ZÁPADOČESKÁ UIVERZITA V PLZI Fakulta elektrotechncká Katedra elektromechank a výkonové elektronk Podpůrný tet pro výuku KEV/MPS Modelování polí v elektrckých strojích Vladmír KIDL PLZEŇ 8
OBSAH OBSAH MKP ÚVOD PRVOTÍ ÁHLED A METODU PRICIP MKP 6 Okrajové podmínk 8 Funkconál 9 Apromační funkce 4 Sestavení matce tuhost pro celou oblast: 5 5 Mnmalzace funkconálu 8 4 LITERATURA 8 ÚVOD DO ASYSU 9 ZÁKLADÍ ABÍDKA PRODUCT LAUCHER 9 Fle management Customatzaton Preferences Hgh performance computng setup GEOMETRICKÉ MODELY A MKP SÍTĚ V ASYSU GEOMETRICKÉ ETITY PREPROCESORU ASYSU Topologcká spojtost 4 Tvorba MKP sítí v preprocesoru ASYSu 5 Kompatblní a nekompatblní sítě, rodn elementů 6 4 Atrbut elementů 5 Tabulka elementových tpů 6 Tabulka reálných konstant 7 Tabulka materálu 8 Elementový souřadný sstém 9 Automatcké generování MKP sítí 4 VYTVÁŘEÍ GRAFICKÝCH REPREZETACÍ V ASYSU 4 Metod vtváření obrázků a podporované grafcké formát 4 Doporučený postup př tvorbě obrázků 4 Hard cop - kope obrazovk 44 Volb pro Hard Cop 4 45 Redrect plots - přesměrování výstupu 4 46 Vtváření grafckého souboru 5 47 Capture mage - sejmutí obrázku 5 5 DALŠÍ UŽITEČÁ ASTAVEÍ ZOBRAZOVÁÍ 6 5 Sstémové volb 6 5 Stlové volb 6 5 Rozložení oken a legenda 7 54 Zobrazení geometrckých entt, MKP entt a výsledků 7 6 POST-PROCESSIG 8 7 LITERATURA 8 VÝBĚR TYPU METODY VÝPOČTU (FEM/EFEM) 9 LITERATURA 4 4 ASYS PŘÍKLADY 44 4 ČASTO POUŽÍVAÉ PŘÍKAZY 44 4 UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY 48 4 Vodč v prostoru D 48 4 Vodč v prostoru D 69
MKP Úvod Jž řadu let paří numercké metod k předním výpočetním nástrojům vůbec Zpočátku nezajímavá metoda konečných prvků (MKP) se dnes stala jedním z hlavních výpočetních prostředků nejen ve strojírenství, pro kterou bla prvotně určena, ale také ve všech oblastech elektrotechnckého průmslu Její vužtí se v moderním průmslu předpokládá nejen v oblast vývoje nových elektrotechnckých zařízení, ale také v rozměrové optmalzac stávající technologe Hlavní přednost MKP spočívá v grafcké nterpretac často velm abstraktních fzkálních polí, ve kterých klascká technka řešení zavádí mnohd značná zjednodušení na úkor přesnost Pro výpočet fzkálních polí estuje v současnost řada velm kvaltních software Většna z nch pochází z komerční oblast (fnančně velm nákladné) Jedním z nch je např ASYS Jeho struktura umožňuje smulovat nejen elektrcká, magnetcká, elektromagnetcká, tepelná č strukturální pole, ale také proudění kapaln a plnů Stěžejní výhoda ASYSu spočívá v jeho schopnost tato fzkální pole mez sebou vzájemně kombnovat a jednotlvé úloh tak řešt s mamální možnou kompleností (sdružené elektro tepelné, sdružené magneto-strukturální problém) Prvotní náhled na metodu Metoda je založená na řešení soustav dferencálních rovnc, popsujících vlastnost určtého fzkálního problému (sstému) Tak například řešením Laplaceov rovnce získáme rozložení teplotního pole, nebo lze vužít aver-stokesov rovnce pro pops proudění Analtcké řešení těchto dferencálních rovnc b nepředstavovalo problém, pokud b se jednalo o základní fzkální úloh na geometrck jednoduchých tělesech Pro nženýrské problém, které jsou předmětem analýz, jsou naopak charakterstcké fzkálně komplení, matematck dskontnuální soustav nad tvarově mnohd velm složtou geometrí Pro řešení těchto problémů se ukázala být jako nejvhodnější numercká apromační metoda, označovaná jako metoda konečných prvků Prncp metod je jednoduchý: Rozdělt geometrck defnovaný objekt, který je předmětem výpočtu, na konečný počet částí (tzv element), vplňujících s dostatečnou přesností jeho
tvar (obr ) Všmněme s způsobu dskretzace dané oblast, bl zvolen dva tp elementů (-uzlové a 4-uzlové) Z hledska tvarové apromace je možné tuto varantu přjmout, z hledska matematckého se však doporučuje používat pouze jeden tp elementů pro celou oblast (to b blo splněno v případě rozdělení každé z oblastí 6 a 9 na další dvě suboblast) Jednotlvé element jsou vzájemně spojen v tzv uzlech, matematckých bodech o známých souřadncích v prostoru Pro jednoduchost se dá říct, že jsou počítán hodnot neznámých parametrů právě v těchto uzlech Jestlže jsou vlastnost každého z těchto elementů (obr ) popsán jednoduchou matematckou funkcí, dostáváme pro pops vlastností celého objektu soustavu rovnc Řešení dferencálních rovnc je tak převedeno na řešení soustav Obr : dskretzace analzované oblast algebrackých rovnc, jejchž neznámé představují parametr předmětného fzkálního problému Soustava rovnc popsujících celý počítaný objekt potom představuje řádově tsíce až mlon rovnc Analýza fzkálního pole je zpravdla rozdělena do třech základních etap: Defnce problému: Jde o velm šroký pojem, zahrnující čnnost od rozhodnutí o tpu výpočtu (statka lneární, nebo nelneární, dnamka, statka s teplem apod), materálovém modelu (lneární, plastcký, teplotně závslý apod), zatížení (charakter, časová závslost apod) č okrajové podmínce a další potřebná data Tto problém, jež jsou pro kvaltu MKP výpočtu rozhodující, leží vně MKP software a njak výrazně se nelší od úvah, které souvsejí s prováděním klasckých výpočtů Pre-Processng 4
V této fáz výpočtář vtváří fzkální (geometrcký) model, volí materálové vlastnost a generuje výpočetní sítě Většnou se zde aplkují okrajové podmínk (kolmost a rovnoběžnost magnetckých toků, neohrančenost okolního prostoru) a zatížení (úbtek napětí, proud, proudová hustota) Tvorba modelu Model může být jedno, dvou č trojrozměrný (D, D, D) V současných MKP programech převažuje způsob torb modelu formou přebírání geometre součástí nebo celků určených pro výpočt z CAD sstémů Profesonální sstém jsou vbaven šrokou škálou prostředků pro tvorbu prostorových modelů a jejch úprav, buďto formou užvatelsk přívětvou (klkáním mší v menu), nebo zadávání příkazu prostřednctvím command-lne Obě varant mají svá pro a prot, záleží jen na zkušenost užvatele, popř účelu (jednorázové modelování trvální úloh, rozměrová optmalzace, ) tvořeného modelu, který ze zmíněných nástrojů bude použt V případě mportu geometre z eterního souboru, lze použít standardní formát (SAT, STEP, PARASOLID, IGES, VDA-FS) Před samotným modelováním je však nezbtné rozhodnout o dealzac tvaru geometrckého modelu U součástek se tím rozumí odstranění určtých detalů, jako jsou závt, zápch č malé rádus, které jsou pro výpočet nevýznamné a následně b zbtečně zvšoval velkost MKP modelu (hustota sítě) U větších skupn a soustav bývá nutné nahradt spojovací díl zavedením kontaktů Zkušenější užvatel může u smetrckých modelů provést výpočet na nejmenší smetrcké (tvarově materálově) část modelu Volba atrbutů úloh Sem patří nformace o materálu, volba tpu elementů a tzv real konstant, představující matematcké vjádření některých geometrckých funkcí př volbě určtého tpu elementů Zadávání materálových vlastností Materálové vlastnost u MKP sstémů představují velm šroký pojem Pro výpočt multfzkální povah je nutné znát nejen mechancké vlastnost materálu (jak v lneární, tak nelneární oblast), ale jejch závslost na teplotě, elektrcké vlastnost, změn v závslost na čase Pro oblast elektromagnetsmu jsou to především elektrcká vodvost, permeablta (lneární, nelneární), Volba tpu elementu Úroveň a rozsah knhovn elementů je jednou z jejch nejdůležtějších vlastností MKP sstémů apříklad program ASYS Base Seres nabízejí řádově přes tpů elementua jeho varant Tpům elementů se budeme věnovat v jném tetu 5
