rovinou = (A, B, C), a určete jejich vzdálenost Vypočítejte vzdálenost přímky p: x = -2t, y = 4 + t, z = 1 - t, tr od roviny : A [1, 2, 0], B [3, 2, 3], C [-1, 3, -1]. Řešení:v = 3/ 29 M 2 p 2 B 2 C 2 C 1 M 1
stran2 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.7a Ověřte, že roviny a = (h, f) jsou rovnoběžné, a určete jejich vzdálenost. 4.7b Vypočítejte vzdálenost rovnoběžných rovin : 4x + 5y + 3z - 30 = 0 a : x = 1 - u - 2v, y = 2 - u + v, z = 2 + 3u + v, u,vr. Řešení: v = 10/ 50 = 2 f 2 n 2 h 2 f 1 h 1
stran3 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.8a 4.8b Určete vzdálenost mimoběžek a, b. Vypočíteje vzdálenost mimoběžek a: x = -1 + 2t, y = 1 + t, z = 2 a b: x = 2 - s, y = 3s, z = 1 + s, t,sr. Řešení:v = 2/ 54
stran4 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.9a 4.9b Stanovte vzdálenost bodu A od přímky b. Vypočítejte vzdálenost bodu A [-1, 1, 2] od přímky b: x = 2 + t, y = 1 + t, z = -t, tr. Řešení: v = 14/ 3 b=
stran5 4.10a Ověřte, že přímky a, b jsou rovnoběžné, a určete jejich vzdálenost 4.11 4.10b Vypočítejte vzdálenost rovnoběžných přímek a: x = 2 + t, y = 1-3t, z = 1 + t a b: x = 2s, y = -1-6s, z = 1 + 2s, t,sr. Řešení: v = 72/ 11 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. V rovině sestrojte čtverec ABCD, který má střed S a vrchol A. S 2
stran6 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.12 Zobrazte rovnostranný trojúhelník, který má vrchol A a jehož strana BC leží 4.13a na přímce a. 4.13b Určete velikost vnitřních úhlů a stran trojúhelníka ABC. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů a stran trojúhelníka ABC: A [3, 1, 1], B [1, -2, 1], C [2, -3, -1]. Řešení: AB = 13, AC = 21, BC = 6, cos = 14/ 273, cos = -1/ 78, cos = 7/ 126 C 2 B 2 C 1
stran7 4.14a Určete odchylku přímek a, b. 4.14b Vypočítejte odchylku přímek a: x = 2-2t, y = 1 + 3t, z = 1 - t a b: x = 2, y = 1 + s, z = 1- s, t,sr. Řešení: cos = 2/ 7 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.15a Určete odchylku rovin a. 4.15b Vypočítejte odchylku rovin : 2x + 2y - z + 5 = 0 a : x - 3y + z + 1 = 0. Řešení: cos = 5/3 11
stran8 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.16a Určete odchylku přímky p = od nárysny (roviny y = 0) 4.16b Vypočítejte odchylku přímky p od nárysny, : x + y - 3z + 2 = 0, : 2x + y - 4z - 1 = 0. Řešení: sin = 2/ 6 Řešení: sin = 9/11 4.17a Určete odchylku přímky p od roviny. 4.17b Vypočítejte odchylku přímky p: x = -2 + t, y = 1 - t, z = 3t, tr : x = 1 - u + 2v, y = 4-2u - 2v, z = 3 + u, u,vr. od roviny p 2
stran9 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.18 Zobrazte kružnici k = (S, r = 3,5), která leží v rovině. 4.19 Sestrojte kružnici, která má střed S, prochází bodem A a leží v rovině = (h, f). f 2 S 2 h 2 S 1 f 1 S 1 h 1
strana 30 4. Mongeovo promítání - metrické úlohy. 4.20 Zobrazte kružnici, kterou opíše bod A při rotaci kolem osy o. 4.21 Sestrojte kružnici, která prochází body A, B, C. o 2 C 2 B 2 o 1 C 1
strana 31 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.1 V Mongeově promítání sestrojte sdružené průměty pavidelného trojbokého hranolu, jehož dolní podstava ABC leží v rovině a jehož výška v = 9 cm. A C B A C B
strana 32 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.2 V Mongeově promítání sestrojte sdružené průměty pavidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstava ABCD leží v rovině a který má výšku v = 7 cm. V D C A B S 2
strana 33 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.3 E A Zobrazte krychli ABCDEFGH, jejíž stěna ABCD leží v rovině = ( h, f ) a má vrchol B na přímce f. Bod E je vrchol horní podstavy. H G F f 2 D C B E 2 h 2 f 1 E 1 h 1
5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. A 5.4 Sestrojte pravidelný osmistěn, který má vrchol A a tělesovou úhlopříčku na přímce u. D F E B C u 2 strana 34 u 1
strana 35 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.5 Zobrazte rotační kužel, ktery je určen vrcholem V, středem podstavy S a poloměrem podstavy r = 4. V S V 2 V 1 S 2 S 1
