poždovné minimum Poždovné dovednosti: práce s mocninmi mnohočleny: sčítání, odečítání, násobení, dělení vzorce pro druhou třetí mocninu dvojčlenu rozkld mnohočlenů n součin činitelů (vytýkáním nebo užitím vzorců) úprv lgebrických výrzů, podmínky řešitelnosti řešení lineárních rovnic nerovnic řešení kvdrtických rovnic řešení rovnic s odmocninou řešení rovnic s prmetrem řešení rovnic s bsolutní hodnotou řešení exponenciálních logritmických rovnic Mocniny "# = 1 # # ( & = # # b # = (b) # # b # = - b. # # & = #/& # b & = #"& ( # ) & = #& b = b = 2, b b b 6 7 8 = 8 2 ; 8: = = 8 Operce s mnohočleny ( ± b) = = = ± 2b + b = ( ± b) @ = @ ± 3 = b + 3b = ± b @ ( = b = ) = ( + b)( b) ( @ + b @ ) = ( + b)( = b + b = ) ( @ b @ ) = ( b)( = + b + b = ) 17. listopdu112/12 771 46 Olomouc T: 585 634 6
Rozkld kvdrtického trojčlenu n součin lineárních dvojčlenů x = + bx + c = (x x E )(x x = ) x1 x2 jsou kořeny kvdrtické rovnice Usměrňování zlomků b b b = b b = F F c + b = 8"F 8"F = 8"F = 8"F/F c + b c b = 8"F = 8 8"F c6 b7 6 7 = 6 b7 = = c6 b7 b Rovnice s jednou neznámou Řešit rovnici znmená určit tková čísl, pro která hodnot levé strny rovnice se rovná hodnotě prvé strny rovnice. Kždé tkové číslo se nzývá kořen rovnice nebo řešení rovnice. Při řešení rovnice lze použít tzv. ekvivlentní úprvy (nedochází ke změně kořenů rovnice): přičtení, odečtení téhož čísl nebo výrzu s proměnnou k oběm strnám rovnice vynásobení, vydělení obou strn rovnice stejným číslem nebo výrzem neznámou, který se nerovná nule nebo tzv. důsledkové úprvy (řešením rovnice jsou nejenom všechn původní rovnice, le i některá dlší řešení) Umocnění obou strn rovnice n druhou Při řešení rovnice je vhodné provádět zkoušku Při řešení použitím důsledkových úprv Pro vyloučení chyby při výpočtu Zkouškou nelze zjistit zd, jsme nlezli všechn řešení! 17. listopdu112/12 771 46 Olomouc T: 585 634 6
Nerovnice s jednou neznámou Zápis nerovnosti dvou výrzů, v nichž se může vyskytovt nějké písmeno oznčující neznámou. Od rovnic se liší tím, že místo znku rovnosti je v nich některý ze znků nerovnosti - <,, >,. Řešením nerovnice nzýváme kždé číslo, jehož doszením z neznámou dostneme pltnou rovnost. Při řešení rovnice používáme tzv. ekvivlentní úprvy. Přičtení stejného čísl k oběm strnám rovnice Vynásobení obou strn rovnice stejným číslem Při násobení záporným číslem dochází k obrcení znku nerovnosti! Lineární rovnice!" + $ = kde,b R, se nzývá lineární rovnice s neznámou x!, %!& ()*+,ý. ř)š),í. () 2 = 5!! = 5 =, %!& &!ž*é čí:; 2 R () ř)š),í.! = 5, %!& >;?,+@),).á ř)š),í Lineární nerovnice!" + $ >,!" + $ <,!" + $,!" + $ kde,b R, se nzývá lineární nerovnice s neznámou x!" + $ >! >, (!) +,-./ý1 ř,š,/í1 +, " > $!! <, (!) +,-./ý1 ř,š,/í1 +, " < $!! = $ =, (!) )!ž-é čí;<= " R +, ř,š,/í1! = $, (!) A=B/.C, /,1á ř,š,/í 17. listopdu112/12 771 46 Olomouc T: 585 634 6