Soluton Zde probíhá volba tpu analýz (statcká, harmoncká, transentní), výběr "řešče" optmalzovaného pro dané fzkální pole a nastavení požadované přesnost Podle tpu analýz se pak volí výpočetní čas č frekvence, způsob zápsu a tsku výsledků atd Ve většně výpočetních programů je tato část plně automatzována Post-Processng V této závěrečné část se provádí vhodnocení řešené úloh K dspozc bývá několk možností grafcké nterpretace výsledků, z nchž nejpoužívanější je zobrazení map elektromagnetckého pole, č vnesení závslost elektromagnetckých velčn (na čase, rozměru, teplotě, rchlost a pod) Obr: základní tvar konečných prvků Prncp MKP Jak jž blo řečeno, abchom mohl analzovat nějaký fzkální problém, je nutné znát jeho vlastnost, reakce na vnější podnět, chování v daných podmínkách Tto nformace lze obecně vjádřt pomocí dferencálních rovnc, které se od modelované problematk různí 6
Jako příklad uvažujme staconární elektromagnetcké pole Platí zde samozřejmě Mawellova rovnce v dferencálním tvaru: roth J () Dále platí B rota () Pokud dosadíme rovnc do, dostaneme: rot rota J µ () Z vektorové analýz je nám známo, že rot( rota) grad( dva) dv( grada), protože je ale magnetcký vektorový potencál vírový nezřídlový, první člen je roven nule V tomto případě přechází celý vztah na Possonovu rovnc ve tvaru: dv ( grada) J µ (4) Zobecníme-l nní rovnc (4) na obecné vektorové pole s uvažováním neměnného nterního zdroje energe (např koerctvní síla Hc), získáme dferencální rovnc druhého řádu, která popsuje rozložení pole ve D oblast dv( α grad) β α α β f (5) To lze napsat jako: L (,, t) f (,, t) (6) Kde: L dferencální operátor dané df Rovnce konstant) L α α β (7) α, β materálové konstant (pro lneární sstém jsou reálné funkce, nebo analzované vektorové pole f eterní zdroj energe (proudová hustota) Z výše uvedené rovnce známe pops rozložení potencálu uvntř oblast, nkol na její hranc, nebo rozhraní s oblastí jnou Je to dáno tím, že Mawellov rovnce v dferencálním tvaru platí v regulárních bodech Kdbchom řešl problém bez znalost poměrů na okrajích/rozhraních, získal bchom nekonečně mnoho možných řešení Aplkací okrajových podmínek pak získáme řešení jednoznačné 7
8 Okrajové podmínk Obecně lze okrajové podmínk rozdělt na t, jenž určují potencál na hranc oblast a t, jenž defnují chování potencálu na rozhraní dvou oblastí Drchletova podmínka: a) homogenní Drchletova podmínka (tzv druhu): na hranc oblast b) nehomogenní Drchletova podmínka (tzv druhu): f na hranc oblast Z pravdla vužíváme skutečnost, že sločára je křvka, na které je magnetcký vektorový potencál konstantní eumannova podmínka: a) homogenní eumannova podmínka ( druhu): n n u u r r r α α (8) b) homogenní eumannova podmínka ( druhu): k n α α k n u u r r r (9) b) nehomogenní eumannova podmínka: g k n g k n u u α α r r r () ulová normálová dervace magnetckého vektorového potencálu vjadřuje geometrckou smetr problému Přestože už máme vše potřebné k řešení uvedené rovnce, není možné vužít analtckých metod To b přcházelo v úvahu v případě zcela trvální geometre fzkálního problému
aším cílem je ted najít funkconál s jehož pomocí převedeme dferencální rovnc do slabě ntegrálního tvaru (ten je možné pohodlně numerck řešt), funkconál dále etremalzovat, čímž obdržíme řešení původní dferencální rovnce Pozn: jelkož se jedná o energ, etremalzace znamená mnmalzac Funkconál Funkconál, odpovídající našemu problému lze psát takto: F( ) L,, f f, () δf( ) Jeho etremalzace pak: δ hledaná funkce f zdrojová (pravých stran) funkce () Dříve, než začneme konstruovat funkconál, přpomeňme s operac vntřního součnu funkcí Mějme funkc f a g ve vzájemném součnu, ted: f, g f ~ gdτ () τ f f g f, g f, g (4), af, g a f, g (5) Pokud platí podmínka 4 a 5, lze říc, že operace je na oblast τ lneární Smbol ~ zde značí kompleně sdruženou hodnotu funkce Začněme výrazem L,, po úpravách (aplkacích Greenových vět) dostávám: ~ ~ ~ L, α grad grad ds α dl β ds S Γ n S (6) Pro homogenní okrajové podmínk: a k n L, α grad ds k dl β ds (7) S Γ S 9
F( ) L,, f f, k α grad β ds dl ( f f ) ds S Γ S ~ ~ (8) k F( ) grad ds dl ( f ) ds α β S Γ (9) S Pro etremalzace tohoto ntegrálu musíme vzít v úvahu, že pro Drchletovu okrajovou podmínku druhu platí, ze je pro danou oblast (resp její okraj) konstantní ( ), ted dervace dané část funkconál bude nulová utně proto musí být nulový ntegrál na oblast Γ Protože ale tto podmínk neplatí na celé oblast současně, je nutné křvkový a plošný ntegrál rozdělt Pro řešení zbývá už jen určt neznámou f Apromační funkce Fzkální vlastnost tělesa, např teplota, rozložení pole atd lze nahradt funkcí prostorových souřadnc Tato funkce se nazývá apromační funkcí nebo také funkcí tvaru a obr je funkce Φ, která charakterzuje rozložení potencálu na rovnné obdélníkové desce Tuto neznámou funkc nahradíme v jednotlvých uzlech apromační funkcí, která musí mít tolk členů, kolk má prvek uzlů Pro trojúhelníkový prvek tak vznkne např polnom třetího stupně
c b a () který se snaží přblížt k funkc Φ Koefcent a rovnce získáme na základě řešení polnomu pro všechn tř uzl trojúhelníkového prvku, tj řešíme soustavu tří rovnc o třech neznámých: c b a c b a c b a () V matcovém tvaru c b a () Koefcent pak získáme c b a () Obr : rozložení pole
Po dosazení koef do předchozí rov [ ] ), ( A A A A A A A A A (4) Α Kdž označíme A M (5) Α A M (6) To se také dá napsat jako: ), ( ), ( Ν (7) [ ] Ν ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8) Funkce matce se obecně nazývají tvarovým funkcem, které mají následující vlastnost (Obr4): j j,, (9)
a pokud je nám známa hodnota potencálu v jednotlvých uzlech sítě, rovnce 7 nám udává (za pomocí tvarových funkcí) apromovanou hodnotu potencálu v kterémkol bodě Tímto jsme určl tvar neznámé 7 pro dosazení do 9 Vzpomeňme nní znovu dferencální rovnc, popsující analzovaný fzkální problém K jejímu řešení potřebný funkconál bl určen v rovnc 9 Obr 4: tvarové funkce Mnmalzace funkconálu lze napsat jako: F ( ), pamatujme ale na to, že F F M, kde F M je funkconál aktuálního elementu, ted rozlšujeme oblast dané df rovncí a okrajovým podmínkam, potom: F ( ) FM ( ) ()
4 Pokud funkconál v bodě M závsí pouze na potencálu Φ M, pak jeho dervace v ostatních bodech jsou rovn nule Zaměřme se nní znovu na rovnc f grad dv β α α β α ) ( Řekněme, že β (vntřní zdroj energe nulový), dále že na rozhraní je pouze homogenní ( druhu) eumannova podmínka, kde k, Φ g Pak rovnce ds f dl k ds grad F S S ) ( ) ( Γ β α přechází do tvaru: ds f ds F S M M S M M M ) ( α α () Za M můžeme psát: M A Ν ), ( () j j j M A A () Za M můžeme psát: M A Ν ), ( (4) j j M A A (4) Po dosazení do 4 dostáváme: S M j S j j j S j j M dd f dd A A dd A A F α α V matcovém tvaru:
5 [ ] [ ] M M M M f f f T T T T T T T T T C C C C C C C C C F (5) Ze vztahu pro M F vdíme, že koefcent matce tuhost lze určt jako: j S j S j j dd A A dd A A C α α (6) [ ] ) ( ) ( A C M α α (7) [ ] ) ( ) ( A C M α α (8) [ ] ) ( ) ( A C M α α (9) [ ] ) )( ( ) )( ( C A C M α α (4) [ ] ) )( ( ) )( ( C A C M α α (4) [ ] ) )( ( ) )( ( C A C M α α (4) Podobně bchom odvodl matc T, která odpovídá pravé straně soustav Pokud funkc f M apromujeme takto: M M f f Ν (4) Získáme j S j dd T (44) 4 Sestavení matce tuhost pro celou oblast: Pro další odvození je nutné s uvědomt, že výše uvedená matce 6 platí pro M-tý prvek oblast, chceme-l ted sestavt matc tuhost pro celou takovou oblast, uvažujme platnost M F F (45)
