JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příklady. pro vysoké školy



Podobné dokumenty
26. listopadu a 10.prosince 2016

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

Obsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

II. 3. Speciální integrační metody

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Obsah na dnes Derivácia funkcie

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

II. 5. Aplikace integrálního počtu

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Kapitola 7: Integrál. 1/17

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

Digitální učební materiál

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

Riemannův určitý integrál.

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Obsah rovinného obrazce

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

12.1 Primitivní funkce

8. Elementární funkce

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Matematika II: Testy

Masarykova univerzita

Teorie. Hinty. kunck6am

11. cvičení z Matematické analýzy 2

Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu

Téma 6 Staticky neurčitý rovinný oblouk. kloubový příhradový nosník

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice... 16

Při výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu.

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

Teorie. Hinty. kunck6am

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

POUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

URČITÝ INTEGRÁL. Motivace:

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

8. Elementární funkce

Křivkový integrál funkce

3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet. Substituce v určitém integrálu VY_32_INOVACE_M0311

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy:

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Kapitola 7: Integrál.

Program SMP pro kombinované studium

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).

Matematická analýza II Osnova cvičení

PRUŽNOST A PLASTICITA

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

METODICKÝ NÁVOD MODULU

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

8.6. Aplikace určitého integrálu ve fyzice Index

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

13. Kvadratické rovnice 2 body

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

odvodit vzorec pro integraci per partes integrovat sou in dvou funkcí pouºitím metody per partes Obsah 2. Odvození vzorce pro integraci per partes

Funkce jedné proměnné

Pružnost a plasticita II

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU

Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.

Úvod, základní pojmy, funkce

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

Transkript:

JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příkldy pro vysoké školy Bohemicus mthemticus doctor Pvel Novotný 0

Vzor citce: NOVOTNÝ, P. Jednoduchý integrál příkldy : pro vysoké školy. Bučovice : Nkldtelství Mrtin Stříž, 0. 6 s. ISBN 978-80-8706-7-0. Autor: Oálk: Tisk: Nkldtelství, sz: Pvel Novotný ww@centrum.cz Petr Bělej Triun EU s.r.o., Brno Nkldtelství Mrtin Stříž, Bučovice mrtin@striz.cz www.striz.cz Vydání: První, 0 ISBN 978-80-8706-7-0

Vážení studenti, milí čtenáři. Pro Vás, kteří potřeujete získt stručný, jsný přehledný úvod do vyšší mtemtiky, jsem připrvil sírku vyřešených integrálů z vysokoškolské mtemtiky systemticky je uspořádl do jednotlivých kpitol. Těchto ezmál 00 příkldů y Vám mělo přinést nezytné vědomosti dovednosti pro dlší studium integrálního počtu. Pulikce je určen zejmén studentům vysokých škol, kteří se v rámci cvičení uvedenou prolemtikou prkticky zývjí hledjí návody postupy pro řešení konkrétních příkldů. Věřím, že pulikce ude pro Vše studium mtemtiky užitečným přínosem že Vás osloví. V tomto snžení Vám všem přeji hodně zdru tké doré pocity z toho, že se po rychlém zorientování v knize nučíte příkldy smosttně řešit porozumíte postupům zde uvedeným. utor srpen 0

Osh Neurčitý integrál... Integrce metodou přímou... Integrce metodou per prtes... 7 Integrce metodou sustituční... f ( Integrál typu... 3 f ( Integrál typu f ( f (... 0 f ( Integrál typu... 0 f ( P( Integrál typu... Q( Oecné řešení integrálu... x x c Oecné řešení integrálu... 7 x px q C Integrál typu Bx... 30 x px q Integrál typu... 30 ( x px q) n Bx C Integrál typu... 3 ( x px q) n Integrál typu... 3 ( x x c) n Bx C Integrál typu... 33 ( x x c) n P( Integrály typu řešené metodou Ostrogrdského... 3 Q( Integrál typu x x c... Integrál typu x x c... 7 x Integrál typu... cx d P( Integrál typu... 9 x x c Integrál typu ( x ) x x c... 60 Integrály inomické x m ( x n ) p... 6

