MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat Čláe se zabývá teorií hromadé obsluhy, lasifiací systémů hromadé obluhy, matematicými rostředy ro jejich ois vycházejícími z teorie ravděodobosti a Marovových rocesů a odvozeím matematicých modelů záladích tyů. Čláe taé a simulačím říladu uazuje, jaým zůsobem lze očítat charateristiy systému, jestliže ejsou slěy ěteré ředolady, a ichž teoreticá odvozeí jsou ostavea. Abstract This aer deals with the queueig theory, classificatio of queueig systems, mathematical tools for their descritio based o the use of robability theory ad Marov rocesses, ad derives mathematical models of basic tyes. The aer also shows how to comute the system characteristics i a situatio whe some of the assumtios, o which the theoretical derivatios are built, are ot satisfied. Klíčová slova teorie hromadé obsluhy, Poissoův roces, Marovovy řetězce Key words queueig theory, Poisso rocess, Marov chais. ÚVOD Zálady teorie hromadé obsluhy oložil dásý matemati A. K. Erlag, terý racoval ro solečost rovozující telefoicou síť v Kodai a v r. 99 osal aliaci teorie ravděodobosti a roblémy telefoího rovozu. O další rozvoj teorie se zasloužil zejméa rusý matemati A. N. Kolmogorov. Klasifiaci systémů hromadé obsluhy ta, ja ji oužíváme des, zavedl v 5. letech miulého století aglicý matemati D. G. Kedall. Des jde již o lasicou část logistiy, osaou v řadě moografií (Bose, ; Cooer, 98; Gross et al., 8 i vysoošolsých textů (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5; Jablosý, ; Klvaňa, 5; Pelta, Máje, 8; Virtamo, 5. Místo ojmu teorie hromadé obsluhy se taé setáme s termíem teorie frot. Prví termí vychází z rusé termiologie теория массового обслуживания, druhý a z aglicého queueig theory. Protože ěteré systémy hromadé obsluhy frotu eobsahují, je rví termí obecější, a roto se jej budeme držet. Systém hromadé obsluhy (SHO je azače a obr.. Do systému obecě v áhodých oamžicích řichází ožadavy (záazíci a vyžadují obsluhu. Možosti obsluhy mohou být omezey, ař. očtem obslužých lie (ebo taé aálů obsluhy. Jestliže je alesoň jeda obslužá lia rázdá, je ožadave o říchodu do obslužého systému oamžitě zracovává. Doba obsluhy vša má rověž áhodý charater, rotože ožadavy mohou být růzě áročé. Jestliže vša jsou všechy obslužé liy obsazey, a - 6 -
se ožadavy (záazíci řadí do froty a musí čeat, až o zracováí ředchozích ožadavů a ě řijde řada. Obr. Strutura systému hromadé obsluhy s aralelím usořádáím obslužých lie Příladem této situace mohou být cestující, teří a letišti čeají a odbaveí a vystaveí alubího lístu a určitý let, dy z jedé froty se dělí e dvěma či více odbavovacím řeážám. Jejich doba obsluhy se může lišit, z důvodu růzého očtu či váhy zavazadel, secificých ožadavů a místo v letadle, řístuu ěolia osob rodiy řeážce ajedou aod. Podobé je to u olade a vlaovém ádraží, dy cestující mají růzé ožadavy a soj, uují více jízdee, ředládají růazy a slevy, často se i iformují a odrobosti vlaového soje, a ta i jejich déla obsluhy se může lišit. Ne vždy vša jsou všechy ožadavy obsloužey, res. řazey do froty a ozdější obsluhu. Nař. telefoicý hovor eí soje, rotože telefoí číslo je obsazeo, oř. volaý účastí má vyutý mobil. Požadave může být i odmítut v říadě, že eslňuje uté ředolady ro obsluhu. Nař. alubí líste a letadlo edostae cestující, terý se eroáže latým cestovím doladem a telefoí hovor eí soje, oud