6 [ ] [ ] M M Mn M M M nn n n n nn n n n f f f f T T T T C C C C F nebo přehledněj: M M M T T Tf C F (46) Kde n počet uzlů a M počet elementů končněprvkové sítě C globální matce tuhost Prncp bude ukázán na příkladě vz Obr 5 Všmněme s nní značení prvků v sít - čísla v kroužku znamenají pořadí elementu v oblast, čísl vně trojúhelníků chápeme globální pořadí všech uzlů sítě a konečně čísla uvntř značí číslování lokální(vztahujících se k danému M-tému elementu) apříklad, pro element č v Obr 4 globální číslování 5 4 koresponduje s lokálního (uvědomme s, že lokální číslování musí být bráno prot směru hodnových ručček) Mohl bchom také ale volt pořadí 4 5 globálního ku původnímu ( ) lokálnímu číslování Je vdět, že značení sce není dík naší volbě jednoznačné, však globální matce zůstává stejná Protože máme 5 globálních uzlů sítě, její dmenze je 5: Obr 4: příklad dskretzace analzované oblast
C C C C4 C5 C C C C4 C5 C C C C C4 C5 (47) C4 C4 C4 C44 C45 C 5 C5 C5 C54 C55 Uzel náleží elementům a, proto () () C C C (48) Uzel náleží pouze elementu, proto () C C (49) Uzel náleží elementům a, proto () () C C C (5) Uzel 4 náleží elementům, a, proto () () () 44 C C C C (5) Uzel a 4 náleží elementům a, proto () () 4 C C C4 C (5) aopak mez uzl a není vazba žádná, proto C C (5) Pokud bchom stejným způsobem pokračoval dále a našl všechn vzájemné vztah uzlů, vsktujících se v sít, obdržel bchom následující matc tuhost: () () () () () () C C C C C C () () () C C C () () () () () () C C C C C C C (5) () () () () () () () () () C C C C C C C C C () () () C C C Z předchozího je vdět, že matce C obsahuje pouze prvk ležící v těsné blízkost (tj spjaté úzkou vazbou), prvk odpovídající uzlům, jenž na sebe přímou vazbu nemají, nabývají nulových hodnot, dále, že je smetrcká a sngulární Všechn uvedené vlastnost jsou výhodou MKP 7
8 5 Mnmalzace funkconálu Mn M M nn n n n nn n n M f f f T T T T T T C C C C C C F Vjde nám soustava algebratských rovnc, ze kterých jsme schopn vpočítat potencál v uzlech konečněprvkové sítě Dosazením do 7 lze získat velkost potencálu v lbovolném bodě, Samotná soustava je prosta okrajových podmínek, které b v tomto případě znepřehlednl řešení Úplný postup bude ukázán na příkladu 4 Lteratura [] MO Sadku, A smple ntroducton to fnte element analss of electromagnetc problems, IEEE Trans Educ, vol, no, Ma 989, pp 85 9 [] BIACHI, kola Electrcal machna analss usng fnte elements,isb -849-99-7
Úvod do ASYSu Základní nabídka product launcher a Fle management b Customzaton preference c Hgh performance computng setup d Smulaton envronment (výběr produktu ke spuštění) e Lcence-"Lcense Status" Anss je lcencován síťově tak, že v každém okamžku může být (kdekol v sít) spuštěno současně několk procesů (z domova, resp sítě přes VC klenta) f Ukončení základního menu "Qut" Obr 4 - a: okno product launcher 9
Fle management Anss umožňuje plnou kontrolu nad jmén úloh, pracovních výsledkových a dalších souborů Je však velm výhodné použít automatckého pojmenovávání souborů, které podstatně snžuje rzko omlů a překlepů Základem je pracovní adresář (Workng Drector), který je nastaven před vlastním spuštěním ASYSu a v průběhu sezení (od spuštění ASYSu tlačítkem "Run" až do jeho ukončení) jž ho nelze měnt Pro novou úlohu je vhodné založt nový pracovní adresář a př spuštění ASYSu jej nastavt jako pracovní Druhým plířem je jméno úloh (jobname) - řetězec, který je nastaven před spuštěním ASYSu Tuto proměnnou lze v průběhu práce měnt a její aktuální hodnota je základem konstrukce jmen pracovních souborů Posledním plířem je sstém etenzí (přípon), které rozlšují význam jednotlvých pracovních souborů Základní etenze jsou db databáze úloh (bnární) dbb záloha databáze úloh rst výsledk řešení (bnární) out protokol o sezení (ASCII) emat, esav, erot, tr pracovní soubor významné pouze v průběhu řešení page stránkovací soubor významný pouze v průběhu práce Jména všech souborů pokud není eplctně zadáno jnak se konstruhují jako <Jobname><Et> apř pro uložení databáze estují v GUI příkaz: Save DB uloží databáz do souboru <Jobname><Et> v pracovním adresář Save DB As nabídne užvatel možnost uložt databáz pod lbovolným jménem do lbovolného adresáře Customatzaton Preferences ASYS není schopen dnamcké alokace pamět v průběhu své práce, vžaduje proto provést nastavení (předalokac) volné pamět pro budoucí databáz ručně (defaultní velkost nemusí dostačovat vžd) Dále potřebuje včlent určtou část pamět pro work space jako defaultní hodnota je přednastavena GB (4 MB) pro 64-btové procesor a 5 MB pro -btové procesor (Lnu a Wndows) Jak je ukázáno na lustratvním obrázku, celková velkost alokované pamět často převšuje hodnopt, která je fzck k dspozc Vznklý rozdíl je
hrazen z takzvané sstem vrtual memor (swap) V pracovním adresář se vtvoří takzvaný page fle, sloužící jako stránkovací soubor dané úloze Dalogové okno pro nastavení těchto parametrů je na obrázku Obr 4 b Obr 4 - a: okno product launcher
Hgh performance computng setup ejdůležtějším parametr lze označt SMP a number of processors (mšleno jádra procesoru) Obr 4 - a: okno product launcher GEOMETRICKÉ MODELY A MKP SÍTĚ V ASYSU Konečně-prvkový model je tvořen dvěma tp entt - z elementů a uzlů Celková kompozce jednotlvých elementů představuje analzovanou oblast v prostoru, reprezentující modelované těleso Teoretck nejjednodušší a zároveň přrozený způsob popsu MKP modelu vchází z toho, že geometre elementu je zcela určena rozmístěním uzlů sítě v prostoru Stačí ted vpsat souřadnce takových uzlů pro každý do jednoduché tabulk jako je tomu v obrázku
Takto se v mnulost skutečně často postupovalo a MKP model vznkal jako výkres na rýsovacích prknech, odkud bl odměřené souřadnce a uzl zapsován (přímo děrován) do databáze modelu (dík bohu za výpočetní technku) Dnešní doba nám však veškerou prác značně ulehčuje, jsou vtvářen pokročlé metod algortmzace generování sítí přímo do přpravené geometre modelovaného tělesa Podstatou tohoto přístupu je vužtí geometrckého modelu (jehož tvorba je podstatně méně pracná nežl ruční tvorba sítě ) jako šablon, s jejíž pomocí automatcký generátor sítě přpraví množn uzlů a elementů, tvořící konečněprvkový model (k vlastímu výpočtu samotná geometre dále není potřebná) Prostředk pro tvorbu nebo mport a edtac takových geometrckých modelů, automatcké generování sítí (spíše jž standardem) a vužtí asocatvt geometrckých a MKP entt pro zadání okrajových podmínek a zatížení se souhrnně nazývají preprocesor Geometrcké entt preprocesoru ASYSu Geometrckým enttam v ASYSu rozumíme bod, čár, ploch a objem Každá všší entta kromě bodu je ohrančena enttam nžším Tato hrance je z hledska užvatele jedným rozhraním geometrcké entt Entta může mít vntřní parametr (např zakřvení), ale tto parametr jsou nastaven př jejím vznku a nemohou být měněn jnak, nežl smazáním a znovu-vtvořením entt Příklad geometrckých entt jsou v tabulce:
