6..4 Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru Předpoklady: 603 Pedagogická ponámka: Tato hodina vyžaduje spíše jeden a půl vyučovací hodiny Máme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru: a + bi c + di Spočítáme jejich součin: ( a + bi ( c + di ac + adi + bci + bdi ac bd + ( ad + bc i Jak to bude součin vypadat v goniometrickém tvaru? r isinϕ r ( + ( ( + sinϕ ( + sinϕ r i r i r r + i sinϕ sinϕ ( sinϕ sinϕ i ( sinϕ sinϕ r r + + Vpomínka na goniometrii: sinϕ sinϕ cos ϕ + ϕ ( + ( + ( sinϕ ( sinϕ cos( ϕ ϕ sin ( ϕ ϕ sinϕ sinϕ sin ϕ ϕ r + i r + i r r + + i + Pro součin dvou libovolných komplexních čísel a v goniometrickém tvaru platí vorec: r ( r ( r r cos( ϕ + ϕ + i sin ( ϕ + ϕ. Př. : Urči v goniometrickém tvaru součin. čísel cos + i sin a 3 cos + i sin. Výsledek převeď i do algebraického tvaru. cos + i sin 3 cos + i sin 3 3 3 cos + + isin + 6 cos + sin 6 + 0 6 ( i (
Př. : Urči v goniometrické tvaru součin. čísel: a 0,5 a 4 cos + i sin b ( + i a ( + i 6 cos 30 sin 30 a 0, 5 4 cos40 sin40 5 5 cos + + i sin + cos i sin 6 3 6 3 5 5 cos + i sin b 6 ( cos 30 + i sin 30 ( cos40 + i sin40 ( i ( 3 cos 30 + 40 + sin 30 + 40 ( i ( i 3 cos 450 + sin 450 3 cos 90 + sin 90 Př. 3: Převeď čísla cos + i sin a 3 cos + i sin na algebraický tvar a v algebraickém tvaru je vynásob. Srovnej výsledek s výsledkem příkladu. cos i sin i + + i 3 cos + i sin 3 + i 3 + 3i ( + i( 3+ 3i 3+ 3i 3i + 3i 6 Stejný výsledek jako u příkladu. Př. 4: Zobecni vorec pro součin v goniometrickém tvaru pro větší počet činitelů (komplexní čísla ; ;...; n. Odvoď vorec pro podíl v goniometrickém tvaru. Řešení vi. následující výklad. Vorec pro součin v goniometrickém tvaru je možné obecnit pro větší počet činitelů: r i sinϕ r + isinϕ, Pro všechna komplexní čísla ( +, (, n rn ( n + isinϕn platí:... r r... r cos ( ϕ + ϕ +... + ϕ + i sin ( ϕ + ϕ +... + ϕ n n n n
Pedagogická ponámka: Odvoení vorce pro násobení nechávám většinou na studentech. Vorec pro podíl pak promítám počítače, aby vybyl čas na počítání příkladů. Jak je to s dělením? r isinϕ ( + r ( r ( i sinϕ ( i sinϕ r ( + i sinϕ ( i sinϕ ( + sinϕ ( sinϕ ( cos ϕ sin ϕ + r i i r i r sinϕi + sinϕ i sinϕ sinϕi r ( cos ϕ + sin ϕ ( r + sin sin sin cos cos sin ϕ ϕ + i ϕ ϕ ϕ ϕ r Opět použijeme goniometrii: + sinϕ sinϕ cos ϕ ϕ ( ( sinϕ sinϕ sin ϕ ϕ ( ( + sinϕ r r cos + r i r ( ϕ ϕ i sin ( ϕ ϕ Pro podíl dvou libovolných komplexních čísel a v goniometrickém tvaru platí vorec: ( ( + sinϕ r r cos + r i r ( ϕ ϕ i sin ( ϕ ϕ Př. 5: Urči v goniometrickém tvaru podíl čísel 3 cos + i sin a cos + isin. Výsledek převeď i do algebraického tvaru. 3 cos isin + 3 3 3 cos i sin + cos i sin 3 cos + isin 3( 0 + i 3i 3
Př. 6: Urči v goniometrickém tvaru podíl čísel: a 4 cos + i sin a b ( + i a ( + i 6 cos 30 sin 30 cos40 sin40 4 cos + i sin 4 cos i sin + 3 6 3 6 cos i sin 7 7 5 5 cos + i sin cos + i sin ( + i ( + i ( i 6 cos30 sin 30 6 cos ( 30 40 + i sin ( 30 40 cos40 sin40 3 cos70 + sin70 Př. 7: Převeď čísla 3 cos + i sin a cos + isin na algebraický tvar a v algebraickém tvaru je vyděl. Výsledek srovnej s výsledkem příkladu 5. 3 cos + i sin 3 + i 3 + 3i cos isin i + + i 3+ 3i i 3+ 3i + 3i 3i 6i 3i + i i + Stejný výsledek jako u příkladu 5. Př. 8: Vyjádři v goniometrickém tvaru. Číslo není v goniometrickém tvaru, je ve jmenovateli lomku převedeme čitatel do goniometrického tvaru a použijeme vorec pro dělení v goniometrickém tvaru: ( cos0 + i sin 0 cos( 0 ϕ + isin ( 0 ϕ cos( ϕ + isin ( ϕ + isinϕ + Dobré na apamatování: cos( ϕ i sin ( ϕ 4
Př. 9: Urči součin komplexních čísel: cos + i sin 3. 5 5,, Nemůžeme použít vorec pro součin v goniometrickém tvaru, čísla v něm nejsou adaná převedeme na goniometrický tvar pomocí předchoího vorce. cos isin + cos + sin 3 3 3 3 cos i sin + 4 4 5 5 3 cos i sin 5 5 + cos + i sin 6 6 3 3 5 5 3 cos + i sin cos isin cos isin + + 3 5 3 5 cos + i sin 3 4 6 3 4 6 9 9 cos + i sin cos + i sin 4 4 4 4 7 7 Př. 0: Zapiš v goniometrickém tvaru číslo: cos ϕ i sin ϕ + ( cos sin i sinϕ ϕ + + i ϕ Nejdřív si upravíme ávorku: ( i sinϕ ( + isinϕ + + isinϕ + isinϕ cos ϕ + i sinϕ i sinϕ i sin ϕ + cos ϕ + sin ϕ + + isinϕ + isinϕ cos( ϕ + i sin ( ϕ Dosadíme: 5
i sinϕ + ( cos ϕ + i sin ϕ ( ϕ i ( ϕ ( ϕ i ϕ ( ϕ ϕ i ( ϕ ϕ ( ϕ i ϕ cos + sin cos + sin cos + sin cos + sin Př. : Vyjádři v goniometrickém tvaru: 7 7 cos + i sin a i 5 5 c 3 i + b ( i 7 7 cos + i sin a i Převedeme jmenovatel na goniometrický tvar: i cos + i sin 7 7 7 7 cos + i sin cos + i sin 7 7 cos i sin i + 6 6 cos isin cos + i sin b ( + i Převedeme čitatel na goniometrický tvar: + i cos + i sin ( + i cos + i sin cos + i sin cos + i sin cos + + isin + cos + i sin 4 3 4 3 5 5 c 3 i Převedeme jmenovatel na goniometrický tvar: 3 i cos + i sin 6
5 5 5 5 cos + i sin cos + i sin 5 5 cos isin 3 i + cos i sin 6 6 0, 5 cos + isin 0, 5 cos + isin 0,5 cos + isin ( ( ( Shrnutí: V goniometrické tvaru můžeme komplexní čísla snadno násobit i dělit. 7