eěží zůstate uživatele mobilu odročil určitou mez. V obr. jsou obslužé liy řazey aralelě a zmíěé řílady tomu odovídají. Stejé je to ař. i v adeřictví, de záazíy čeající a ostříháí obsluhuje ěoli adeřic, ebo u bezíové umy, de motoristé ajíždějí ěolia stojaům ohoých hmot. Existují vša i ofigurace SHO se sériovým řazeím obslužých lie. Příladem mohou být lyžaři, teří asedají za sebou a starší ty vleu ro jedoho lyžaře, oř. výroby rocházející řes výrobí ás v roudové výrobě. Poud se týče froty, ituitivě ji cháeme ve smyslu, ja ji záme třeba z obchodu, tj. do dříve řijde do systému, dříve bude obslouže (FIFO first i, first out. Možá je vša i obsluha LIFO (last i, first out, de aoa je rví obsluhová ožadave, terý do systému vstouil osledí. Nědy bývá strategie LIFO ozačováa i zratou LCFS (last come, first served. Příladem obsluhy LIFO je odběr zboží ze sladu, dy zboží (ař. tabule sla, rabice s televizory, teré bylo a slad dodáo jao rví, je v zadí části sladu, res. asodu hromady, a tedy jao osledí je řístué. Vedle obsluhy FIFO a LIFO se setáme i s áhodým výběrem ožadavu z froty do obslužého systému (SIRO selectio i radom order a obsluhou řízeou rioritou ožadavů (PRI riority. Déla froty může být omezeá, ři dosažeí určitého (ředem defiovaého očtu ožadavů do froty se již další ožadavy odmítou, ař. očet rezervací a ihu v ihově, terá je atuálě vyůjčea; res. eomezeá, ve sutečosti tím cháeme říad, dy maximálí možý očet ožadavů ve frotě je velmi vysoý. Požadavy ve frotě - 7 -
mohou mít omezeou ebo eomezeou trělivost. V říadě eomezeé trělivosti ožadavy čeají a obsluhu ta dlouho, doud a ě eřijde řada, v systému s omezeou trělivostí je zařazeí do froty do začé míry závislé a délce froty. Místo dély froty se taé můžeme setat s ojmem aacita systému, terým se míí maximálí očet ožadavů, terý může být v systému řítome. Nyí již můžeme řistouit v lasifiaci systémů hromadé obsluhy. V r. 95 Kedall avrhl lasifiaci SHO odle tří hlavích hledise ve tvaru A/B/C, de A B C charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému, charaterizuje ty ravděodobostího rozděleí áhodé veličiy doba obsluhy ožadavu, je očet aralelě usořádaých obslužých lie (ebo taé očet aálů, tj. jde o řirozeé číslo, v říadě eomezeého (tj. velmi velého očtu lie je obvylé arametr C vyjadřovat číslem. Ja bylo již uvedeo dříve, systém hromadé obsluhy lze charaterizovat větším očtem vlastostí, a roto byla Kedallova lasifiace dále rozšířea a tvar de výzam symbolů D, E, F je ásledující: D E F A/B/C/D/E/F, řirozeé číslo udávající max. očet ožadavů v systému (tj. aacitu systému, eí-li exlicitě omeze, je vyjádře, řirozeé číslo vyjadřující maximálí očet ožadavů ve vstuím roudu (ebo taé ve zdroji ožadavů, oud je eomeze, oět se oužije, ty froty (FIFO/LIFO/SIRO/PRI. Parametr A může abývat ásledujících hodot: M itervaly mezi říchody ožadavů jsou avzájem stochasticy ezávislé a mají exoeciálí rozděleí, to zameá, že vstuí roud rerezetuje Poissoův (Marovovův roces, odroběji viz dále, E Erlagovo rozděleí s arametry a, K rozděleí χ s stui volosti, N ormálí (Gaussovo rozděleí, U rovoměré rozděleí, G obecý říad, doba mezi říchody ožadavů je dáa svou distribučí fucí, D itervaly mezi říchody ožadavů jsou ostatí (mají determiisticý charater. Parametr B může abývat stejé hodoty jao arametr A, tyto hodoty se ale zde vztahuji áhodé veličiě doba obsluhy ožadavu. Protože většia