Kvdrtické rovnice!" # + %" + & = kde,b,c R, se nzývá kvdrtická rovnice s neznámou x ) <,,-.á 123,4&- 3 R žá7,é ř-š-,í ) =,.á 123,4&- <-7-, 732<,á=2%,ý?2ř-, " @ = " # = % 2! ) >, D!? 123,4&-.á 73! 1ůF,é 1-áG,é?2ř-,H " @,# = % ± %# 4!& 2!, ) = % # 4!& Viétovy vzthy!" # + %" + & = " ) + " # = %! " ) " # = &! Rovnice s neznámou pod odmocninou Řešíme pomocí umocnění obou strn n druhou (zkoušk!). Rovnice s prmetrem Členy s neznámou převedeme n jednu strnu rovnice, osttní n druhou, poté neznámou vytkneme provedeme diskuzi o výrzu, kterým chceme dělit (nelze dělit ). Kvdrtické rovnice s prmetrem Všechny členy převedeme n jednu strnu rovnice, n druhé zůstne. Určíme koeficienty, b, c spočítáme diskriminnt. Jestliže D = 1 řešení, určíme prmetr, pro který se diskriminnt rovná nule dopočítáme kořen D > 2 řešení, určíme intervl pro prmetr dopočítáme kořeny, D < žádné řešení, vypočítáme intervl pro prmetr 17. listopdu112/12 771 46 Olomouc T: 585 634 6
Rovnice s bsolutní hodnotou!"#$%&'(í h$,($'- čí#%- - R 12,234($5á(-: - = - :$ -, - = - :$ - < 1. - 2. - = - 3. -" = - " 4. - " = - " $E&, " Nejprve určíme tzv. nulové body všech bsolutních hodnot, tzn. tkové hodnoty proměnné, pro které je spoň jedn bsolutní hodnot nulová. Nulové body rozdělují reálnou osu n disjunktní intervly. V kždém z těchto intervlů má rgument kždé bsolutní hodnoty jednoznčně definovné znménko. Buď je rgument kldný, pk bsolutní hodnotu nhrdíme přímo jejím rgumentem, nebo záporný, pk bsolutní hodnotu nhrdíme záporně vztým rgumentem, podle definice bsolutní hodnoty. Tkto se zbvíme všech bsolutních hodnot dostneme (ne)rovnici bez bsolutních hodnot, kterou řešíme vhodnou metodou podle jejího typu. Získáme tk řešení, které v průniku s ktuálním intervlem, dává část celkového řešení. Celkové řešení je pk sjednocením všech dílčích řešení pro jednotlivé disjunktní intervly. Exponenciální logritmické rovnice 17. listopdu112/12 771 46 Olomouc T: 585 634 6
Řešení exponenciálních rovnic Obecná metod řešení neexistuje, záleží n konkrétním zdání. Čsto je výhodný následující postup: f( x) g( x) Vhodnými úprvmi rovnici převedeme n tvr =. Logritmujeme rovnici při zákldu, čímž dostneme rovnici f x = g x. Získnou rovnici vyřešíme. Zkouškou porovnáním s definičním oborem vyloučíme nepltné kořeny, vzniklé neekvivlentními úprvmi. Obecně lze říci, že postup řešení musí nutně v některém kroku obshovt logritmování. Řešení logritmických rovnice ( ) ( ) Obecná metod řešení neexistuje, záleží n konkrétním zdání. Čsto je výhodný následující postup: Vhodnými úprvmi rovnici převedeme n tvr log f x = log g x. ( ) ( ) ( ) ( ) Odlogritmujeme rovnici při zákldu, dostneme rovnici f x = g x. Získnou rovnici vyřešíme. Zkouškou porovnáním s definičním oborem vyloučíme nepltné kořeny, vzniklé důsledkovými neekvivlentními úprvmi. Opět lze obecně říci, že postup řešení musí v některém kroku obshovt odlogritmování. 17. listopdu112/12 771 46 Olomouc T: 585 634 6