Entta Rozhraní Příklad vtvoření KEYPOIT (bod) LIE (čára) kepont počáteční a koncový Zadáním souřadnc,jako průsečík čár s čárou nebo rovnou Spojnce dvou kepontů,splne procházející několka kepont (po vtvoření tvoří rozhraní pouze ),Průsečík ploch Výčtem hrančních čar AREA (plocha) VOLUME (objem) eomezený počet křvek v rovně, nebo 4 křvk v prostoru eomezený počet ploch, které musí uzavírat oblast v prostoru "Přetažením" přes skupnu křvek (sknnng) "Přetažením" přes estující plochu Knematck, jako trajektore výtvarné čár Výčtem hrančních ploch Topologcká spojtost Topologcká spojtost geometrckého modelu má v ASYSu velký význam př automatckém generování sítí Je-l geometrcký model, který sestává z více geometrckých entt topologck spojtý, pak je zaručena topologcká spojtost (kompatblta) automatck generovaných sítí Topologckou spojtostí entt se rozumí, že mají společnou hranční enttu apř dvě křvk jsou topologck spojté, mají-l společný hranční kepont Problém mohou nastat zejména tam, kde hranční entt geometrck koncdují (vlvem tolerancí v anssu se jeví jako b měl stejnou polohu), ale nejsou totožné Takové případ bývá obtížné vzuálně odhalt (estují však funkce na odstranění takových defektů) a obrázku Obr 5 je vdět topologck spojté křvk (a) se společným kepontem K a topologck nespojté křvk (b) s koncdujícím kepont K a K Obr (c) ukazuje rozdíl mez (topologck) uzavřenou a otevřenou křvkou a vlv na možnost defnovat plochu a obrázku Obr 6 je vdět nespojtost geometre vlvem tolerancí 4
Obr 5: entt geometre v ASYSu Obr 6: nespojtost vlvem tolerancí Tvorba MKP sítí v preprocesoru ASYSu Jak jž blo řečeno, enttam rozumíme uzl a element Uzel je defnován polohou (,, z souřadncem v prostoru) a nese nformac o "svém" nejblžším okolí Uzl jsou jednoznačně dentfkován přrozeným čísl Tato čísla budeme označovat jako globální čísla uzlů 5
Topologe každého jednoho elementu je dána tpem (vzorem) a příslušejícím uzl (jsou číslován lokálně) Kompatblní a nekompatblní sítě, rodn elementů Zjednodušeně řečeno, element má svůj prototp (vzor), který defnuje hran a stěn jako křvk spojující uzl Ztotožnění uzlů elementu s uzl globálním vnáší nformac o tvaru konkrétní realzace elementu v prostoru a Obr 6 je naznačeno zobrazení prototpu (vzoru) čtřuzlového rovnného elementu Zobrazení je defnováno přřazením globálních uzlů k uzlům lokálním (zelené špk) Hran s - s4 jsou v nstanc defnován jako úsečk spojující příslušné globální uzl Tím, že sousední element sdílejí globální uzl na společných hranách je zajštěna tzv topologcká spojtost (kompatblta) MKP sítě Obr 6: prototp elementu 6
Pokud b všechn element sítě měl stejný vzor, bla b spojtost zajštěna automatck a obrázku Obr 7 je však kromě čtřúhelníkových elementů také element trojúhelníkový Použtí různých topologí v jedné sít značně zvšuje možnost modelování těles velm obecných tvarů Proto jsou často v MKP programech vtvářen tzv rodn elementů Rodna elementů představuje několk vzorů (topologí), jejchž nstance jsou př zajštění podmínek a kompatblní apř v ASYSu je rodna PLAE 4, která obsahuje rovnný čtřúhelník a trojúhelník Trojúhelníkový element vznká jako degenerovaný čtřúhelník, vz obrázek Obr 7: degenerace elementu 7
Rodna PLAE 8 je tpcká tím, že její element mají zakřvené hran Zakřvení je defnováno tzv středostranným uzl - mdsdes [mdsad] Každá hrana takového elementu má tř uzl, a její tvar je obecně parabolcký (pokud všechn tř uzl leží v jedné přímce degeneruje parabola v úsečku) Obr 8: kvadratcký prvek rodn PLAE8 8
Obr 8: degenerace prvku PLAE8 a následujícím obrázku je jako příklad naznačena nekompatblní síť v důsledku použtí elementů ze dvou rodn PLAE 4 a PLAE 8 Topologck spojtá síť se po deformac stává nespojtou Takový případ je obtížné ošetřt Poněkud složtější stuace je ve D prostoru Dvě tpcké D rodn v ASYSU představuje následující obrázek 9
4 Atrbut elementů Z předchozího odstavce vplnulo, že geometre sítě je dána polohou uzlů, geometrckým tp elementů a přřazením globálních uzlů k lokálním - tzv tabulkou ncdencí uzlů Úloh řešené MKP nejsou čstě geometrcké, ale také fzkální Podle tpu úloh se element třídí na mechancké - v termnolog ASYSu structural - pro řešení mechancké odezv poddajných těles teplotní - v termnolog ASYSu thermal - pro řešení teplotních polí v tělesech elektro-magnetcké - v termnolog ASYSu magnetc, electrostatc - pro řešení elektromagnetckých polí element pro sdružené úloh - v termnolog ASYSu coupled feld - pro řešení např úloh termo-elektromagnetcké, kde je třeba do teplotní blance zahrnout teplo generované jouleovým ztrátam Element lze třídt podle charakteru těles na kontnuální (objemové, prostorové, plošné) - v termnolog anssu sold - element pro prostorovou (D) resp rovnnou (D) úlohu, které dskretzují klascké Cauchovské kontnuum skořepnové - v termnolog anssu shell - element dskretzují tenké stěn
nosníkové resp tčové - v termnolog anssu beam resp lnk V anssu má každý tp elementu tzv atrbut (celkem č): elementový tp - v termnolog anssu element tpe materál - v termnolog anssu materal obecné parametr (tzv reálné konstant) - v termnolog anssu real constants 4 elementový souřadný sstém - v termnolog anssu element coordnate sstem (CS) Všechn 4 atrbut jsou přrozená čísla, která představují ukazatel do tabulek příslušných atrbutů: 5 Tabulka elementových tpů Rovnné element ve většně MKP programů lze vužít k řešení rotačně smetrckých úloh Tato a další specfkace je v tabulce elementových tpů defnována prostřednctvím takzvaných voleb - v termnolog anssu optons Struktura tabulk elementových tpů je následující: Identfkátor Tp elementu Volba Volba Volba SOLID7 default ELMAG default default 6 Tabulka reálných konstant Reálné (ve smslu reálná čísla) konstant v ASYSu představují parametr, které nelze zadat polohou uzlů an prostřednctvím materálu V našem případě je to geometrcký parametr - tloušťka elementu Flozofe reálných konstant vchází z pojmu sad reálných konstant jako uspořádané -tce reálných čísel Každý element defnovaný tpem a volbam "ví" jaké parametr potřebuje pro výpočet a má defnováno jejch pořadí Je-l hodnota atrbutu reálné konstant rovna, hledá s element příslušné parametr v -té sadě reálných konstant 7 Tabulka materálu Obsahuje nformac o tpu materálového modelu a hodnot příslušných parametrů apř pro zotropní materál aplkovaný ve statcké úloze bez uvažování teplotního pole má pouze dva parametr: permeabltu a elektrckou rezstvtu
8 Elementový souřadný sstém Anss má tř předdefnované souřadné sstém (globální kartézký (), globální clndrcký () a globální sfércký ()) Kromě toho může užvatel defnovat vlastní sstém lbovolně posunuté a natočené vůč globálním - kartézský, clndrcký, sfércký a torodní Tto sstém jsou dentfkován přrozeným čísl 9 Automatcké generování MKP sítí Jak blo řečeno výše, je dnes nejefektvnějším způsobem vtváření D resp D MKP modelů automatcké generování sítě do ploch resp objemů Algortm generátorů jsou velm složté a jejch vývoj není ukončen Z hledska topologe elementů vtvářené sítě lze provést následující dělení: Dmenze Topologe Automatck Knematck Topol omezení Pozn FREE - - - D MAP * - FREE - - - FREE - - - MAP ** - - - - D - - - nekompatb - - - - - - ručně - - - ručně