systémů hromadé obsluhy ředoládá, že vstuí roud ožadavů tvoří Poissoův (Marovovův roces, oíšeme jej blíže. Poissoův roces je roud jevů, terý slňuje ásledující vlastosti:. Stacioárost (homogeita v čase očet jevů ve stejě dlouhých časových itervalech je ostatí.. Regulárost (ordiárost ravděodobost výsytu více ež jedoho jevu v dostatečě malém itervalu dély t je zaedbatelě malá. To zameá, že v itervalu (t, t+ t se buď vysyte rávě jede jev s ravděodobostí t aebo s ravděodobostí t se v tomto itervalu žádý jev evysyte. Jia řečeo - 8 -
v Poissoově rocesu je možý je řechod systému do ejbližšího vyššího stavu aebo setrváí v témže stavu. 3. Nezávislost řírůstů očet jevů, teré se vysytou v jedom časovém itervalu, ezávisí a očtu jevů v jiých itervalech,. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M////FIFO Uvažujme ejdříve situaci a vstuu systému izolovaě od rocesu obsluhy a zaveďme áhodou veličiu očet ožadavů, teré řišly do systému během itervalu t, t + t, de t (,. Vzhledem e stacioárosti Poissoova rocesu očet ožadavů ezávisí a volbě očátečího oamžiu t a výzam má ouze déla uvažovaého itervalu t. Nechť (t ozačuje ravděodobost toho, že v čase t je v systému rávě ožadavů. Z regulárosti Poissoova rocesu vylývá, že ravděodobost, že v čase t+ t bude v systému ožadavů je rova ravděodobosti toho, že v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t vstouil do systému jede ožadave s ravděodobostí t aebo v čase t bylo v systému ožadavů a během doby t s ravděodobostí t do systému žádý ový ožadave evstouil. Z ravidel ro výočet ravděodobosti ojuce a disjuce ezávislých jevů odtud lye vztah: (t+ t (t. t + (t.( t,,, ( Pravděodobost, že v čase t+ t v systému eí žádý ožadave je dáa ravděodobostí toho, že tam žádý ožadave ebyl a ai během doby t žádý evstouil, tj. (t+ t (t.( t ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy (3 a (4. ( t + t t ( t + t t ( t ( t ( t,,,... (3 ( t ( t Proveďme yí ve vztazích (3 a (4 rovedeme limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim ( t t t t ( t + t ( t lim lim ( ( t t t t ( t,,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (5, (6: '( t ( t ( t,,,... (5 ( t ( (6 ' t Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy. Je vša zřejmé, že v čase se žádé ožadavy v systému ještě eachází, a tedy (,,,... (7 (4-9 -
( (8 Z teorie obyčejých difereciálích rovic je zámo, že řešeím soustavy rovic (5, (6 s očátečími odmíami (7, (8 je soustava fucí t ( t ( t e,,,,...! Seciálě ro je t ( t e ( (9 Obr. Graficé zobrazeí fucí (t ro,,, 5 a. Ze vztahu (9 je tedy vidět, že v systému M/M/ áhodá veličia očet ožadavů, teré řišly do systému za časový iterval dély t, má Poissoovo rozděleí s arametrem t. Středí hodota této áhodé veličiy je t a seciálě ro t je středí hodota áhodé veličiy očet ožadavů, teré řišly do systému za časovou jedotu rova. Říáme, že je středí itezita vstuu ebo rátce itezita vstuu a vyjadřuje růměrý očet ožadavů, teré do systému vstouily za časovou jedotu. Uážeme ještě, že áhodá veličia iterval mezi říchody ožadavů má exoeciálí rozděleí. Ozačme tuto veličiu T. Pa ravděodobost toho, že o vstuu jedoho ožadavu žádý další ožadave o celou dobu itervalu t do systému evstouil, je rova (t, a tedy odle vztahu ( t P( T > t ( t e ( Odtud již dostáváme distribučí fuci F(t exoeciálího rozděleí s arametrem. t F( t P( T t P( T > t e ( Středí hodota áhodé veličiy T vyjadřující růměrý čas mezi dvěma o sobě jdoucími ožadavy je E(T/ (3 - -