Integrování goniometrických funkcí... 69 Integrování logritmických funkcí... 8 Integrování exponenciálních funkcí... 8 x Oecné řešení integrálu cx d... 90 Oecné řešení integrálu x n... 9 cx d Oecné řešení integrálu... 9 ( x ) n Integrál... 9 3 ( x ± ) n Integrály vyjádřené rekurentními vzthy... 93 Integrál sin x... 93 m n p Rekurentní vzorec pro inomický integrál x ( x )... 9 Odvození použití rekurentního vzthu integrálu cos n x... 9 Odvození použití rekurentního vzthu integrálu sin n x... 9 Odvození rekurentního vzthu integrálu tg n x... 96 Oecné řešení integrálu x x c... 97 Integrál x x... 98 m Integrál x... 99 Seznm integrálů s goniometrickými funkcemi... 99 Seznm integrálů s logritmy... 03 Seznm integrálů s exponenciálními funkcemi... 0 Seznm integrálů s rcionální lomenou funkcí... 06 Seznm integrálů s odmocninmi... 09 Řešení speciálních přípdů... Integrál typu ( x ) k x x c... Ax B Integrál typu... ( x x c) k x x c

Ax B Integrál typu... 7 ( mx px q) k x x c ) m p ) p m Ax B Integrál typu... 9 ( mx px q) x x c α x β x γ Integrál typu... 0 x x c Integrál typu x x x c... α sin x β cos x Integrál typu... sin x cos x α sin x β cos x γ Integrál typu... sin x cos x c α sin x β sin x cos x γ cos x Integrál typu... 7 sin x cos x α sin x β cos x Integrál typu... 9 sin x sin x cos x c cos x Integrál typu... 9 sin cx Integrál typu... 30 cos cx Integrál typu sin µ x cos ν x... 3 Aplikce osh rovinných útvrů... 3 délk olouku křivky... ojem rotčního těles... osh rotční plochy... sttický moment... 6 moment setrvčnosti... 6 Seznm použité litertury... 6

37) 3) c x c x x c ( x ) ( ) x c c c x c ( x x ) ( x ) ( x ). ( x ) ( ) c c x c x ( ) c c u du du x c c c c du x du rctg c c u c u c c 3) c x x x c ( x ) ( ) x c c c x c ( x x ) ( x ) ( x ). ( x ) ( ) c x c x ( ) u du du x du u du. ln c u c u c u x x c ln c ln c c c x c x 3 3 x x 3x 9 8 36) ( ) x 3 8 x 3 x 3 9 3 x x 8 8 x3 3 3 x x ( 3 ) : (x 3) ± 3 0 x ± 3 9 x x 9 x 9 ± x 0 7 8 3 0 8 x x.. x. 3 9 3 3 x 3 x 9 3 8 8 x3 3 8 8 x3 3 x 3x 9x 3 ln x 3 c 6 8 8 6 x x x x 9 3 3 x x ( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) x x ( x ) x Ax Bx ( x )( x ) x x x Ax x Bx x ( ) ( ) x Ax Ax Bx Bx

x x x 3 3 96) x 3x x 3x x 3x x 3 3 3 x 3 3 sin x x rc c x 3x x 3x 3 3. x 3x 3 c x x c x 3x x 3x x 3 I. sin sin dt rc t rc x 3 x 3x ( ) t 3 x 3x ( )( x 3x ) 9 6 ( ) ( x ). ( 3) x ( 3) 3 3 x x x ( ) ( ) x 3 t dt dt 97) c x x x c ( ) c x x c ( x ) c x ( x ) ( ) ( ) ( x ) c x c c x. c x x ( ) ( ) t dt dt x I. dt ln t t C t podle ln x x x I ln ( ) C ln C x x x x x c x ( ) ln x x c x ln c I C x x c C I ln (. x x c ) C ln ln x x c C c x x x ln x x c číslo ln c x x c C je zhrnuto v integrční konstntě