Z tabulk vplývá, že automatcký generátor pracuje ve dvou režmech - MAP (generuje tzv mapovanou síť) a FREE (generuje tzv volnou síť) Volnou síť lze generovat do ploch (objemů) obecné topologe Mapovanou síť lze generovat pouze do specálních ploch č objemů - tzv topologckých obdélníků a topologckých kvádrů 4 Vtváření grafckých reprezentací v ASYSu Výsledkem nženýrského výpočtu je obvkle zpráva o výpočtu Součástí této zpráv je také grafcká prezentace výsledků 4 Metod vtváření obrázků a podporované grafcké formát Všechn grafcké reprezentace generované sstémem ASYS jsou založen na bodové grafce (btmap) Vlastní ASYS produkuje grafcké reprezentace třem metodam: Hard cop - kope obrazovk Redrect plots - přesměrování výstupu Capture mage - sejmutí obrázku 4 Doporučený postup př tvorbě obrázků Z mnoha grafckých formátů produkovaných ASYSem mají pro nás praktcký význam v podstatě pouze formát EPS a TIFF, JPEG a PG Volba grafckého formátu závsí především na použtém tetovém procesoru Pro psaní zpráv ve Wndws programech tpu MS Word je rozumné použít formát TIFF Př použtí sstému TeX nebo jného tpografckého sstému je vhodné použít formát EPS Pro publkac na WWW jsou určen formát JPG nebo PG Obrázk v těchto formátech lze jednoduše získat pomocí Hardcop obrazovk nebo Capture Image Př tvorbě obrázků pro tsk bste vžd měl jako pozadí zvolt bílou barvu - obrázk s černým pozadím jsou méně přehledné a př tsku se zbtečně plýtvá toner (ušetřené peníze je rozumné propít) 4 Hard cop - kope obrazovk Př hardcop je okno Graphcs nebo celá obrazovka zkopírována do souboru Grafcké prezentace je možno ukládat do následujících formátů:
Postscrpt tff jpeg png Postscrpt s tff prewev Hardcop obrazovk se provede pomocí příkazů "Utlt Menu - PlotCtrls -> HardCop" Po provedení příkazu se otevře okno s volbam 44 Volb pro Hard Cop V okně pro hardcop lze zadat následující údaje: Full Screeen - Graphcs Wndow : volba mez hardcop celé obrazovk nebo okna Graphcs Monochrome - Gra Scale - Color : nastavení barev obrázku Postscrpt - TIFF - Postscrpt wth TIFF prewev : nastavení výstupního formátu obrázku TIFF compresson - zda komprmovat formát TIFF Reverse Vdeo - prohodí černou a bílou barvu Landscape - Portal : orentace na šířku - na výšku prnt to - save to : zda tsknout na tskárně nebo uložt do souboru Př tskuje třeba zadat tskový příkaz, př uložení jméno souboru 45 Redrect plots - přesměrování výstupu Prncp metod Redrect plots spočívá v přesměrování obsahu okna Graphcs do souboru Pokud ted přesměrujete výstup do souboru, výsledek operací pro prác s grafkou se nebude zobrazovat v okně Graphcs, ale bude zapsován do souboru V okně graphcs se nemusí nc zobrazovat Př přesměrování do souboru dojde k automatcké nverz bílé a černé barv, tzn, že př černém pozadí okna Graphcs bude pozadí obrázků bílé Grafcké prezentace je možno ukládat do následujících formátů: GRPH - Formát GRPH je nterní formát ASYSu Všechn výstup jsou ukládán do jednoho souboru Defaultové jméno jobnamegrph lze změnt Soubor GRPH je třeba dále zpracovat pomocí programu DISPLAY 4
PSCR - Poscrptový formát Každý obrázek je uložen do nového souboru Jméná souborů jsou tvořena jobnamenneps, kde nn je číslo od HPGL a HPGL - Jedná se o formát Hawlett-Packard Graphcs Language Každý obrázek je uložen do nového souboru Jméná souborů jsou tvořena jobnamennhpgl VRML - Formát Vrtual Realt Meta Language Každý obrázek je uložen do nového souboru Jméná souborů jsou tvořena jobnamennwrl, kde nn je číslo od 46 Vtváření grafckého souboru Přesměrování do souboru se provede pomocí příkazů "Utlt Menu - PlotCtrls -> Redrect Plots -> To format fle", kde format je jméno grafckého formátu Po provedení příkazu se otevře okno s volbam k jednotlvým formátům Tto volb jsou pro každý formát jné Jednou společnou volbou je volba /REPLOT Touto volbou lze nastavt dvě možnost: Replot - Provede se vkreslení do souboru a další výstup jsou opět do okna Graphcs Do not replot - př této volbě jsou všechn výstup do okna Graphcs přesměrován do souboru V okně Graphcs se nc nezobrazuje Pro opětovné vkreslování do okna Graphcs se provede přesměrování na screen pomocí "Utlt Menu - PlotCtrls -> Redrect Plots -> To screen" 47 Capture mage - sejmutí obrázku Př Capture mage je okno Graphcs zkopírováno do nového okna, které je možno uložt nebo provést jeho hardcop Grafcké prezentace je možno ukládat do následujících formátů: IMG - grafcký formát, který lze zpracovat například programem XV Postscrpt TIFF Postscrpt s TIFF prewev Vtváření grafckého souboru Hardcop obrazovk se provede pomocí příkazů "Utlt Menu - PlotCtrls -> Capture Image" Po provedení příkazu se okno Graphcs zkopíruje do nového okna, v jehož menu lze zvolt: "Fle -> Save as" - možnost uložení obsahu okna do souboru IMG "Fle -> Prnt" - otevře se okno HardCop, jehož pops je uveden v sekc hardcop 5
5 Další užtečná nastavení zobrazování 5 Sstémové volb astavení tpu zařízení ("Utlt Menu - Plot Controls -> Devce Optons -> Use etra colors for ") Pro výstup ve 56 barvách na X-termnál do souboru je třeba nastavt devce jako "Contours XC" Tuto volbu je možno alternatvně provést v základním menu př spouštění nteraktvního sezení v okně ("Interactve") položkou "Graphcs devce name" 5 Stlové volb Sold a drátové model: Základní volba mez drátovým zobrazováním - " Vector mode (Wreframe)" a (sold) zobrazováním s vplněným plocham - "Raster ode" je v přepínač ("Utlt Menu - Plot Controls -> Devce Optons -> Vector mode") Přepínačem ("Utlt Menu - Plot Controls -> Devce Optons -> Dtherng") lze zapínat nebo vpínat operac stínování př volbě vdtelnost tpu Z-buffer Vdtelnost je řízena z formuláře ("Utlt Menu - Plot Controls -> Stle -> Hden Lne Optons") položkou ("Tpe of plot") Lze zvolt: Centrod hden řešení vdtelnost založeno na těžštích zobrazovaných entt Face hden řešení vdtelnost založeno na těžštích hrančních ploch zobrazovaných entt Precs hden jako Face hden s přesnějším algortmem Z-buffered jako Precs hden se softwarovým Z-bufferem Capped hden zobrazí řez a vše co je vdět za rovnou řezu - metoda precs (vz rovna řezu) Capped Z-buffer zobrazí řez a vše co je vdět za rovnou řezu - metoda Z-buffer (vz rovna řezu) Secton zobrazí pouze řez (vz rovna řezu) Q-slce Z-buffer zobrazí řez a vše co je vdět za rovnou řezu pouze v obrsech - metoda Z-buffer Q-slce precse zobrazí řez a vše co je vdět za rovnou řezu pouze v obrsech - metoda precs on hden neřeší vdtelnost Rovna řezu může být určena z formuláře ("Utlt Menu - Plot Controls -> Stle -> Hden Lne Optons") položkou ("Cuttng plane s") dvěma metodam: 6
Kolmá na směr pohledu ("ormal to vew" - je kolmá na vektor pohledu (vz ("Utlt Menu - Plot Controls -> Stle -> Vew settngs -> Vewng drecton")) Totožná s "Workplane" (vz ("Utlt Menu -> WorkPlane")) Tp stínování< se nastaví opět z formuláře ("Utlt Menu - Plot Controls -> Stle -> Hden Lne Optons") položkou "Tpe of shadng" Kreslení hran elementů je nastavováno z formuláře ("Utlt Menu - Plot Controls -> Stle -> Edge Optons") položkou "Element outlnes for non-contour/contour plots" volbam: All / Edge onl vkreslí všechn hran Edge onl / All vkreslí jen obrs Zobrazení barevných map výsledných polí: Počet vrstevnc se nastaví z ("Utlt Menu - Plot Controls -> Stle -> Contours -> Unform Contours") položkou "umber of contours" ení l devce nastaveno na XC, nelze nastavt více než 9 vrstevnc Jnak b mělo být možno nastavt až 4 barev, ale pak se nevejde legenda Rozumný počet vrstevnc je as 5 Zda se budou vrstevnce kreslt plocham nebo čáram závsí na modu (vector (čár) nebo raster (ploch) plot) 5 Rozložení oken a legenda ASYS umožňuje rozdělení kreslící ploch na 5 oken (Wndows) Tato okna mají jednečná některá nastavení (některá nastavení jsou společná) Předdefnovaný stav předpolkládá jedné aktvní okno stuované na celou kreslící plochu Případný zájemce o složtější strukturu nalezne příkaz pro rozmístění oken v ("Utlt Menu->Plot Controls->Wndow Controls") 54 Zobrazení geometrckých entt, MKP entt a výsledků V tomto odstavc jde o výkonné kreslící příkaz, které zobrazí aktuálně vbranou podmnožnu požadovaných entt na aktuální výstupní zařízení (X-okno nebo soubor) Geometrcké entt lze zobrazovat pomocí "Utlt Menu - Plot -> ": Kepont Lnes Areas Volumes 7