Aalogicy můžeme yí zoumat roces obsluhy. Předoládáme, že áhodá veličia doba obsluhy jedoho ožadavu (rátce doba obsluhy má exoeciálí rozděleí. Parametr tohoto rozděleí ozačme, řičemž obecě latí, že. Středí hodota áhodé veličiy doba obsluhy T O je E(T O / (4 a arametr udává středí hodotu očtu ožadavů obsloužeých za časovou jedotu doby ráce aálu, stručěji středí itezitu obsluhy, rátce itezitu obsluhy. Pro odvozeí dalších charateristi systému je výhodé čiost systému hromadé osat grafem řechodů systému. Uzly tohoto grafu ředstavují stavy systému a orietovaé hray řechody z jedoho stavu do druhého a ohodoceí těchto hra je osáo ravděodobostí řechodu z jedoho stavu do druhého. Stav S ro evé t,, řesěji tedy S (t je áhodou veličiou a vyjadřuje, že v čase t je v systému ožadavů. Je-li v systému M/M////FIFO rávě ožadavů,, a jede je v jedié obslužé lice systému (aálu obsluhy obsluhová a zbývajících čeá ve frotě. Přechody mezi stavy, teré se liší očtem ožadavů v systému o jeda, lze cháat jao roces zrodů a záiů, de zrod ředstavuje vstu ožadavu do systému a zái odchod ožadavu ze systému o sočeí jeho obsluhy. Pro daé ředolady Poissoův vstuí roud ožadavů s arametrem a exoeciálí rozděleí času obsluhy s arametrem je možé chováí systému hromadé obsluhy osat omocí Marovových (ebo taé marovsých rocesů. Vzhledem regulárosti (ordiárosti má smysl uvažovat ouze ravděodobosti řechodů P(S i S j, de buď ij ebo i a j se liší o. Nař. ravděodobost řechodu P(S S odovídá ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí; ravděodobost řechodu P(S S, je ravděodobostí jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí a současě jede ožadave bude obslouže a systém oustí; ravděodobost řechodu P(S S, je rova ravděodobosti jevu, že během itervalu dély t do systému žádý ožadave evstouí ai z ěj evystouí aebo během tohoto itervalu do systému jede ožadave vstouí a současě jede bude obslouže a systém oustí. Z vlastostí regulárosti a ravidel očítáí výsledé ravděodobosti z dílčích ravděodobostí ojuce a disjuce ezávislých jevů dostáváme ři zaedbáváí moci dély itervalu t ro ravděodobosti řechodů ásledující vztahy: P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (7 P(S S ( t ( t + t t t t + t Υ (+ t (8 P(S S + t ( t t t Υ t (9 Vztahy (7, (8, (9 latí ro,, Graf řechodů systému M/M////FIFO je azače a obr. 3. Pro jedoduchost je obvylé uzly ozačovat je čísly a e symboly S i. Místo obecých ozačeí ravděodobostí řechodů zadáme orétí výrazy určeé vztahy (5-(9. (5 (6 - -
P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S + S + P(S S... P(S S + P(S S + P(S + S Obr. 3 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M////FIFO S využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy můžeme určit ravděodobosti (t vyjadřující, že v čase t je v systému rávě ožadavů, tetorát již ioliv izolovaě ro vstu ožadavů a jejich obsluhu, ale dohromady. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t ( (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. t,,, ( Po sadé úravě ze vztahů ( a ( dostaeme vztahy ( a (3. ( t + t t ( t + t ( t ( t + ( t ( ( t ( t ( + ( t + ( t,,,... (3 + t Proveďme yí ve vztazích ( a (3 limití řechod ro t. Dostáváme: ( t + t ( t lim lim [ ( t + ( t] t t t ( t + t ( t lim lim [ ( t ( + ( t + + ( t], t t t,,... Výrazy a levé straě ředchozích dvou vztahů jsou derivacemi fucí (t a (t v bodě t, tj. (t a (t, zatímco a jejich ravé stray emá limití řechod vliv. Odtud tedy dostáváme reuretí vztahy (4, (5: ( t ( t + ( (4 ' t '( t ( t ( + ( t + + ( t,,,... (5 Tyto reuretí vztahy ředstavují soustavu eoečě moha obyčejých difereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí otřebujeme zát očátečí odmíy, teré jsou dáy stavem systému v čase t. Je-li v čase t v systému ožadavů, a očátečí odmíy jsou ( (6 (,, (7 V dalším budeme ředoládat, že <, tj. / <. Ozačme oměr / symbolem. Nazýváme jej itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Podmía (8 < (8 - -
je utou a ostačující odmíou, aby frota erostla ade všechy meze. Tato odmía taé zajistí, že o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,,κ, (9 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t za ostatí, tj. (t ost (3 Protože derivace ostaty je rova ule, dostáváme z tohoto závěru a ze vztahů (4 a (5 soustavu eoečě moha lieárích algebraicých rovic určeou vztahy (3 a (3. + (3 + Je zřejmé, že latí ( + +,,,... (3 (33 Ze vztahu (3 vyjádříme a dostaeme (34 a z (3 vyjádříme ro. Seciálě ro dostáváme z (3 [ [ + + ( + a obecě ro,, latí + ] ] [ + ( + ] [ + ( + (36 Zbývá ještě určit. K tomu využijeme vztahy (33 a (36. ( ] (35 (37 Protože suma ve vztahu (37 je geometricá řada s vocietem, rvím čleem a součtem, dostáváme z (37, a tedy (38 S využitím vztahu (38 můžeme (36 vyjádřit ve tvaru (,,,... (39 Tyto vztahy umožňují odvodit další důležité charateristiy systému M/M////FIFO, mezi ěž atří ařílad: - 3 -
- 4 -. Středí hodota očtu ožadavů v systému: + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ] ( [ ( d d d d d d d N E s s (4. Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: s s s s f f N E ] ( [ ] ( [ ( ( ( (4 3. Středí doba setrváí ožadavu v systému: ( ( s s s t T E (4 4. Středí doba čeáí ožadavu ve frotě: ( ( ( f f f t T E (43 5. Středí doba obsluhy: ( T O E (44 6. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (45 7. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K ( (46 Ze vztahů (4-(43 je vidět, že v systému M/M////FIFO emůže být, res., rotože by to mělo za áslede růst uvedeých arametrů ade všechy meze. 3. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// Stejě jao v ředchozím systému M/M////FIFO budeme ředoládat, že vstuí roud je Poissoův roces s itezitou vstuu, čas obsluhy má exoeciálí rozděleí se
středí hodotou t /, itezita obsluhy je. Protože čtvrtý arametr, terý udává max. očet ožadavů v systému, je rove, jde o systému bez čeáí a frota se evytváří, a tedy šestý arametr (ty froty zde emá smysl. Proto taé jsou možé ouze stavy: S systém je volý a S v systému je jede ožadave, terý je rávě obsluhová. Příladem tohoto systému je voláí a telefoí liu, buď je lia volá a volající je soje aebo je obsazeá a e sojeí hovoru edojde. Graf řechodů se začě zjedoduší, ja uazuje obr. 4. Obr. 4 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Z daých ředoladů obdobě jao v ředchozím modelu určíme ravděodobosti řechodů. Vztahy (47, (48 a (49 jsou římou aalogií vztahů (5, (6 a (7. Vztah (5 se vša od vztahu (8 mírě liší, rotože do systému emůže vstouit druhý ožadave, roto ravděodobost řechodu P(S S je rova ravděodobosti jevu, že v systému je jede ožadave a během itervalu dély t jej eoustí aebo během tohoto itervalu bude obslouže a systém oustí a současě do systému jede ožadave