5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.6 Zobrazte rotační válec, je-li přímka o jeho osa a bod A leží na dolní podstavě. Výška tělesa je rovna průměru podstavy. A o S o 2 strana 36 o 1
strana 37 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.7 Zobrazte kulovou plochu, která se dotýká přímky t a má střed v bodě S. 5.8 Sestrojte kulovou plochu, která se dotýká přímek a, b v jejich průsečíku T a má poloměr r = 3. t 2 S S T 2 S 2 S 1 T 1 t 1
strana 38 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.9 V Mongeově promítání zobrazte pravidelný dutý šestiboký hranol s kruhovým otvorem, který má podstavu v rovině, střed podstavy S, jeden vrchol podstavy A a výšku v = 3. Osa válcového otvoru je shodná s osou hranolu, poloměr tohoto válce je r = 3. S 1
strana 39 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.10 A B V Mongeově promítání zobrazte pravidelný pětiboký jehlan, který má podstavu v rovině. Kružnice opsaná podstavě má poloměr r = 3,5 a dotýká se obou stop roviny. Jeden vrchol podstavy volte na nárysné stopě. Výška jehlanu je v = 9. V E D C
strana 40 5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.11 V Mongeově promítání zobrazte těleso, jehož podstava leží v rovině a tvoří ji šesticípá hvězda se středem v bodě S a vrcholem v bodě A. Výška tělesa je v = 8. V S S 1
5. Mongeovo promítání - elementární tělesa. 5.12 Zobrazte rotační těleso, je-li dána osa rotace o a střed S dolní podstavy tělesa. S 2 7 4 10 1 4 2,5 4 5 o 2 S o 1 strana 41 S 1
strana 42 6. Přílohy. Mongeovo promítání - základní úlohy. 1. Stopníky P, N přímek a, b, c. 2. Bod A a přímka a ležící v rovině. c 2 f 2 N 2 N 2 c 2 h 2 P 2 P 2 N 1 N 1 f 1 P 1 = c 1 c 1 h 1 P 1 = (b, c) = (h, f) 3. Hlavní (h, f) a spádové (s, u) přímky roviny. 4. Průsečík přímky a s rovinou c 2 K 2 f 2 k 2 = k 2 s 2 h 2 =k 2 M 2 L 2 u 2 k 1 K 1 u 1 s 1 M 1 = k 1 c 1 f 1 h 1 k 1 = (b, c) = (K, L, M) L 1
strana 43 5. Skutečná velikost úsečky AB. 6. Přímka k kolmá k rovině 6. Přílohy. Mongeovo promítání - základní úlohy. 7. Rovina = (h, f) kolmá k přímce a. k 2 k 2 f 2 f 2 B 2 B 2 (A) h 2 h 2 y AB A 0 f 1 f 1 y AB k 1 k 1 = (h, f) h 1 h 1 8. Otočení roviny okolo její stopy p a okolo hlavní přímky h. 9. Kružnice k = (S, r) ležící v rovině. f 2 z Ah r S 2 k 2 2 S 2 r h 2 h 2 S 2 h 2 z A k 2 r k 2 z Ah r r z A (A) A 0 r r (A) S 1 r S 1 S 1 k 1 r f 1 A 0 h 1 = (A, h) h 1 k 1 k 1 h 1
strana 44 6. Přílohy. Mongeovo promítání. 1. Stanovte polohu přímek a, b, c, d, e, f, g, h vzhledem k průmětnám. 3. Stanovte polohu rovin vzhledem k průmětnám. c 2 e 1= e2 f 2 g 2 h 2 = = 2 d 2 p = n = x 1 2 12 c 1 d 1 f 1 g 1 h 1 = (A, p) 2. Určete vzájemnou polohu přímek a, b. = = = b2 = = = =
strana 45 4. Stanovte vzájemnou polohu přímky a a roviny 6. Přílohy. Mongeovo promítání. Osová afinita. Středová kolineace. Osová afinita ( o, A A ). c 2 C 2 n 2 2 p A B 2 c 1 = (b, c) C 1 A 1 = (A, B, C) p 1 s B B o p 5. Určete vzájemnou polohu rovin. A B 2 C 2 = Středová kolineace ( S, o, A A ). C 1 = (A, B, C) p A s B 2 2 f 2 f 2 o h 2 h 2 1 1 h 1 = (h, f) f 1 h 1 b 1 = (a, b), = (h, f) f 1 A p B
strana 46 6. Přílohy. Kuželosečky. Elipsa. Proužková konstrukce. Parabola. t A F T C a b e S S 1 r 1 r 2 D G B Elipsa je dána hlavními vrcholy A, B a bodem M. 1. S: S = střed úsečky AB 2. o 2 : o2 S, o2 AB (vedlejší osa elipsy) 3. k: k = (M, r = a = AS ) 4. P, Q: k o = P, Q 2 k Součtová konstrukce: 5. p: přímka PM 6. P : p o 1 = P 7: b = MP Rozdílová konstrukce: 5. q: přímka QM 6. Q : q o 1 = Q A 7: b = MQ o 1 a P S o 2 b Q a a q M b P B T t S o F V r d (x - m) 2 (y - n) 2 + = 1, S = [m,n] S 2 Q p 2 2p(y - n) = (x - m), V = [m,n] Sdružené průměry elipsy. Rytzova konstrukce. Hyperbola. K M S N L Elipsa je dána sdruženými průměry KL, MN 1. R: RS MN, RS = MS 2. p: p = přímka RL 3. O: O = střed úsečky RL 4. k: k = (O, r = OS ) 5. P, Q: k p = P, Q 6. osy elipsy: přímky PS, QS 7. a = PL, b = QL k M A K C S P R r O a L b Q B F T A t S e a C b B G r S 1 D p N (x - m) 2 (y - n) 2 - = 1, S = [m,n]