Položka "specfed enttes" umožní vkreslt pouze t entt, které užvatel přímo zadá čísl MKP entt lze zobrazovat pomocí ("Utlt Menu - Plot -> "): odes Elements 6 Post-processng Výsledk se zobrazí pomocí ("Man Menu -> General Postprocessor -> Plot Results -> "): odal soluton - zobrazují se hodnot prmárně příslušející uzlům Vektorový magnetcký potencál je dle tpu metod řešení hledán buď na hranách nebo uzlech daného elementu a není tak zaručena spojtost na hrancích prvků vžd Př zobrazení metodou "nodal soluton" jsou tto hodnot přepočten do uzlů, a zde zprůměrován (operace vhlazení) a vkreslen Element soluton - uzlová řešení zobrazt nelze, hodnot jsou vkreslován v jednotlvých elementech (stupňovté zobrazení) Další způsob vhodnocování získaného řešení se různí dle tpu analýz a účelu, ke kterému výsledk budou sloužt (vz příklad) 7 Lteratura [] ŠTĚRBA, Pavel; MASÁK, Jan; OVOTÝ Ctrad, doprovodný tet ke cvčením MKP a AMKP ČVUT 4 [] ASYS help 8
Výběr tpu metod výpočtu (nfem/efem) Anss k řešení D elektromagnetckých úloh nabízí dvě v podstatě odlšné metod Jsou jm nodalbased fnte elements metod (FEM se stupn volnost v uzlech konečného prvku) a edge-based fnte elements metod (FEM se stupn volnost na hranách prvku) Z hledska geometre jsou s obě metod rovnocenné, proto jejch výběr výsledný tvar fzkálního modelu njak neovlvní je samozřejmě možné aplkovat obě metod na tentýž problém Hlavní rozdíl spočívá v přípravě a Obr DOFs složtost výsledného matematckého modelu (pops rovncem), kd sledovaným parametr jsou především: počet neznámých, počet řešených rovnc atd Metoda nodal-based fnte elements metod (dále nfem) přřazuje každému uzlu konečného prvku jednu tvarovou funkc a tř a více stupňů volnost (obvkle magnetcký vektorový potencál ve třech osách souřadného sstému AX, AY, AZ, případně další) aprot tomu metoda edge-based fnte elements metod (dále efem) uvažuje pouze jednu tvarovou funkc, a to na hraně elementu To ovšem znamená jeden stupeň volnost AZ vžd ve stranovém (md-sde) uzlu prvku Jak bude ukázáno dále, efem v porovnání s nfem má řadu výhod ejdůležtějším se zdají být tto: uvažuje kontnutu toku mez dvěma přlehlým element pouze v tangencálním, nebo normálovém směru (Obr ), výkonnost metod je dík řdší matc tuhost všší, klade nžší nárok na paměť řešícího HW Hlavní nevýhodou je však pomalejší konvergence teračního řešče a náchlnost na výběr tzv gaugng procedur íže uvedený konečný prvek obsahuje vlastní algortmus, který uvažuje vzájemné provázání uzlů a hran ve formě topologckého grafu (tzv strom) Protože každá z hran je tvořena právě dvěma uzl, Obr prvek SOLID7 strom je možné do jsté mír 9
redukovat (k zajštění jednoznačnost této matce slouží zmíněný gaugng algortmus), čímž redukujeme počet stupňů volnost (DOFs) Prvek, o kterém bla řeč je dvacet-uzlový kvadratcký tetraheader (Obr ) Jeho rohové uzl jsou určen především pro pops tvaru prvku, orentac hran (od uzlu s všším pořadovým číslem směrem k uzlu s nžším pořadovým číslem), defnc stupně volnost elektrckého potencálu (označeného VOLT ntegrální velčna) Středostranné uzl slouží k defnc stupně volnost magnetckého vektorového potencálu (AZ) Jak je patrné z obrázku Obr, vektorový magnetcký potencál A lze určt jako: A A () Z AZ AZ AZ 88 Je to obdoba (7) Kde A Z je tangencální složka aktuální velkost AZ ve středostranném uzlu je tvarová funkce dané hran Jak blo řečeno dříve, každá hrana je určena dvěma rohovým uzl, t také udávají její orentac Z obrázku Obr je vdět, že každý prvek má dva souřadné sstém (,,z) - globální a (r, s, t) lokální Vztah mez oběma sstém lze popsat: ( r) () I ( s) () I z ( t) (4) Kde I z I,, z jsou souřadnce uzlu v globálním kartézském sstému I I ní s názorně a zjednodušeně předveďme odvození tvarových funkcí jednotlvých uzlů elementu Protože jsou tto funkce dán tvarem funkce apromační, která je v případě efem pro SOLID7 lneární, lze napsat: A a a a a4 z a5 a6 z a7 z a8 Což v matcovém tvaru je [ z z z z][ ] A a Z obrázku Obr a rov 5 vchází soustava rovnc: z (5) (6) 4
4 8 7 6 5 4 8 7 6 5 4 a a a a a a a a st t s rst st rt rs t s r rt t r t s rs s r r A A A A A A A A (7) Vřešíme-l soustavu a výsledek dosadíme do 6, dostáváme: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] A B z z z z A A B a (8) Dále platí, že [ ][ ] A A (9) Z předchozích rovnc, ted 8 a 9 lze vjádřt tvarové funkce jako: [ ] [ ][ ] B z z z z () [ ] [ ] rst rst rst rst rst rst rst rst st st st st rt rt rt rt rs rs rs rs t t s s r r z z z z [ ] [ ] P O M L K J I () Po úpravě výsledku, nabývají tvarové funkce v jednotlvých uzlech těchto tvarů: ) )( )( ( t s r I (5) ) )( ( t s r J (6) ) rs( t K (7) ) ( ) ( t s r L (8) t s r M ) )( ( (9)
4 t s r ) ( () rst O () st r P ) ( () Tvarová funkce hran dané uzl a může být popsána následovně: E r () Pro hranu Q z obrázku Obr pak vchází: I J J I EQ r (4) z I I I I ; z J J J J (5) ejprve určeme tvarové funkce patřčným uzlům, ted I a J ) )( )( ( t s r I (6) ) )( ( t s r J (7) Protože platí transformační rovnce 4 a hrana Q leží v ose, platí: ) )( ( t s I I (8) ) )( ( t s I J (9) Po aplkac operátoru gradent ) )( ( t s I I ; ) )( ( t s I J ()
Vchází tvarová funkce hran následovně: r EQ ( r)( s)( t) ( s)( t) r( s)( t) ( s)( t) I Pokud bchom takový výpočet provedl pro hran U, W, S zjstíme, že I () r () I J Hranu Q ted popsuje následující tvarová fce: r ( s)( t) r EQ Zblé hran b se popsal analogck Je pak možné uvést následující tvar matce tvarových funkcí hran elementu r QUWS X r r YZAB EI Y r TXVR Z () (4) Z rovnce 4 je vdět, že vžd čtř hran mají stejný směr, čímž se nám výrazně daná matce zjednoduší Zbtek výpočtů je shodný s nfem Blo zjštěno, že SOLID7 umožňuje pouze smetrcký výpočet (modelování za vužtí smetre ¼), což značně lmtuje jeho vužtí Je však velm úsporný a v případě možnost neváhejme!!! Př nesmetr, resp modelování komplení úloh (harm, tranz) vužívat výhradně SOLID97 Lteratura [] TARVYDAS, P, Edge Elements for D Electromagnetc Fled Modelng Kaunas Unverst of Technolog, ISS 9-5 [] ASYS help 4
4 ASYS příklad 4 Často používané příkaz! komentář!xxxxxxxxxxx!ázvy ETIT!XXXXXXXXXXX kepont (kp) lne area volume node element bod (geometre) krvka plocha objem uzel ste prvek ste!pozn: parametr prkazu se oddeluj carkam help,prkaz help,7 napoveda k elementu (SOLID7)!XXXXXXXXX!GEOMETRIE!XXXXXXXXX a) Vkreslovan /replot prekreslen Kplot bodu (kp) lplot krvek (lne) aplot ploch (area) vplot objemu (volume) nplot uzlu ste (node) eplot prveku ste (element) gplot soucasne vkreslovan entt!nastaven entt pro vkreslovan: Utlt Menu>PlotCtrls>Mult-Plot Contrls 44