vstouí. P(S S t P(S S t P(S S ( t t t t Υ t (49 P(S S t + t t t + t Υ t (5 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t a (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (5 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t. ( t (5 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (53 a (54: ( t ( t + ( (53 ' t ( t ( t ( (54 ' t Počátečí odmíy jsou ( (55 ( (56 Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave, latí avíc t + ( t (57 ( P(S S P(S S P(S S P(S S Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity (47 (48-5 -
lim ( t,,, (58 t a tedy o ulyutí dostatečě dlouhé doby od otevřeí SHO lze ovažovat ravděodobosti (t a (t za ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (53, (54 a (57 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (59 (6 + (6 Řešeím této soustavy rovic sado zísáme výrazy ro a : (6 + (63 + Poměr / azýváme itezita zatížeí systému (aebo taé itezita rovozu aálu. Dalšími důležitými charateristiami systému M/M/// jsou:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že v systému je jede ožadave a jediá obslužá lia je obsazea zt (64. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že v systému žádý ožadave eí a říchozí ožadave může být tedy obslouže K r P obsl (65 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (66 4. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om (67 5. Koeficiet rostoje obslužého aálu K (68 6. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu K (69 4. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/// V tomto systému se orvé setáváme s více aály. Současě očet ožadavů v systému je omezeý očtem obslužých lie (aálů, to zameá, že aždý ožadave vstuuje do samoté obslužé liy, žádé ožadavy se eřadí do froty a jsou-li všechy - 6 -
obsluží liy obsazey, další ožadave je odmítut. Tyicým říladem systému tohoto tyu je telefoí ústředa. Stavem S i budeme oět rozumět áhodou veličiou, terá vyjadřuje, že v daém čase je v systému i ožadavů. To zde současě odovídá očtu obsazeých obslužých lie. Graf řechodů je azače a obr. 5. P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S P(S S... P(S S P(S S Obr. 5 Graf řechodů systému hromadé obsluhy M/M/// Něteré ravděodobosti řechodů mezi stavy jsou složitější ež u ředchozích systémů. Nařílad P(S + S se rová ravděodobosti, že buď byl obslouže ožadave v. obslužé lice aebo v. lice,, aebo v (+-í lice, tj. P(S + S t + t + + t (+ t. Podobě P(S S se rová ravděodobosti, že ze žádé z obslužých lie žádý ožadave evystouil, vstouit řitom žádý emohl, rotože všechy liy byly již obsazey. To zameá, že P(S S ( t + t + + t t. Všechy otřebé ravděodobosti řechodů uvádí vztahy (7-(73. P(S S t,,, (7 P(S S ( t ( t ( + t + t Υ ( + t,,, (7 P(S + S (+ t,,, (7 P(S S t (73 Podobě jao u vztahů ( a ( můžeme s využitím ravděodobostí řechodů mezi stavy určit ravděodobosti (t, (t,, (t,, (t. (t+ t P(S S + P(S S (t.( t + (t. t (74 (t+ t P(S S + P(S S + P(S S (t. t + (t.[(+ t] + (t. t (75 (t+ t P(S S + P(S S + P(S + S (t. t + (t.[(+ t] + + (t. (+ t (76 (t+ t P(S S + P(S S (t. t + (t ( t (77 Po stejých úravách jao u vztahů (-(5 dostaeme vztahy (78-(8, teré se azývají Erlagova soustava rovic: (t (t + (t (78 (t (t (+ (t + (t (79-7 -