b) dotaz na geometr klst,p bod (kp) llst,p krvku (lne) alst,p plochu (area) vlst,p objem (volume) nlst,p uzel ste (node) elst,p prvek ste (element) kdst,p vzdalenost kp (CSYS) ndst,p vzdalenost uzlu (CSYS)!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX!SELEKCE ETIT A KOMPOET!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX a) pkem ms [k l a v n e]sel,[s r a u],p s (select) z plne mnozn r (reselect) a (also select) - prber u (unselect) - odeber!prklad:lsel,u,p z aktvn mnozn krvek odeber krvk pkle ms b) a zaklade atrbutu [k l a v n e]sel,[s r a u],[mat tpe real ess],,od,do,delta!prklad: esel,,mat,, asel,u,tpe,, vber vsechn element, ktere se odvolavaj na materalc odeber vsechn ploch, ktere se odvolavaj na tp elementuc c) dals uztecne prkaz alls (allsel) vber vsechn entt (aktvovat vsechno) alls,below,[volu area lne kp elem] vber vsechno patrc k objemum, 45
lsel,r,et asel,r,et nsel,r,et nsll,, nsla,, vber eternch krvek eternch ploch eternch uzlu uzl na aktvnch krvkach uzl na aktvnch plochach d) tvorba a selekce komponent cm,jmeno,[kp area lne volu node elem] tvorba komponent cmdel,jmeno odstranen komponent cmsel,[s r a u],jmeno selekce komponent!xxxxxxxxxxxxx!preprocessig!xxxxxxxxxxxxx a) materalove vlastnost - defnce mp,cslo,[per rsv mur k],hodnota per relatvn permtvta rsv mern odpor [Ohmm] mur relatvn permeablta k tepelna vodvost [W/(mK)] mplst,od,do,delta vps defnovanch materalovch vlastnost!xxxxxxxxxxxxxxxxx!okrajove PODMIKY!XXXXXXXXXXXXXXXXX a)zadavan na: dk,p bod (kp) dl,all,,volt, krvku (lne) da,p plochu (area)!pres menu: Soluton>DefneLoads>Appl>Electrc>Boundar>Voltage 46
b) Dotaz na okrajove podmnk (OP) zadane na: dklst,p bod (kp) dllst,p krvku (lne) dalst,p plochu (area) dlst,p uzel ste!smbol OP: Utlt Menu>PlotCtrls>Smbols dtran prevod OP z geometre na FE model sftran prevod plosneho zatzen z geometre na FE model!xxxxxxxxxxxxxx!postprocessig!xxxxxxxxxxxxxx plnsol,[volt temp] zobrazen vsledku na uzlech plnsol,ef,[ z sum] zobrazen ntenzt el pole (RSYS) FLST, FIELD, ARG, TYPE, Otpe, LEG Jedna se o prkaz zadávaný klkanm ms v menu GUI Uzvatel o tom samozrejme nev (anss ho doplnuje automatck), je ale vpsován do logfle FIELD oznacuje tp operace v menu ARG pocet pknutch entt TYPE tp entt uzl element kepont 4 krvk 5 ploch 6 objem 7 trasované bod 8 souradne sstem Otpe prkaz, vznacn pro dan tp operace 47
4 Ukázkové příklad 4 Vodč v prostoru D Uvažujme měděný vodč daného průřezu, protékaný zadanou proudovou hustotou, procházející volně prostorem V jeho blízkém okolí se nachází další vodč (ndukt), jenž je uvažován a) nekonečný b) v konečné vzdálenost spojen ve smčku Pro obě varant provedeme harmonckou analýzu (několk různých frekvencí napájecího proudu), sledováno bude rozložení proudové hustot v obou vodčích a ntenzta mag pole Před samotnou analýzou je ale třeba vtvořt samotný model Jak jž blo popsáno dříve, lze postupovat čstě parametrck, tzn vužít nterpreta mplementovaného v anssu formou příkazové řádk, nebo máme k dspozc GUI rozhraní (kontetové menu) Je na každém, která forma modelování mu bude vhovovat více, zde s názorně předvedeme obě Geometre: šířka napájeného vodče: výška napájeného vodče: šířka nduktu: výška nduktu: vzdálenost vzuch okolí: 8mm mm 8mm 6mm 4mm J 5A/mm S napájeného vodče 56 mm S nduktu 8 mm J ndukt A Je dobré s uvědomt, že uvedená vzdálenost okolí není nkterak optmalzována Chtěl bchom postupovat 48
korektně, blo b nutné provést několk kontrolních výpočtů (varablní vzdáleností okolí) a za pomocí některé z ntegrálních velčn (L, Wm, ) určt optmální poloměr kruhu okolí Optmální vzdálenost odpovídá takové hodnotě, pro kterou se velkost kladné dervace sledované ntegrální velčn blíží nule Vodče lze vtvořt následovně v menu: Man Menu> Preprocessor> Modelng> Create> Areas> Rectangle>B Corners (pro oba obdélník) Okolí pak podobně: Man Menu> Preprocessor> Modelng> Create> Areas> Crcle>Sold crcle V tomto okamžku máme přpraven geometrcký model odpovídající řezné rovně skutečné fzcké kompozce obou vodčů Protože se ale model sestává s jednotlvých ploch, vzájemně se překrývajících, vtvořením konečněprvkového modelu b vznkl na sobě nezávslé množn uzlů (sítě) To ovšem vede ke vznku dskontnuální (nekompatblní) sítě a v tomto případě ke špatným výsledkům (nkol pádu GAUGIG algortmu) Je ted nutné příslušné rovn vzájemně prolnout, čímž získají společné hrance (prncp je vdět na obrázku) Man Menu> Preprocessor> Modelng> Operate> Booleans> Partton> Areas Dále je třeba určt tp elementů, materálové vlastnost a přřadt daným regonům Z helpu lze včíst nabízené tp elementů pro cílenou analýzu V tomto případě máme k dspozc následující Element Dmens PLAE -D Shape or Characterstc 4-node quadrlateral or - node trangular DOFs Up to four at each node; these can be magnetc vector potental (AZ), dsplacements, temperature, or tme-ntegrated electrc potental otes Supported for cclc smmetr (perodc) analss 49
Element Dmens PLAE5 -D Shape or Characterstc 8-node quadrlateralor 6- node trangular DOFs Up to four at each node; these can be magnetc vector potental (AZ), tme-ntegrated electrc potental, current, or electromotve force drop otes Supported for cclc smmetr (perodc) analss Budeme volt kvadratcký prvek PLAE5 Man Menu> Preprocessor> Element Tpe> Add/Edt/Delete> Máme tř oblast, proto vtvoříme tř používané tp prvků (všechn budou PLAE5) ebl b problém použít pouze jeden tp, ale v případě potřeb změnt tp elementu příslušející některému z regonů, musel bchom vtvářet konečněprvkový model znovu (je proto výhodné t dvě řádk do souboru přpsat) Pokud jde o materálové vlastnost, význačným jsou především: relatvní permeablta vzduchu a měd µ a měrný odpor měd, ted 7e-8 r Man Menu> Preprocessor> Materál Props> MateralModels Dále je třeba přpravené atrbut přřadt příslušejícím regonům a vtvořt mesh Man Menu> Preprocessor> Meshng> MeshTool 5
Práce se zmíněným menu bude podrobně probrána na semnářích Výsledný model je zobrazen na následujícím obrázku: 5
Zatížením rozumíme zadáním okrajových podmínek společně s nastavením stupňů volnost elelementovým tpům Pro varantu a (nekonečný ndukt) určíme potřevné nastavení DOFs elementu z následující tabulk KEYOPT() Element degrees of freedom: -- AZ degree of freedom: statc doman, nduced edd current doman -- VOLT, AZ degrees of freedom: current-fed massve conductor -- AZ, CURR degrees of freedom: voltage-fed stranded col -- AZ, CURR, EMF degrees of freedom: crcut-coupled stranded col 4 -- AZ, CURR, EMF degrees of freedom: crcut-coupled massve conductor Je ted vdět, že volba (VOLT, AZ) splňuje zadání požadovaného chování nduktu v sstému astavení provedeme Man Menu> Preprocesor> Element Tpe> Add/Edt/Delete> Tpe > Optons Obdobným způsobem se podle helpu nastaví ostatní element tpes apájený vodč VOLT, AZ Indukt VOLT, AZ Vzduch AZ Proud do tče (IJS8A) můžeme zadat několka způsob (proudovou hustotou, proudem do uzlů sítě) Zatížení pak provedeme pomocí vazebních rovnc 5
Man Menu>Preprocessor>Couplng / Ceqn>Couple DOFs Jedná se o nástroj pro vzájemné provázání DOFs množn vbraných uzlů DOF nastavený uzlu řídícímu (ten s nejmenším globálním pořadovým číslem z výběru) se automatck přřadí ostatním zúčastněným Řídící uzel zatížení pak nastavíme Man Menu> Preprocessor> Loads> Defne Loads> Appl> Electrc>Ectaton> Impressed Curr>On odes do řídícího uzlu a hranc vduchového okolí bude homogenní Drchletova okrajová podmínka A Man Menu> Preprocessor> Loads> Defne Loads> Appl> Magnetc>Boundar> Vector Poten>On Lnes Metoda řešení analýz je zadána Man Menu> Preferences>Magnetc odal 5