(t (t (+ (t + (+ + (t (8 (t (t (t (8 Počátečí odmíy jsou ( (8 (... ( (83 ( Protože v aždém čase může být v systému buď žádý aebo jede ožadave aebo dva ožadavy aebo ožadavů, latí avíc ( t (84 Za ředoladu ermaetího režimu se o dostatečě dlouhé době od otevřeí systému hromadé obsluhy se oměry v SHO ustálí, tj. existují limity lim ( t,,...,, (85 t ravděodobosti (t ostatí, jejich derivace jsou tedy rovy ule a ze vztahů (78-(8 a (84 dostáváme vztahy (59, (6, (6: + (+ + (87 (+ + (+ + (88 (86 (89 (9 Ze vztahu (86 vyjádříme (9 Ze vztahu (87 můžeme vyjádřit + ( + + ( + (9 S využitím reuretí ovahy rovic (86-(89 lze a vyjádřit obecý Erlagův vzorec (93:,,,...,!! Protože vztah (93 triviálě latí i ro, můžeme ze vztahů (9 a (93 sado určit : (93-8 -
!!! a odtud Nyí již můžeme uvést charateristiy systému M/M/// vyjadřující uazatele vality obsluhy (charateristiy -3 a uazatele využití obslužých lie (charateristiy 4-8:. Pravděodobost ztráty (odmítutí ožadavu ( ravděodobost, že všechy obslužé jsou obsazey (94 zt! (95. Relativí aacita systému (ravděodobost obsluhy ožadavu ( ravděodobost toho, že alesoň jeda z obslužých lie je volá K r zt (96 3. Absolutí aacita systému ( očet obsloužeých ožadavů za časovou jedotu K a K r (97 4. Středí hodota očtu obsazeých obslužých lie: E( N (98 obs obs 5. Středí hodota očtu volých obslužých lie: E( N (. obs ( obs (99 6. Nomiálí aacita systému ( maximálí očet ožadavů, teré je systém schoe obsloužit za časovou jedotu K om ( 7. Koeficiet rostoje obslužého aálu K ( 8. Koeficiet využití (zatížeí obslužého aálu z K z, res. K z K ( - 9 -
V literatuře lze ajít rozbor moha dalších systémů hromadé obsluhy, ař. v ize (Hrubia, Jadlovsá, Hrehová, 5 je uvede systém M/M////FIFO a M/M//m/m/FIFO. Postu sestaveí reuretích rovic vychází ze stejých úvah jao u ředchozích modelů. V říadě M/M////FIFO se jedá o systém s ezávislými a rovoceými obslužými liami, de ožadavy čeají ve frotě je tehdy, jsou-li všechy obslužé liy obsazey. Frota je je jeda a je solečá ro všechy obslužé liy. Systémy, de 5. arametr (maximálí očet ožadavů ve zdroji ožadavů je eomezeý (tj. je vyjádře číslem, se ozačují jao otevřeé. Je-li teto arametr dá oečým řirozeým číslem, mluvíme o uzavřeých systémech hromadé obsluhy. Příladem je systém M/M//m/m/FIFO. 5. SIMULACE PROCESU HROMADNÉ OBSLUHY V raxi emusí ěteré ředolady latit a a vzorce, teré jsme odvodili, ejsou úlě řesé. Systémy hromadé obsluhy můžeme vša taé zoumat simulačě metodou Mote Carlo, dy geerujeme áhodá čísla vyjadřující oamži vstuu ožadavu do systému a čas obsluhy. Poud hodoty těchto áhodých veliči mají mít určité ravděodobostí rozděleí, je uté to zajistit. Existuje tomu řada metod, ař. vylučovací metoda a metoda iverzí fuce. Vylučovací metoda je oužitelá e geerováí hodot sojitých áhodých veliči, jejichž hustota ravděodobosti f je a ějaém itervalu a, b ohraičeá a vě tohoto itervalu ulová. Prici metody je založe a tom, že geerujeme áhodé body o souřadicích (x, y s rovoměrým rozděleím v obdélíu a, b, c, de c je maximálí hodota hustoty ravděodobosti f a itervalu a, b. Jestliže vygeerovaý bod je od fucí f, tj. y f(x, a x ovažujeme za vygeerovaou hodotu áhodé veličiy s daým rozděleím; v oačém říadě vygeerovaý bod euvažujeme, tj. z výočtů jej vyloučíme. V metodě iverzí fuce ejdříve z hustoty ravděodobosti f odle vztahu (3 určíme distribučí fuci F rozděleí ravděodobosti. x F ( x f ( t dt (3 Vygeerujeme áhodé číslo r s rovoměrým rozděleím a itervalu,, teré ovažujeme za hodotu distribučí fuce v dosud ezámém bodě x, tj. F(x r. Bod x odtud zísáme odle iverzího vztahu (4: x F (r (4 Při simulačích exerimetech je uté rozhodout, ja vyjádříme dyamicé vlastosti modelu, tj. jaou strategii zvolíme ro zachyceí času. Existují dvě možosti metoda evého časového rou a metoda roměého časového rou. V rvím říadě se vždy o ulyutí evého časového itervalu zjišťuje, jaým změám došlo. V metodě roměého časového rou hraice časových roů ředstavují rávě ty oamžiy, dy dojde e změě v systému, ař. řijde ový ožadave do systému ebo se uočí obsluha ožadavu a ožadave systém oustí. Přílad: Uvažujme systém hromadé obsluhy se dvěma obslužými liami, eomezeým zdrojem trělivých ožadavů, frotou tyu FIFO a romělivým časovým roem daým tabulou. - 3 -
čas vstuu ožadavu [hod:mi] Tab. Simulace systému hromadé obsluhy Doba. obslužá lia. obslužá lia rostoj obsluhy začáte oec začáte oec lie [mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [hod:mi] [mi] 9: 3 9: 9:3 9:5 9 9:5 9:4 9: 9 9: 9:9 9: 9 9:4 9:3 3 9:4 9 9:9 9:8 5 9:4 6 9:4 9:3 9:34 9 9:34 9:43 4 9:37 9 9:37 9:46 9:38 3 9:43 9:46 5 9:4 9 9:46 9:55 5 9:4 6 9:46 9:5 4 9:5 9 9:5 : 9:53 6 9:55 : 9:56 9 : : 5 9:57 9 : : 4 doba čeáí a obsluhu [mi] Součet dob čeáí a obsluhu 5 ožadavů z tabuly 4..3. je 33 mi. Odtud statisticy odhademe středí dobu čeáí ožadavu ve frotě 33 E ( T f,mi. 5 Z tabuly určíme časové itervaly, v ichž se eměí očet ožadavů. Výslede je obsaže v tabulce. Vidíme, že celem o +4 6 mi z celových 7 mi v systému žádý ožadave eí, odtud odhademe ravděodobost. 6,857 7 Obdobě odhademe až 5. 4 7 4 8,,, 3857, 3,, 4, 43, 5, 43 7 7 7 7 7 Středí hodota očtu ožadavů v systému a je: E ( N s.,857 +., +.,3857 + 3., + 4.,43 + 5.,43, Středí hodota očtu ožadavů ve frotě (středí déla froty: E( N f ( ( 3 + 4 + 35 + 3, +.,43 + 3.,43,475-3 -
Tab. Výsledy výočtů časový doba, o terou je v systému hromadé obsluhy očet ožadavů [mi] iterval 3 4 5 9: 9:3 3 9:3 9:5 9:5 9: 5 9: 9: 9: 9:9 8 9:9 9:3 4 9:3 9:4 9:4 9:8 4 9:8 9:3 9:3 9:34 4 9:34 9:37 3 9:37 9:38 9:38 9:4 3 9:4 9:4 9:4 9:43 9:43 9:46 3 9:46 9:53 7 9:53 9:55 9:55 9:56 9:56 9:57 9:57 : 4 : : 9 6. ZÁVĚR V řísěvu jsou studováy systémy hromadé obsluhy, teré mají četé aliace v logistice, ař. v armádích oeracích, teleomuiačích řeosech, ale i v běžém životě u obslužých lie čeracích staic, řeáže a ádražích, oštách aod. Jsou odrobě rozebráy zůsoby lasifiace systémů a odvozeí matematicých modelů za určitých ředoladů ravděodobostího rozděleí áhodých veliči doba (iterval mezi říchody ožadavů do systému a doba obsluhy ožadavu. Protože tyto ředolady v raxi emusí být utě slěy, je uázá i simulačí řístu ro řešeí uvedeých úloh. Literatura Bose, S.K.: A Itroductio to Queueig Systems. - Sriger-Verlag, Berli,. Cooer, R.B.: Itroductio to Queueig Theory. - North Hollad, New Yor, 98. Gross, D., Shortle, J.F., Thomso, J.M., Harris, C.M.: Fudametals of Queueig Theory. - Joh Wiley & Sos, New Yor, 8. Hrubia, K., Jadlovsá, A., Hrehová, S.: Algoritmy otimalizačých metod s využitím rogramových systémov. - Techicá uiverzita v Košiciach, Prešov-Košice, 5. Jablosý, J.: Oeračí výzum. - Vysoá šola eoomicá, Faulta iformatiy a statistiy, Praha,. - 3 -
Klvaňa, J.: Modelováí. - Česé vysoé učeí techicé, Faulta stavebí, Praha, 5. Pelta, K., Máje, V.: Oeračí výzum ve vojeství. - Uiverzita obray, Bro, 8. Virtamo, J.: Queueig Theory. - Lecture Notes, Helsii Uiversity of Techology, 5. Recezoval Prof. Ig. Vladimír Straoš, DrSc. - 33 -