Dalším důležtým krokem je výběr tpu analýz a provedení jejího nastavení (pro harmonckou analýzu je to frekvence proudu a volba řešče) Man Menu> Preprocessor> Soluton> Analss Tpe> ew Analss> Man Menu> Preprocessor> Soluton> Analss Tpe> Analss Opton> Výběr řešče záleží na modelované úloze, resp její složtost Pro řádově menší model (7 uzlů) je výhodné použít velce rchlý Sparse solver, pro úloh větší pak nezbude než se spokojt s některým z teračních Příkazem /SOLU solve spustíme výpočet 54
v tetovém tvaru b model vpadal takto:!priklad "VODIC" - ndukt rozpojen /PREP7!PARAMETRY a8e-!srka vodce be-!vska vodce c8e-!srka nduktu d6e-!vska nduktu e4e-!polomer okol Sa*b!plocha vodce J5!proudova hustota IS*J BLC4,-a/,-b/,a,b BLC4,/4*c,-5/8*d,c,d CYL4,,,e FLST,,,5,ORDE, FITEM,, FITEM,,- APT,P5X!tvorba vodce!tvorba vodce ET,,5 ET,,5 ET,,5!nastaven tpu elementu!nastaven tpu elementu!nastaven tpu elementu KEYOPT,,,! KEYOPT,,,! KEYOPT,,,! KEYOPT,,4,! KEYOPT,,5,! KEYOPT,,7,! KEYOPT,,,! KEYOPT,,,! KEYOPT,,,! KEYOPT,,4,! KEYOPT,,5,! KEYOPT,,7,!nastaven DOFs!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX!materalove vlastnost MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,, MPDATA,MURX,,, MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,, MPDATA,RSVX,,,7e-8 *CSET,,,,, MPCOPY,,, TBCOPY,ALL,, *CSET,,,,, MPCOPY,,, TBCOPY,ALL,, MPDE,RSVX,!relatvn permeablta med!mern odpor med 55
!XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX!nastaven tpu elementu pro jednotlve regon CM,_Y,AREA ASEL,,,, CM,_Y,AREA CMSEL,S,_Y CMSEL,S,_Y AATT,,,,, CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y CM,_Y,AREA ASEL,,,, CM,_Y,AREA CMSEL,S,_Y CMSEL,S,_Y AATT,,,,, CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y CM,_Y,AREA ASEL,,,, 4 CM,_Y,AREA CMSEL,S,_Y CMSEL,S,_Y AATT,,,,, CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y!XXXXXXXXXXX!TVORBA SITE ESIZE,e-,, MSHAPE,,D MSHKEY, FLST,5,,5,ORDE, FITEM,5, FITEM,5,- CM,_Y,AREA ASEL,,,,P5X CM,_Y,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y ESIZE,,, CM,_Y,AREA ASEL,,,, 4 CM,_Y,AREA CHKMSH,'AREA' CMSEL,S,_Y AMESH,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y 56
CMDELE,_Y /REP,FAST /PUM,KP, /PUM,LIE, /PUM,AREA, /PUM,VOLU, /PUM,ODE, /PUM,TAB, /PUM,SVAL, /PUM,DOMA, /UMBER, /PUM,MAT, /REPLOT!XXXXXXXXXXXXXXX!vazebne rovnce FLST,4,849,,ORDE, FITEM,4, FITEM,4,-849 CP,,VOLT,P5X F,,AMPS,I, FLST,,4,4,ORDE, FITEM,,9 FITEM,,- DL,P5X,,AZ,,,!XXXXXXXXXXXXXXXXX!nastaven analz /OPR /PMETH,OFF, KEYW,PR_SET, KEYW,PR_STRUC, KEYW,PR_THERM, KEYW,PR_FLUID, KEYW,PR_ELMAG, KEYW,MAGOD, KEYW,MAGEDG, KEYW,MAGHFE, KEYW,MAGELC, KEYW,PR_MULTI, KEYW,PR_CFD, /GO /COM, /COM,Preferences for GUI flterng have been set to dspla: /COM, Magnetc-odal ATYPE, HARFRQ,,, SUBST,, KBC, Výsledek pro varantu a Uvažujme zde (pro ndukt) platnost Amperova zákona r r Hdl l () 57
Jelkož je ndukt lneárně veden podél napájeného vodče, nepředpokládá se jeho vkrácení v nekonečnu Proud I bude ted roven nule a následujícím obrázku jsou znázorněn sločár reálné část ntenzt magnetckého pole pro fhz a f5hz 58
59
a posledních obrázcích je znázorněna proudová hustota pro obě frekvence 6
Výsledek pro varantu b Uvažujme zde (pro ndukt) platnost Amperova zákona r r dψ r r Hdl I, ψ DdS () dt l S Jelkož je ndukt lneárně veden podél napájeného vodče, a nepředpokládá se jeho vkrácení v nekonečnu Proud I už nebude roven nule (napájecí proud má harmoncký průběh), v nduktu budou vznkat posuvný vířvé proud (tvořící ztrát) Tuto skutečnost vjadřují první dvě Mawellov rovnce v dferencálním tvaru r r r D roth J () t r r B rote (4) t Pro velm malé frekvence pak vchází fázový posuv ndukovaného proudu a proudu zdrojového blízký devadesát stupňům( jak je zřetelné na následujících obrázcích) 6
Reálná část výsledků 6
6
64
Proudová hustota pro obě frekvence: 65
Imagnární část výsledků Intenzta mag pole 66
67
Proudová hustota pro obě frekvence (zřetelný promt efekt) Indukovaný proud pro fhz I-,5, A f5hz I-8A 68
4 Vodč v prostoru D Zadání úloh ponechme stejné, koncepc a chování sstému taktéž Chceme-l modelovat uzavření nduktu ve smčku (nkol však v nekonečnu), musíme mírně modfkovat geometr (vz obrázek) ejjednodušším způsobem jak úlohu realzovat je vtvořt tř kvádr a jednu koul Odečtením třetího kvádru od druhého vznkne smčka nduktu Jako vzduchové okolí nám poslouží koule zadaného poloměru Po prolnutí všech těles získáváme soubor objemů se společným hrancem (vz kompatblta sítě) Vodče lze vtvořt následovně v menu: Man Menu> Preprocessor> Modelng> Create> Volumes> Block>B Dmennsons (pro všechn obdélník) 69
Okolí pak podobně: Man Menu> Preprocessor> Modelng> Create> Volumes>Sphere>Sold Sphere Vzájemné prolnutí vznklých objemů pak vsvětluje obrázek Man Menu> Preprocessor> Modelng> Operate> Booleans> Partton> Volumes> Pck all 7
Dále je třeba určt tp elementů, materálové vlastnost a přřadt je přpraveným regonům Z helpu lze včíst nabídku tpů elementů, příslušející cílené analýze Máme zde k dspozc dva tp prvků, které můžeme efektvně použít (SOLID7 a SOLID97) SOLID 97 SOLID 7 a první pohled se zdá být výhodné použít SOLID7 (kvadratcký prvek) Př větší pozornost zjstíme, že podstata středostěnných uzlů spočívá pouze v podpoře DOFs (AZ) více v kaptole Výběr tpu metod výpočtu (nfem/efem) Apromační funkce tohoto prvku ted zůstává lneární a jedná výhoda je v menší matc tuhost Protože se ale prvek chová smetrck (jako bchom modeloval ¼ problému), nelze použít získal bchom chbné výsledk vlvem nereálnému rozložení proudové hustot (smetck k osám a ) Zůstává ted SOLID97(blžší pops v help) a tomto obrázku je možné pozorovat množství voltelných nastavení, kterým lze smulovat různé fzkální chování elementu, resp komponent z něho sestávající 7
astavení reálných konstant je zřejmé z tabulk: Lamnated ron Ar Current-fed massve conductor Classcal Formulaton DOF: AX, AY, AZ Materal propertes: MU r (MURX) Specal characterstcs; o edd currents Classcal Formulaton DOF: AX, AY, AZ Materal propertes: MU r (MURX) Specal characterstcs; o edd currents Classcal Formulaton DOFs: AX, AY, AZ, VOLT Materal Propertes: MU r (MURX), rho (RSVX) Specal characterstcs: Couple VOLT DOF n regon; appl total current (F,,AMPS) to sngle node Jelkož nás zajímá režm Current-fed massve conductor, dle tabulk nastavíme: DOFs: AX, AY, AZ, VOLT Materal Propertes: MU r (MURX), rho (RSVX) Specal characterstcs: Couple VOLT DOF n regon; appl total current (F,AMPS) to sngle node ásledující obrázek lustruje způsob zatížení napájeného vodče Mesh: Man Menu> Preprocessor> Meshng> Mesh Tool> 7
Tp meshované oblast Tp materálu Tp elementu 7
Hotový model vpadá takto: Stupně volnost (DOFs) vstupní výstupní stran napájeného vodče bl svázán vazebním rovncem, do jejch řídících uzlů pak zadán okrajové podmínk: - Vstupující proud F,, AMPS, I - ulový potencál D,, VOLT, 74
Vzduchové okolí vpadá následovně (všmněme s kompatblt sítě) Metoda řešení analýz je zadána Man Menu> Preferences>Magnetc odal 75
Dalším důležtým krokem je výběr tpu analýz a provedení jejího nastavení (pro harmonckou analýzu je to frekvence proudu a volba řešče) Man Menu> Preprocessor> Soluton> Analss Tpe> ew Analss> Man Menu> Preprocessor> Soluton> Analss Tpe> Analss Opton> Výběr řešče záleží na modelované úloze, resp její složtost Pro řádově menší model (7 uzlů) je výhodné použít velce rchlý Sparse solver, pro úloh větší pak nezbude než se spokojt s některým z teračních Příkazem /SOLU solve spustíme výpočet 76